В основу рассмотрения решеточных моделей в главе III мы положили вспомогательную линейную задачу
\[
F_{n+1}=L_{n}(\lambda) F_{n}
\]

с матрицей $L_{n}(\lambda)$, удовлетворяющей фундаментальным скобкам Пуассона в форме
\[
\left\{L_{n}(\lambda), L_{m}(\mu)\right\}=\left[r(\lambda-\mu), L_{n}(\lambda) \otimes L_{n}(\mu)\right] \delta_{n m},
\]

для совместности которых $r$-матрица должна удовлетворять уравнениям (2.2)-(2.3). Эти фундаментальные скобки Пуассона на решетке не имеют простой ли-алгебраической интерпретации. Однако описание соответствующих $r$-матриц уже было получено при рассмотрении непрерывных моделей. Поэтому здесь мы обсудим только вопрос о выборе конечномерных фазовых пространств при фиксированном $n$ и отвечающих им матриц $L_{n}(\lambda)$. Индекс $n$ в дальнейшем будем опускать.

Рассмотрим сначала рациональные $r$-матрицы, ограничивиись для простоты случаем алгебры Ли $g=\operatorname{su}(N)$ в фундаментальном представлении. Соответствующая $r$-матрица (2.1) (с точностью до несущественного единичного слагаемого) имеет вид
\[
r(\lambda)=\frac{P}{\lambda},
\]

где $P$ – матрица перестановки в $\mathbb{C}^{N} \otimes \mathbb{C}^{N}$. Простейшая матрица $L(\lambda)$, удовлетворяющая соотношению (3.2), дается выражением
\[
L(\lambda)=I+\frac{S_{a} A^{a}}{\lambda},
\]

где динамические переменные $S_{a}$ удовлетворяют скобкам ЛиПуассона алгебры Ли su $(N)$
\[
\left\{S_{a}, S_{b}\right\}=-C_{a b}^{c} S_{c}
\]

и могут быть ограничены на орбиты. Проверка соотношения (3.2) проводится непосредственно: помимо формул (1.30)

следует также использовать и свойство
\[
[P, A \otimes A]=0 .
\]

Отметим, что формула (3.4) представляет собой наивное решеточное обобщение оператора $L$ вспомогательной линейной задачи для непрерывного случая
\[
L=\frac{d}{d x}-\frac{S_{a} \sigma_{a}}{\lambda},
\]

который для $\mathfrak{g}=\mathrm{su}(2)$ участвовал в описании модели $M \Gamma$ (см. $\$ 1$ ). Таким образом, представление (3.4) дает решеточное обобщение непрерывного $g$-инвариантного магнетика для алгебры Ли $g=\operatorname{su}(N)$.

Вследствие мультипликативного характера соотношения (3.2) матрица $L(\lambda)$, представляющая собой произведение простейших,
\[
L(\lambda)=L^{(1)}\left(\lambda+c_{1}\right) \ldots L^{(m)}\left(\lambda+c_{m}\right),
\]

также удовлетворяет фундаментальным скобкам Пуассона (3.2). Конечно, динамические переменные $S_{a}^{(i)}$, входящие в $L^{(i)}(\lambda)$, при разных $i$ находятся в инволюции. Формула (3.8) дает решеточный аналог многополюсной матрицы $U(\lambda)$ из (1.55) с простыми полюсами. Обратно, выбором различных непрерывных пределов из (3.8) можно получить рациональную матрицу $U(\lambda)$ общего вида, в том числе и с кратными полюсами.

Таким образом, мы получили богатый набор матриц $L(\lambda)$, описывающих интегрируемые решеточные модели, которые связаны с рациональными $r$-матрицами для алгебры Ли $\mathfrak{g}=\operatorname{su}(N)$. Выбор матриц $L(\lambda)$, удовлетворяющих фундаментальным скобкам Пуассона (3.2) с рациональными $r$-матрицами, для остальных серий класснческих алгебр Ли более сложен, и мы не будем на нем здесь останавливаться.

Перейдем теперь к фундаментальным скобкам Пуассона (3.2) с тригонометрическими и эллиптическими $r$-матрицами. Здесь мы можем лишь предложить искать удачные подстановки, обобщающие (3.4) и удовлетворяющие условиям квазипериодичности
\[
L\left(\lambda+\omega_{i}\right)=\theta_{i} L(\lambda), \quad i=1,2 .
\]

В случае алгебры Ли $g=\mathrm{su}(2)$ в фундаментальном представлении мы уже знаем простейшую матрицу $L(\lambda)$ – это матрица $L(\lambda)$ для модели РЛ-Л (см. § III.5). Ее тригонометрическое вырождение приводит к матрице $L(\lambda)$ для частично анизотропной модели РМГ или для модели LSG в случае другой вещественной формы. Аналогичные подстановки существуют и в случае $g=\operatorname{su}(N)$ для произвольного $N$, но мы не будем приводить их

явные выражения. Зная простейшие матрицы $L(\lambda)$, мы можем строить более сложные по формулам типа (3.8).

Отметим, что процедура усреднения из $£ 2$, введенная для непрерывных моделей, может быть обобщена и на решеточный случай. Пусть матрица $L(\lambda)$ удовлетворяет фундаментальным скобкам Пуассона (3.2) с рациональной $r$-матрицей. Полагая
\[
L^{(n)}(\lambda)=\theta^{n} L(\lambda-n \omega),
\]

перепишем (3.2) в виде
\[
\left\{L^{\left(n_{i}\right.}(\lambda) \otimes L^{(m)}(\mu)\right\}=\left[r^{(n-m)}(\lambda-\mu), L^{(n)}(\lambda) \otimes L^{(m)}(\mu)\right],
\]

где матрица $r^{(n-m)}(\lambda)$ была введена в (2.4). Перемножая формально (3.11) по всем $n$ и $m$, приходим к соотношению (3.2), в котором участвует матрица
\[
L^{\Lambda_{1}}(\lambda)=\prod_{n=-\infty}^{\infty} L^{(n)}(\lambda)
\]

и $r$-матрица $r^{\Lambda_{1}}(\lambda)$ вида (2.7). Однако эта процедура требует значительного обосновання, которое выходит за рамки этой книги.

Этими замечаниями о решеточных моделях мы здесь и ограничимся. Приведенные классы матриц $L_{n}(\lambda)$ содержат рассмотренные в этой книге модели и позволяют стронть их интересные обобщения.

Итак, в этом и в двух предыдущих параграфах мы рассмотрели с общей точки зрения вспомогательные линейные задачи для интегрируемых моделей и соответствующие им фундаментальные скобки Пуассона. Наиболее законченная геометрическая интерпретация была получена для непрерывных моделей с рациональной $r$-матрицей. Как мы показали, связанные с ней фундаментальные скобки Пуассона порождаются специальной бесконечномерной алгеброй Ли $\mathscr{C}_{0}((g))$, и соответствующие непрерывные модели обладают наибольшей степенью симметрии. Непрерывные модели с тригонометрическими и эллиптическими $r$-матрицами имеют частично нарушенную симметрию и описаны менее детально. В частности, не был приведен соответствующий аналог алгебры $\mathscr{C}_{0}((g))$. Наконец, при описании моделей на решетке мы, по существу, ограничились лишь подходящими подстановками. Однако, во всяком случае для рациональной $r$-матрицы, отвечающей алгебре su $(N)$, эти подстановки в непрерывном пределе дают весь класс матриц $U(x, \lambda)$, описанных в $\$ 1$. Роль алгебр Ли $\mathscr{C}_{0}(\mathrm{~g})$ ) для моделей на решетке должен играть объект типа группы Ли, однако подробное обсуждение этого выходит за рамки настоящей книги. Этими словами мы и заканчиваем изложение нашей классификационной схемы для интегрируемых моделей.