Приведенная матрица монодромии $T(z)$ при $|z|=1, z
eq \pm 1$, определяется как отношение решений Иоста
\[
T(z)=T_{+}^{-1}(n, z) T_{-}(n, z)
\]

и может быть представлена в виде предела
\[
T(z)=\lim _{\substack{n \rightarrow \infty \\ m \rightarrow-\infty}} E_{n}^{-1}(z) Q^{-1}(c) T(n, m, z) E_{m}(z) .
\]

Матрица $T(z)$ унимодулярна, удовлетворяет инволюциям
\[
\begin{array}{c}
\bar{T}(z)=\sigma_{1} T(z) \sigma_{1}, \\
\bar{T}(z)=T(\bar{z})
\end{array}
\]

и представляется в виде
\[
T(z)=\left(\begin{array}{ll}
a(z) & \bar{b}(z) \\
b(z) & \bar{a}(z)
\end{array}\right),
\]

где $a(z)$ и $b(z)$-коэффициенты перехода непрерывного спект$p a$. Они определены при $|z|=1, z
eq \pm 1$, и удовлетворяют условиям нормировки

и симметрии
\[
|a(z)|^{2}-|b(z)|^{2}=1
\]
\[
\bar{a}(z)=a(\bar{z}), \bar{b}(z)=b \overline{(z)} .
\]

Для коэффициента $a(z)$ имеем представление
\[
a(z)=\frac{1}{1-z^{2}} \operatorname{det}\left(T_{-}^{(1)}(n, z), T_{+}^{(2)}(n, z)\right),
\]

показывающее, что он допускает аналитическое продолжение в единичный круг $|z|<1$ и
\[
a(0)=e^{-c / 2} .
\]

Аналогичное представление для коэффициента $b(z)$
\[
b(z)=\frac{1}{1-z^{2}} \operatorname{det}\left(T_{-}^{(1)}(n, z), T_{+}^{(1)}(n, z)\right)
\]

показывает, что он, вооще говоря, не продолжается с окружности $|z|=1$. Такое продолжение возможно, если существует $N>0$ такое, что $c_{n}=1, p_{n}=0$ при $|n|>N$.

Обсудим теперь возможное поведение функций $a(z)$ і $b(z)$ в окрестностях точек $z= \pm 1$. В случае, если столбцы $T_{-}^{(1)}(n, z)$ и $T_{+}^{(2)}(n, z)$ линейно независимы при $z=1$ или $z=-1$, то коэффициент $a(z)$ сингулярен и представляется в виде
\[
a(z)=\frac{a_{ \pm}}{z \mp 1}+O(1),
\]

где $a_{ \pm}$отличны от нуля и вещественны (сравни с моделью НШ в случае конечной плотности в § I. 9 части I). Именно это реализуется в ситуации общего положения. В специальной ситуации, когда столбцы $T_{-}^{(2)}(n, z)$ и $T_{+}^{(2)}(n, z)$ становятся линейно зависимыми при $z=1$ или $z=-1$, коэффициенты $a_{+}$, или $a_{-}$, или оба исчезают и функция $a(z)$ несингулярна в окрестности соответствующих точек. В этом случае $z=1$, или $z=-1$, или оба значения являются виртуальными уровнями. Они расположены на краях $\lambda= \pm 2$ непрерывного спектра вспомогательной линейной задачи.

Коэффициент $b(z)$ сингуларен или регулярен в окрестности $z= \pm 1$ одновременно с $a(z)$. Действительно, имеем
\[
\left.T_{+}^{(1)}(n, z)\right|_{z= \pm 1}=\left.\mp^{(2)} T_{+}^{(n, z)}\right|_{z= \pm 1},
\]

так что если $a_{+}$или $a_{-}$отличны от нуля, то
\[
b(z)=\mp \frac{a_{ \pm}}{z \mp 1}+O(1) .
\]

В частности, при этом условии
\[
\lim _{z \rightarrow \pm 1} \frac{b(z)}{a(z)}=\mp 1
\]
(сравни с соответствующими формулами в § I. 9 части I).
В силу условия нормировки нули коэффициента $a(z)$ могут лежать только внутри окружности $|z|=1$ и их число $N$ конечно. Если $a\left(z_{j}\right)=0$, то
\[
T_{-}^{(1)}\left(n, z_{j}\right)=\gamma_{j} T_{+}^{(2)}\left(n, z_{j}\right), \quad \gamma_{j}
eq 0,
\]

и
\[
\psi_{-}\left(n, \frac{1}{z_{i}}\right)=-z_{j} \gamma_{j} \psi_{+}\left(n, z_{j}\right), \quad j=1, \ldots, N .
\]

Таким образом, $\lambda_{j}=z_{j}+1 / z_{j}$ являются дискретными собственными значениями самосопряженного оператора $\mathscr{L}$ и поэтому $\lambda_{j}$, а вместе с ними $z_{j}$, вещественны, $-1<z_{j}<1 ; z_{j}
eq 0, j=1, \ldots, N$. Соответствующие им коэффициенты перехода дискретного спектра $\gamma_{j}$ также вещественны.
Покажем, что нули $z$, простые. Из (2.43) имеем
\[
a(z)=-\frac{c_{n} z}{1-z^{2}}\left(\psi_{+}(n, z) \psi_{-}(n-1,1 / z)-\psi_{+}(n-1, z) \psi_{-}(n, 1 / z)\right) .
\]

Дифференцируя это равенство по $z$ и полагая $z=z_{j}$, получаем
\[
\begin{array}{c}
\dot{a}\left(z_{j}\right)=\frac{c_{n} z_{j}}{1-z_{j}^{\circ}}\left(\dot{\psi}_{+}\left(n-1, z_{j}\right) \psi_{-}\left(n, 1 / z_{j}\right)-\dot{\psi}_{+}\left(n, z_{j}\right) \psi_{-}\left(n-1,1 / z_{j}\right)-\right. \\
\left.-z_{j}^{-2} \psi_{+}\left(n-1, z_{j}\right) \dot{\psi}_{-}\left(n, 1 / z_{j}\right)+z_{j}^{-2} \psi_{+}\left(n, z_{j}\right) \dot{\psi}_{-}\left(n-1,1 / z_{j}\right)\right),
\end{array}
\]

где точка обөзначает производную по $z$. Из уравнений (2.33) и
\[
c_{n+1} \dot{f}_{n+1}-p_{n} \dot{f}_{n}+c_{n} \dot{f}_{n-1}=\left(z+\frac{1}{z}\right) \dot{f}_{n}+\left(1-\frac{1}{z^{2}}\right) f_{n}
\]

получаем, что величины
\[
\varphi_{+}(n, z)=c_{n}\left(\dot{\psi}_{+}(n, z) \Psi_{-}(n-1,1 / z)-\dot{\psi}_{+}(n–1, z) \psi_{-}(n, 1 / z)\right)
\]

и
\[
\varphi_{-}(n, z)=-c_{n} z^{-2}\left(\psi_{+}(n, z) \dot{\psi}_{-}(n-1,1 / z)-\psi_{+}(n-1, z) \dot{\psi}_{-}(n, 1 / z)\right)
\]

удовлетворяют уравнениям
\[
\varphi_{ \pm}(n+1, z)=\varphi_{ \pm}(n, z) \pm\left(1-1 / z^{2}\right) \psi_{+}(n, z) \psi_{-}(n, 1 / z) .
\]

Полагая здесь $z=z_{j}$ и используя (2.59), получаем
\[
\varphi_{+}\left(n, z_{j}\right)=\frac{\gamma_{j}\left(z_{j}^{2}-1\right)}{z_{j}} \sum_{k=n}^{\infty} \Psi_{+}^{2}\left(k, z_{j}\right)
\]

и
\[
\varphi_{-}\left(n, z_{j}\right)=\frac{\gamma_{j}\left(z_{j}^{3}-1\right)}{z_{j}} \sum_{k=-\infty}^{n-1} \psi_{+}^{+2}\left(k, z_{j}\right) \text {, }
\]

так что
\[
\dot{a}\left(z_{j}\right)=\gamma_{j} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \psi_{+}^{2}\left(n, z_{j}\right)
eq 0 .
\]

Это равенство также показывает, что
\[
\operatorname{sign} \gamma_{j}=\operatorname{sign} \dot{a}\left(z_{j}\right), \quad j=1, \ldots, N
\]
(сравни с соответствующими рассуждениями в § I. 9 части I).

Функция а(z) однозначно определяется по коэффициенту $\boldsymbol{b}(z)$ и нулям $z_{1}, \ldots, z_{N}$. Для вывода соответствующего дисперсионного соотношения рассмотрим формулу Шварца
\[
f(z)=\operatorname{Im} f(0)+\frac{1}{2 \pi i} \int_{\mid \zeta=1} \operatorname{Re} f(\zeta) \frac{\zeta+z}{\zeta-z} \frac{d \zeta}{\zeta},
\]

где $f(z)$ – аналитическая функция в круге $|z| \leqslant 1$, и применим ее к функции
\[
f(z)=\ln \prod_{j=1}^{N} \operatorname{sign} z_{j} \frac{z z_{j}-1}{z-z_{j}} a(z)
\]

где выбрана главная ветвь логарифма. Используя неравенство $a(0)>0$ и условие нормировки, получаем, что
\[
a(z)=\prod_{j=1}^{N} \operatorname{sign} z_{j} \frac{z-z_{j}}{z z_{i}-1} \exp \left\{\frac{1}{4 \pi i} \int_{\left.\right|_{\zeta} \mid=1} \ln \left(1+|b(\zeta)|^{2}\right) \frac{\zeta+z}{\zeta-z} \frac{d \zeta}{\zeta}\right\} .
\]

Учитывая инволюцию (2.50), приходим к окончательному выражению для функции $a(z)$ :
\[
a(z)=\prod_{j=1}^{N} \operatorname{sign} z_{j} \frac{z-z_{j}}{z z_{j}-1} \exp \left\{\frac{1}{2 \pi i} \int_{C} \ln \left(1+|b(\zeta)|^{2}\right) \frac{1-z^{2}}{\left(1-z_{\zeta}^{\zeta}\right)(\zeta-z)} d \zeta\right\},
\]

где $C$ – полуокружность $|\zeta|=1,0 \leqslant \arg \zeta \leqslant \pi$.
Данные $b(z), z_{j}$ и с не являются независимыми. Во-первых, из формулы (2.52) следует, что
\[
e^{-c / 2}=\prod_{j=1}^{N}\left|z_{j}\right| \exp \left\{\frac{1}{2 \pi i} \int_{C} \ln \left(1+|b(\zeta)|^{2}\right) \frac{d^{\varsigma}}{\zeta}\right\} .
\]

Это соотношение будем называть условием (с). Во-вторых, в ситуации общего положения, когда в окрестности $z= \pm 1$
\[
b(z)=\frac{b_{ \pm}}{z \mp 1}+O(1)
\]

имеем условия
\[
\operatorname{sign} b_{ \pm}=\prod_{j=1}^{N}\left(\mp \operatorname{sign} z_{j}\right)
\]
(сравни с условием ( $\theta$ ) и условиями выбора знаков в § 9 части I).

Для вывода (2.76) рассмотрим асимптотики $a(z)$ при $z \rightarrow \pm 1$, $|z|<1$, используя дисперсионное соотношение (2.73). Главный

вклад в (2.73) дает сингулярное слагаемое (2.75), и он имеет вид
\[
I_{ \pm}=\frac{1}{2 \pi i} \int_{C_{ \pm}} \ln \frac{\left|b_{ \pm}\right|^{2}}{|\zeta \mp 1|^{2}} \frac{1-z^{2}}{(1-z \zeta)(\zeta-z)} \frac{d \zeta}{\zeta},
\]

где $C_{ \pm}$- малые окрестности точек $\zeta= \pm 1$ на $C$. Имеем
\[
\begin{array}{r}
I_{+}=\frac{1}{\pi i} \int_{C_{+}} \ln \frac{\left|b_{+}\right||\zeta+1|}{2|\zeta-1|} \frac{\zeta-z^{2}}{\left(1-z_{\zeta}^{\zeta}\right)(\zeta-z)} \frac{d_{\zeta}^{\zeta}}{\zeta}+O(|z-1|)= \\
=\frac{1}{2 \pi i} \int_{|\zeta|=1} \ln \left|\frac{b_{+}}{2} \frac{\zeta+1}{\zeta-1}\right| \frac{\zeta+z}{\zeta-z} \frac{d_{\zeta}^{\zeta}}{\zeta}+O(|z-1|)= \\
=\ln \left(-\frac{\left|b_{+}\right|}{2} \frac{z+1}{z-1}\right)+O(|z-1|),
\end{array}
\]

где в последнем равенстве мы использовали формулу Шварца. Отсюда получаем при $z \rightarrow 1$
\[
a(z)=-\frac{\left|b_{+}\right| \prod_{j=1}^{N}\left(-\operatorname{sign} z_{j}\right)}{z-1}+O(1),
\]

и сравнивая эту формулу с (2.57), приходим к условию для знака + .
Вторая формула в (2.76) доказывается аналогично.
Подчеркнем, что как и для модели НШ в случае конечной плотности, усложнение аналитических свойств коэффициентов перехода связано с тем, что непрерывный спектр вспомогательной линейной задачи имеет край: точки $\lambda= \pm 2$.

Описание отображения $\mathscr{F}:\left(p_{n}, q_{n}\right) \mapsto\left(b(z), \bar{b}(z), z_{j}, \gamma_{j}, j=\right.$ $=1, \ldots N$ ) от начальных данных модели Тода к характеристикам вспомогательной линейной задачи (2.1) на этом заканчивается.