Начнем с перечисления свойств коэффициентов перехода, взяв за образец быстроубывающий случай. Из соотношения (8.43) и (8.25) немедленно получаем представления
\[
a_{\rho}(\lambda)=\frac{\omega^{2}}{2 k(\lambda-k)} \operatorname{det}\left(T_{-}^{(1)}(x, \lambda), T_{+}^{\prime 2}(x, \lambda)\right)
\]
n
\[
b_{\rho}(\lambda)=\frac{\omega^{2}}{2 k(\lambda-k)} \operatorname{det}\left(T_{+}^{(1)}(x, \lambda), T_{-}^{(1)}(x, \lambda)\right),
\]

обобщающие формулы (6.1) и (6.2).
Из (9.1) следует, что коэффициент $a_{\rho}(\lambda)$ аналитически продолжается на лист $\Gamma_{+}$, исключая точки ветвления $\lambda= \pm \omega$. Из (8.28) и (8.29) получаем, что при $|\lambda| \rightarrow \infty \quad a_{\rho}(\lambda)$ имеет асимптотику
\[
a_{\rho}(\lambda)=\cos \frac{\theta}{2}+i \frac{\lambda}{k} \sin \frac{\theta}{2}+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right) .
\]

Другими словами,
\[
a_{\rho}(\lambda)=e^{\frac{i \theta}{2}}+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right)
\]

при $\operatorname{Im} \lambda>0$ и
\[
a_{\rho}(\lambda)=e^{-\frac{i \theta}{2}}+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right)
\]

при $\operatorname{Im} \lambda<0$.
Аналогичным образом функция $\vec{a}_{\rho}(\lambda)$ аналитически продолжается на лист $\boldsymbol{\Gamma}_{-}$, исключая $\lambda= \pm \omega$. Обозначая ее аналитическое продолжение через $a_{\rho}^{*}(\lambda)$, из (8.36) получаем, что
\[
a_{\rho}^{*}(\lambda)=\bar{a}_{\rho}(P(\lambda)) .
\]

Представление (9.2) показывает, что $b_{\rho}(\lambda)$, вообще говоря, не продолжается из $\mathbb{R}_{\omega}$. Конечно, такое продолжение существует, если функции $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ отличаются от своих асимптотических значений лишь в конечном интервале. Из (8.28) и (8.30) следует, что при $|\lambda| \rightarrow \infty, \lambda$ из $\mathbb{R}_{\omega}$
\[
b_{\rho}(\lambda)=O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right) \text {. }
\]

Обсудим теперь возможное поведение коэффициентов $a_{\rho}(\lambda)$ и $b_{\rho}(\lambda)$ в окрестностях точек $\lambda= \pm \omega$. Из (9.1) следует, что если столбцы $T_{-}^{(1)}(x, \lambda)$ и $T_{+}^{(2)}(x, \lambda)$ при $\lambda=\omega$ или $\lambda=-\omega$ (т. е. при $k=0$ ) линейно независимы, то коэффициент $a_{\rho}(\lambda)$ сингулярен и представляется в виде
\[
\left.a_{\rho}(\lambda)\right|_{\lambda \approx \pm \omega}=\frac{a_{ \pm}}{k}+O(1),
\]

где $a_{ \pm}$отличны от нуля. Именно это реализуется в ситуации общего положения. В специальной ситуации, когда столбцы $T_{-}^{(1)}(x, \lambda)$ и $T_{+}^{(2)}(x, \lambda)$ при $\lambda=\omega$ или $\lambda=-\omega$ становятся линейно зависимыми, коэффициенты $a_{+}$или $a_{-}$или оба исчезают и функция $a_{\rho}(\lambda)$ не сингулярна в окрестности соответствующей точки ветвления. В теории рассеяния принято говорить, что в этом случае $\lambda=\omega$ или $\lambda=-\omega$ или оба эти значения являются виртуальными уровнями.

Коэффициент $b_{\rho}(\lambda)$ сингулярен или регулярен в окрестности $\lambda= \pm \omega$ одновременно с $a_{\rho}(\lambda)$. Действительно, при $\lambda= \pm \omega$ матрицы $T_{ \pm}(x, \lambda)$ вырождаются, так что столбцы $T_{ \pm}^{(\mathbf{1})}(x, \pm \omega)$ и $T_{ \pm}^{(2)}(x, \pm \omega)$ пропорциональны. Из асимптотик (8.20) и (8.21) и юопределения $E_{\rho}(x, \lambda)$ (формулы (8.9)) следует, что
\[
T_{+}^{(1)}(x, \pm \omega)= \pm i T_{+}^{(2)}(x, \pm \omega) .
\]

Сравнение формул (9.1), (9.2) и (9.9) показывает, что если $a_{+}$ или $a_{-}$отличны от нуля, то
\[
\left.b_{\rho}(\lambda)\right|_{i \approx \pm \omega}=\mp \frac{i a_{ \pm}}{k}+O(1) .
\]

В частности, при этом условии
\[
\lim _{\lambda \rightarrow=\omega} \frac{a_{0}(\lambda)}{b_{\rho}(\lambda)}= \pm i
\]

Уместно подчеркнуть, что именно появление лакуны в непрерывном спектре в случае граничных условий конечной плотности привело к некоторому усложнению аналитических свойств коэффициентов перехода по сравнению с быстроубывающим случаем.

Инволюция $J$ на $\Gamma$ связывает значения коэффициента $a_{\rho}(\lambda)$ в полуплоскостях $\pm \operatorname{Im} \lambda>0$ листа $\boldsymbol{\Gamma}_{+}$. Именно, из (8.39) и (8.40) следует, что
\[
a_{\rho}(\lambda)=\bar{a}_{\rho}(J(\lambda)) .
\]

Кроме того, эта инволюция позволяет связать значения $a_{9}(\lambda)$ и $b_{\rho}(\lambda)$ на верхних и нижних берегах разрезов на листе $\Gamma_{+}$:
\[
a_{\rho}(\lambda+i 0)=\vec{a}_{\rho}(\lambda-i 0), \quad b_{\rho}(\lambda+i 0)=-\vec{b}_{\rho}(\lambda-i 0),
\]

где $\lambda$ вещественно, $|\lambda|>\omega$. Последняя формула вытекает из (8.41). Предельным переходом отсюда получаем, что коэффициенты $a_{ \pm}$- чисто мнимые.

Как и в быстроубывающем случае, имеют место интегральные представления
\[
\begin{aligned}
a_{\rho}(\lambda)=\cos \frac{\theta}{2}+i \frac{\lambda}{k} & \sin \frac{\theta}{2}+\int_{0}^{\infty} \alpha_{1}(x) e^{i k x} d x+ \\
& +i \frac{\lambda}{k} \int_{0}^{\infty} \alpha_{2}(x) e^{i k x} d x+\frac{i}{k} \int_{0}^{\infty} \alpha_{3}(x) e^{i k x} d x
\end{aligned}
\]

и
\[
b_{\rho}(\lambda)=i \int_{-\infty}^{\infty} \beta_{1}(x) e^{i k x} d x+\frac{\lambda}{k} \int_{-\infty}^{\infty} \beta_{2}(x) e^{i k x} d x+\frac{1}{k} \int_{-\infty}^{\infty} \beta_{3}(x) e^{i k x} d x .
\]

Для вывода следует перейти к пределу $x \rightarrow+\infty$ в формуле (8.43) и использовать представление (8.14) и уравнения (8.18), (8.19) (сравни с $\$ 6$ ). Функции $\alpha_{j}(x), \beta_{j}(x), j=1,2,3$, вещественны в силу (9.13) и являются функциями типа Шварца в окрестности $+\infty$ и на всей оси соответственно. Поэтому коэффициент $b_{\rho}(\lambda)$ является функцией типа Шварца при $|\lambda| \rightarrow \infty$.

Из представления (9.14) следует, что при $|\lambda| \rightarrow \infty$ функция $a_{\rho}(\lambda)$ допускает асимптотические разложения по обратным степеням $\lambda$ нли $k$. Для этого воспользуемся следующими асимптотическими разложениями на $\boldsymbol{\Gamma}_{+}$:
\[
\frac{1}{k(\lambda)}= \pm\left(1-\frac{\omega^{2}}{\lambda^{2}}\right)^{-1 / 2} \frac{1}{\lambda}= \pm \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left(-\omega^{2}\right)^{n}}{\lambda^{n n+1}}\left(\begin{array}{c}
-1 / 2 \\
n
\end{array}\right)+O\left(|\lambda|^{-\infty}\right)
\]

или
\[
\lambda= \pm k\left(1+\frac{\omega^{2}}{k^{2}}\right)^{1 / 2}= \pm \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\omega^{2 n}}{k^{2 n-1}}\left(\begin{array}{c}
1 / 2 \\
n
\end{array}\right)+O\left(|k|^{-\infty}\right),
\]

где общий знак $\pm$ совпадает со знаком $\operatorname{Im} \lambda$, а через $\left(\begin{array}{c} \pm 1 / 2 \\ n\end{array}\right)$ обозначены биномиальные коэффициенты. Интегрируя теперь в (9.14) по частям, получаем искомые разложения для $a_{\rho}(\lambda)$. Так, например, имеем разложения
\[
a_{\rho}(\lambda)=e^{i 0 / 2}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{k^{n}}+O\left(|k|^{-\infty}\right),
\]

где $\operatorname{Im} \lambda>0$, и
\[
a_{p}(\lambda)=e^{-i \theta / 2}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(–1)^{n} \bar{a}_{n}}{k^{n}}+O\left(|k|^{-\infty}\right),
\]

где $\operatorname{Im} \lambda<0$, которые согласованы с инволюцией (9.12).
Қак и в быстроубывающем случае, нули коэффициента $a_{\rho}(\lambda)$ при $\lambda$ вне $\mathbb{R}_{\bullet}$ соответствуют дискретному спектру вспомогательной линейной задачи (8.6), которая эквивалентна спектральной задаче:
\[
\mathscr{L} F=\frac{\lambda}{2} F,
\]

где
\[
\mathscr{L}=i \sigma_{3} \frac{d}{d x}+i \sqrt{x}\left(\psi \sigma_{-}-\bar{\psi} \sigma_{+}\right) .
\]

Действительно, если $a_{\rho}(\lambda)$ исчезает при $\lambda=\lambda_{j}$, то столбцы $T_{-}^{(1)}(x, \lambda)$ и $T_{+}^{(2)}(x, \lambda)$ становятся линейно зависимыми:
\[
T_{-}^{(1)}\left(x, \lambda_{j}\right)=\gamma_{j} T_{+}^{(2)}\left(x, \lambda_{j}\right)
\]
соответственно. Тем самым уравнение (9.20) имеет столбец-решение, экспоненциально убывающее при $|x| \rightarrow \infty$.

При $x>0$ и наших граничных условиях оператор $\mathscr{L}$ формально самосопряжен, так что его собственные значения, а тем са-

мым и нули $a_{\rho}(\lambda)$, вещественны. В силу соотношения нормировки (8.47) эти нули могут лежать лишь строго в лакуне $-\omega<$ $<\lambda<\omega$. В самом деле, мы имеем либо $\left|a_{\rho}(\omega)\right|=\infty$ (общий случай), либо $\left|a_{\rho}(\omega)\right|<\infty$ (виртуальный уровень), и тогда по соотношению нормировки $\left|a_{\rho}(\omega)\right|>1$; то же верно и для $\lambda=$ $=-\omega$. В частности, отсюда следует, что число нулей коэффициента $a_{\rho}(\lambda)$ конечно; мы обозначим их через $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$.

Покажем, что эти нули простые. Пусть $\lambda_{j}$ – нуль $a_{\rho}(\lambda)$, лежащий в лакуне. Мы докажем, что $\frac{d \eta_{0}}{d \lambda}$ не исчезает при $\lambda=\lambda_{j}$. Из представления (9.1) и условия $a_{\mathrm{p}}\left(\lambda_{j}\right)=0$ имеем
\[
\begin{array}{l}
\dot{a}_{\rho}\left(\lambda_{i}\right)=\frac{\omega^{2}}{2 k_{i}\left(\lambda_{i}-k_{j}\right)}\left(\operatorname{det}\left(\dot{T}_{-}^{(1)}\left(x, \lambda_{j}\right), T_{+}^{(2)}\left(x, \lambda_{j}\right)\right)+\right. \\
\left.+\operatorname{det}\left(T_{-}^{(1)}\left(x, \lambda_{j}\right), \dot{T}_{+}^{(2)}\left(x, \lambda_{j}\right)\right)\right),
\end{array}
\]

где точка обозначает производную по $\lambda$. Столбцы $T_{-}^{\text {(1) }}(x, \lambda)$ и $T_{+}^{(2)}(x, \lambda)$ удовлетворяют уравнению (8.6), так что столбцы $T_{-}^{(1)}(x, \lambda)$ и $\dot{T}_{+}^{(2)}(x, \lambda)$ соответственно удовлетворяют уравнению
\[
\frac{d}{d x} \dot{F}=U(x, \lambda) \dot{F}-\frac{i \sigma_{3}}{2} F .
\]

Из этих уравнений и соотношения
\[
U^{\tau}(x, \lambda)=-\sigma_{2} U(x, \lambda) \sigma_{2}
\]

легко получаем равенства
\[
\frac{\partial}{\partial x} \operatorname{det}\left(T_{-}^{(1)}(x, \lambda), \dot{T}_{+}^{(2)}(x, \lambda)\right)=\frac{i}{2} \operatorname{det}\left(\sigma_{3} T_{-}^{(1)}(x, \lambda) T_{+}^{(2)}(x, \lambda)\right)
\]

и
\[
\frac{\partial}{\partial x} \operatorname{det}\left(\dot{T}_{-}^{(1)}(x, \lambda), T_{+}^{(2)}(x, \lambda)\right)=-\frac{i}{2} \operatorname{det}\left(\sigma_{3} T_{-}^{(1)}(x, \lambda), T_{+}^{(2)}(x, \lambda)\right) .
\]

Учитывая, что при $\lambda=\lambda_{\text {; }}$ столбцы $T_{-}^{(\mathbf{1})}(x, \lambda)$ и $T_{+}^{(2)}(x, \lambda)$ пропорциональны и экспоненциально убывают при $|x| \rightarrow \infty$, получаем отсюда, что
\[
\operatorname{det}\left(T_{-}^{(1)}\left(x, \lambda_{j}\right), \dot{T}_{+}^{(2)}\left(x, \lambda_{j}\right)\right)=\frac{1}{2 i} \gamma_{j} \int_{x}^{\infty} \Delta\left(x^{\prime}, \lambda_{j}\right) d x^{\prime}
\]

и
\[
\operatorname{det}\left(\dot{T}_{-}^{(1)}\left(x, \lambda_{j}\right), T_{+}^{(2)}\left(x, \lambda_{j}\right)\right)=\frac{1}{2 i} \gamma_{j} \int_{-\infty}^{x} \Delta\left(x^{\prime}, \lambda_{j}\right) d x^{\prime},
\]

где
\[
\Delta(x, \lambda)=\operatorname{det}\left(\sigma_{3} T_{+}^{(2)}(x, \lambda), T_{+}^{(2)}(x, \lambda)\right) .
\]

Заметим теперь, что
\[
\frac{\omega}{\lambda-k}=\frac{\lambda+k}{\omega},
\]

так что с помощью инволюции (8.40) выражение $\frac{\omega}{\lambda-k} \Delta(x, \lambda)$ при $\lambda$ из лакуны преобразуется к виду
\[
\frac{\lambda+k}{\omega} \Delta(x, \lambda)=\operatorname{det}\left(\sigma_{2} \bar{T}_{+}^{(2)}(x, \lambda), T_{+}^{(2)}(x, \lambda)\right)=\frac{1}{i}\left\|T_{+}^{(2)}\left(x, \lambda_{j}\right)\right\|^{2},
\]

Іде $\|\cdot\|$ обозначает обычную векторную норму в $\mathbb{C}^{2}$. Собирая полученные формулы, получаем для $\dot{a}_{\rho}\left(\lambda_{j}\right)$ окончательное выражение
\[
\dot{a}_{\rho}\left(\lambda_{j}\right)=-\frac{\omega \gamma_{j}}{4 k_{j}} \int_{-\infty}^{\infty}\left\|T_{+}^{(2)}\left(x, \lambda_{j}\right)\right\|^{2} d x,
\]

откуда следует, что $\dot{a}_{\rho}\left(\lambda_{j}\right)$ не исчезает.
Инволюция (8.40) показывает также, что коэффициенты перехода дискретного спектра $\gamma_{j}$, участвующие в формуле (9.22), чисто мнимые. Поэтому из (9.33) следует, что $\dot{a}_{\rho}\left(\lambda_{j}\right)$ вещественно и его знак совпадает со знаком $i \gamma_{j}$ :
\[
\operatorname{sign} \dot{a}_{\rho}\left(\lambda_{j}\right)=\operatorname{sign} i \gamma_{j}, \quad j=1, \ldots, n .
\]

Покажем теперь, что как и в быстроубывающем случае, коэффициент $a_{\rho}(\lambda)$ однозначно определяется по коэффициенту $b_{\rho}(\lambda)$, своим нулям в лакуне $\lambda_{j}, j=1, \ldots, n$, и параметру $\theta$. Для этого получим аналог дисперсионных соотношений (6.22), (6.23). С этой целью конформно отобразим лист $\Gamma_{+}$на верхнюю полуплоскость плоскости $z$ при помощи функции
\[
z=z(\lambda)=\lambda+k(\lambda), \quad \operatorname{Im} z \geqslant 0 .
\]

При этом отображении разрезы на $\boldsymbol{\Gamma}_{+}$переходят в вещественную ось – $\infty<z<\infty$ и окрестность $\infty$ при Im $\lambda<0$ переходит в окрестность точки $z=0$. Обратное отображение дается формулой
\[
\lambda=\lambda(z)=\frac{1}{2}\left(z+\frac{\omega^{2}}{z}\right),
\]

где функция $\lambda(z)$ иногда называется функцией Жуковского.
Рассмотрим при $\operatorname{Im} z \geqslant 0$ функцию
\[
f(z)=e^{-i \theta / 2} a_{\rho}(\lambda(z)) .
\]

Она аналитична в верхней полуплоскости, удовлетворяет при $|z| \rightarrow \infty$ асимптотике
\[
f(z)=1+O(1 /|z|)
\]

и имеет нули $z_{j}$, где
\[
z_{j}=z\left(\lambda_{i}\right)=\lambda_{i}+i \sqrt{\omega^{2}-\lambda_{j}^{2}}, \quad\left|z_{j}\right|=\omega, \quad j=1, \ldots, n .
\]

Поэтому для нее справедливо дисперсионное соотношение
\[
f(z)=\prod_{j=1}^{n} \frac{z-z_{j}}{z-\bar{z}_{j}} \exp \left\{\frac{1}{\pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\ln |f(s)|}{s-z} d s\right\},
\]

представляющее собой другой вариант записи представления (6.28).
В силу формулы (9.12) функция $f(z)$ обладает инволюцией
\[
f(z)=e^{-i \theta} \bar{f}\left(\omega^{2} / \bar{z}\right) .
\]

В частности, при вещественных $s$ имеем
\[
|f(s)|=\left|f\left(\omega^{2} / s\right)\right| .
\]

Поэтому интеграл в (9.40) можно свести к интегралу по полуосям $|s| \geqslant \omega$. Возвращаясь к исходным переменным $\lambda$ и $k$ и используя соотношение нормировки, получаем для $a_{\rho}(\lambda)$ искомое представление
\[
\begin{array}{l}
a_{\rho}(\lambda)=e^{\frac{i \theta}{2}} \prod_{j=1}^{n} \frac{\lambda+k(\hat{\lambda})-\lambda_{j}-k_{j}}{\lambda+k(\lambda)-\lambda_{j}-\bar{k}_{j}} \times \\
\times \exp \left\{\frac{1}{2 \pi i} \int_{\hat{R}_{\omega}} \frac{\ln \left(1+\left|b_{\rho}(\mu)\right|^{2}\right)}{k(\mu)}\left(1+\frac{k(\lambda)}{\mu-\lambda}\right) d \mu\right\},
\end{array}
\]

где интегрирование ведется по верхним берегам разрезов на листе $\boldsymbol{\Gamma}_{+}$, а $\lambda$ лежит вне $\mathbb{R}_{\omega}$.

В отличие от быстроубывающего случая, данные $b_{\rho}(\lambda), \lambda_{j}$ и $\theta$ не являются независимыми. Именно, из асимптотики (9.5) следует, что должно выполняться соотношение
\[
e^{-i \theta}=\prod_{j=1}^{n} \frac{\lambda_{i}+k_{j}}{\lambda_{j}+\bar{k}_{i}} \exp \left\{\frac{1}{\pi i} \int_{\mathcal{R}_{0}} \frac{\ln \left(1+\left|b_{\rho}(\lambda)\right|^{2}\right)}{k(\lambda)} d \lambda\right\},
\]

которое получается из (9.43) предельным переходом $|\lambda| \rightarrow \infty$ в полуплоскости $\operatorname{Im} \lambda<0$ с учетом равенства $\lambda+k=O(1 /|\lambda|)$. В дальнейшем полученное соотношение будем называть $у с л о в и$ $\epsilon_{M}(\theta)$.

Этим не исчерпываются ограничения на данные $b_{\rho}(\lambda), \lambda_{j}$ и $\theta$. В ситуации общего положения коэффициент $b_{\rho}(\lambda)$ сингулярен в окрестности $\lambda= \pm \omega$ :
\[
\left.b_{\rho}(\lambda)\right|_{\lambda \approx \pm \omega}=\frac{b_{\text {主 }}}{k}+O(1),
\]

где $b_{ \pm}$вещественны. В то же время кюэффициент $a_{p}(\lambda)$ удовлетворяет условию (9.8), где
\[
a_{ \pm}= \pm i b_{ \pm} \text {. }
\]

Так как в представлении (9.43) участвует только $\left|b_{\rho}(\lambda)\right|$, то последнее условие накладывает ограничения на $b_{ \pm}$, которые имеют вид
\[
\operatorname{sign} b_{ \pm}=(-1)^{N \pm},
\]

где $N_{ \pm}$- некоторые целые числа (см. (9.58)).
Для вывода и вычисления $N_{ \pm}$рассмотрим интеграл в (9.43) при $\lambda$ в окрестности $\pm \omega$ вне $\mathbb{R}_{\omega}$. Очевидно, что при $\lambda$ в окрестности $\omega$ сингулярный вклад дает лишь интеграл
\[
I(\lambda)=\int_{\omega}^{\omega \operatorname{ch}} \frac{\ln \left(1+\left|b_{\rho}(\mu)\right|^{2}\right) k(\lambda)}{k(\mu)(\mu-\lambda)} d \mu,
\]
\[
I(\lambda)=2 \pi i \ln \left|b_{+}\right|+I_{0}(\lambda)+O(|k(\lambda)|),
\]

где
\[
I_{0}(\lambda)=-2 k(\lambda) \int_{0}^{\omega \operatorname{ch} \delta} \frac{\ln k(\mu)}{k(\mu)(\mu-\lambda)} d \mu .
\]

С помощью замены переменной
\[
\mu(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{\omega^{2}}{x}\right), \quad k(\mu(x))=\frac{1}{2}\left(x-\frac{\omega^{2}}{x}\right)
\]

последний интеграл приводится к виду
\[
I_{0}(\lambda)=-2 \int_{\omega e^{-\delta}}^{\omega e^{\delta}} \frac{\ln |k(\mu(x))|}{x-z} d x+\int_{\omega e^{-\delta}}^{\omega e^{\delta}} \frac{\ln |k(\mu(x))|}{x} d x,
\]

где $z=z(\lambda)$ (см. (9.35)). Теперь воспользуемся формулой
\[
\int_{\omega}^{\omega e^{\delta}} \frac{\ln k(\mu(x))}{x-z} d x=-\frac{1}{2} \ln ^{2} k(\lambda)+\pi i \ln k(\lambda)+\varphi(z),
\]

где $\varphi(z)$ регулярна в окрестности $z=\omega$, а $\ln k$ в правой части означает ветвь логарифма с разрезом по положительной полуоси $0 \leqslant k<\infty$. Для доказательства (9.53) следует рассмотреть интеграл $\int_{|\zeta-\omega|=\omega\left(e^{\delta}-1\right)} \frac{\ln ^{2} k(\mu(\zeta))}{\zeta-z} d \zeta$ и воспользоваться теоремой Ко-

ши. Из (9.53) следует, что
\[
\begin{aligned}
\int_{\omega e^{-\delta}}^{\omega} \frac{\ln (-k(\mu(x)))}{x-z} d x=\frac{1}{2} & \ln ^{2}(-k(\lambda))-\pi i \ln (-k(\lambda))+ \\
& +\frac{1}{2} \int_{\omega e^{-\delta}}^{\omega e^{\delta}} \frac{\ln |k(\mu(x))|}{x} d x-\varphi\left(\frac{\omega^{2}}{z}\right),
\end{aligned}
\]

в результате чего для $I_{0}(\lambda)$ получаем представление в окрестности $\lambda=\omega$
\[
I_{0}(\lambda)=-2 \pi i \ln k(\lambda)-\pi^{2}+O(|k(\lambda)|) .
\]

Отсюда получаем, что
\[
\begin{array}{l}
\left.a_{\rho}(\lambda)\right|_{\lambda \approx 0}=\frac{i\left|b_{+}\right|}{k(\lambda)} e^{\frac{i \theta}{2}} \prod_{j=1}^{n} \frac{\omega-\lambda_{j}-k_{j}}{\omega-\lambda_{j}-\vec{k}_{j}} \times \\
\times \exp \left\{\frac{1}{2 \pi i} \int_{\mathbb{R}_{(j)}} \frac{\ln \left(1+\left|b_{\rho}(\mu)\right|^{2}\right)}{k(\mu)} d \mu\right\}+O(1) .
\end{array}
\]

Заметим теперь, что при – $\omega<\lambda<\omega$ выполняется соотношение
\[
\left(\frac{\omega-\lambda-k}{\omega-\lambda-\bar{k}}\right)^{2}=\frac{\lambda-k}{\lambda+\bar{k}} .
\]

Сравнивая (9.56), (9.57) и (9.44), убеждаемся, что формула (9.46) справедлива, если целое число $N_{+}$определяется из условия
\[
0 \leqslant \sum_{j=1}^{n} \arg \frac{\omega-\lambda_{j}-\bar{k}_{j}}{\omega-\lambda_{j}-k_{j}}+\frac{1}{2 \pi} \int_{\dot{R}_{\omega}} \frac{\ln \left(1+\left|b_{\rho}(\lambda)\right|^{2}\right)}{k(\lambda)} d \lambda+\pi N_{+}<\pi .
\]

Ясно, что $(-1)^{N_{+}}$не зависит от выбора ветви аргумента.
Аналогично рассматривается окрестность $\lambda=-\omega$. Число $N_{-}$ определяется из соотношения типа (9.58), где $\omega$ заменено на – – Условия (9.47) в дальнейшем будем называть условиями выбора знаков. Если коэффициент $b_{\rho}(\lambda)$ регулярен при $\lambda=\omega$ или $\lambda=-\omega$, то дополнительные ограничения описанного типа не возникают.

Сформулированные свойства данных $b_{\rho}(\lambda), \lambda_{j}, j=1, \ldots, n$, $u \theta$ :
1) инволюция (см. (9.13)),
2) условие ( $\theta$ ) (см. (9.44)),
3) условия выбора знаков (см. (9.47) и (9.58)) позволяют однозначно восстановить коэффициент $a_{\rho}(\lambda)$ по формуле (9.43), обладающий свойствами:

1) инволюция (см. (9.12)),
2) асимптотики при $|\lambda| \rightarrow \infty$ (см. (9.3)-(9.5)),
3) условия согласования знаков (см. (9.46)).

Проверка свойств 2) и 3) тривиальна, так как их вывод носил обратимый характер. Для вывода свойства 1) следует использовать условие ( $\theta$ ) и равенство
\[
\frac{\lambda-k-\lambda_{j}-\bar{k}_{i}}{\lambda-k-\lambda_{j}-k_{j}} \cdot \frac{\lambda_{j}+k_{j}}{\lambda_{j}+\bar{k}_{j}}=\frac{\lambda+k-\lambda_{i}-k_{j}}{\lambda+k-\lambda_{j}-\bar{k}_{j}},
\]

справедливое при $-\omega<\lambda_{j}<\omega$.
На этом мы заканчиваем перечисление свойств коэффициентов перехода.