\[
\frac{\partial u}{\partial t}-6 u \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial^{3} u}{\partial x^{3}}=0,
\]

где $u(x, t)$ – вещественнозначная функция. Матрицы $U(x, t, \lambda)$ и $V(x, t, \lambda)$ из представления нулевой кривизны для этого уравнения имеют вид
\[
U(\lambda)=\frac{\lambda}{2 i} \sigma_{3}+\left(\begin{array}{ll}
0 & \mathrm{I} \\
u & 0
\end{array}\right)
\]

и
\[
V(\lambda)=\frac{\lambda^{3}}{2 t} \sigma_{3}+\lambda^{2}\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
u & 0
\end{array}\right)+\frac{\lambda}{i}\left(\begin{array}{cc}
u & 0 \\
\frac{\partial u}{\partial x} & -u
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}
-\frac{\partial u}{\partial x} & 2 u \\
2 u^{2}-\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} & \frac{\partial u}{\partial x}
\end{array}\right) .
\]

Более традиционно записывать вспомогательную линейную задачу
\[
\frac{d F}{d x}=U(x, \lambda) F
\]

для уравнения КдФ как одномерное уравнение Шредингера
\[
-\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+u(x) y=E y, \quad E=\frac{\lambda^{2}}{4} .
\]

Связь уравнений (3.12) и (3.13) осуществляется посредством формулы
\[
F=\left(\frac{d y}{d x}+\frac{i \lambda}{2} y\right) .
\]

Здесь уместно сравнить вспомогательные линейные задачи (3.12) и (1.2.22) из части I для моделей КдФ и НШ.

Из этого сравнения ясно, что модель НШ является примером «общего положения» в своем классе (вспомогательное пространство $\mathbb{C}^{2}$ и алгебра Ји группы $S U(2)$ или $S U(1,1)$ ), в то время как модель КдФ представляет собой более далекую редукцию. Именно поэтому мы выбрали уравнение НШ в качестве основной модели нашей книги.

Для различного типа граничных условий модель КдФ является гамильтоновой системой. Так, в быстроубывающем случае фазовое пространство состоит из вещественнозначных шварцевских функций $u(x)$; пуассонова структура задается скобками Пуассона
\[
\{u(x), u(y)\}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial y}-\frac{\partial}{\partial x}\right) \delta(x-y) .
\]

Уравнение КдФ записывается в гамильтоновом виде
\[
\frac{\partial u}{\partial t}=\{H, u\}=\frac{\partial}{\partial x} \frac{\delta H}{\delta u},
\]

где
\[
H(u)=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+u^{3}\right) d x .
\]

Отметим, что пуассонова структура (3.15) является вырожденной и имеет одномерный аннулятор, порожденный наблюдаемой
\[
Q=\int_{-\infty}^{\infty} u(x) d x .
\]

Поэтому симплектическая структура определена только на множествах уровня $Q=$ const. Соответствующая 2 -форма $\Omega$ имеет вид
\[
\Omega=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} d u(x) \wedge\left(\partial^{1} d u\right)(x) d x,
\]

где $\partial^{-1}$ обозначает первообразную. Функционал импульса
\[
P=-\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} u^{2}(x) d x
\]

получается из симплектической формы $\Omega$ с помощью конструкции из $\S 1$.