Семейство интегралов движения, порожденное производящей функцией
\[
F_{L}(\lambda)=\operatorname{tr} T_{L}(\lambda) Q(\theta),
\]

до сих пор не было охарактеризовано достаточно явно. Здесь мы покажем, что функция
\[
p_{L}(\lambda)=\arccos \frac{1}{2} F_{L}(\lambda)
\]

является производящей для локальных интегралов движения, и дадим явную процедуру для их последовательного определения через $\psi(x) u \bar{\psi}(x)$. Под локальными функционалами мы подразумеваем функционалы на фазовом пространстве $\mathscr{M}_{L, \theta}$ вида
\[
F(\psi, \bar{\psi})=\int_{-L}^{L} P(x) d x,
\]

где $P(x)$ является полиномом от $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ и их производных в точке $x$. Естественно, что квазипериодические функции $\psi(x)$, $\bar{\psi}(x)$ предполагаются бесконечно дифференцируемыми.

Упомянутая процедура будет основана на асимптотическом разложении $p_{L}(\lambda)$ при больших вещественных $\lambda$
\[
p_{L}(\lambda)=-\lambda L+\frac{\theta}{2}+x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_{n}}{\lambda^{n}}+O\left(|\lambda|^{-\infty}\right),
\]

которое следует из (3.24), (3.50) и (4.2). Здесь мы покажем, что коэффициенты $I_{n}$ являются локальными функционалами от $\psi(x)$ и $\bar{\psi}(x)$.

Для этого рассмотрим сначала матрицу перехода $T(x, y, \lambda)$. В предыдущем параграфе мы доказали, что для нее справедливо асимптотическое разложение (3.43). Покажем, что это разложение можно перестроить и привести к виду
\[
T(x, y, \lambda)=(I+W(x, \lambda)) \exp Z(x, y, \lambda)(I+W(y, \lambda))^{-1},
\]

где $W$ и $Z$ являются соответственно антидиагнальной и диагональной матрицами, допускающими при $|\lambda| \rightarrow \infty$ асимптотические представления
\[
\begin{array}{c}
W(x, \lambda)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{W_{n}(x)}{\lambda^{n}}+O\left(|\lambda|^{-\infty}\right), \\
Z(x, y, \lambda)=\frac{(x-y) \lambda \sigma_{3}}{2 i}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{Z_{n}(x, y)}{\lambda^{n}}+O\left(|\lambda|^{-\infty}\right) .
\end{array}
\]

Очевидно, что разложение, порсжденное правой частью (4.5), имеет структуру (3.43). Поэтому для доказательства (4.5) до-
статочно показать, что коэффициенты $W_{n}(x)$ ч $Z_{n}(x, y)$ однозначно определяются по матрице $T(x, y, \lambda)$. Для этого мы используем дифференциальное уравнение (3.5) с начальным условием (3.6), однозначно характеризующее $T(x, y, \lambda)$.

В геометрических терминах формулу (4.5) можно интерпретировать как калибровочное преобразование (см. (2.19)) с матрицей $G(x, \lambda)=(I+W(x, \lambda))^{-1}$. Это преобразование асимптотически приводит матрицу перехода к диагональному виду $\exp Z(x, y, \lambda)$. Альтернативно можно сказать, что это калибровочное преобразование асимптотически приводит к диагональному виду матрицу $U(x, \lambda)$ из дифференциального уравнения (3.5).

Вернемся теперь к задаче (3.5) – (3.6) для $T(x, y, \lambda)$ и определим матрицы $W(x, \lambda)$ и $Z(x, y, \lambda)$.

Для этого подставим представление (4.5) в уравненне (3.5), сократим на не зависящую от $x$ матрицу $(I+W(y, \lambda))^{-1}$ и отделим диагональную и антидиагональную части. В результате получим систему уравнений
\[
\begin{array}{c}
\frac{d W}{d x}+W \frac{\partial Z}{\partial x}=U_{0}+\lambda U_{1} W, \\
\frac{\partial Z}{\partial x}=U_{0} W+\lambda U_{1},
\end{array}
\]

где мы опять использовали разложение $U(x, \lambda)=U_{\theta}(x)+\lambda U_{1}$, $U_{1}=\frac{1}{2 i} \sigma_{3}$. Исключая $\frac{\partial Z}{\partial x}$ из (4.8), получаем для $W$ нелинейное уравнение типа Риккати
\[
\frac{d W}{d x}+i \lambda \sigma_{3} W+W U_{0} W-U_{0}=0,
\]

где мы учли, что матрица $U_{1}$ антикоммутирует с $W$.
Дифференциальное уравнение (4.9) вместе с начальным условием $\left.Z(x, y, \lambda)\right|_{x=y}=0$, вытекающим из (3.6), элементарно интегрируется:
\[
Z(x, y, \lambda)=\frac{\lambda(x-y)}{2 i} \sigma_{3}+\int_{y}^{x} U_{0}(z) W(z, \lambda) d z,
\]

определяя асимптотический ряд (4.7) по асимптотическому ряду $(4.6)$ для $W(x, \lambda)$.

Подставляя разложение (4.6) в дифференциальное уравнение (4.10), для матриц $W_{n}(x)$ получаем рекуррентные соотношения
\[
W_{n+1}(x)=i \sigma_{3}\left(\frac{d W_{n}(x)}{d x}+\sum_{k=1}^{n-i} W_{k}(x) U_{0}(x) W_{n-k}(x)\right)
\]

и начальное условие
\[
W_{1}(x)=-i \sigma_{3} U_{0}(x)=i \sqrt{\chi}\left(\begin{array}{cc}
0 & -\bar{\psi}(x) \\
\psi(x) & 0
\end{array}\right)=i \sqrt{\chi}\left(\psi(x) \sigma_{-}-\bar{\psi}(x) \sigma_{+}\right),
\]

из которых они однозначно определяются и локально выражаются через $U_{0}(x)$ и ее производные в точке $x$. В силу (4.12) и (4.13) асимптотический ряд $W(x, \lambda)$ удовлетворяет условиям инволюции
\[
\bar{W}(x, \lambda)=\sigma W(x, \bar{\lambda}) \sigma
\]

и квазипериодичности
\[
W(x+2 L, \lambda)=Q^{-1}(\theta) W(x, \lambda) Q(\theta) .
\]

Таким образом, $W(x, \lambda)$ представляется в виде
\[
W(x, \lambda)=i \sqrt{x}\left(w(x, \lambda) \sigma_{-}-\bar{w}(x, \bar{\lambda}) \sigma_{+}\right),
\]

где
\[
w(x, \lambda)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\omega_{n}(x)}{\lambda^{n}}
\]

и функции $w_{n}(x)$ квазипериодичны:
\[
w_{n}(x+2 L)=e^{i \theta} w_{n}(x) .
\]

В терминах $w_{n}(x)$ рекуррентные соотношения и начальное условие принимают вид
\[
w_{n+1}(x)=-i \frac{d w_{n}}{d x}(x)+x \bar{\psi}(x) \sum_{k=1}^{n-1} w_{k}(x) w_{n-k}(x)
\]

и
\[
w_{1}(x)=\psi(x) .
\]

Возвращаясь к представлению для $Z$, мы видим, что диагональная матрица $U_{0} W$, участвующая в (4.11), имеет вид
\[
U_{0}(x) W(x, \lambda)=i \chi\left(\begin{array}{cc}
\bar{\psi}(x) w(x, \lambda) & 0 \\
0 & -\psi(x) \bar{w}(x, \bar{\lambda})
\end{array}\right),
\]

где асимптотические ряды $\bar{\psi}(x) w(x, \lambda)$ и $\psi(x) \bar{w}(x, \bar{\lambda})$ уже периодичны. На этом закончим описание перестройки асимптотического разложения матрицы перехода $T(x, y, \lambda)$.

Перейдем теперь к матрице монодромии. Из (4.5) получаем для нее представление
\[
T_{L}(\lambda)=(I+W(L, \lambda)) \exp Z_{L}(\lambda)(I+W(-L, \lambda))^{-1},
\]

где
\[
Z_{L}(\lambda)=-i \lambda L \sigma_{3}+\int_{-L}^{L} U_{0}(x) W(x, \lambda) d x .
\]

В силу сказанного выше интеграл в (4.23) не зависит от выбора фундаментальной области.

Перемножая асимптотические ряды, участвующие в сомножителях $I+W( \pm L, \lambda)$ и $Z_{L}(\lambda)$, из (4.22) получаем для $T_{L}(\lambda)$ представление в виде асимптотического ряда, совпадающего по форме с (3.24) – (3.25). Тем самым мы получили способ вычисления коэффициентов $a_{n}, \hat{a}_{n}$ и $b_{n}, \tilde{b}_{n}$, участвующих в разложениях $(3.24)-(3.25)$.

В частности, для коэффициентов $I_{n}$ в разложении функции $p_{L}(\lambda)$ эта процедура существенно упрощается. Действительно, используя условие квазипериодичности, получаем из (4.22)
\[
T_{L}(\lambda) Q(\theta)=(I+W(L, \lambda)) \exp Z_{L}(\lambda) Q(\theta)(I+W(L, \lambda))^{-1},
\]

так что
\[
F_{L}(\lambda)=\operatorname{tr} T_{L}(\lambda) Q(\theta)=\operatorname{tr} \exp \left\{Z_{L}(\lambda)+\frac{i \theta}{2} \sigma_{3}\right\} .
\]

В силу унимодулярности матрицы $T_{L}(\lambda) Q(\theta)$ получаем, что
\[
\operatorname{tr} Z_{L}(\lambda)=O\left(|\lambda|^{-\infty}\right) .
\]

Отсюда на основании (4.11) и (4.21) заключаем, что
\[
\varphi_{L}(\lambda)=x \int_{-L}^{L} \bar{\psi}(x) w(x, \lambda) d x
\]

является асимптотическим рядом с вещественными коэффициентами
\[
\varphi_{L}(\lambda)=\bar{\varphi}_{L}(\bar{\lambda}) .
\]

В результате для $Z_{L}(\lambda)$ получаем выражение
\[
Z_{L}(\lambda)=i \sigma_{3}\left(\varphi_{L}(\lambda)-\lambda L\right),
\]

так что
\[
F_{L}(\lambda)=2 \cos \left(\varphi_{L}(\lambda)+\frac{\theta}{2}-\lambda L\right),
\]

что и делает естественным введение функции $p_{L}(\lambda)=$ $=\arccos \frac{1}{2} F_{L}(\lambda)$ в (4.2).
В новых обозначениях имеем
\[
p_{L}(\lambda)=-\lambda L+\frac{\theta}{2}+\varphi_{L}(\lambda)
\]

где функция $\varphi_{L}(\lambda)$, введенная в (4.27), допускает асимптотическое разложение
\[
\varphi_{L}(\lambda)=x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_{n}}{\lambda^{n}}+O\left(|\lambda|^{-\infty}\right) .
\]

Здесь
\[
I_{n}(\psi, \bar{\psi})=\int_{-L}^{L} P_{n}(x) d x,
\]

где
\[
P_{n}(x)=\bar{\psi}(x) w_{n}(x)
\]

и представляют собой полиномы от $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ и их производных в точке $x$. Отсюда и из периодичности $P_{n}(x)$ следует, что $I_{n}$ являются допустимыми функционалами на $\mathscr{M}_{L, \theta}$, т. е. удовлетворяют условиям (1.34).
Первые четыре плотности $P_{n}(x)$ имеют вид
\[
\begin{array}{l}
P_{1}(x)=|\psi(x)|^{2}, \quad P_{2}(x)=-\overline{i \psi}(x) \frac{d \psi}{d x}(x), \\
P_{3}(x)=-\bar{\psi}(x) \frac{d^{2} \psi(x)}{d x^{2}}+x|\psi(x)|^{4}, \\
P_{4}(x)=i\left(\bar{\Psi}(x) \frac{d^{3} \psi(x)}{d x^{3}}-x|\psi(x)|^{2}\left(\psi(x) \frac{d \bar{\psi}}{d x}(x)+4 \bar{\psi}(x) \frac{d \psi(x)}{d x}\right)\right) .
\end{array}
\]

Функционалы $I_{n}, n=1,2, \ldots$ и представляют собой локальные интегралы движения модели НШ в квазипериодическом случае. Как это следует из (4.35), первые три из них $-I_{1}, I_{2}$ и $I_{3}$ – совпадают с введенными в § 1 функционалами $N, P$ и $H$. В дальнейшем мы убедимся, что все интегралы движения $I_{n}$ находятся в инволюции по отношению к введенной в § 1 скобке Пуассона.

Приведенные здесь и в предыдущих параграфах результаты исчерпывают основные элементарные свойства модели НШ и матрицы монодромии для квазипериодических граничных условий. Полное описание динамики в этом случае требует привлечения более сложного аппарата, выходящего за рамки этой книги. Значительные упрощения возникают при $L \rightarrow \infty$ для граничных условий быстрого убывания и конечной плотности, к исследованию которых мы и переходим.