В этом примере спиновые переменные $\vec{S}_{n}=$ $=\left(S_{n}^{1}, S_{n}^{2}, S_{n}^{3}\right), \vec{S}_{n}^{2}=s^{2}$, заданы на одномерной решетке (цепочке). Такая модель более естественна с физической точки зрения, чем непрерывная модель из $\S 1$. Переменные $\vec{S}_{n}$ с периодическими
\[
\vec{S}_{n+N}=\vec{S}_{n}
\]

или быстроубывающими
\[
\lim _{|n| \rightarrow \infty} \vec{S}_{n}=s \vec{S}_{0}
\]

граничными условиями образуют фазовое пространство модели с пуассоновой структурой, задаваемой скобками Пуассона
\[
\left\{S_{n}^{a}, S_{m}^{b}\right\}=-\varepsilon^{a b c} \delta_{n m} S_{n}^{c},
\]
$a, b, c=1,2,3$ (сравни с (1.7)). Интегрируемой модели соответствует гамильтониан
\[
H=-2 \sum_{n} \ln \left(\frac{s^{2}+\vec{S}_{n} \cdot \vec{S}_{n+1}}{2 s^{2}}\right),
\]

приводящий к уравнениям движения
\[
\frac{d \vec{S}_{n}}{d t}=2 \vec{S}_{n} \wedge\left(\frac{\vec{S}_{n+1}}{s^{2}+\vec{S}_{n} \cdot \vec{S}_{n+1}}+\frac{\vec{S}_{n-1}}{s^{2}+\vec{S}_{n-1} \cdot \vec{S}_{n}}\right) .
\]

Последние допускают представление нулевой кривизны с матрицами $L_{n}(t, \lambda)$ и $V_{n}(t, \lambda)$ вида
\[
\begin{array}{c}
L_{n}(\lambda)=I+\frac{\lambda}{2 i} S_{n}, \\
V_{n}(\lambda)=\frac{\lambda v_{n}^{(+)}}{2 i+s \lambda}+\frac{\lambda v_{n}^{(-)}}{2 i-s \lambda},
\end{array}
\]

где
\[
v_{n}^{( \pm)}=\alpha_{n}\left(1 \pm \frac{S_{n}}{s}\right)\left(1 \pm \frac{S_{n-1}}{s}\right)
\]
a
\[
\alpha_{n}=\frac{i s^{2}}{s^{2}+\vec{S}_{n-1} \cdot \vec{S}_{n}}, \quad S_{n}=\vec{S}_{n} \cdot \vec{\sigma}=\sum_{a=1}^{3} S_{n}^{a} \sigma_{a} .
\]

Действительно, правая часть условня нулевой кривизны
\[
\frac{d L_{n}(\lambda)}{d t}=V_{n+1}(\lambda) L_{n}(\lambda)-L_{n}(\lambda) V_{n}(\lambda)
\]

после деления на множитель $\lambda /(2 i)$ представляет собой рациональную функцию с простыми полюсами в точках $\lambda= \pm 2 i / s$. Вычеты в этих полюсах исчезают в силу специального выбора матриц $v_{n}^{( \pm)}$. Постоянный член (значение при $\lambda=\infty$ ) после использования явного выражения для коэффициента $\alpha_{n}$ и элементарного соотношения
\[
S_{n} S_{n+1}=\vec{S}_{n} \cdot \vec{S}_{n+1}+i\left(\vec{S}_{n} \bigwedge \vec{S}_{n+1}\right) \cdot \vec{\sigma}
\]

превращается в правую часть уравнения (2.24).
Отметим, что вспомогательная линейная задача
\[
F_{n+1}=L_{n}(\lambda) F_{n}=F_{n}+\frac{\lambda}{2 i} S_{n} F_{n}
\]

является наивной разностной аппроксимацией вспомогательной линейной задачи для непрерывной модели МГ. Этого, однако, нельзя сказать о гамильтониане и уравнении по $t$ в представлении нулевой кривизны. Тем не менее такое усложнение оправдано. Действительно, во-первых, наивный гамильтониан
\[
\widetilde{H}=-\sum_{n} \vec{S}_{n} \cdot \vec{S}_{n+1}
\]

приводит к уравнениям движения
\[
\frac{d \vec{S}_{n}}{d t}=\vec{S}_{n} \bigwedge\left(\vec{S}_{n+1}+\vec{S}_{n-1}\right)
\]

для которых не существует представления нулевой кривизны. Во-вторых, наша модель на решетке также является разностным аналогом модели МГ и имеет ее как непрерывный предел.

Этот предел, как обычно, осуществляется сгущением решетки. Введем шаг решетки $\Delta$ и положим $x=n \Delta$. Будем считать, что длина вектора $\vec{S}_{n}$ совпадает с $\Delta$ :
\[
\vec{S}_{n}^{2}=s^{2}=\Delta^{2},
\]

и при $\Delta \rightarrow 0$ положим
\[
\vec{S}_{n}=\Delta \vec{S}(x)
\]

где $\vec{S}(x)$-гладкая вектор-функция с длиной 1. Тогда
\[
\vec{S}_{n+1}=\Delta \vec{S}(x)+\Delta^{2} \frac{d \vec{S}}{d x}(x)+\frac{\Delta^{3}}{2} \frac{d^{2} \vec{S}}{d x^{2}}(x)+\ldots,
\]

так что
\[
\frac{s^{2}+\vec{S}_{n} \cdot \vec{S}_{n+1}}{2 s^{2}}=1+\frac{\Delta^{2}}{4} \vec{S}(x) \cdot \frac{d^{2} \vec{S}}{d x^{2}}(x)+\ldots=1-\frac{\Delta^{2}}{4}\left(\frac{d \vec{S}}{d x}(x)\right)^{2}+\ldots,
\]

где использовано условие $\overrightarrow{S^{2}}(x)=1$, приводящее к соотношениям
\[
\vec{S} \cdot \frac{d \vec{S}}{d x}=0, \quad \vec{S} \cdot \frac{d^{2} \vec{S}}{d x^{2}}=-\left(\frac{d \vec{S}}{d x}\right)^{2} .
\]

Из формулы (2.37) видно, что
\[
H=\Delta \int \frac{1}{2}\left(\frac{d \vec{S}}{d x}\right)^{2} d x+O\left(\Delta^{2}\right)
\]

и после изменения масштаба времени $t \mapsto \Delta \cdot t$ отсюда получаем гамильтониан и уравнения движения модели МГ.

Предельный переход в представлении нулевой кривизны проводится аналогично; непрерывный предел скобок Пуассона получается нз (2.22) по правилу
\[
\frac{\delta_{n m}}{\Delta} \cong \delta(x-y), \quad x=n \Delta, \quad y=m \Delta .
\]

Модель анизотропного магнетика-модель Л-Л-также является непрерывным пределом соответствующей модели на решетке, которую мы опишем ниже в гл. III.
Там мы убедимся, что эта последняя модель является весьма универсальной.