Начнем с перечисления свойств коэффициентов перехода, взяв за образец быстроубывающий случай. Из соотношения (8.43) и (8.25) немедленно получаем представления
$$a_{\rho }(\lambda )=\frac{{\omega }^2}{2k(\lambda -k)}\det (T_{-}^{(1)}(x,\lambda ),T_{+}^{\prime 2}(x,\lambda ))$$
n
$$b_{\rho }(\lambda )=\frac{{\omega }^2}{2k(\lambda -k)}\det (T_{+}^{(1)}(x,\lambda ),T_{-}^{(1)}(x,\lambda )),$$

обобщающие формулы (6.1) и (6.2).
Из (9.1) следует, что коэффициент $a_{\rho }(\lambda )$ аналитически продолжается на лист ${\mathrm{\Gamma }}_{+}$, исключая точки ветвления $\lambda =\pm \omega$. Из (8.28) и (8.29) получаем, что при $|\lambda |\to \mathrm{\infty }{a}_{\rho }(\lambda )$ имеет асимптотику
$$a_{\rho }(\lambda )=\cos \frac{\theta }{2}+i\frac{\lambda }{k}\sin \frac{\theta }{2}+O\left(\frac{1}{|\lambda |}\right).$$

Другими словами,
$$a_{\rho }(\lambda )=e^{\frac{i\theta }{2}}+O\left(\frac{1}{|\lambda |}\right)$$

при $\mathrm{Im}\lambda >0$ и
$$a_{\rho }(\lambda )=e^{-\frac{i\theta }{2}}+O\left(\frac{1}{|\lambda |}\right)$$

при $\mathrm{Im}\lambda <0$.
Аналогичным образом функция ${\overrightarrow{a}}_{\rho }(\lambda )$ аналитически продолжается на лист ${\mathbf{\Gamma }}_{-}$, исключая $\lambda =\pm \omega$. Обозначая ее аналитическое продолжение через $a_{\rho }^{\ast }(\lambda )$, из (8.36) получаем, что
$$a_{\rho }^{\ast }(\lambda )={\overline{a}}_{\rho }(P(\lambda )).$$

Представление (9.2) показывает, что $b_{\rho }(\lambda )$, вообще говоря, не продолжается из ${\mathbb{R}}_{\omega }$. Конечно, такое продолжение существует, если функции $\psi (x),\overline{\psi }(x)$ отличаются от своих асимптотических значений лишь в конечном интервале. Из (8.28) и (8.30) следует, что при $|\lambda |\to \mathrm{\infty },\lambda$ из ${\mathbb{R}}_{\omega }$
$$b_{\rho }(\lambda )=O\left(\frac{1}{|\lambda |}\right)\text{. }$$

Обсудим теперь возможное поведение коэффициентов $a_{\rho }(\lambda )$ и $b_{\rho }(\lambda )$ в окрестностях точек $\lambda =\pm \omega$. Из (9.1) следует, что если столбцы $T_{-}^{(1)}(x,\lambda )$ и $T_{+}^{(2)}(x,\lambda )$ при $\lambda =\omega$ или $\lambda =-\omega$ (т. е. при $k=0$ ) линейно независимы, то коэффициент $a_{\rho }(\lambda )$ сингулярен и представляется в виде
$${a_{\rho }(\lambda )|}_{\lambda \approx \pm \omega }=\frac{a_{\pm }}{k}+O(1),$$

где $a_{\pm }$отличны от нуля. Именно это реализуется в ситуации общего положения. В специальной ситуации, когда столбцы $T_{-}^{(1)}(x,\lambda )$ и $T_{+}^{(2)}(x,\lambda )$ при $\lambda =\omega$ или $\lambda =-\omega$ становятся линейно зависимыми, коэффициенты $a_{+}$или $a_{-}$или оба исчезают и функция $a_{\rho }(\lambda )$ не сингулярна в окрестности соответствующей точки ветвления. В теории рассеяния принято говорить, что в этом случае $\lambda =\omega$ или $\lambda =-\omega$ или оба эти значения являются виртуальными уровнями.

Коэффициент $b_{\rho }(\lambda )$ сингулярен или регулярен в окрестности $\lambda =\pm \omega$ одновременно с $a_{\rho }(\lambda )$. Действительно, при $\lambda =\pm \omega$ матрицы $T_{\pm }(x,\lambda )$ вырождаются, так что столбцы $T_{\pm }^{(\mathbf{1})}(x,\pm \omega )$ и $T_{\pm }^{(2)}(x,\pm \omega )$ пропорциональны. Из асимптотик (8.20) и (8.21) и юопределения $E_{\rho }(x,\lambda )$ (формулы (8.9)) следует, что
$$T_{+}^{(1)}(x,\pm \omega )=\pm i{T}_{+}^{(2)}(x,\pm \omega ).$$

Сравнение формул (9.1), (9.2) и (9.9) показывает, что если $a_{+}$ или $a_{-}$отличны от нуля, то
$${b_{\rho }(\lambda )|}_{i\approx \pm \omega }=\mp \frac{i{a}_{\pm }}{k}+O(1).$$

В частности, при этом условии
$$\underset{\lambda \to =\omega }{lim}\frac{a_0(\lambda )}{b_{\rho }(\lambda )}=\pm i$$

Уместно подчеркнуть, что именно появление лакуны в непрерывном спектре в случае граничных условий конечной плотности привело к некоторому усложнению аналитических свойств коэффициентов перехода по сравнению с быстроубывающим случаем.

Инволюция $J$ на $\mathrm{\Gamma }$ связывает значения коэффициента $a_{\rho }(\lambda )$ в полуплоскостях $\pm \mathrm{Im}\lambda >0$ листа ${\mathbf{\Gamma }}_{+}$. Именно, из (8.39) и (8.40) следует, что
$$a_{\rho }(\lambda )={\overline{a}}_{\rho }(J(\lambda )).$$

Кроме того, эта инволюция позволяет связать значения $a_9(\lambda )$ и $b_{\rho }(\lambda )$ на верхних и нижних берегах разрезов на листе ${\mathrm{\Gamma }}_{+}$:
$$a_{\rho }(\lambda +i0)={\overrightarrow{a}}_{\rho }(\lambda -i0),b_{\rho }(\lambda +i0)=-{\overrightarrow{b}}_{\rho }(\lambda -i0),$$

где $\lambda$ вещественно, $|\lambda |>\omega$. Последняя формула вытекает из (8.41). Предельным переходом отсюда получаем, что коэффициенты $a_{\pm }$- чисто мнимые.

Как и в быстроубывающем случае, имеют место интегральные представления
$$\begin{array}{rl}{a}_{\rho }(\lambda )=\cos \frac{\theta }{2}+i\frac{\lambda }{k}& \sin \frac{\theta }{2}+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_1(x)e^{ikx}dx+\\ & +i\frac{\lambda }{k}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_2(x)e^{ikx}dx+\frac{i}{k}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_3(x)e^{ikx}dx\end{array}$$

и
$$b_{\rho }(\lambda )=i{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\beta }_1(x)e^{ikx}dx+\frac{\lambda }{k}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\beta }_2(x)e^{ikx}dx+\frac{1}{k}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\beta }_3(x)e^{ikx}dx.$$

Для вывода следует перейти к пределу $x\to +\mathrm{\infty }$ в формуле (8.43) и использовать представление (8.14) и уравнения (8.18), (8.19) (сравни с $\mathrm{\$}6$ ). Функции ${\alpha }_j(x),{\beta }_j(x),j=1,2,3$, вещественны в силу (9.13) и являются функциями типа Шварца в окрестности $+\mathrm{\infty }$ и на всей оси соответственно. Поэтому коэффициент $b_{\rho }(\lambda )$ является функцией типа Шварца при $|\lambda |\to \mathrm{\infty }$.

Из представления (9.14) следует, что при $|\lambda |\to \mathrm{\infty }$ функция $a_{\rho }(\lambda )$ допускает асимптотические разложения по обратным степеням $\lambda$ нли $k$. Для этого воспользуемся следующими асимптотическими разложениями на ${\mathbf{\Gamma }}_{+}$:
$$\frac{1}{k(\lambda )}=\pm {(1-\frac{{\omega }^2}{{\lambda }^2})}^{-1/2}\frac{1}{\lambda }=\pm \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-{\omega }^2)}^n}{{\lambda }^{nn+1}}\left(\begin{array}{c}-1/2\\ n\end{array}\right)+O\left(|\lambda {|}^{-\mathrm{\infty }}\right)$$

или
$$\lambda =\pm k{(1+\frac{{\omega }^2}{k^2})}^{1/2}=\pm \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\omega }^{2n}}{k^{2n-1}}\left(\begin{array}{c}1/2\\ n\end{array}\right)+O\left(|k{|}^{-\mathrm{\infty }}\right),$$

где общий знак $\pm$ совпадает со знаком $\mathrm{Im}\lambda$, а через $\left(\begin{array}{c}\pm 1/2\\ n\end{array}\right)$ обозначены биномиальные коэффициенты. Интегрируя теперь в (9.14) по частям, получаем искомые разложения для $a_{\rho }(\lambda )$. Так, например, имеем разложения
$$a_{\rho }(\lambda )=e^{i0/2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{k^n}+O\left(|k{|}^{-\mathrm{\infty }}\right),$$

где $\mathrm{Im}\lambda >0$, и
$$a_p(\lambda )=e^{-i\theta /2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(—1{)}^n{\overline{a}}_n}{k^n}+O\left(|k{|}^{-\mathrm{\infty }}\right),$$

где $\mathrm{Im}\lambda <0$, которые согласованы с инволюцией (9.12).
Қак и в быстроубывающем случае, нули коэффициента $a_{\rho }(\lambda )$ при $\lambda$ вне ${\mathbb{R}}_{\bullet }$ соответствуют дискретному спектру вспомогательной линейной задачи (8.6), которая эквивалентна спектральной задаче:
$$\mathcal{L}F=\frac{\lambda }{2}F,$$

где
$$\mathcal{L}=i{\sigma }_3\frac{d}{dx}+i\sqrt{x}(\psi {\sigma }_{-}-\overline{\psi }{\sigma }_{+}).$$

Действительно, если $a_{\rho }(\lambda )$ исчезает при $\lambda ={\lambda }_j$, то столбцы $T_{-}^{(1)}(x,\lambda )$ и $T_{+}^{(2)}(x,\lambda )$ становятся линейно зависимыми:
$$T_{-}^{(1)}(x,{\lambda }_j)={\gamma }_j{T}_{+}^{(2)}(x,{\lambda }_j)$$
соответственно. Тем самым уравнение (9.20) имеет столбец-решение, экспоненциально убывающее при $|x|\to \mathrm{\infty }$.

При $x>0$ и наших граничных условиях оператор $\mathcal{L}$ формально самосопряжен, так что его собственные значения, а тем са-

мым и нули $a_{\rho }(\lambda )$, вещественны. В силу соотношения нормировки (8.47) эти нули могут лежать лишь строго в лакуне $-\omega <$ $<\lambda <\omega$. В самом деле, мы имеем либо $|a_{\rho }(\omega )|=\mathrm{\infty }$ (общий случай), либо $|a_{\rho }(\omega )|<\mathrm{\infty }$ (виртуальный уровень), и тогда по соотношению нормировки $|a_{\rho }(\omega )|>1$; то же верно и для $\lambda =$ $=-\omega$. В частности, отсюда следует, что число нулей коэффициента $a_{\rho }(\lambda )$ конечно; мы обозначим их через ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$.

Покажем, что эти нули простые. Пусть ${\lambda }_j$ — нуль $a_{\rho }(\lambda )$, лежащий в лакуне. Мы докажем, что $\frac{d{\eta }_0}{d\lambda }$ не исчезает при $\lambda ={\lambda }_j$. Из представления (9.1) и условия $a_{\mathrm{p}}\left({\lambda }_j\right)=0$ имеем
$$\begin{array}{l}{\dot{a}}_{\rho }\left({\lambda }_i\right)=\frac{{\omega }^2}{2k_i({\lambda }_i-k_j)}(\det ({\dot{T}}_{-}^{(1)}(x,{\lambda }_j),T_{+}^{(2)}(x,{\lambda }_j))+\\ +\det (T_{-}^{(1)}(x,{\lambda }_j),{\dot{T}}_{+}^{(2)}(x,{\lambda }_j))),\end{array}$$

где точка обозначает производную по $\lambda$. Столбцы $T_{-}^{\text{(1) }}(x,\lambda )$ и $T_{+}^{(2)}(x,\lambda )$ удовлетворяют уравнению (8.6), так что столбцы $T_{-}^{(1)}(x,\lambda )$ и ${\dot{T}}_{+}^{(2)}(x,\lambda )$ соответственно удовлетворяют уравнению
$$\frac{d}{dx}\dot{F}=U(x,\lambda )\dot{F}-\frac{i{\sigma }_3}{2}F.$$

Из этих уравнений и соотношения
$$U^{\tau }(x,\lambda )=-{\sigma }_{2}U(x,\lambda ){\sigma }_2$$

легко получаем равенства
$$\frac{\partial }{\partial x}\det (T_{-}^{(1)}(x,\lambda ),{\dot{T}}_{+}^{(2)}(x,\lambda ))=\frac{i}{2}\det ({\sigma }_3{T}_{-}^{(1)}(x,\lambda )T_{+}^{(2)}(x,\lambda ))$$

и
$$\frac{\partial }{\partial x}\det ({\dot{T}}_{-}^{(1)}(x,\lambda ),T_{+}^{(2)}(x,\lambda ))=-\frac{i}{2}\det ({\sigma }_3{T}_{-}^{(1)}(x,\lambda ),T_{+}^{(2)}(x,\lambda )).$$

Учитывая, что при $\lambda ={\lambda }_{\text{; }}$ столбцы $T_{-}^{(\mathbf{1})}(x,\lambda )$ и $T_{+}^{(2)}(x,\lambda )$ пропорциональны и экспоненциально убывают при $|x|\to \mathrm{\infty }$, получаем отсюда, что
$$\det (T_{-}^{(1)}(x,{\lambda }_j),{\dot{T}}_{+}^{(2)}(x,{\lambda }_j))=\frac{1}{2i}{\gamma }_j{\int }_x^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Delta }(x^{\prime },{\lambda }_j)d{x}^{\prime }$$

и
$$\det ({\dot{T}}_{-}^{(1)}(x,{\lambda }_j),T_{+}^{(2)}(x,{\lambda }_j))=\frac{1}{2i}{\gamma }_j{\int }_{-\mathrm{\infty }}^x\mathrm{\Delta }(x^{\prime },{\lambda }_j)d{x}^{\prime },$$

где
$$\mathrm{\Delta }(x,\lambda )=\det ({\sigma }_3{T}_{+}^{(2)}(x,\lambda ),T_{+}^{(2)}(x,\lambda )).$$

Заметим теперь, что
$$\frac{\omega }{\lambda -k}=\frac{\lambda +k}{\omega },$$

так что с помощью инволюции (8.40) выражение $\frac{\omega }{\lambda -k}\mathrm{\Delta }(x,\lambda )$ при $\lambda$ из лакуны преобразуется к виду
$$\frac{\lambda +k}{\omega }\mathrm{\Delta }(x,\lambda )=\det ({\sigma }_2{\overline{T}}_{+}^{(2)}(x,\lambda ),T_{+}^{(2)}(x,\lambda ))=\frac{1}{i}{\Vert T_{+}^{(2)}(x,{\lambda }_j)\Vert }^2,$$

Іде $\Vert \cdot \Vert$ обозначает обычную векторную норму в ${\mathbb{C}}^2$. Собирая полученные формулы, получаем для ${\dot{a}}_{\rho }\left({\lambda }_j\right)$ окончательное выражение
$${\dot{a}}_{\rho }\left({\lambda }_j\right)=-\frac{\omega {\gamma }_j}{4k_j}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\Vert T_{+}^{(2)}(x,{\lambda }_j)\Vert }^{2}dx,$$

откуда следует, что ${\dot{a}}_{\rho }\left({\lambda }_j\right)$ не исчезает.
Инволюция (8.40) показывает также, что коэффициенты перехода дискретного спектра ${\gamma }_j$, участвующие в формуле (9.22), чисто мнимые. Поэтому из (9.33) следует, что ${\dot{a}}_{\rho }\left({\lambda }_j\right)$ вещественно и его знак совпадает со знаком $i{\gamma }_j$ :
$$\mathrm{sign}{\dot{a}}_{\rho }\left({\lambda }_j\right)=\mathrm{sign}i{\gamma }_j,j=1,\dots ,n.$$

Покажем теперь, что как и в быстроубывающем случае, коэффициент $a_{\rho }(\lambda )$ однозначно определяется по коэффициенту $b_{\rho }(\lambda )$, своим нулям в лакуне ${\lambda }_j,j=1,\dots ,n$, и параметру $\theta$. Для этого получим аналог дисперсионных соотношений (6.22), (6.23). С этой целью конформно отобразим лист ${\mathrm{\Gamma }}_{+}$на верхнюю полуплоскость плоскости $z$ при помощи функции
$$z=z(\lambda )=\lambda +k(\lambda ),\mathrm{Im}z⩾0.$$

При этом отображении разрезы на ${\mathbf{\Gamma }}_{+}$переходят в вещественную ось — $\mathrm{\infty }<z<\mathrm{\infty }$ и окрестность $\mathrm{\infty }$ при Im $\lambda <0$ переходит в окрестность точки $z=0$. Обратное отображение дается формулой
$$\lambda =\lambda (z)=\frac{1}{2}(z+\frac{{\omega }^2}{z}),$$

где функция $\lambda (z)$ иногда называется функцией Жуковского.
Рассмотрим при $\mathrm{Im}z⩾0$ функцию
$$f(z)=e^{-i\theta /2}{a}_{\rho }(\lambda (z)).$$

Она аналитична в верхней полуплоскости, удовлетворяет при $|z|\to \mathrm{\infty }$ асимптотике
$$f(z)=1+O(1/|z|)$$

и имеет нули $z_j$, где
$$z_j=z\left({\lambda }_i\right)={\lambda }_i+i\sqrt{{\omega }^2-{\lambda }_j^2},\left|z_j\right|=\omega ,j=1,\dots ,n.$$

Поэтому для нее справедливо дисперсионное соотношение
$$f(z)=\prod _{j=1}^n\frac{z-z_j}{z-{\overline{z}}_j}\exp \left\{\frac{1}{\pi i}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln |f(s)|}{s-z}ds\right\},$$

представляющее собой другой вариант записи представления (6.28).
В силу формулы (9.12) функция $f(z)$ обладает инволюцией
$$f(z)=e^{-i\theta }\overline{f}\left({\omega }^2/\overline{z}\right).$$

В частности, при вещественных $s$ имеем
$$|f(s)|=\left|f\left({\omega }^2/s\right)\right|.$$

Поэтому интеграл в (9.40) можно свести к интегралу по полуосям $|s|⩾\omega$. Возвращаясь к исходным переменным $\lambda$ и $k$ и используя соотношение нормировки, получаем для $a_{\rho }(\lambda )$ искомое представление
$$\begin{array}{l}{a}_{\rho }(\lambda )=e^{\frac{i\theta }{2}}\prod _{j=1}^n\frac{\lambda +k(\hat{\lambda })-{\lambda }_j-k_j}{\lambda +k(\lambda )-{\lambda }_j-{\overline{k}}_j}\times \\ \times \exp \left\{\frac{1}{2\pi i}{\int }_{{\hat{R}}_{\omega }}\frac{\ln (1+{|b_{\rho }(\mu )|}^2)}{k(\mu )}(1+\frac{k(\lambda )}{\mu -\lambda })d\mu \right\},\end{array}$$

где интегрирование ведется по верхним берегам разрезов на листе ${\mathbf{\Gamma }}_{+}$, а $\lambda$ лежит вне ${\mathbb{R}}_{\omega }$.

В отличие от быстроубывающего случая, данные $b_{\rho }(\lambda ),{\lambda }_j$ и $\theta$ не являются независимыми. Именно, из асимптотики (9.5) следует, что должно выполняться соотношение
$$e^{-i\theta }=\prod _{j=1}^n\frac{{\lambda }_i+k_j}{{\lambda }_j+{\overline{k}}_i}\exp \left\{\frac{1}{\pi i}{\int }_{{\mathcal{R}}_0}\frac{\ln (1+{|b_{\rho }(\lambda )|}^2)}{k(\lambda )}d\lambda \right\},$$

которое получается из (9.43) предельным переходом $|\lambda |\to \mathrm{\infty }$ в полуплоскости $\mathrm{Im}\lambda <0$ с учетом равенства $\lambda +k=O(1/|\lambda |)$. В дальнейшем полученное соотношение будем называть $услови$ ${ϵ}_M(\theta )$.

Этим не исчерпываются ограничения на данные $b_{\rho }(\lambda ),{\lambda }_j$ и $\theta$. В ситуации общего положения коэффициент $b_{\rho }(\lambda )$ сингулярен в окрестности $\lambda =\pm \omega$ :
$${b_{\rho }(\lambda )|}_{\lambda \approx \pm \omega }=\frac{b_{\text{主 }}}{k}+O(1),$$

где $b_{\pm }$вещественны. В то же время кюэффициент $a_p(\lambda )$ удовлетворяет условию (9.8), где
$$a_{\pm }=\pm i{b}_{\pm }\text{. }$$

Так как в представлении (9.43) участвует только $|b_{\rho }(\lambda )|$, то последнее условие накладывает ограничения на $b_{\pm }$, которые имеют вид
$$\mathrm{sign}{b}_{\pm }=(-1{)}^{N\pm },$$

где $N_{\pm }$- некоторые целые числа (см. (9.58)).
Для вывода и вычисления $N_{\pm }$рассмотрим интеграл в (9.43) при $\lambda$ в окрестности $\pm \omega$ вне ${\mathbb{R}}_{\omega }$. Очевидно, что при $\lambda$ в окрестности $\omega$ сингулярный вклад дает лишь интеграл
$$I(\lambda )={\int }_{\omega }^{\omega \mathrm{ch}}\frac{\ln (1+{|b_{\rho }(\mu )|}^2)k(\lambda )}{k(\mu )(\mu -\lambda )}d\mu ,$$
$$I(\lambda )=2\pi i\ln \left|b_{+}\right|+I_0(\lambda )+O(|k(\lambda )|),$$

где
$$I_0(\lambda )=-2k(\lambda ){\int }_0^{\omega \mathrm{ch}\delta }\frac{\ln k(\mu )}{k(\mu )(\mu -\lambda )}d\mu .$$

С помощью замены переменной
$$\mu (x)=\frac{1}{2}(x+\frac{{\omega }^2}{x}),k(\mu (x))=\frac{1}{2}(x-\frac{{\omega }^2}{x})$$

последний интеграл приводится к виду
$$I_0(\lambda )=-2{\int }_{\omega e^{-\delta }}^{\omega e^{\delta }}\frac{\ln |k(\mu (x))|}{x-z}dx+{\int }_{\omega e^{-\delta }}^{\omega e^{\delta }}\frac{\ln |k(\mu (x))|}{x}dx,$$

где $z=z(\lambda )$ (см. (9.35)). Теперь воспользуемся формулой
$${\int }_{\omega }^{\omega e^{\delta }}\frac{\ln k(\mu (x))}{x-z}dx=-\frac{1}{2}{\ln }^{2}k(\lambda )+\pi i\ln k(\lambda )+\phi (z),$$

где $\phi (z)$ регулярна в окрестности $z=\omega$, а $\ln k$ в правой части означает ветвь логарифма с разрезом по положительной полуоси $0⩽k<\mathrm{\infty }$. Для доказательства (9.53) следует рассмотреть интеграл ${\int }_{|\zeta -\omega |=\omega (e^{\delta }-1)}\frac{{\ln }^{2}k(\mu (\zeta ))}{\zeta -z}d\zeta$ и воспользоваться теоремой Ко-

ши. Из (9.53) следует, что
$$\begin{array}{rl}{\int }_{\omega e^{-\delta }}^{\omega }\frac{\ln (-k(\mu (x)))}{x-z}dx=\frac{1}{2}& {\ln }^2(-k(\lambda ))-\pi i\ln (-k(\lambda ))+\\ & +\frac{1}{2}{\int }_{\omega e^{-\delta }}^{\omega e^{\delta }}\frac{\ln |k(\mu (x))|}{x}dx-\phi \left(\frac{{\omega }^2}{z}\right),\end{array}$$

в результате чего для $I_0(\lambda )$ получаем представление в окрестности $\lambda =\omega$
$$I_0(\lambda )=-2\pi i\ln k(\lambda )-{\pi }^2+O(|k(\lambda )|).$$

Отсюда получаем, что
$$\begin{array}{l}{a_{\rho }(\lambda )|}_{\lambda \approx 0}=\frac{i\left|b_{+}\right|}{k(\lambda )}{e}^{\frac{i\theta }{2}}\prod _{j=1}^n\frac{\omega -{\lambda }_j-k_j}{\omega -{\lambda }_j-{\overrightarrow{k}}_j}\times \\ \times \exp \left\{\frac{1}{2\pi i}{\int }_{{\mathbb{R}}_{(j)}}\frac{\ln (1+{|b_{\rho }(\mu )|}^2)}{k(\mu )}d\mu \right\}+O(1).\end{array}$$

Заметим теперь, что при — $\omega <\lambda <\omega$ выполняется соотношение
$${\left(\frac{\omega -\lambda -k}{\omega -\lambda -\overline{k}}\right)}^2=\frac{\lambda -k}{\lambda +\overline{k}}.$$

Сравнивая (9.56), (9.57) и (9.44), убеждаемся, что формула (9.46) справедлива, если целое число $N_{+}$определяется из условия
$$0⩽\sum _{j=1}^n\arg \frac{\omega -{\lambda }_j-{\overline{k}}_j}{\omega -{\lambda }_j-k_j}+\frac{1}{2\pi }{\int }_{{\dot{R}}_{\omega }}\frac{\ln (1+{|b_{\rho }(\lambda )|}^2)}{k(\lambda )}d\lambda +\pi N_{+}<\pi .$$

Ясно, что $(-1{)}^{N_{+}}$не зависит от выбора ветви аргумента.
Аналогично рассматривается окрестность $\lambda =-\omega$. Число $N_{-}$ определяется из соотношения типа (9.58), где $\omega$ заменено на — — Условия (9.47) в дальнейшем будем называть условиями выбора знаков. Если коэффициент $b_{\rho }(\lambda )$ регулярен при $\lambda =\omega$ или $\lambda =-\omega$, то дополнительные ограничения описанного типа не возникают.

Сформулированные свойства данных $b_{\rho }(\lambda ),{\lambda }_j,j=1,\dots ,n$, $u\theta$ :
1) инволюция (см. (9.13)),
2) условие ( $\theta$ ) (см. (9.44)),
3) условия выбора знаков (см. (9.47) и (9.58)) позволяют однозначно восстановить коэффициент $a_{\rho }(\lambda )$ по формуле (9.43), обладающий свойствами:

1) инволюция (см. (9.12)),
2) асимптотики при $|\lambda |\to \mathrm{\infty }$ (см. (9.3)-(9.5)),
3) условия согласования знаков (см. (9.46)).

Проверка свойств 2) и 3) тривиальна, так как их вывод носил обратимый характер. Для вывода свойства 1) следует использовать условие ( $\theta$ ) и равенство
$$\frac{\lambda -k-{\lambda }_j-{\overline{k}}_i}{\lambda -k-{\lambda }_j-k_j}\cdot \frac{{\lambda }_j+k_j}{{\lambda }_j+{\overline{k}}_j}=\frac{\lambda +k-{\lambda }_i-k_j}{\lambda +k-{\lambda }_j-{\overline{k}}_j},$$

справедливое при $-\omega <{\lambda }_j<\omega$.
На этом мы заканчиваем перечисление свойств коэффициентов перехода.