В основе метода обратной задачи в применении к модели НШ лежит следующее замечательное наблюдение: уравнение (1.1) является условием совместности переопределенной системы уравнений
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial F}{\partial x}=U(x, t, \lambda) F, \\
\frac{\partial F}{\partial t}=V(x, t, \lambda) F .
\end{array}
\]

Здесь $F=\left(\begin{array}{l}f_{1} \\ f_{2}\end{array}\right)$ – вектор-функция от $x$ и $t$, а $2 \times 2$ матрицы $U$ и $V$ даются формулами
\[
U=U_{0}-\lambda U_{1},
\]

где
\[
\begin{array}{c}
U_{0}=\sqrt{\bar{x}}\left(\begin{array}{ll}
0 & \bar{\psi} \\
\psi & 0
\end{array}\right)=\sqrt{\bar{x}}\left(\bar{\psi} \sigma_{+}+\psi \sigma_{-}\right), \\
U_{1}=\frac{1}{2 i}\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right)=\frac{1}{2 i} \sigma_{3},
\end{array}
\]

и
\[
V=V_{0}+\lambda V_{1}+\lambda^{2} V_{2}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
V_{0}=i \sqrt{\bar{x}}\left(\begin{array}{c}
\sqrt{\bar{x}}|\psi|^{2}-\frac{\partial \bar{\psi}}{\partial x} \\
\frac{\partial \psi}{\partial x}-\sqrt{\bar{x}}|\psi|^{2}
\end{array}\right)=i x|\psi|^{2} \sigma_{3}-i \sqrt{x}\left(\frac{\partial \bar{\psi}}{\partial x} \sigma_{+}-\frac{\partial \psi}{\partial x} \sigma_{-}\right), \\
V_{1}=-U_{0}, \quad V_{2}=-U_{1} .
\end{array}
\]

Мы ввели здесь и часто будем использовать стандартные матрицы $2 \times 2$ – матрицы Паули
\[
\begin{array}{l}
\sigma_{1}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right), \sigma_{2}=\left(\begin{array}{rr}
0 & -i \\
i & 0
\end{array}\right), \sigma_{3}=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right), \\
\sigma_{+}=\frac{\sigma_{1}+i \sigma_{2}}{2}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right), \sigma_{-}=\frac{\sigma_{1}-i \sigma_{2}}{2}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Для $\sqrt{x}$ в (2.4) – (2.8) берется арифметическое значение при $x>$ $>0$ и $\sqrt{x}=i \sqrt{|x|} \mid$ при $x<0$.

Обратим внимание на то, что матрицы $U$ и $V$ содержат помимо функций $\psi$ и $\bar{\psi}$ еще и произвольный комплексный параметр $\lambda$.
Условие совместности системы (2.1) – (2.2) имеет вид
\[
\frac{\partial U}{\partial t}-\frac{\partial V}{\partial x}+[U, V]=0
\]

и должно выполняться при всех $\lambda$. Левая часть равенства (2.10) представляет собой полином третьей степени по $\lambda$. Коэффициенты при степенях $\lambda, \lambda^{2}$ и $\lambda^{3}$ исчезают тождественно в силу специального выбора матриц $U$ и $V$. Исчезновение постоянного члена эквивалентно уравнению (1.1).

Для случая конечной плотности, описываемого уравнением (1.5), формула (2.7) должна быть модифицирована.
Соответствующая матрица $V_{\rho}$ имеет вид
\[
V_{\rho}=V-i \kappa \rho^{2} \sigma_{3},
\]

а матрица $U$ остается прежней. После этого уравнение эквивалентно условию (2.10).

Фундаментальная роль представления (2.10) для решения модели НШ станет ясной из дальнейшего изложения. Здесь же отметим, что (2.10) является одной из универсальных формул метода обратной задачи и будет возникать при рассмотрении всех других моделей.

Система (2.1) – (2.2) и условие совместимости (2.10) допускают естественную геометрическую интерпретацию. Именно, матрицы-функции $U(x, t, \lambda)$ и $V(x, t, \lambda)$ монно рассматривать как локальные коэффициенты связности в тривиальном рассіоении $\mathbb{R}^{2} \times \mathbb{C}^{2}$, где пространство-время $\mathbb{R}^{2}$ играет роль базы, а значения вектор-функци $F(x, t, \lambda)$ лежат в слое $\mathbb{C}^{2}$. При этом $\lambda$ – дополнительный комплексый параметр. Уравнения (2.1) и (2.2) показывают, что вектор $F$ ковариантно постоянен, а усяовие совместности (2.10) означает, что связность ( $U, V$ ) имеет нулевую кривизну. Поэтому запись нелинейного уравнения в виде (2.10) мы нәзываем представлениел ниясвой крияизыы.

Қоэффициенты связности $U(x, t, \lambda)$ и $V(x, t, \lambda)$ меняются при локальном изменении базиса в слоях. Преобразование
\[
F\left(x, t, \lambda_{i}\right) \mapsto G(x, t, \lambda) F\left(x, t, \lambda_{i}\right),
\]

индуцированное заменой базиса в слое при помощи матрицы $G(x, t, \hat{\lambda})$, компенсируется преобразованием
\[
\begin{array}{l}
U \rightarrow \frac{\partial G}{\partial x} G^{-1}+G U G^{-1}, \\
V \rightarrow \frac{\partial G}{\partial t} G^{-1}+G V G^{-1} .
\end{array}
\]

Это преобразование в физической литературе принято называть калибровочным, и мы будем использовать этот термин. Ясно, что калибровочное преобразование сохраняет условие нулевой кривизны. Таким образом, представление уравнения (1.1) в виде условия совместности (2.10) справедливо для целого класса калибровочно эквивалентных связностей.

Опишем теперь параллельный перенос, определяемый связностью $(U, V)$. Рассмотрим контур $\gamma$ на $\mathbb{K}^{2}$ с начальной точкой $\left(x_{0}, t_{0}\right)$ и конечной точкой $(x, t)$. Параллельный перенос из точки $\left(x_{0}, t_{0}\right)$ в точку $(x, t)$ вдоль контура $\gamma$ задается матрицей

где интеграл понимается как мультипликативный. Здесь и ниже мы временно опустили в обозначении матриц $U$ и $V$ их зависимость от $\lambda$.

Более точно, рассмотрим разбиение контура $\gamma \quad N-1$ промежуточными точками на последовательные подконтуры $\gamma_{1}, \ldots$ $\ldots, \gamma_{x}$. Введем матрицы
\[
L_{n}=I+\int_{\gamma_{n}}(U d x+V d t)
\]

где $I$ – единичная матрица $2 \times 2$, и положим
\[
\Omega_{N}=\prod_{n=1}^{\widehat{N}} L_{n}=L_{N} \ldots L_{1} .
\]

Тогда матрица $\Omega_{\gamma}$ есть предел $\Omega_{N}$ при бесконечном измельчении разбиения контура $\gamma$.

В физической литературе $\Omega_{\gamma}$ называется $\gamma$-упорядоченной матричной экспонентой.

Результат параллельного переноса вектора $F$ вдоль контура $\gamma$ дается формулой
\[
F_{\gamma}=\Omega_{\gamma} F .
\]

Другими словами, векторное поле $F_{\gamma}$, заданное вдоль контура $\gamma$, ковариантно постоянно.
Очевндно, что имеет место формула суперпозиции
\[
\Omega_{\gamma_{1}+\gamma_{2}}=\Omega_{\gamma_{2}} \Omega_{\gamma_{1}},
\]

где считается, что конечная точка контура $\gamma_{1}$ совпадает с начальной точкой контура $\gamma_{2}$ и через $\gamma_{1}+\gamma_{2}$ обозначено объединение контуров $\gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$ в указанном порядке.

При калибровочном преобразовании (2.13) матрица параллельного переноса преобразуется следующим образом:
\[
\Omega_{\gamma} \mapsto G(x, t) \Omega_{\gamma} G^{-1}\left(x_{0}, t_{0}\right) .
\]

Исчезновение кривизны связности означает, что $\Omega_{\gamma}$ зависит только от начальной и конечной точек $\left(x_{0}, t_{0}\right)$ и $(x, t)$, а не от соединяющего их контура $\gamma$. Это позволяет по вектору $F\left(x_{0}, t_{0}\right)$ постронть векторное поле на $\mathbb{R}^{2}$
\[
F(x, t)=\Omega_{\uparrow} F\left(x_{0}, t_{0}\right),
\]

удовлетворяющее системе уравнений (2.1)-(2.2). Для замкнутого контура $\gamma$ исчезновение кривизны связности означает, что паралтельный перенос вдоль $\gamma$ тривиален:
\[
\Omega_{\gamma}=I
\]

независимо от выбора начальной точки. Таким образом, локальное условие нулевой кривизны эквивалентно формуле (2.21).

Приведем первое приложение условия нулевой кривизны, иллюстрирующее его полезность. Покажем, что уравнения, допускающие представление нулевой кривизны, обладают бесконечным набором интегралов движения – законов сохранения.

Для этого зафиксируем момент времени $t=t_{0}$ и рассмотрим параллельный перенос вдоль оси $x$. Условие ковариантного постоянства имеет вид
\[
\frac{d F}{d x}=U\left(x, t_{0}, \lambda\right) F
\]

и представляет собой линейную задачу со спектральныл параметром $\lambda$. Ее принято называть вспомогательной линейной задачей.

Основной характеристикой этой задачи является матрица монодромии, которую мы введем здесь для квазипериодического случая. В терминах матриц $U$ и $V$ условия квазипериодичности переписываются следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
U(x+2 L, t, \lambda)=Q^{-1}(\theta) U(x, t, \lambda) Q(\theta), \\
V(x+2 L, t, \lambda)=Q^{-1}(\theta) V(x, t, \lambda) Q(\theta),
\end{array}
\]

где $Q(\theta)$ – диагональная матрица
\[
Q(\theta)=\left(\begin{array}{ll}
e^{i \theta / 2} & 0 \\
0 & e^{-i \theta / 2}
\end{array}\right)=\exp \left\{\frac{i \theta \sigma_{3}}{2}\right\} .
\]

Матрица монодромии представляет собой матрицу параллельного переноса вдоль контура $t=t_{0},-L \leqslant x \leqslant L$, ориентированного в порядке возрастания $x$ :

Условие нулевой кривизны приводит к замечательной связи матриц монодромии при разных значениях $t$. Для вывода рассмотрим замкнутый контур $\gamma$, представляющий собой прямоугольник, изображенный на рис. 1. В силу (2.21) и свойства суперпозиции (2.18) для такого контура ү имеем
\[
S_{-}^{-1} T_{L}^{-1}\left(t_{2}\right) S_{+} T_{L}\left(t_{1}\right)=I,
\]

где
\[
S_{ \pm}\left(\lambda, t_{1}, t_{2}\right)=\stackrel{\curvearrowleft}{\exp } \int_{t_{1}}^{t_{2}} V( \pm L, t, \lambda) d t .
\]

Из условий квазипериодичности (2.24) и определения упорядоченной экспоненты получаем, что матрицы $S_{+}$и $S_{-}$подобны:
\[
S_{+}=Q^{-1}(\theta) S_{-} Q(\theta) .
\]

Таким образом, соотношение (2.27) принимает вид
\[
T_{L}\left(\lambda, t_{2}\right) Q(\theta)=S_{+}\left(t_{1}, t_{2}\right) T_{L}\left(\lambda, t_{1}\right) Q(\theta) S_{+}^{-1}\left(t_{1}, t_{2}\right),
\]

что означает, что матрицы $T_{L}(\lambda, t) Q(\theta)$ в разные моменты времени подобны. В частности, из (2.30) получаем важное соотношение
\[
\operatorname{tr} T_{L}\left(\lambda, t_{2}\right) Q(\theta)=\operatorname{tr} T_{L}\left(\lambda, t_{1}\right) Q(\theta),
\]

где $\operatorname{tr}$ означает матричный след в $\mathbb{C}^{2}$. Это соотношение означает, что след матрицы $T_{L}(\lambda, t) Q(\theta)$ не зависит от $t$.

Таким образом, исходя из представления нулевой кривизны, мы показали, что функционал $F_{L}(\lambda)$, задаваемый формулой
\[
F_{L}(\lambda)=\operatorname{tr} T_{L}(\lambda) Q(\theta),
\]

является производящей функцией законов сохранения для уравнения (1.1).
Выбор фундаментальной области
Рис. 1
$-L \leqslant x<L$ в определении матрицы монодромии не является обязательным. Для произвольной фундамента.ıьной области $x_{0}-\cdot L \leqslant x<x_{0}+L$ введем матрицу
\[
T_{L, x_{0}}(\lambda, t)=\widehat{\exp } \int_{x_{0}-L}^{x_{0}+L} U(x, t, \lambda) d x
\]

и покажем, что $\operatorname{tr} T_{L, x_{0}}(\lambda, t) Q(\theta)$ не зависит от $x_{0}$. Для этого убедимся, что матрицы $T_{L}(\lambda, t) Q(\theta)$ и $T_{L, x_{0}}(\lambda, t) Q(\theta)$ подобны. Действительно, из (2.33) следует, что
\[
T_{L, x_{0}}(\lambda, t)=P_{+} T_{L}(\lambda, t) P_{-}^{-1},
\]

где

Используя условия квазипериодичности (2.23), имеем
\[
P_{+}=Q^{-1}(\theta) P_{-} Q(\theta),
\]

откуда на основании (2.34) получаем искомое подобие
\[
T_{L, x_{0}}(\lambda, t) Q(\theta)=P_{+}\left(x_{0}\right) T_{L}(\lambda, t) Q(\theta) P_{+}^{-1}\left(x_{0}\right) .
\]

Итак, мы убедились, что матрица монодромии $T_{L}(\lambda)$ является полезным объектом для описания динамики нашей модели. В следующих параграфах мы продолжим ее исследование и получим для нее новые динамические приложения.