Здесь мы рассмотрим с гамильтоновой точки зрения солитонные решения модели НШ в быстроубывающем случае. Как мы убедились в $\$ 7$, фазовым пространством для системы $n$ солитонов является конечномерное подпространство $\boldsymbol{\Gamma}_{n}$ в $\mathfrak{M}_{n}$, выделяемое условием $b(\lambda)=0$ при всех $\lambda$. Оно параметризуется каноническими координатами $-\infty<p_{j}, q_{j}<\infty, 0<\rho_{j}<\infty, 0 \leqslant \varphi_{j}<2 \pi, j=$ $=1, \ldots, n$, или комплексными координатами $\lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j} ; \gamma_{j}, \gamma_{j}, \operatorname{Im} \lambda_{j}>$ $>0, \lambda_{j}
eq \lambda_{k}$ и $\gamma_{j}
eq 0$, связанными друг с другом соотношениями
\[
\lambda_{j}=-\frac{\alpha}{2}\left(p_{i}+i \rho_{j}\right), \quad \gamma_{j}=e^{q_{j}-i \varphi_{j}}, \quad j=1, \ldots, n
\]
(сравни с формулами (7.13)).
Ограничение потоков, порожденных высшими уравнениями НШ, индуцирует на фазовом пространстве $\boldsymbol{\Gamma}_{n}$ вполне интегрируемые гамильтоновы системы, описывающие динамику солитонов. Набор из $2 n$ инволютивных интегралов движения составляют переменные $\rho_{j}$ и $p_{j}$ – переменные типа действие; движение вдоль сопряженных им переменных типа углов $\varphi$, и $q_{j}$ линейно.

Гамильтонианы – локальные интегралы движения $I_{l}$ модели НШ – выражаются через переменные типа действие следующим образом:
\[
I_{l}=\frac{1}{i \times l} \sum_{j=1}^{n}\left(\bar{\lambda}_{j}^{l}-\lambda_{j}^{l}\right), \quad l=1,2, \ldots
\]

В частности, число частиц $N$, импульс $P$ и энергия $H$ имеют вид
\[
\begin{array}{l}
N=\sum_{j=1}^{n} \rho_{i}, \\
P=-\frac{x}{2} \sum_{j=1}^{n} \rho_{j} p_{j}, \\
H=\frac{x^{2}}{4} \sum_{j=1}^{n}\left(\rho_{j} p_{j}^{2}-\frac{1}{3} \rho_{j}^{3}\right) .
\end{array}
\]

Эти выражения представляют собой суммы по независимым модам. Қаждая мода описывается координатами $p, q, \rho, \varphi$, и отдельной моде в фазовом пространстве $\Gamma_{1}$ соответствует частице-

подобное решение $\psi(x, t)$ уравнения НШ – солитон
\[
\psi(x, t)=\frac{A \exp \left\{-i\left(\varphi+\frac{x p x}{2}-\frac{x^{2}}{4}\left(\rho^{2}-p^{2}\right) t+\frac{\pi}{2}\right)\right\}}{\operatorname{ch}\left\{\frac{\varkappa_{\rho}}{2}\left(x+\varkappa p t-x_{0}\right)\right\}},
\]

где
\[
A=\frac{\sqrt{|*|}}{2} \rho, \quad x_{0}=-\frac{2 q}{2 \rho}
\]
(см. $\S$ II.5). Его импульс $P$ и энергия $E$
\[
P=-\frac{\%}{2} \rho p, \quad E=\frac{\varkappa^{2}}{4}\left(\rho p^{2}-\frac{1}{3} \rho^{3}\right)
\]

связаны законом дисперсии
\[
E=\frac{1}{\rho} P^{2}-\frac{\varkappa^{2}}{12} \rho^{3} .
\]

Последнее соотношение типично для классической нерелятивистской механики и позволяет интерпретировать солитон как частицу с массой $m=\rho / 2$. Величина $x_{0}$ канонически сопряжена с импульсом $P$ и играет роль координаты центра инерции частицы. Эта интерпретация согласована с положением максимума $|\psi(x, t)|^{2}$ в точке $x=x_{0}+v t$, где скорость $v=-x p=\frac{1}{m} P$ дается обычной нерелятивистской формулой.

Координаты $\rho$ и $\varphi$ описывают внутренние степени свободы и определяют осциллирующее поведение функции $\psi(x, t)$. Их вклад в энергию дается выражением – $\frac{x^{2}}{12} \rho^{3}$, которое может быть интерпретировано как внутренняя энергия (энергия покоя) частицы.

Фазовое пространство $\boldsymbol{\Gamma}_{n}$ описывает взаимодействующую систему $n$ солитонов. Действительно, общее $n$-солитонное решение, описанное в § II.5, не представляет собой суперпозицию односолитонных решений. Оно распадается на сумму отдельных солитонов лишь асимптотически при $|t| \rightarrow \infty$, когда взаимодействующие солитоны достаточно далеко расходятся друг от друга. Более точно $n$-солитонное решение с параметрами $\left\{p_{j}, q_{j}, \rho_{j}, \varphi_{j}, j=\right.$ $=1, \ldots, n\}$ при $t \rightarrow \pm \infty$ представляется в виде суммы односолитонных решений с параметрами $p_{j}^{( \pm)}, q_{j}^{( \pm)}, \rho_{j}^{( \pm)}, \varphi_{j}^{( \pm)}$, где
\[
\begin{array}{l}
p_{j}^{(+)}=p_{j}^{(-)}=p_{j}, \rho_{j}^{(+)}=\rho_{j}^{(-)}=\rho_{j}, \\
q_{j}^{( \pm)}=q_{j} \pm \Delta q_{j}, \quad \varphi_{j}^{( \pm)}=\varphi_{j} \pm \Delta \varphi_{j}^{\prime}
\end{array}
\]

и
\[
\begin{aligned}
\Delta q_{j} & =\sum_{k=j+1}^{n} \ln \left|\frac{\lambda_{i}-\bar{\lambda}_{k}}{\lambda_{j}-\lambda_{k}}\right|-\sum_{k=1}^{j-1} \ln \left|\frac{\lambda_{j}-\bar{\lambda}_{k}}{\lambda_{j}-\lambda_{k}}\right|, \\
\Delta \varphi_{j} & =\sum_{k=1}^{j-1} \arg \frac{\lambda_{i}-\bar{\lambda}_{k}}{\lambda_{j}-\lambda_{k}}-\sum_{k=j+1}^{n} \arg \frac{\lambda_{j}-\bar{\lambda}_{k}}{\lambda_{j}-\lambda_{k}}, \quad j=1, \ldots, n .
\end{aligned}
\]

ІІи этом предполагается, что $p_{1}>p_{2}>\ldots>p_{n}$. Преобразования $W_{ \pm}$
\[
W_{ \pm}:\left\{p_{j}, q_{j}, \rho_{j}, \varphi_{j}, j=1, \ldots, n\right\} \rightarrow\left\{p_{j}^{( \pm)}, q_{j}^{( \pm)}, \rho_{j}^{( \pm)}, \varphi_{j}^{( \pm)}, j=1, \ldots, n\right\},
\]

описанные формулами (8.10)–(8.13), являются канониескими, т. е. сохраняют скобки Пуассона. Поскольку сдвиги $\Delta q_{j}$ и $\Delta \varphi_{j}$ зависят только от переменных типа действие (обобщенных импульсов), то нам следует убедиться лишь в справедливости соотношений
\[
\left\{q_{j}^{( \pm)}, q_{k}^{( \pm)}\right\}=\left\{\varphi_{j}^{( \pm)}, \varphi_{k}^{( \pm)}\right\}=0,
\]

которые выглядят как условия интегрируемости
\[
\frac{\partial \Delta q_{j}}{\partial p_{k}}=\frac{\partial \Delta q_{k}}{\partial p_{i}}, \quad \frac{\partial \Delta \varphi_{k}}{\partial \rho_{j}}=\frac{\partial \Delta \varphi_{j}}{\partial \rho_{k}}, \quad j, k=1, \ldots, n,
\]

и проверяются непосредственно. Из последних формул следует существование функции $K_{n}\left(p_{1}, \ldots, p_{n} ; \rho_{1}, \ldots, \rho_{n}\right)$ такой, что
\[
\Delta q_{j}=\frac{\partial K_{n}}{\partial p_{j}}, \Delta \varphi_{j}=\frac{\partial K_{n}}{\partial \rho_{j}}, \quad j=1, \ldots, n .
\]

Функции $\pm K_{n}$ являются производящими функциями канонических преобразований $W_{ \pm}$в смысле гамильтоновой механики.

Отметим, что преобразования $W_{ \pm}$являются весьма частным случаем канонических преобразований; их производящая функция $\pm \check{K}_{n}$ зависит лишь от обобщенных импульсов, так что последние не изменяются.

Описанная картина позволяет интерпретировать взаимодействие солитонов в терминах соответствующих им частиц. При $t= \pm \infty$ (до и после рассеяния) эти частицы являются свободными. Они имеют импульсы
\[
P_{i}^{(+)}=P_{j}^{(-)}=P_{i}, \quad P_{j}=-\frac{x}{2} \rho_{i} p_{j}
\]
«внутренние импульсы» $\rho_{j}^{(+)}=\rho_{j}^{(-)}=\rho_{j}$, а их координаты центров инерции $x_{j}^{( \pm)}(t)$ и фазы $\varphi_{j}^{( \pm)}(t)$ линейно зависят от времени:
\[
x_{j}^{( \pm)}(t)=x_{i j}^{( \pm)}+\frac{2 P_{j} t}{\rho_{j}}, \quad \varphi_{j}^{( \pm)}(t)=\varphi_{j}^{( \pm)}+\left(\frac{P_{j}^{2}}{\rho_{j}^{2}}-\frac{x^{2}}{4} \rho_{j}^{2}\right) t,
\]

где
\[
x_{j i}^{( \pm)}=-\frac{2}{x \rho_{j}} q_{j}^{( \pm)}, \quad j=1, \ldots, n .
\]

Параметрами асимптотического движения являются $P_{j}, \rho_{j}, x_{0 j}^{(+}$, $\varphi_{j}^{( \pm)}$. Они отличаются от переменных $p_{j}, \rho_{j}, q_{j}^{( \pm)}, \varphi_{j}^{( \pm)}$тривиальным каноническим преобразованием $M$ типа преобразования масштаба, задаваемого формулами (8.18), (8.20).
Преобразование рассеяния $S$
\[
S:\left\{P_{j}, \rho_{j}, x_{0 j}^{(-)}, \varphi_{j}^{(-)}, j=1, \ldots, n\right\} \rightarrow\left\{P_{j}, \rho_{j}, x_{0 j}^{(+)}, \varphi_{j}^{(+)}, j=1, \ldots, n\right\}
\]

является каноническим и представляется в виде суперпозищии уже введенных преобразований:
\[
S=M W_{+} W_{-}^{-1} M^{-1} .
\]

Оно задается производящей функцией
\[
S_{n}\left(P_{1}, \ldots, P_{n} ; \rho_{1}, \ldots, \rho_{n}\right)=2 K_{n}\left(-\frac{2 P_{1}}{\varkappa_{1}}, \ldots, \frac{-2 P_{n}}{\psi_{n}}, \rho_{1}, \ldots, \rho_{n}\right)
\]

следующим образом:
\[
x_{i j}^{(+)}=x_{0 j}^{(-)}+\frac{\partial S_{n}^{*}}{\partial P_{j}}, \quad \varphi_{j}^{(+)}=\varphi_{j}^{(-)}+\frac{\partial S_{n}}{\partial \rho_{j}}, \quad j=1, \ldots, n .
\]

Вычислим явно эту производящую функцию. Удобнее иметь дело с функцией $K_{n}\left(p_{1}, \ldots, p_{n} ; \rho_{1}, \ldots, \rho_{n}\right)$ и уравнениями (8.17). Из явного вида $\Delta q_{j}$ и $\Delta \varphi_{j}$ – формул (8.12)-(8.13) – следует, что функция $K_{n}$ представляется в виде суммы двухчастичных слагаемых:
\[
K_{n}\left(p_{1}, \ldots, p_{n} ; \rho_{1}, \ldots, \rho_{n}\right)=\sum_{1 \leqslant i<k \leqslant n} K_{2}\left(p_{j}, p_{k} ; \rho_{j}, \rho_{k}\right) .
\]

Функция $K_{2}$ находится из системы уравнений
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial K_{2}}{\partial p_{1}}=-\frac{\partial K_{2}}{\partial p_{2}}=\frac{1}{2} \ln \frac{\left(p_{1}-p_{2}\right)^{2}+\left(\rho_{1}+\rho_{2}\right)^{2}}{\left(p_{1}-p_{2}\right)^{2}+\left(\rho_{1}-\rho_{2}\right)^{2}}, \\
\frac{\partial K_{2}}{\partial \rho_{1}}=\operatorname{arctg} \frac{\rho_{1}-\rho_{2}}{p_{1}-p_{2}}-\operatorname{arctg} \frac{\rho_{1}+\rho_{2}}{p_{1}-p_{2}}, \\
\frac{\partial K_{2}}{\partial \rho_{2}}=-\operatorname{arctg} \frac{\rho_{1}+\rho_{2}}{p_{1}-p_{2}}-\operatorname{arctg} \frac{\rho_{1}-\rho_{2}}{p_{1}-p_{2}} .
\end{array}
\]

Эта система тривиально интегрируется и функция $K_{2}$ имеет вид
\[
\begin{array}{c}
K_{2}\left(p_{1}, p_{2} ; \rho_{1}, \rho_{2}\right)=\operatorname{Re}\left\{\left(p_{1}-p_{2}+i \rho_{1}+i \rho_{2}\right) \ln \left(p_{1}-p_{2}+i \rho_{1}+i \rho_{2}\right)-\right. \\
\left.\quad\left(p_{1}-p_{2}+i \rho_{1}-i \rho_{2}\right) \ln \left(p_{1}-p_{2}+i \rho_{1}-i \rho_{2}\right)\right\}= \\
=-\frac{2}{x} \operatorname{Re}\left\{\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right) \ln \left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)-\left(\lambda_{1}-\vec{\lambda}_{2}\right) \ln \left(\lambda_{1}-\overline{\lambda_{2}}\right)\right\} .
\end{array}
\]
Возвращаясь к преобразованию рассеяния $S$, мы видим, что его производящая функция $S_{n}\left(P_{1}, \ldots, P_{n} ; \rho_{1}, \ldots, \rho_{n}\right)$ представ. ляется ь виде суммы по всем парам частиц:
\[
S_{n}\left(P_{1}, \ldots, P_{n} ; \rho_{1}, \ldots, \rho_{n}\right)=\sum_{1 \leqslant j<k \leqslant n} S_{2}\left(P_{j}, P_{k} ; \rho_{j}, \rho_{k}\right),
\]

где $S_{2}$ связана с $K_{2}$ по формуле (8.23). Таким образом, процесс рассеяния солитонов сводится к последовательности каноннческих преобразований. В каждом из них участвует только пара солитонов, у которых изменяются лишь координаты и фазы. Такая картина типична для факторизованного рассеяния. Производящая функция $S_{2}$ может быть названа «классической $S$-матрицей» для двухчастичного рассеяния.

На этом мы закончим обсуждение рассеяния солитонов с гамильтоновой точки зрения.

На первый взгляд рассмотренная картина динамики солитонов представляет собой весьма частный случай движения в модели НЦ. Однако мы сейчас приведем соображение о том, что с помощью солитонов можно приблизить общее решение нащей модели. При этом число солитонов $n$ должно неограниченно увеличиваться, а соответствующие им нули $\lambda_{j}$ должны выходить на вещественную ось и «сгущаться» там.

Именно, лля опрелеленности прелположим, что все $i_{j}$ нмеют в качестве области сгущения интервал $M_{1} \leqslant \mu \leqslant M_{2}$, на котором они распределены равномерно с некоторой плотностью $\rho(\mu)$. Это означает, что
\[
\lambda_{j}=\mu_{j}-\frac{i \varkappa\left(M_{2}-M_{1}\right)}{2 n} \rho\left(\mu_{j}\right)+O\left(\frac{1}{n^{2}}\right),
\]

где $\rho(\mu)$-гладкая неотрицатетьная функция, исчезающая вне интервала $\left(M_{1}, M_{2}\right)$, а
\[
\Delta \mu_{j}=\mu_{j+1}-\mu_{j}=\frac{M_{2}-M_{1}}{n}+O\left(\frac{1}{n^{2}}\right),
\]

например, $\mu_{j}=\frac{j-1}{n}\left(M_{2}-M_{1}\right)+M_{1}, j=1, \ldots, n$.
Подставим теперь такие $\lambda_{j}$ в формулу (8.2) для локальных интегралов движения. Имеем при $n \rightarrow \infty$
\[
\begin{aligned}
I_{l}=\sum_{i=1}^{n} \mu_{j}^{l-1} \rho\left(\mu_{j}\right) \frac{M_{2}-M_{1}}{n}+O\left(\frac{1}{n}\right)= \\
=\sum_{j=1}^{n} \mu_{j}^{l-1} \rho\left(\mu_{j}\right) \Delta \mu_{j}+O\left(\frac{1}{n}\right)=\int_{M_{1}}^{M_{2}} \mu^{l-1} \rho(\mu) d \mu+O\left(\frac{1}{n}\right) .
\end{aligned}
\]

В силу произвольности интервала $\left(M_{1}, M_{2}\right.$ ) и функции $\rho(\mu)$ из (8.33) мы можем получить формулу
\[
I_{l}=\int_{-\infty}^{\infty} \mu^{l-1} \rho(\mu) d \mu, \quad l=1,2, \ldots,
\]
– знакомое выражение для локальных интегралов движения на компоненте $\mathfrak{M}_{0}$ (см. $\S 7$ ).

Итак, мы показали, что «сгуцением» солитонов можно получить фазовое пространство данных непрерывного спектра (по крайней мере на уровне интегралов движения). Разумеется, оставляя $m$ из $n$ нулей $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ «на месте» и сгущая остальные, мы можем также получить выражения для локальных интегралов движения $I_{l}$ и на компоненте $\mathfrak{M}_{m}$.

Это рассуждение подчеркивает общий характер динамики солитонов для нашей модели в быстроубывающем случае. Движение большого количества солитонов с малыми амплитудами моделирует движение, соответствующее непрерывному спектру.

В заключение проследим эффект сәущения нулей на коэффициенте $a(\lambda)$, который в нашем случае является произведением мнсжителей Бляшке
\[
a_{n}(\lambda)=\prod_{j=1}^{n} \frac{\lambda-\lambda_{i}}{\lambda-\overline{\bar{\lambda}}_{i}} .
\]

Имеем
\[
\begin{array}{l}
a_{n}(\lambda)=\prod_{j=1}^{n}\left(1+\frac{\bar{\lambda}_{j}-\hat{\lambda}_{j}}{\lambda-\bar{\lambda}_{j}}\right)= \\
=\prod_{j=1}^{n}\left(1-\frac{i \%\left(M_{2}-M_{1}\right)}{n} \frac{\rho\left(\mu_{j}\right)}{\mu_{j}-\lambda}+O\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right),
\end{array}
\]

откуда при $\operatorname{Im} \lambda>0$ получаем
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}(\lambda)=a_{+}(\lambda)=\exp \left\{i x \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\rho(\mu)}{\lambda-\mu} d \mu\right\} .
\]

Аналогичным образом при $\operatorname{In} \lambda<0$ получаем
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} \overline{a_{n}}(\bar{\lambda})=a_{-}(\lambda)=\exp \left\{-i x \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\rho(\mu)}{\lambda-\mu} d \mu\right\} \text {. }
\]

Функции $a_{ \pm}(\lambda)$ имеют на вещественной оси предельные значения из своих областей аналитичности и при этом $a_{-}(\lambda)=\bar{a}_{+}(\lambda)$. По формулам Сохоцкого – Племеля для вещественных $\lambda$

получаем
\[
a_{+}(\lambda) a_{-}(\lambda)=g(\lambda), \quad g(\lambda)=e^{2 \pi \mu_{0}(\lambda)},
\]

так что, в частности, $\left|a_{+}(\lambda)\right| \leqslant 1$ и
\[
\rho(\lambda)=\frac{1}{\pi x} \ln \left|a_{+}(\lambda)\right| .
\]

Сравнивая формулы (8.40) и (7.6) и учитывая условие нормировки, убеждаемся, что плотность $\rho(\mu)$ в интегралах движения (8.34) действительно получается как переменная типа действие.

Приведенные рассуждения показывают, что сгущением нулей $\lambda_{j}$ из тривиальной скалярной задачи Римана с нулями
\[
a(\lambda) \bar{a}(\lambda)=1
\]

получается регулярная скалярная задача Римана (8.39). При этом в силу условия $\chi<0$, обеспечивающего неравенство $\operatorname{Im} \lambda_{j}>0$ в (8.31), таким образом можно получить только задачу Римана для сжимающих функций $g(\lambda)$ :
\[
|g(\lambda)| \leqslant 1,
\]

которая и встречается в модели НШ с $\varepsilon=-1$.
На этом мы заканчиваем описание модели НШ в быстроубывающем случае.