Общее $n$-солитонное решение модели МГ параметризуется набором параметров $\left\{p_{j}, q_{j}, \rho_{j}, \varphi_{j}, j=1, \ldots, n\right\}$. В ситуации общего положения (см. п. $3 \$ 2$ ) при $t \rightarrow \pm \infty$ оно распадается в сумму пространственно разделенных солитонов с параметрами $p_{j}^{( \pm)}, q_{j}^{( \pm)}$, $\rho_{j}^{( \pm)}, \varphi_{j}^{( \pm)}$, где
\[
\begin{array}{ll}
p_{j}^{(+)}=p_{j}^{(-)}=p_{i}, & \rho_{j}^{(+)}=\rho_{j}^{(-)}=\rho_{j}, \\
q_{j}^{( \pm)}=q_{j} \pm \Delta q_{i}, & \varphi_{j}^{( \pm)}=\varphi_{j} \pm \Delta \varphi_{i}
\end{array}
\]
и
\[
\begin{array}{c}
\Delta q_{j}=\sum_{k=j+1}^{n} \ln \left|\frac{\lambda_{j}-\bar{\lambda}_{k}}{\lambda_{j}-\lambda_{k}}\right|-\sum_{k=1}^{j-1} \ln \left|\frac{\lambda_{j}-\bar{\lambda}_{k}}{\lambda_{j}-\lambda_{k}}\right|, \\
\Delta \varphi_{j}=\sum_{k=1}^{j-1}\left(\arg \frac{\lambda_{j}-\bar{\lambda}_{k}}{\lambda_{j}-\lambda_{k}}+2 \arg \lambda_{k}\right)-\sum_{k=j+1}^{n}\left(\arg \frac{\lambda_{j}-\bar{\lambda}_{k}}{\lambda_{j}-\lambda_{k}}+2 \arg \lambda_{k}\right) .
\end{array}
\]
При этом предполагается, что $\operatorname{Re} \lambda_{1}>\operatorname{Re} \lambda_{2}>\ldots>\operatorname{Re} \lambda_{n}$. Преобразования
\[
\begin{aligned}
W_{ \pm}:\left\{p_{j}, q_{j}, \rho_{j}, \varphi_{j} ; j=\right. & 1, \ldots, n\}: \\
& \mapsto\left\{p_{j}^{( \pm)}, q_{j}^{ \pm)}, \rho_{j}^{\prime \pm)}, \varphi_{j}^{( \pm)}, j=1, \ldots, n\right\},
\end{aligned}
\]
описанные формулами (3.59)-(3.62), являются каноническими с производящими функциями $\pm K_{n}\left(p_{1}, \ldots, p_{n} ; \rho_{1}, \ldots, \rho_{n}\right)$ :
\[
\begin{array}{l}
q_{j}^{\prime \pm)}=q_{j} \pm \frac{\partial K_{n}}{\partial p_{j}}, \quad \varphi_{j}^{( \pm)}=\varphi_{j} \pm \frac{\partial K_{n}}{\partial \rho_{j}}, \quad j=1, \ldots, n, \\
K_{n}\left(p_{1}, \ldots, p_{n} ; \rho_{1}, \ldots, \rho_{n}\right)=\sum_{1 \leqslant i<k \leqslant n} K_{2}\left(p_{j}, p_{k} ; \rho_{j}, \rho_{k}\right)
\end{array}
\]
$2 \partial e$
\[
\begin{array}{c}
K_{2}\left(p_{1}, p_{2}, \rho_{1}, \rho_{2}\right)=\operatorname{Re}\left\{\left(p_{1}-p_{2}+i \rho_{1}+i \rho_{2}\right) \ln \left(p_{1}-p_{2}+i \rho_{1}+i \rho_{2}\right)-\right. \\
\left.\quad-\left(p_{1}-p_{2}+i \rho_{1}-i \rho_{2}\right) \ln \left(p_{1}-p_{2}+i \rho_{1}-i \rho_{1}\right)\right\}= \\
=4 \operatorname{Re}\left\{\left(\frac{1}{\lambda_{1}}-\frac{1}{\lambda_{2}}\right) \ln \left(\frac{1}{\lambda_{2}}-\frac{1}{\lambda_{1}}\right)-\left(\frac{1}{\lambda_{1}}-\frac{1}{\bar{\lambda}_{2}}\right) \ln \left(\frac{1}{\bar{\lambda}_{2}}-\frac{1}{\lambda_{1}}\right)\right\} \cdot
\end{array}
\]
Это выражение для производящей функции $K_{2}$ согласовано с формулой (III.8.29) из части I для модели НШ и отмечавшейся в П. 3 связью пуассоновых структур.
Как и в случае модели НШ, рассеяние солитонов в модели МГ описывается каноническим преобразованием. В координатах $p_{j}, q_{j}^{( \pm)}, \rho_{j}, \varphi_{j}^{( \pm)}, j=1, \ldots, n$, задающих асимптотическое движение при $t \rightarrow \pm \infty$, преобразование рассеяния $S$
\[
S:\left\{p_{j}, \rho_{j}, q_{j}^{(-)}, \varphi_{j}^{(-)}, j=1, \ldots, n\right\} \mapsto\left\{p_{i}, \rho_{j}, q_{j}^{(+)}, \varphi_{j}^{(+)}, j=1, \ldots, n\right\}
\]
представляется в виде
\[
S=W_{+} W_{-}^{-1}
\]
ичевидно является каноническим. Его производящая функция $S_{n}$ – «классическая $S$-матрица» $n$-частичного рассеяния – имеет вид
\[
S_{n}\left(p_{1}, \ldots, p_{n} ; \rho_{1}, \ldots, \rho_{n}\right)=2 K_{n}\left(p_{1}, \ldots, p_{n} ; \rho_{1}, \ldots, \rho_{n}\right) .
\]
Таким образом, рассеяние солитонов в модели МГ дает еще один пример факторизованной теории рассеяния. Изложение модели МГ в быстроубывающем случае на этом заканчивается.
