Убедимся, что разложение функции $\ln a(z)$ в ряд Тейлора в точке $z=0$
\[
\ln a(z)=-\frac{c}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} I_{n} z^{n}
\]
дает серию локальных интегралов движения модели Тода, содержащую ее гамильтониан. В рассмотренных ранее примерах непрерывных моделей мы использовали асимптотические разложения $\ln a(\lambda)$ в окрестностях точек $\lambda=\infty$ или $\lambda=0$, в которых коэффициент $b(\lambda)$ быстро убывал. Это позволяло нам начинать с асимптотического разложения матрицы перехода $T(x, y, \lambda)$ и за-
тем переходить к пределам при $x \rightarrow+\infty, y \rightarrow-\infty$. В случае модели Тода коэффициент $b(z)$, вообще говоря, не определен в окрестности $z=0$, и поэтому этот способ неприменим. Мы дадим здесь другую процедуру вычисления коэффициентов $I_{n}$, непосредственно основанную на рассмотрении вспомогательной линейной задачи (2.33) для быстроубывающего случая.
Рассмотрим формулу (2.60) при $|z|<1$ и перейдем в ней к пределу $n \rightarrow+\infty$. Учитывая (2.36), получим
\[
a(z)=\frac{z}{1-z^{2}} \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(z^{n-1} \varphi(n, z)-z^{n} \varphi(n-1, z)\right),
\]
где мы положили $\varphi(n, z)=\psi_{-}(n, 1 / z)$. При малых $z$ функцию $\varphi(n, z)$ можно представить в виде
\[
\varphi(n, z)=z^{-n} \prod_{k=-\infty}^{n} \frac{\chi(k, z)}{c_{k}} .
\]
Подставляя это представление в (2.90) и используя формулы (2.2) и (2.34), получаем, что
\[
\begin{array}{l}
a(z)=\frac{z}{1-z^{2}} \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{z} \prod_{k=-\infty}^{n} \frac{\chi(k, z)}{c_{k}}-z \prod_{k=-\infty}^{n-1} \frac{\chi(k, z)}{c_{k}}\right)= \\
=\prod_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\chi(n, z)}{c_{n}}=e^{-c / 2} \prod_{n=-\infty}^{\infty} \chi(n, z) .
\end{array}
\]
Дадим теперь процедуру определения коэффициентов $\chi(n, z)$. Подставляя (2.91) в (2.33), получаем уравнение
\[
\chi(n, z)\left(\chi(n+1, z)-1-z p_{n}-z^{2}\right)=-z^{2} c_{n}^{2},
\]
которое допускает решение вида
\[
\chi(n, z)=\sum_{m=0}^{\infty} \chi(n, m) z^{m}
\]
где
\[
\begin{array}{l}
\chi(n, 0)=1, \quad \chi(n, 1)=p_{n-1}, \\
\chi(n, 2)=1-c_{n-1}^{2}
\end{array}
\]
и для $m>2$
\[
\chi(n, m)=c_{n-1}^{3} \chi(n-1, m-2)-\sum_{k=3}^{m-1} \chi(n, k) \chi(n-1, m-k) \text {. }
\]
Формулы (2.92) и (2.94)-(2.97) позволяют выразить функционалы $I_{m}$ через $p_{n}$ и $c_{n}$. В частности, имеем
\[
I_{1}=P=\sum_{n=-\infty}^{\infty} p_{n}
\]
и
\[
I_{2}=-H=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{2} p_{n}^{2}+c_{n}^{2}-1\right) .
\]
С помощью дисперсионного соотношения (2.73) функционалы $I_{n}$ выражаются через коэффициенты перехода и дискретный спектр вспомогательной линейной задачи. Соответствующие тождества следов имеют вид
\[
\begin{aligned}
I_{n}=\frac{1}{2 \pi i} \int_{C}^{\infty} \ln \left(1+|b(\xi)|^{2}\right) & \left(\zeta^{n}+\zeta^{-n}\right) \frac{d \zeta}{\zeta}+ \\
& +\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{N}\left(z_{j}^{n}-z_{j}^{-n}\right), \quad n=1,2, \ldots
\end{aligned}
\]
В $\$ 4$ мы обсудим вопрос о принадлежности функционалов $I_{n} \mathrm{~K}$ алгебре наблюдаемых на фазовом пространстве нашей модели.
Исследование вспомогательной линейной задачи и отображения $\mathscr{F}$ для модели Тода на этом заканчивается.
