Здесь мы опишем общее локальное решение уравнения нулевой кривизны
\[
\frac{\partial U(\lambda)}{\partial t}-\frac{\partial V(\lambda)}{\partial x}+[U(\lambda), V(\lambda)]=0
\]

с заданными дивизорами полюсов $\mathfrak{U}$ и $\mathfrak{B}$. Для удобства мы будем считать, что дивизоры $\mathfrak{U}$ и $\mathfrak{B}$ не содержат точку $\lambda=\infty$ и

матрицы $U(\lambda), V(\lambda)$ исчезают при $\lambda=\infty$ (этого можно добиться, используя дробно-линейную замену параметра $\lambda$ и калибровочное преобразование).

Пусть матрицы $U(x, t, \lambda)$ и $V(x, t, \lambda)$ удовлетворяют уравнению (7.1) и дивизоры их полюсов совпадают с $\mathfrak{U}$ и $\mathfrak{B}$ соответственно. Определим матрицу $F(x, t, \lambda)$ как решение совместной системы уравнений
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial F}{\partial x}=U(x, t, \lambda) F, \\
\frac{\partial F}{\partial t}=V(x, t, \lambda) F
\end{array}
\]

с начальным условием
\[
\left.F(x, t, \lambda)\right|_{x=t=0}=I .
\]

Матрица $F(x, t, \lambda)$ является аналитической функцией в области $\overline{\mathbb{C}} \backslash \mathfrak{U} \cup \mathfrak{B}$, имеющей в точках из $\mathfrak{U}$ и $\mathfrak{B}$ существенные особенности. Опишем удобную конструкцию выделения главных частей этой матрицы в окрестностях особенностей.

Рассмотрим семейство регулярных задач Римана, занумерованных точками $v$ из $\overline{\mathbb{C}}$ сонтурами $\Gamma_{v}$ — окружностями малого радиуса $\varepsilon_{v}$ вокруг точек $v$. Задача Римана, отвечающая точке $v$, состоит в разложении матрицы $F(x, t, \lambda)$ в произведение
\[
F(x, t, \lambda)=P_{v}(x, t, \lambda) Q_{v}(x, t, \lambda),
\]

где сомножители $P_{\mathrm{v}}$ и $Q_{v}$ допускают аналитическое продолжение соответственно во внутренность и внешность контура $\Gamma_{v}$ окружности $|\lambda-v|=\varepsilon_{v}$, и нормирована условием
\[
Q_{v}(x, t, \lambda)_{s \lambda=\infty}=I .
\]

При достаточно малых $x$ и $t$ эта задача Римана однозначно разрешима, поскольку в силу (7.4) матрица $F(x, t, \lambda)$ мало отличается от $I$. Функция $Q_{v}(x, t, \lambda)$ является главной (сингулярной) частью функции $F(x, t, \lambda)$ при $\lambda=v$.

Если точка $v$ не принадлежит дивизорам $\mathfrak{U}$ и $\mathfrak{B}$, то функция $F(x, t, \lambda)$ регулярна при $\lambda=v$, и поэтому для таких $v$ имеем тождественно
\[
Q_{v}(x, t, \lambda)=I \text {. }
\]

Таким образом, из бесконечного семейства задач Римана (7.5)-(7.6) нетривиальными являются только задачи, отвечающие точкам $v$, входящим в $\mathfrak{U}+\mathfrak{B}$.
Построим теперь отображение
\[
(U(x, t, \lambda), V(x, t, \lambda)) \mapsto\left(U_{v}(x, t, \lambda), V_{v}(x, t, \lambda)\right),
\]

сопоставляющее матрицам $U(\lambda)$ и $V(\lambda)$ семейство матриц $U_{v}(\lambda)$ $\mu V_{v}(\lambda)$, занумерованное точками $v$ из $\mathfrak{H}+\mathfrak{B}$. Матрицы $U_{v}(\lambda)$ и

$V_{v}(\lambda)$ являются рациональными функциями $\lambda$ с полюсами только при $\lambda=v$ и с кратностями, совпадающими с таковыми для матриц $U(\lambda)$ и $V(\lambda)$ соответственно; постоянные члены у этих. матриц отсутствуют. При этом если точка $v$ принадлежит дивизору $\mathfrak{t}$, но не принадлежит дивизору $\mathfrak{B}$ (или наоборот), то матрица $V_{v}(\lambda)$ (соответственно $U_{v}(\lambda)$ ) исчезает по теореме Лиувилля. Это семейство матриц соответствует разложению дивизоров $\mathfrak{U}$ и $\mathfrak{B}$ в сумму элементарных дивизоров

где $\mathfrak{H}_{i}=\left\{\lambda_{i}, n_{i}\right\}, \mathfrak{B}_{j}=\left\{\mu_{j}, \tilde{n}_{j}\right\}$. Явные формулы имеют вид
\[
\begin{array}{l}
U_{v}=\frac{\partial Q_{v}}{\partial x} Q_{v}^{-1}, \\
V_{v}=\frac{\partial Q_{v}}{\partial t} Q_{v}^{-1} .
\end{array}
\]

Из уравнений (7.5) получаем, что на контурах $\Gamma_{v}$ также справедливы представления
\[
\begin{array}{l}
U_{v}=U^{P_{v}^{-1}}=P_{v}^{-1} U P_{v}-P_{v}^{-1} \frac{\partial P_{v}}{\partial x}, \\
V_{v}=V^{P_{v}^{-1}}=P_{v}^{-1} V P_{v}-P_{v}^{-1} \frac{\partial P_{v}}{\partial t},
\end{array}
\]

обеспечивающие сформулированые выше свойства матриц $U_{v}(x, t, \lambda)$ и $V_{v}(x, t, \lambda)$.

Из формул (7.10)-(7.11) следует, что при каждом $v$ матрицы $U_{v}(\lambda)$ и $V_{v}(\lambda)$ удовлетворяют уравнению нулевой кривизны. При этом, если дивизоры $\mathfrak{U}$ и $\mathfrak{B}$ не пересекаются, то имеет месторазделение переменных: матрицы $U_{v}(\lambda)$ зависят лишь от $x$, а $V_{v}(\lambda)$ — от $t$. Действительно, пусть, например, точка $v$ принадлежит дивизору $\mathfrak{H}$ (но не принадлежит дивизору $\mathfrak{B}$ ). Тогда матрица $V_{v}(\lambda)$ исчезает и уравнение нулевой кривизны сводится к условию
\[
\frac{\partial U_{v}}{\partial t}=0
\]

Матрицы $V_{v}(\lambda)$ рассматриваются аналогично. Случай пересекающихся дивизоров $\mathfrak{U}$ и $\mathfrak{B}$ мы обсудим ниже.

Таким образом, отображение (7.8) осуществляет разделение переменных в уравнении нулевой кривизны. Метод его построения может быть назван «процедурой раздевания», в противоположность процедуре одевания из предыдущего параграфа.

Покажем теперь, что отображение (7.8) обратимо. Пусть заданы матрицы $U_{v}(x, \lambda)$ и $V_{v}(t, \lambda)$ с исчезающими постоянными

членами и элементарными дивизорами полюсов $\mathfrak{U}_{v}$ и $\mathfrak{B}_{v}$, где для $v=\lambda_{i} \quad \mathfrak{U}_{v}=\left\{\lambda_{i}, n_{i}\right\}, \mathfrak{B}_{v}=0$, а для $v=\mu_{j} \quad \mathfrak{U}_{v}=0, \mathfrak{B}_{v}=\left\{\mu_{j}, \tilde{n}_{j}\right\}$. Построим по ним матрицы $F_{v}(x, t, \lambda)$ как решения совместных систем уравнений
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial F_{v}}{\partial x}=U_{v}(x, \lambda) F_{v}, \\
\frac{\partial F_{v}}{\partial x}=V_{v}(t, \lambda) F_{v},
\end{array}
\]

нормированные условием
\[
\left.F_{v}(x, t, \lambda)\right|_{x=t=0}=I,
\]

и свяжем с ними следующую задачу Римана. Роль контура $\Gamma$ в ней играет набор окружностей $\Gamma_{v}$ малого радиуса $\varepsilon_{v}$ с центрами в точках $v$ из $\mathfrak{U}+\mathfrak{B}$, где дивизоры $\mathfrak{U}$ и $\mathfrak{B}$ даются формулами (7.9), а факторизуемая матрица на компоненте контура $\Gamma_{v}$ совпадает с $F_{v}(x, t, \lambda)$. Другими словами, мы ищем матрицу $F(x, t, \lambda)$, аналитичную во внешности контура $\Gamma$ и участвующую в разложении
\[
F_{v}(x, t, \lambda)=G_{v}(x, t, \lambda) F(x, t, \lambda),
\]

где функция $G_{v}(x, t, \lambda)$ допускает аналитическое продолжение во внутренность контура $\Gamma_{\imath}$. При этом
\[
\left.F(x, t, \lambda)\right|_{\lambda=\infty}=I .
\]

Эта задача однозначно разрешима при малых $x$ и $t$.
Введем матрицы
\[
U(x, t, \lambda)=\frac{\partial F}{\partial x} F^{-1}, \quad V(x, t, \lambda)=\frac{\partial F}{\partial t} F^{-1},
\]

очевидно удовлетворяющие уравнению (7.1), и покажем, что их дивизоры полюсов совпадают с $\mathfrak{U}$ и $\mathfrak{B}$ соответственно. Это очевидным образом следует из соотношений на контурах $\Gamma_{v}$
\[
\begin{array}{l}
U(\lambda)=G_{v}^{-1} U_{v} G_{v}-G_{v}^{-1} \frac{\partial G_{v}}{\partial x}, \\
V(\lambda)=G_{v}^{-1} V_{v} G_{v}-G_{v}^{-1} \frac{\partial G_{v}}{\partial t},
\end{array}
\]

которые получаются из формул (7.15)-(7.16) и (7.18) при помощи уже хорошо знакомого нам приема — дифференцирования уравнения задачи Римана по параметрам $x$ и $t$.

Эта конструкция очевидным образом дает общее локальное по $x$ и $t$ решение уравнения нулевой кривизны.

Если дивизоры $\mathfrak{U}$ и $\mathfrak{B}$ пересекаются, то в их общих точках полного упрощения не происходит. В этом случае аналогичная кон-

струкция дает частичное разделение переменных и понижение порядка в уравнении (7.1).

В качестве примера рассмотрим представление нулевой кривизны для модели главного кирального поля из $§ 3$. На первый взгляд (см. формулы (3.37) — (3.40)), в ней нет разделения дивизоров $\mathfrak{U}$ и $\mathfrak{B}$, так как они просто совпадают. Однако это разделение происходит в координатах светового конуса
\[
\xi=\frac{t+x}{2}, \quad \eta=\frac{t-x}{2},
\]

в которых уравнения движения имеют вид
\[
\frac{\partial^{2} g}{\partial \xi \partial \eta}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial g}{\partial \xi} g^{-1} \frac{\partial g}{\partial \eta}+\frac{\partial g}{\partial \eta} g^{-1} \frac{\partial g}{\partial \xi}\right) .
\]

Действительно, операторы ковариантного дифференцирования в этом с.тучае принимают вид $\frac{\partial}{\partial \xi}-\frac{A(\xi, \eta)}{1-\lambda}$ и $\frac{\partial}{\partial \eta}-\frac{B(\xi, \eta)}{1+\lambda}$, где
\[
A=l_{0}+l_{1}=\frac{\partial g}{\partial \xi} g^{-1}, \quad B=l_{0}-l_{1}=\frac{\partial g}{\partial \eta} g^{-1} .
\]

Матрицы $U(\xi, \eta, \lambda)$ и $V(\xi, \eta, \lambda)$, где
\[
U(\lambda)=\frac{A}{1-\lambda}, \quad V(\lambda)=\frac{B}{1+\lambda},
\]

удовлетворяют уравнению нулевой кривизны
\[
\frac{\partial U(\lambda)}{\partial \eta}-\frac{\partial V(\lambda)}{\partial \xi}+[U(\lambda), V(\lambda)]=0,
\]

к которому уже может быть применена процедура раздевания, состоящая в построении матриц $U_{1}(\xi, \lambda)$ и $V_{-1}(\eta, \lambda)$.
Оказывается, что имеют место соотношения
\[
U_{1}(\xi, \lambda)=\frac{A(\xi, 0)}{1-\lambda}, \quad V_{-1}(\eta, \lambda)=\frac{B(0, \eta)}{1+\lambda},
\]
т. е. матрицы $U_{1}$ и $V_{-1}$ строятся по начальным данным на характеристиках $\eta=0$ и $\xi=0$ соответственно.

Для доказательства рассмотрим, например, уравнение при $v=1$
\[
F(\xi, \eta, \lambda)=P_{1}(\xi, \eta, \lambda) Q_{1}(\xi, \eta, \lambda)
\]

и покажем, что
\[
F(\xi, 0, \lambda)=Q_{1}(\xi, 0, \lambda) .
\]

Первая формула в (7.28) непосредственно следует из этого равенства и уравнения
\[
\frac{\partial F}{\partial \xi}=U(\xi, \eta, \lambda) F
\]

Для доказательства формулы (7.30) достаточно убедиться, что функция $F(\xi, 0, \lambda)$ не имеет особенности при $\lambda=-1$. Но это очевидно следует из дифференциального уравнения (7.31) при $\eta=0$ и начального условия
\[
\left.F(\xi, 0, \lambda)\right|_{\xi=0}=I .
\]

Аналогично доказывается вторая формула в (7.28).
Для построения общего локального решения модели главного кирального поля мы должны проделать следующие операции.
1. Построить матрицы
\[
F_{1}(\xi, \lambda)=\widehat{\exp } \int_{0}^{\stackrel{\hbar}{\mathrm{J}}} U_{1}\left(\xi^{\prime}, \lambda\right) d \xi^{\prime}
\]
n
\[
F_{-1}(\eta, \lambda)=\overparen{\exp } \int_{0}^{\eta} V_{-1}\left(\eta^{\prime}, \lambda\right) d \eta^{\prime},
\]
т. е. решить две системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
2. Определить матрицу $F(\xi, \eta, \lambda)$ по ее главным частям $F_{1}(\xi, \lambda)$ при $\lambda=1$ и $F_{-1}(\eta, \lambda)$ при $\lambda=-1$. Это можно сделать с помощью задачи Римана
\[
F_{1}(\xi, \lambda)=G_{1}(\xi, \eta, \lambda) F(\xi, \eta, \lambda)
\]

при $|\lambda-1|=\varepsilon$ и
\[
F_{-1}(\eta, \lambda)=G_{-1}(\xi, \eta, \lambda) F(\xi, \eta, \lambda)
\]

при $|\lambda+1|=\varepsilon$, где функция $F(\xi, \eta, \lambda)$ аналитична во внешности к указанным окружностям и нормирована на $I$ при $\lambda=\infty$. Тогда решение уравнения (7.24) с начальными данными для токов $A(\xi)$ и $B(\eta)$ на характеристиках дается формулой
\[
g(\xi, \eta)=\left.F(\xi, \eta, \lambda)\right|_{\lambda=0} .
\]

Таким образом, мы получили для общего решения уравнения главного кирального поля аналог представления Д’Аламбера в виде нелинейной суперпозиции волн, распространяющихся вдоль характеристик. Задача Римана (7.35) — (7.36) играет роль нелинейного аналога принципа суперпозиции.

Итак, мы убедились, что условие кинематической интегрируемости нелинейных систем, т. е. возможность их представления в виде уравнения нулевой кривизны, позволяет описать богатый класс решений этих уравнений: явные решения типа солитонов в процедуре одевания, локальные решения общего вида в процедуре раздевания и т. д. Можно продолжить эксплуатировать уравнение нулевой кривизны для дальнейшего исследования порождаемых им нелинейных систем. Например, с его по-

мощью можно строить набор интегралов движения, понимаемых в обычном (не обязательно гамильтоновом) смысле как сохраняющиеся на уравнениях движения функционалы.
Действительно, в силу периодических граничных условий
\[
\begin{array}{l}
U(x+2 L, \lambda)=U(x, \lambda), \\
V(x+2 L, \lambda)=V(x, \lambda)
\end{array}
\]

матрица монодромии

удовлетворяет уравнению
\[
\frac{\partial T_{L}(t, \lambda)}{\partial t}=\left[V(L, t, \lambda), T_{L}(t, \lambda)\right]
\]
(сравни с $\S$ I. 2 части I), поэтому ее инварианты — функционалы $\operatorname{tr} T_{L}^{k}(\lambda)$, где $k=1, \ldots, n$ ( $n$ — размерность вспомогательного пространства), являются производящими функциями для интегралов движения. Локальные интегралы движения получаются из асимптотических разложений этих функционалов в окрестности полюсов по переменной $\lambda$ матрицы $U(x, t, \lambda)$. Пример такого разложения уже был разобран в части I; с другими примерами мы познакомимся в следующей главе. Подробное рассмотрение процедуры построения локальных интегралов движения в общем случае слишком громоздко и не очень поучительно, чтобы его приводить здесь.

В случае моделей на решетке аналогичную матрице $T_{L}(t, \lambda)$ роль играет матрица
\[
T_{N}(t, \lambda)=\bigcap_{n=1}^{\widehat{N}} L_{n}(t, \lambda),
\]

с которой мы познакомимся ближе в гл. III.
В части I на примере модели НШ мы убедились, что условие нулевой кривизны с гамильтоновой точки зрения является вторичным — оно вытекает из фундаментальных скобок Пуассона, в которых участвует матрица $U(x, \lambda)$ из вспомогательной линейной задачи и $r$-матрица. Рассматриваемые в дальнейшем модели опять будут гамильтоновыми, и мы опять будем использовать $r$-матричный формализм. Кульминацией этого подхода будет приведенная в гл. IV ли-алгебраическая классификация фундаментальных скобок Пуассона. Мы решили, однако, включить в книгу общее обсуждение уравнения нулевой кривизны с тем, чтобы показать непосредственные возможности этого представления для интегрируемых нелинейных уравнений.