Переходя в (6.16) к пределам при $y \rightarrow \pm \infty, x \rightarrow+\infty$ в соответствии с определениями (4.18) и (4.49), получаем следующие выражения для скобок Пуассона решений Йоста $T_{ \pm}(x, \lambda)$ и приведенной матрицы монодромии $T(\lambda)$ :
\[
\begin{array}{c}
\left\{T_{ \pm}(x, \lambda) \otimes T_{ \pm}(x, \mu)\right\}=\mp r(\lambda, \mu) T_{ \pm}(x, \lambda) \otimes T_{ \pm}(x, \mu) \pm \\
\pm T_{ \pm}(x, \lambda) \otimes T_{ \pm}(x, \mu) r_{ \pm}(\lambda, \mu), \\
\left\{T_{+}(x, \lambda) \otimes T_{-}(x, \mu)\right\}=0,
\end{array}
\]
\[
\{T(\lambda) \otimes T(\mu)\}=r_{+}(\lambda, \mu) T(\lambda) \otimes T(\mu)-T(\lambda) \otimes T(\mu) r_{-}(\lambda, \mu),
\]
где
\[
r_{ \pm}(\lambda, \mu)=
\]
Здесь в силу инволюций (4.20) и (4.51) мы считаем, что $\lambda, \mu>0$; при выводе мы использовали формулу
\[
\lim _{y \rightarrow \pm \infty} \text { v.p. } \frac{e^{\frac{m i}{2}\left(\lambda-\frac{1}{\lambda}-\mu+\frac{1}{\mu}\right) y}}{\lambda-\mu}= \pm \pi i \delta(\lambda-\mu),
\]
справедливую для таких $\lambda$ и $\mu$.
Из формул (6.17) – (6.20) получаем следующие выражения для скобок Пуассона коэффициентов перехода и дискретного спектра при $\lambda, \mu>0$ :
\[
\begin{array}{c}
\{a(\lambda), a(\mu)\}=\{a(\lambda), \vec{a}(\mu)\}=0, \\
\{b(\lambda), b(\mu)\}=0,
\end{array}
\]
\[
\begin{aligned}
\{b(\lambda), \bar{b}(\mu)\} & =-2 \pi i \gamma \lambda|a(\lambda)|^{2} \delta(\lambda-\mu), \\
\{a(\lambda), b(\mu)\} & =\frac{2 \gamma \lambda \mu}{(\lambda-\mu+i 0)(\lambda+\mu)} a(\lambda) b(\mu), \\
\{a(\lambda), \bar{b}(\mu)\} & =-\frac{2 \gamma \lambda \mu}{(\lambda-\mu+i 0)(\lambda+\mu)} a(\lambda) \bar{b}(\mu)
\end{aligned}
\]
и
\[
\begin{array}{l}
\left\{b(\lambda), \lambda_{i}\right\}=\left\{\vec{b}(\lambda), \lambda_{j}\right\}=0, \\
\left\{b(\lambda), \gamma_{j}\right\}=\left\{\bar{b}(\lambda), \gamma_{i}\right\}=0, \\
\left\{a(\lambda), \gamma_{i}\right\}=\frac{2 \gamma \lambda \lambda_{j}}{\lambda^{2}-\lambda_{i}^{2}} a(\lambda) \gamma_{i}, \\
\left.\{a, \lambda), \bar{\gamma}_{i}\right\}=-\frac{2 \gamma \lambda \bar{\lambda}_{i}}{\lambda^{2}-\bar{\lambda}_{i}^{2}} a(\lambda) \bar{\gamma}_{i},
\end{array}
\]
а также
\[
\begin{array}{l}
\left\{\lambda_{j}, \lambda_{l}\right\}=\left\{\lambda_{j}, \bar{\lambda}_{l}\right\}=0, \\
\left\{\gamma_{j}, \gamma_{l}\right\}=\left\{\gamma_{j}, \bar{\gamma}_{l}\right\}=0, \\
\left\{\gamma_{j}, \lambda_{l}\right\}=\gamma \gamma_{j} \lambda_{l} \delta_{j l}, \quad j, l=1, \ldots, n .
\end{array}
\]
Таким образом, характеристики непрерывного и дискретного спектра находятся в инволюции, а неисчезающие скобки Пуассона данных обратной задачи ( $b(\lambda), \bar{b}(\lambda), \lambda>0 ; \lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}, \gamma_{j}, \bar{\gamma}_{j}, j=$ $=1, \ldots, n$ ) даются формулами (6.24) и (6.33).
Из формул (6.22) следует, что $\ln a(\lambda)$ является производящей функцией инволютивных интегралов движения. В частности, имеем
\[
\left\{I_{2 l+1}, I_{2 m+1}\right\}=0,
\]
где $I_{2 k+1}, k=-\infty, \ldots, \infty$ – локальные интегралы движения модели $\mathrm{SG}$, построенные в $\$ 4$.
