Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Семейство интегралов движения, порожденное производящей функцией до сих пор не было охарактеризовано достаточно явно. Здесь мы покажем, что функция является производящей для локальных интегралов движения, и дадим явную процедуру для их последовательного определения через $\psi(x) u \bar{\psi}(x)$. Под локальными функционалами мы подразумеваем функционалы на фазовом пространстве $\mathscr{M}_{L, \theta}$ вида где $P(x)$ является полиномом от $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ и их производных в точке $x$. Естественно, что квазипериодические функции $\psi(x)$, $\bar{\psi}(x)$ предполагаются бесконечно дифференцируемыми. Упомянутая процедура будет основана на асимптотическом разложении $p_{L}(\lambda)$ при больших вещественных $\lambda$ которое следует из (3.24), (3.50) и (4.2). Здесь мы покажем, что коэффициенты $I_{n}$ являются локальными функционалами от $\psi(x)$ и $\bar{\psi}(x)$. Для этого рассмотрим сначала матрицу перехода $T(x, y, \lambda)$. В предыдущем параграфе мы доказали, что для нее справедливо асимптотическое разложение (3.43). Покажем, что это разложение можно перестроить и привести к виду где $W$ и $Z$ являются соответственно антидиагнальной и диагональной матрицами, допускающими при $|\lambda| \rightarrow \infty$ асимптотические представления Очевидно, что разложение, порсжденное правой частью (4.5), имеет структуру (3.43). Поэтому для доказательства (4.5) до- В геометрических терминах формулу (4.5) можно интерпретировать как калибровочное преобразование (см. (2.19)) с матрицей $G(x, \lambda)=(I+W(x, \lambda))^{-1}$. Это преобразование асимптотически приводит матрицу перехода к диагональному виду $\exp Z(x, y, \lambda)$. Альтернативно можно сказать, что это калибровочное преобразование асимптотически приводит к диагональному виду матрицу $U(x, \lambda)$ из дифференциального уравнения (3.5). Вернемся теперь к задаче (3.5) — (3.6) для $T(x, y, \lambda)$ и определим матрицы $W(x, \lambda)$ и $Z(x, y, \lambda)$. Для этого подставим представление (4.5) в уравненне (3.5), сократим на не зависящую от $x$ матрицу $(I+W(y, \lambda))^{-1}$ и отделим диагональную и антидиагональную части. В результате получим систему уравнений где мы опять использовали разложение $U(x, \lambda)=U_{\theta}(x)+\lambda U_{1}$, $U_{1}=\frac{1}{2 i} \sigma_{3}$. Исключая $\frac{\partial Z}{\partial x}$ из (4.8), получаем для $W$ нелинейное уравнение типа Риккати где мы учли, что матрица $U_{1}$ антикоммутирует с $W$. определяя асимптотический ряд (4.7) по асимптотическому ряду $(4.6)$ для $W(x, \lambda)$. Подставляя разложение (4.6) в дифференциальное уравнение (4.10), для матриц $W_{n}(x)$ получаем рекуррентные соотношения и начальное условие из которых они однозначно определяются и локально выражаются через $U_{0}(x)$ и ее производные в точке $x$. В силу (4.12) и (4.13) асимптотический ряд $W(x, \lambda)$ удовлетворяет условиям инволюции и квазипериодичности Таким образом, $W(x, \lambda)$ представляется в виде где и функции $w_{n}(x)$ квазипериодичны: В терминах $w_{n}(x)$ рекуррентные соотношения и начальное условие принимают вид и Возвращаясь к представлению для $Z$, мы видим, что диагональная матрица $U_{0} W$, участвующая в (4.11), имеет вид где асимптотические ряды $\bar{\psi}(x) w(x, \lambda)$ и $\psi(x) \bar{w}(x, \bar{\lambda})$ уже периодичны. На этом закончим описание перестройки асимптотического разложения матрицы перехода $T(x, y, \lambda)$. Перейдем теперь к матрице монодромии. Из (4.5) получаем для нее представление где В силу сказанного выше интеграл в (4.23) не зависит от выбора фундаментальной области. Перемножая асимптотические ряды, участвующие в сомножителях $I+W( \pm L, \lambda)$ и $Z_{L}(\lambda)$, из (4.22) получаем для $T_{L}(\lambda)$ представление в виде асимптотического ряда, совпадающего по форме с (3.24) — (3.25). Тем самым мы получили способ вычисления коэффициентов $a_{n}, \hat{a}_{n}$ и $b_{n}, \tilde{b}_{n}$, участвующих в разложениях $(3.24)-(3.25)$. В частности, для коэффициентов $I_{n}$ в разложении функции $p_{L}(\lambda)$ эта процедура существенно упрощается. Действительно, используя условие квазипериодичности, получаем из (4.22) так что В силу унимодулярности матрицы $T_{L}(\lambda) Q(\theta)$ получаем, что Отсюда на основании (4.11) и (4.21) заключаем, что является асимптотическим рядом с вещественными коэффициентами В результате для $Z_{L}(\lambda)$ получаем выражение так что что и делает естественным введение функции $p_{L}(\lambda)=$ $=\arccos \frac{1}{2} F_{L}(\lambda)$ в (4.2). где функция $\varphi_{L}(\lambda)$, введенная в (4.27), допускает асимптотическое разложение Здесь где и представляют собой полиномы от $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ и их производных в точке $x$. Отсюда и из периодичности $P_{n}(x)$ следует, что $I_{n}$ являются допустимыми функционалами на $\mathscr{M}_{L, \theta}$, т. е. удовлетворяют условиям (1.34). Функционалы $I_{n}, n=1,2, \ldots$ и представляют собой локальные интегралы движения модели НШ в квазипериодическом случае. Как это следует из (4.35), первые три из них $-I_{1}, I_{2}$ и $I_{3}$ — совпадают с введенными в § 1 функционалами $N, P$ и $H$. В дальнейшем мы убедимся, что все интегралы движения $I_{n}$ находятся в инволюции по отношению к введенной в § 1 скобке Пуассона. Приведенные здесь и в предыдущих параграфах результаты исчерпывают основные элементарные свойства модели НШ и матрицы монодромии для квазипериодических граничных условий. Полное описание динамики в этом случае требует привлечения более сложного аппарата, выходящего за рамки этой книги. Значительные упрощения возникают при $L \rightarrow \infty$ для граничных условий быстрого убывания и конечной плотности, к исследованию которых мы и переходим.
|
1 |
Оглавление
|