В $\S 3$ мы убедились, что матрица перехода $T(x, y, \lambda)$ удовлетворяет уравнению эволюции
\[
\frac{\partial T}{\partial t}(x, y, \lambda)=V(x, \lambda) T(x, y, \lambda)-T(x, y, \lambda) V(y, \lambda),
\]

когда функции $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ удовлетворяют уравнению движения модели НШ. Здесь для быстроубывающих $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ мы перейдем в уравнении (7.1) к пределу $y \rightarrow-\infty, x \rightarrow+\infty$ и получим простые эволюционные уравнения для коэффициентов перехода.
Для этого заметим, что при $|x| \rightarrow \infty$
\[
V(x, \lambda) \rightarrow V(\lambda)=\frac{i \lambda^{2}}{2} \sigma_{3},
\]

так что матрица $V(\lambda)$ коммутирует с $E(x, \lambda)$. Умножим уравнение (7.1) при вещественных $\lambda$ справа на матрицу $E(y, \lambda)$ и

перейдем к пределу $y \rightarrow \pm \infty$. Вспоминая определение решений Иоста $T_{ \pm}(x, \lambda)$ — формулу (5.2), получаем для них уравнения
\[
\frac{\partial T_{ \pm}}{\partial t}(x, \lambda)=V(x, \lambda) T_{ \pm}(x, \lambda)-\frac{i \lambda^{2}}{2} T_{ \pm}(x, \lambda) \sigma_{3} .
\]

Повторяя эту операцию по переменной $x$, получаем уравнение для приведенной матрицы монодромии
\[
\frac{\partial}{\partial t} T(\lambda, t)=\frac{i \lambda^{2}}{2}\left[\sigma_{3}, T(\lambda, t)\right]
\]

Последнее уравнение замечательно тем, что в нем полностью исчезла зависимость от функций $\psi(x), \bar{\psi}(x)$. В терминах коэффициентов перехода непрерывного спектра оно переписывается в следующем явном виде:
\[
\frac{\partial}{\partial t} a(\lambda, t)=0, \quad \frac{\partial}{\partial t} b(\lambda, t)=-i \lambda^{2} b(\lambda, t) .
\]

В частности, отсюда видно, что при $\operatorname{Im} \lambda=0$ коэффициент $a(\lambda)$ не зависит от времени
\[
a(\lambda, t)=a(\lambda, 0) .
\]

В силу аналитичности это верно и при $\operatorname{Im} \lambda>0$, откуда следует, что нули $\lambda_{j}$ функции $a(\lambda)$ также не зависят от $t$. Таким образом, в быстроубывающем случае роль производящей функции законов сохранения играет коэффициент $a(\lambda)$.

Определим теперь эволюцию коэффициентов перехода кретного спектра. Для этого воспользуемся уравнениями (7.3) для столбцов $T_{-}^{(1)}(x, \lambda)$ и $T_{+}^{(2)}(x, \lambda)$ :
\[
\frac{\partial T_{-}^{(1)}}{\partial t}(x, \lambda)=V(x, \lambda) T_{-}^{(1)}(x, \lambda)-\frac{i \lambda^{2}}{2} T_{-}^{(1)}(x, \lambda)
\]

и
\[
\frac{\partial T_{+}^{(3)}}{\partial t}(x, \lambda)=V(x, \lambda) T_{+}^{(2)}(x, \lambda)+\frac{i \lambda^{2}}{2} T_{+}^{(2)}(x, \lambda) .
\]

Эти уравнения справедливы и при $\operatorname{Im} \lambda>0$ и в случае $\lambda=\lambda_{j}$ совместны с равенством $(6.20)$
\[
T_{-}^{(1)}\left(x, \lambda_{j}\right)=\gamma_{j} T_{+}^{()}\left(x, \lambda_{j}\right),
\]

только если
\[
\frac{d}{d t} \gamma_{j}(t)=-i \lambda_{i}^{2} \gamma_{j}(t), \quad j=1, \ldots, n .
\]

Уравнения (7.5) и (7.10) тривиально решаются и зависимость от времени коэффициентов перехода дается замечатель-

ными по своей простоте формулами
\[
\begin{array}{c}
b(\lambda, t)=e^{-i \lambda_{2}^{2} t} b(\lambda, 0), \\
\gamma_{j}(t)=e^{-i \lambda_{j}^{2} t} \gamma_{j}(0), \quad j=1, \ldots, n .
\end{array}
\]

В этом и заключается обещанное в конце предыдущего паратрафа упрощение динамики при отображении (6.30). В новых переменных уравнения движения решаются явно. С точностью до утверждения об обратимости отображения (6.30) можно говорить о том, что формулы (7.11) дают полное решение начальной задачи (1.1)-(1.2) для быстроубывающего случая.

Обсудим теперь локальные интегралы движения. Будем считать, что $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ являются функциями типа Шварца. С тем чтобы использовать уже известные результаты, предположим, что $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ получаются пределом $L \rightarrow \infty$ из функций $\psi_{L}(x)$, $\bar{\psi}_{L}(x)$ — периодических функций с периодом $2 L$. В этом случае плотности $P_{n}(x)$ локальных интегралов движения, определяемые формулами (4.19) — (4.20) и (4.34), имеют пределы при $L \rightarrow \infty$, которые также являются функциями типа Шварца. Поэтому в выражении (4.33) для законов сохранения можно перейти к пределу $L \rightarrow \infty$, после чего они приобретают вид
\[
I_{n}=\int_{-\infty}^{\infty} P_{n}(x) d x .
\]

Здесь $P_{n}(x)$ строится по $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ с помощью формул (4.19)(4.20) и (4.34).

Рассмотрим теперь предельный переход $L \rightarrow \infty$ в производящей функции $p_{L}(\lambda)$ :
\[
p_{L}(\lambda)=\arccos \frac{1}{2} \operatorname{tr} T_{L}(\lambda)
\]

Обратим внимание, что, в отличие от (4.1)-(4.2), мы положили $\theta=0$. Из определения приведенной матрицы монодромии $T(\lambda)$ и (5.47) получаем, что при вещественных $\lambda$ и $L \rightarrow \infty$
\[
\begin{aligned}
\operatorname{tr} T_{L}(\lambda)=e^{-i \lambda L} a(\lambda) & +e^{i \lambda L} \bar{a}(\lambda)+o(1)= \\
& =2|a(\lambda)| \cos (\arg a(\lambda)-\lambda L)+o(1) .
\end{aligned}
\]

Из соотношения нормировки следует, что
\[
|a(\lambda)|=1+O\left(|\lambda|^{-\infty}\right),
\]

поскольку $b(\lambda)$ является функцией типа Шварца. Поэтому с точностью до $O\left(|\lambda|^{-\infty}\right)$ имеем при $L \rightarrow \infty$
\[
p_{L}(\lambda)=-\lambda L+\arg a(\lambda)+o(1)=-\lambda L+\frac{1}{i} \ln a(\lambda)+o(1),
\]

где мы использовали формулу
\[
\ln a(\lambda)=i \arg a(\lambda)+O\left(|\lambda|^{-\infty}\right),
\]

вытекающую из (7.15).
Таким образом, прєдел производящей функции законов сохранения при $L \rightarrow \infty$ совпадает с $\ln a(\lambda)$ :
\[
\lim _{L \rightarrow \infty}\left(p_{L}(\lambda)+\lambda L\right)=\frac{1}{i} \ln a(\lambda)
\]

где равенство понимается с точностью до $O\left(|\lambda|^{-\infty}\right)$. Сравнивая это равенство с (4.4), получаем, что $\ln a(\lambda)$ является производящей функцией локальных интегралов движения:
\[
\ln a(\lambda)=i x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_{n}}{\lambda^{n}}+O\left(|\lambda|^{-\infty}\right) .
\]

Равномерность асимптотического ряда (4.4) для $p_{L}(\lambda)+\lambda L$ по $L$ при $L \rightarrow \infty$ очевидным образом следует из доказанного в $\S 6$ существования предела в интегральном представлении (3.44) для $E(-L, \lambda) T_{L}(\lambda) E(-L, \lambda)$ при $L \rightarrow \infty$.

Коэффициенты разложения (7.19) можно определить из представлений (6.22)-(6.23). Плотности $\ln \left(1+\varepsilon|b(\mu)|^{2}\right)$ в интегралах (6.22) и (6.23) являются функциями типа Шварца, и разложение знаменателя $\frac{1}{\mu-\lambda}$ в геометрическую прогрессию определяет асимптотический ряд

где
\[
\ln a(\lambda)=i x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{c_{n}}{\lambda^{n}}+O\left(|\lambda|^{-\infty}\right),
\]
\[
\begin{array}{l}
c_{k}=\frac{1}{2 \pi x} \int_{-\infty}^{\infty} \ln \left(1+\varepsilon|b(\lambda)|^{2}\right) \lambda^{k-1} d \lambda+ \\
\quad+\frac{1}{i \varkappa k} \sum_{j=1}^{n}\left(\bar{\lambda}_{j}^{k}-\lambda_{j}^{k}\right), \quad k=1,2, \ldots
\end{array}
\]

Здесь $\varepsilon=\operatorname{sign} x$ и при $\varepsilon=1$ сумма по нулям в правой части (7.21) отсутствует.

Сравнение асимптотических разложений (7.19) и (7.20) приводит к тождествам
\[
c_{n}=I_{n}=\int_{-\infty}^{\infty} P_{n}(x) d x,
\]

которые.связывают функционалы от $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ с функционалами от $b(\lambda), \bar{b}(\lambda)$ и $\lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}$. В спектральной теории такие формулы называются тождествими следов.

Для наших целей важно, что мы сумели представить интегралы движения $I_{n}$ как функционалы от новых переменных $\left(b(\lambda), \bar{b}(\lambda), \lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}, \gamma_{j}, \bar{\gamma}_{j}, j=1, \ldots, n\right)$, введенных в (6.30). Характерно, что в них участвует только половина этих переменных, а именно, $|b(\lambda)|^{2}$ и $\lambda_{j}, \lambda_{j i}$. Интерпретация этого факта в терминах гамильтоновой механики будет дана в гл. III.