Процедура одевания общего уравнения нулевой кривизны
\[
\frac{\partial U(\lambda)}{\partial t}-\frac{\partial V(\lambda)}{\partial x}+[U(\lambda), V(\lambda)]=0
\]

была изложена в § 1.6 и состояла в следующем: по исходным данным $U(x, t ; \lambda)$ и $V(x, t ; \lambda)$ – рациональным функциям $\lambda$ со значениями в алгебре Ли g группы Ли $G$, удовлетворяющим уравнению (4.75), мы строини новое решение $U^{g}(\lambda)$ и $V^{g}(\lambda)$ уравнения (4.75), параметризованное элементом $g$ из группы $C(G)$ – группы Ли функций $g(\lambda)$ на контуре $\Gamma$ в $\mathbb{C}$ со значениями в $G$. Для этого мы использовали решение $F(x, t, \lambda)$ совместной системы уравнений
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial F}{\partial x}=U(x, t, \lambda) F, \\
\frac{\partial F}{\partial t}=V(x, t, \lambda) F
\end{array}
\]

и решали при каждом $x$ и $t$ задачу о факторизации
\[
F g F^{-1}(\lambda)=\left(F g F^{-1}\right)_{+}(\lambda)\left(F g F^{-1}\right)_{-}(\lambda),
\]

где функции $h_{+}(\lambda)=\left(F g F^{-1}\right)_{+}(\lambda)$ и $h_{-}(\lambda)=\left(F g F^{-1}\right)_{-}(\lambda)$ допускают аналитическое продолжение соответственно во внутренность и внешность контура $Г$. После этого, полагая
\[
F^{g}=h_{+}^{-1} F=h_{-} F g^{-1},
\]

мы определяли $U^{g}(\lambda)$ и $V^{s}(\hat{\lambda})$ по формулам
\[
U^{g}=\frac{\partial F^{g}}{\partial x}\left(F^{g}\right)^{-1}, \quad V^{g}=\frac{\partial F^{g}}{\partial t}\left(F^{g}\right)^{-1} .
\]

При этом сохранялись и дивизоры полюсов функций $U(\lambda)$ и $V(\lambda)$ или, на нашем новом яззке, пуассоновы подмногообразия, конечномерные при фиксированных $x$ (см. § I. 6 и § 1).

Здесь мы выясним смысл одевающих преобразований как преобразований на фазовом пространстве $\mathscr{C}^{*}((\mathrm{~g}))$ функций $U(x, \lambda)$.

Нетрудно убедиться, что для двух последовательных преобразований с функциями $g_{1}(\lambda)$ и $g_{2}(\lambda)$ мы имеем
\[
F^{g_{1} g_{2}}(x, \lambda)=\left(F^{g_{2}}\right)^{g_{1}}(x, \lambda) .
\]

Действительно, используя оба представления (4.79) и элементарные свойства
\[
\left(g_{+} f\right)_{-}=f_{-}, \quad\left(g f_{-}\right)_{-}=g_{-} f_{-},
\]

получаем
\[
\begin{array}{l}
\left(F^{g_{2}}\right)^{g_{1}}=\left(F^{g_{2}} g_{1} F^{g_{2}^{-1}}\right), F^{g_{2}} g_{1}^{-1}= \\
=\left(\left(F g_{2} F\right)_{+}^{-1} F g_{1} g_{2} F^{-1}\left(F g_{2} F^{-1}\right)_{-}^{-1}\right)_{-}\left(F g_{2} F^{-1}\right)_{-} F g_{2}^{-1} g_{1}^{-1}= \\
=\left(F g_{1} g_{2} F^{-1}\right)_{-} F\left(g_{1} g_{2}\right)^{-1}=F^{g_{1} g_{2}} . \\
\end{array}
\]

Однако соответствующее групповое свойство для элементов фазового пространства $U^{g}$, вообще говоря, неверно. Действительно, функция $U$ не меняется при правом умножении $F \rightarrow F g$, которое не коммутирует с описанным действием группы $C(G)$ $F \mapsto F^{g}$. Эту ситуацию можно исправить, фиксируя значение функций $F(x, \lambda)$ в одной точке $x$, например, при $x=-L$ :
\[
\left.F(x, \lambda)\right|_{x=-L}=I \text {. }
\]

Модифицированное одевание
\[
F^{g}=h_{+}^{-1} F h_{+}=h_{-} F h_{-}^{-1}
\]

сохраняет граничное условие (4.84), но уже не является действием группы $C(G)$.

Замечательно, что существует аруппа, для которой формула (4.85) задает групповое действие. Как множество она совпадает с $C(G)$, но имеет другой закон умножения
\[
g \circ f=f_{+} g_{+} g_{-} f_{-},
\]

где $g=g_{+} g_{-}$и $f=f_{+} f_{-}$(при условии, что задача о факторизации в $C(G)$ однозначно разрешима). Эту группу будем обозначать через $C_{0}(G)$, а подгруппы, порожденные элементами $g_{+}$и $g_{-}$, 一 через $C_{+}(G)$ и $C_{-}(G)$. Эти подгруппы коммутируют в $C_{0}(G)$, и

закон умноження в каждой из них имеет вид
\[
g_{+} \circ f_{+}=f_{+} g_{+}, \quad g_{-} \circ f_{-}=g_{-} f_{-} .
\]

Сравнение с формулами (1.22) – (1.23) показывает, что алгебры Ли групп $C_{0}(G)$ и $C_{ \pm}(G)$ совпадают (с точностью до обращения знака у коммутатора) соответственно с введенными в $\$ 1$ алгебрами Ли $C_{0}(\mathrm{~g})$ и $C_{ \pm}(\mathrm{g})$.

Проверим, что формула (4.85) задает действие группы $C_{0}(G)$. Соответствующая выкладка практически аналогична (4.83):
\[
\begin{array}{l}
(F)^{g}=\left(F^{i} g F^{j^{-1}}\right)_{-} F^{\xi} g_{-}^{-1}= \\
=\left(\left(F f F^{-1}\right)_{+}^{-1} F f_{+} g f_{-} F^{-1}\left(F f F^{-1}\right)_{-}^{-1}\right)_{-}\left(F \dot{f} F^{-1}\right)_{-} F f_{-}^{-1} g_{-}^{-1}= \\
=\left(F f_{+} g_{+} g_{-} f_{-} F^{-1}\right)_{-} \cdot F\left(g_{-} f_{-}\right)^{-1}=F^{g \circ f} . \\
\end{array}
\]

Формула
\[
U^{g}(x, \lambda)=\frac{d}{d x} F^{g}\left(F^{g}\right)^{-1}=\frac{d}{d x} h_{-} h_{-}^{-1}+h_{-} U h_{-}^{-1}=\widetilde{A} d^{*} h_{-} \cdot U(x, \lambda)
\]
(сравни с (4.41)) переносит это действие на фазовое пространство $\mathscr{C}^{*}((\mathrm{~g}))$. Более того, преобразование $U \mapsto U^{\varepsilon}$ действует только в некотором расширении пространства $C^{*}((\mathrm{~g}))$, поскольку оно, вообще говоря, нарушает условие периодичности. Мы не будем здесь давать соответствующих уточнений.

Уместно сравнить формулы процедуры одевания (4.78), (4.89) с формулами (4.16) – (4.17) для решений уравнений движения в общей схеме п. 1. Они практически совпадают по виду, но факторизуемые матрицы в (4.78) и (4.16), на первый взгляд, различны: в процедуре одевания участвует произвольная функция $g(\lambda)$, подобно преобразованная при помощи решения уравнения вспомогательной линейной задачи $F(x, \lambda)$, а для решения уравнений движения мы факторизовали функцию $\exp \{-t
abla f(U(x, \lambda))\}$, где $f(U)$ – элемент алгебры Қазимира $I(\mathscr{C}((\mathfrak{g})))$. Однако можно показать, что
\[
\exp \{-t
abla f(U)\}=F g_{0}(\lambda, t) F^{-1},
\]

где $F(x, \lambda)$ – решение уравнения вспомогательной линейной задачи для начального условия $U(x, \lambda)$, а $g_{0}(\lambda, t)$ принимает значения в картановской подгруппе $K$ группы $G$, не зависящей от $t$. Действительно, рассмотрим функции $h(\lambda)$, переводящую матрицу монодромии в функцию, принимающую значения в фиксированной картановской подгруппе $K$,
\[
T(U(\cdot, \lambda))=h\left(\lambda ; \hat{T}(U(\cdot, \lambda)) h^{-1}(\lambda)=h(\lambda) \exp C(\lambda) h^{-1}(\lambda),\right.
\]

где $C(\lambda)$ принимает значения в соответствующей картановской
\[
U(x, \lambda)=\tilde{\operatorname{A}}{ }^{*} h(x, \lambda) \cdot \hat{U}_{0}(\lambda),
\]

где
\[
\hat{U}_{0}(\lambda)=\frac{1}{2 L} C(\lambda), \quad h(x, \lambda)=F(x, \lambda) h(\lambda) \exp \left(-\frac{x+L}{2 L} C(\lambda)\right)
\]

и $F(x, \lambda)$ удовлетворяет уравнению вспомогательной линейной задачи с граничным условием (4.84). Теперь, вспоминая, что градиент инвариантной функции преобразуется подобно, получим формулу
\[

abla f(U(x, \lambda))=F(x, \lambda) h(\lambda)
abla f\left(\hat{U}_{0}\right) h^{-1}(\lambda) F^{-1}(x, \lambda),
\]

где мы учли, что $
abla f\left(\hat{U}_{0}\right)$, так же как $\hat{U}_{0}$, принимает значения в f. Формула (4.90) немедленно следует из (4.94). Это замечание показывает, что преобразование динамики естественно включаєтся в общую группу процедуры одевания. В частности, из него еще раз следует, что процедура одевания переводит множество решений уравнений движения в себя. Однако, в отличие от преобразований динамики, общее преобразование одевания не является гамильтоновым.

На этом мы закончим описание общей геометрической схемы метода обратной задачи. Конечно, наше изложение было неполпым. Аналитическое обоснование приведеных формальных бесконечномерных конструкций выходит за рамки настояцей книги. Тем не менее мы привели здесь эту общую схему, поскольку она представляется нам достаточно элегантной и проливает свет на основные конструкции метода обратной задачи, которые мы использовали при рассмотрении конкретных моделей на протяжении всей книги.