Рассматриваемая модель представляет собой динамическую систему, порожденную нелинейным уравнением
$$i\frac{\partial \psi }{\partial t}=-\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+2x|\psi {|}^2\psi$$

и начальным условием
$${\psi (x,t)|}_{t=0}=\psi (x).$$

Здесь $\psi (x,t)$ — комплекснозначная функция (классическое заряженное поле), а $|\psi {|}^2=\psi \overline{\psi }$, где черта означает комплексюе сопряжение. В уравнение (1.1) входит вещественный параметр $x$-константа связи. Переменная $x$ пробегает всю вещественную ось $-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }$, а начальные данные $\psi (x)$ предполагаются достаточно гладкими.

В линейном пределе $x=0$ уравнение (1.1) совпадает с уравнением Шредингера для волновой функции свободной одномерной частицы с массой $m=1/2$. Отсюда происходит жаргонное название (1.1) — нелинейное уравнение Шредингера, хотя физический смысл его далек от квантовой механики одночастичной системы. Наиболее содержательные физические приложения уравнение (1.1) имеет в нелинейной оптике. В то же время оно представляет собой достаточно универсальную модель нелинейного уравнения.

Начальную задачу (1.1)-(1.2) следует снабдить граничными условиями. Мы будем рассматривать три типа таких условий.
1) Быстроубывающий случай. Считается, что
$$\psi (x,t)\to 0\text{ при }|x|\to \mathrm{\infty }$$

достаточно быстро, например, $\psi$ принадлежит пространству Шварца $\mathcal{I}\left({\mathbb{R}}^1\right)$, т. е. $\psi$ бесконечно дифференцируема и при $|x|\to \mathrm{\infty }$ убывает вместе со всеми своими производными быстрее любой степени $|x{|}^{-1}$. Ниже будем использовать и более слабые условия.

2) Случай конечной плотности. Считается, чтс
$$\psi (x,t)\to \rho e^{i{\phi }_{\pm }(t)}\text{ при }x\to \pm \mathrm{\infty },$$

где $\rho >0$, а $0⩽{\phi }_{\pm }<2\pi$. Величина ${\rho }^2$ играет роль плотности, а ${\phi }_{\pm }$называются асимптотическими фазами.

Будем говорить, что граничные условия принимаются в смысле Шварца, если $\psi -\rho e_{\pm }^{\text{іч }}$ является функцией типа Шварца в окрестности $\pm \mathrm{\infty }$. Этот термин мы будем часто использовать в дальнейшем.

Условие (1.4) согласовано с уравнением (1.1) в том смысле, что $\rho$ и $\theta ={\phi }_{+}-{\phi }_{-}$не зависят от времени. Однако удобнее сделать постоянными обе фазы ${\phi }_{+}$и $\phi$-. Для этого уравнение (1.1) следует модифицировать, добавив линейный член $-2x{\rho }^2\psi$, так что оно запишется в виде
$$i\frac{\partial \psi }{\partial t}=-\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+2x(|\psi {|}^2-{\rho }^2)\psi .$$
3) Квазипериодические граничные условия. Здесь мы считаем, что $\psi$ — гладкая функция, удовлетворяющая условию
$$\psi (x+2L,t)=e^{i\theta }\psi (x,t),$$

где $0⩽\theta <2\pi$ и $\theta$ не зависит от $t$. Қак и в предыдущем случае, это условие согласовано с уравнением (1.1). Ясно, что в этом случае достаточно исследовать уравнение (1.1) в фундаментальной области группы сдвигов, порожденной преобразованием $x\mapsto x+2L$. Для определенности в качестве этой области выберем интервал $-L⩽x<L$.

Условия 3) являются наиболее общими из приведенных. Остальные получаются из (1.6) последовательџыми предельными переходами $L\to \mathrm{\infty },\rho \to 0$.

Уравнение (1.1) вместе с приведенными граничными условиями определяет динамическую систему, которую мы называем моделью НШ.

Убедимся, что эта модель является гамильтоновой для всех трех граничных условий. Мы считаем, что читатель знаком с основными понятиями гамильтоновой механики, во всяком случае для конечномерных динамических систем. Поэтому ниже мы обсудим лишь специфику, связанную с бесконечномерностью нашей системы.

Начнем с быстроубывающего случая. Фазовое пространство ${\mathcal{M}}_0$ является вещественным линейным бесконечномерным пространством, комплексные координаты в котором задаются парами функций $\psi (x)$ и $\overline{\psi }(x)$ из $\mathcal{P}\left({\mathbb{R}}^1\right)$. Наглядно можно считать, что переменная $x$ играет роль номера координат; при фиксированном $x$ значения $\psi (x)$ и $\psi (x)$ пробегают двумерное вещест-

венное пространство ${\mathbb{R}}^2$ с вещественными координатами $\mathrm{Re}\psi (x)=(\psi (x)+\overline{\psi }(x))/2,\mathrm{Im}\psi (x)=(\psi (x)-\overline{\psi }(x))/(2i)$.

Введем алгебру наблюдаемых на фазовом пространстве ${\mathcal{M}}_0$. Для этого рассмотрим вещественнозначные функционалы вида
$$\begin{array}{rl}F(\psi ,\overline{\psi })& =c+\sum _{\begin{array}{c}n,m=0,(n,n,\mp (0,0)\end{array}}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\dots {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_{nn}(y_1,\dots ,y_n\mid z_1,\dots ,z_m)\times \\ & \times \psi \left(y_1\right)\dots \psi \left(y_n\right)\overline{\psi }\left(z_1\right)\dots \overline{\psi }\left(z_m\right)d{y}_1\dots d{y}_{n}d{z}_1\dots d{z}_m,\end{array}$$

где $c_{nm}(y_1,\dots ,y_n\mid z_1,\dots ,z_m)$ — обобщенные функции над $\mathcal{P}\left({\mathbb{R}}^{n+m}\right)$, симметричные по наборам перемених $y_1,\dots ,y_n$ и $z_1,\dots ,z_m$ в отдельности и удовлетворяющие условию вещественности
$$c_{nm}(y_1,\dots ,y_n\mid z_1,\dots ,z_m)=\overline{c_{mn}(z_1,\dots ,z_m\mid \stackrel{―}{y_1,\dots ,y_n)}.}$$

Предположим также, что ряд (1.7) абсолютно сходится при всех $\psi (x),\overline{\psi }(x)$ из $\mathcal{I}\left({\mathbb{R}}^1\right)$. Такие функционалы естественюо называть вещественно-аналитическили.

В соответствии с общим определением вариационных производных
$$\begin{array}{rl}\delta F(\psi ,\overline{\psi })=F(\psi +\delta \psi ,\overline{\psi }& +\delta \overline{\psi })-F(\psi ,\overline{\psi })=\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\frac{\delta F}{\delta \psi (x)}\delta \dot{\psi }(x)+\frac{\delta F}{\delta \overline{\psi }(x)}\delta \overline{\psi }(x))dx\end{array}$$

с точностью до членов болсе высокого порядка малости по $\delta \psi$ и $\delta \overline{\psi }$, для функционалов вида (1.7) имеем
$$\begin{array}{l}\frac{\delta F}{\delta \psi (x)}=\sum _{\begin{array}{c}n,m=n,(n,m)eq(9,0)\end{array}}^{\mathrm{\infty }}n{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\dots {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_{nm}(x,y_1,\dots ,y_{n-1}\mid z_1,\dots ,z_m)\times \\ \times \psi \left(y_1\right)\dots \psi \left(y_{n-1}\right)\overline{\psi }\left(z_1\right)\dots \overline{\psi }\left(z_m\right)d{y}_1\dots d{y}_{n-1}d{z}_1\dots d{z}_m,\\ \frac{\delta F}{\delta \overline{\psi }(x)}=\sum _{\begin{array}{c}n,m=0,(n,m)eq(c,1)\end{array}}^{\mathrm{\infty }}m{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\dots {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_{nm}(y_1,\dots ,y_n\mid x,z_1,\dots ,z_{m-1})\times \\ \times \psi \left(y_1\right)\dots \psi \left(y_n\right)\overline{\psi }\left(z_1\right)\dots \overline{\psi }\left(z_{m-1}\right)d{y}_1\dots d{y}_{n}d{z}_1\dots d{z}_{m-1}.\end{array}$$

Таким образом, вариационные производные $\frac{\delta F}{\delta \psi (x)},\frac{\delta F}{\delta \overline{\psi }(x)}$ являются, вообще говоря, обобщенными функциями. Функционал называется гладким, если эти производные являются функциями из пространства ІШварца.

Гладкие вещественно-аналитические функционалы составляют алгебру наблюдаемых на фазовом пространстве ${\mathcal{M}}_0$. На алгебре наблюдаемых введем nуассонову структуру посредством скобок Пуассона
$$\{F,G\}=i{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\frac{\delta F}{\delta \psi (x)}\frac{\delta G}{\delta \overline{\psi }(x)}-\frac{\delta F}{\delta \overline{\psi }(x)}\frac{\delta G}{\delta \psi (x)})dx.$$

Введения в (1.12) операция очевидным образом удовлетворяет основным свойствам скобок Пуассоиа:
$$\{F,G\}=-\{G,F\}$$
— соойство антисиинетріи и
$$\{F,\{G,H\}\}+\{H,\{F,G\}\}+\{G,\{H,F\}\}=0$$
— тождество Якоби.

Формула (1.12) обобщает па бесконечномерный случай обьчную скобку Пуассона для функций на фазовом пространстве ${\mathbb{R}}^2$ с вещественными координатами $p_k,q_k,k=1,\dots ,n$,
$$\{f,g\}=\sum _{k=1}^n(\frac{\partial f}{\partial p_k}\frac{\partial g}{\partial q_k}-\frac{\partial f}{\partial q_k}\frac{\partial g}{\partial p_k}),$$

записанную в комплексных координатах $z_k=(q_k+i{p}_k)/\sqrt{2},{\overline{z}}_k=$ $=(q_k-i{p}_k)/\sqrt{2}$.
$$\{f,g\}=i\sum _{k=1}^n(\frac{\partial f}{\partial z_k}\frac{\partial g}{\partial {\overline{z}}_k}-\frac{\partial f}{\partial {\overline{z}}_k}\frac{\partial g}{\partial z_k}).$$

Координаты $\psi (x)$ и $\overline{\psi }(x)$ на ${\mathcal{A}}_0$ сами можно рассматривать как функционалы, однако их вариационные производные являются обобщенными фуџкциями
$$\frac{\delta \psi (x)}{\delta \psi (y)}=\delta (x-y),\frac{\delta \overline{\psi }(x)}{\delta \overline{\psi }(y)}=\delta (x-y),$$

а $\frac{\delta \psi (x)}{\delta \overline{\psi }(y)}$ и $\frac{\delta \overline{\mathrm{\Psi }}(x)}{\delta \psi (y)}$ исчезают. Здесь $\delta (x-y)-\delta$-функция Дирака. Подставляя формально (1.17) в выражение (1.12), получаем соотношения
$$\{\psi (x),\psi (y)\}=\{\overline{\psi }(x),\overline{\psi }(y)\}=0,\{\psi (x),\overline{\psi }(y)\}=i\delta (x-y),(1.$$

которые можно положить в определение пуассоновой структуры, считая, что
$$\begin{array}{l}\{F,G\}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\frac{\delta F}{\delta \psi (x)}\frac{\delta G}{\delta \psi (y)}\{\psi (x),\psi (y)\}+\frac{\delta F}{\delta \psi (x)}\frac{\delta G}{\delta \overline{\psi }(y)}\{\psi (x),\overline{\psi }(y)\}+\\ +\frac{\delta F}{\delta \overline{\psi }(x)}\frac{\delta G}{\delta \psi (y)}\{\overline{\psi }(x),\psi (y)\}+\frac{\delta F}{\delta \overline{\psi }(x)}\frac{\delta G}{\delta \overline{\psi }(y)}\{\overline{\psi }(x),\overline{\psi }(y)\})dxdy.\end{array}$$

В самом деле, подставив (1.18) в (1.19), мы получим (1.12). Из этих формул также получаем выражения
$$\frac{\delta F}{\delta {\mathrm{\Psi }}_{-}^{\ast }(x)}=-i\{F,\overline{\psi }(x)\},\frac{\delta F}{\delta \overline{\psi }(x)}=i\{F,\psi (x)\}.$$

Из приведенного определения очевидно, что введенная скобка Пуассона невырожденна на алгебре наблюдаемых, т. е. из ус.іовия
$$\{F,G\}=0$$

для любой наблюдаемой $G$ следует, что $F(\psi ,\overline{\psi })=$ const. Действительно, из (1.21) вытекает, что вариационные производные $\frac{\delta F}{\delta \psi (x)}$ и $\frac{\delta F}{\delta \overline{\psi }(x)}$ исчезают, так что исчезают и коэффициентные функции $c_{nm}(y_1,\dots ,y_n\mid z_1,\dots ,z_m)$ в представлении (1.7). Тем самым можно говорить о симплектической структуре на фазовом пространстве ${\mathcal{M}}_0$. Соответствующая замкнутая 2 -форма $\mathrm{\Omega }$ (симплектинеская форма) имеет вид
$$\mathrm{\Omega }=i{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}d\overline{\psi }(x)\wedge d\psi (x)dx$$

Қаждая наблюдаемая $H$ порождает однопараметрическую группу преобразований на фазовом пространстве ${\mathcal{M}}_0$, задаваемую гамильтоновыли уравнениями движения
$$\frac{\partial \psi }{\partial t}=\{H,\psi \}=-i\frac{\delta H}{\delta \overline{\psi }},\frac{\partial \overline{\psi }}{\partial t}=\{H,\overline{\psi }\}=i\frac{\delta H}{\delta \psi }.$$

Функционал $H$ принято называть гамильтонианом.
В частности, уравнение движения модели НШ — уравнение (1.1) — представляется в виде (1.23), если в качестве гамильтониана $H$ задать следующий функционал:
$$H={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}({\left|\frac{\partial \psi }{\partial x}\right|}^2+x|\psi {|}^1)dx.$$

Гамильтониан $H$ (иногда его называют интегралом энергии) является генератором группы сдвигов по времени.
Наряду с $H$ рассмотрим функционалы
$$N={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|\psi {|}^{2}dx$$

и
$$P=\frac{1}{2i}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\frac{\partial \psi }{\partial x}\overline{\psi }-\frac{\partial \overline{\psi }}{\partial x}\psi )dx.$$

Гамильтоновы преобразования, порождаемые функционалами $N$ и $P$, представляют собой соответственно фазовое преобразование

и сдвиг переменной $x$
$$\psi (x)\mapsto e^{i\phi }\psi (x)$$
$$\psi (x)\mapsto \psi (x+a).$$

Наблюдаемые $N$ и $P$ имеют соответственно смысл заряда (числа частиц) и импульса.
Нетрудно проверить соотношения
$$\{H,P\}=\{H,N\}=0$$

и
$$\{N,P\}=0\text{. }$$

Для этого достаточно убедиться, что уравнение НШ инвариантно относительно преобразований (1.27) и (1.28). Вследствие (1.29) функционалы $N$ и $P$ являются интегралами движения, т. е. их значения постоянны вдоль траекторий уравнений (1.23). Действительно, для любой наблюдаемой $F$ в силу (1.23) имеем
$$\frac{dF}{dt}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\frac{\delta F}{\delta \psi (x)}\frac{\partial \psi (x)}{\partial t}+\frac{\delta F}{\delta \overline{\mathrm{\Psi }}(x)}\frac{\partial \overline{\psi }(x{)}^{\prime }}{\partial t})dx=\{H,F\}.‘$$

Принято говорить, что наблюдаемые находятся в инволюции, если их скобка Пуассона исчезает. Соотношение (1.30) показывает, что интегралы движения $N$ и $P$ находятся в инволюции. В дальнейшем мы убедимся, что модель НШ обладает бесконечным набором инволютивных интегралов движения, что приводит к ее полной интегрируемости.

Рассмотрим теперь квазипериодический случай. Координатами на фазовом пространстве ${\mathcal{M}}_{L,\theta }$ являются пары гладких функций $\psi (x)$ и $\overline{\psi }(x)$, удовлетворяющих условию (1.6). Естественно, что функционалы на ${\mathcal{M}}_{L,\theta }$ зависят от значений $\psi (x)$ и $\overline{\psi }(x)$ лишь в фундаментальной области группы сдвигов $x\mapsto x+2nL$, $n$ — целое.

Определение допустимых функционалов, отвечающих наблюдаемым, отличается от данного выше только в двух пунктах: вопервых, интегрирование по переменным $y_i$ и $z_j$ в (1.7) ведется по фундаментальной области; во-вторых, коэффициентные функции $c_{nm}(y_1,\dots ,y_n\mid z_1,\dots ,z_m)$ должны удовлетворять условиям квазипериодичности
$$\begin{array}{l}{c}_{nm}(y_1,\dots ,y_i+2L,\dots ,y_n\mid z_1,\dots ,z_m)=\\ =e^{-i\theta }{c}_{nm}(y_1,\dots ,y_i,\dots ,y_n\mid z_1,\dots ,z_m),i=1,\dots ,n,\\ c_{nm}(y_1,\dots ,y_n\mid z_1,\dots ,z_j+2L,\dots ,z_m)=\\ =e^{i\theta }{c}_{nm}(y_1,\dots ,y_n\mid z_1,\dots ,z_j,\dots ,z_m),j=1,\dots ,m,\end{array}$$

понимаемым в смысле обобщенных функций. При этом подынтегральные выражения в интегралах вида (1.7) являются периодическими функциями по каждой переменной в отдельности, и интеграл не зависит от выбора фундаментальной области. Попрежнему считается, что вариационные производные даются формулами (1.10)-(1.11) и являются бесконечно дифференцируемыми функциями.

В терминах вариационных производных условия (1.32)(1.33) имеют вид
$$\frac{\delta F}{\delta \psi (x)}={e^{i\theta }\frac{\delta F}{\delta \psi (y)}|}_{y=x+:L},\frac{\delta F}{\delta \overline{\psi }(x)}={e^{-i\theta }\frac{\delta F}{\delta \overline{\psi }(y)}|}_{y=x+\epsilon L}.$$

Скобка Пуассона наблюдаемых определяется аналогично (1.12) и выглядит следующим образом:
$$\{F,G\}=i{\int }_{-L}^L(\frac{\delta F}{\delta \psi (x)}\frac{\delta G}{\delta \overline{\psi }(x)}-\frac{\delta F}{\delta \overline{\psi }(x)}\frac{\delta G}{\delta \psi (x)})dx,$$

где резуітат интегрирования на самом деле не зависит от выбора фундаментальной области. Эта скобка Пуассона по-прежнему невырожденна и не выводит из алгебры наблюдаемых.

Формальные скобки Пуассона координат $\psi (x)$ и $\overline{\psi }(x)$ имеют вид
$$\{\psi (x),\psi (y)\}=\{\overline{\psi }(x),\overline{\psi }(y)\}=0,\{\psi (x),\overline{\psi }(y)\}=i{\delta }_{L,\theta }(x-y),(1.$$

где ${\delta }_{L,\theta }(x)$ — усредненная $\delta$-функция
$${\delta }_{L,\theta }(x)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{i\theta n}\delta (x-2nL),$$

удовлетворяющая условию квазипериодичности по переменной $x$.

И в рассматриваемом случае уравнение НШ представляется в гамильтоновом виде (1.23). Гамильтониан $H$ по-прежнему задается формулой вида (1.24), где интегрирование теперь ведется по фундаментальной области. Аналогичным образом определяются наблюдаемые $N$ и $P$, имеющие такую же физическую интерпретацию, как и выше.

Наряду с функционалами, отвечающими наблюдаемым, в главе III нам будет удобно рассматривать также финитные функционалы. В их определении фиксируется фундаментальная область, например интервал $-L⩽x<L$, и требуется, чтобы носители коэффициентных функций $c_{nm}(y_1,\dots ,y_n\mid z_1,\dots ,z_n)$ по каждой переменной в отдельности лежали внутри этого интервала. При этом вариационные производные считаются гладкими функциями внутри носителя. Для таких функционалов имеет смысл невырожденная скобка Пуассона, задаваемая формулой

(1.35). Алгебра допустимых функционалов получается замыканием фннитных функционалов с наложением условия квазипериодичности. При этом скобка Пуассона наблюдаемых получается как соответствующий предел скобок Пуассона финитных функцноналов.

Наконец, рассмотрим случай конечной плотности. Фазовое пространство ${\mathcal{A}}_{\rho ,\theta }$ получается из ${\mathcal{A}}_{L,\theta }$ при переходе к пределу $L\to \mathrm{\infty }$ из фундаментальной области $-L⩽x<L$, когда мы фиксируем значения функций $\psi (x)$ и $\overline{\psi }(x)$ при $x=-L$, положив их равными $\rho$. В результате пространство ${\mathcal{M}}_{0,\theta }$ параметризуется двумя вещественными параметрами $\rho$ и $\underset{―}{\theta },0<\rho <\mathrm{\infty },0⩽\theta <$ $<2\pi$ п образовано парами функций $\psi (x),\overline{\psi }(x)$, удовлетворяющих в смысле Шварца граничным условиям (1.4), где $\phi -=0$ и ${\phi }_{+}=\theta$. Отметим, что, в отличие от предыдущих примеров, фазовое пространство ${\mathcal{M}}_{\rho ,\theta }$ нелинейно.

Функционалы на ${\mathcal{M}}_{\rho ,\theta }$ получаются как предельные значения при $\dot{L}\to \mathrm{\infty }$ допустимых функционалов вы квазипериодическом случае. Однако допустимье функциональ, отвечающие наблюдаемым, должны удовлетворять дополнительному условию, согласно которому их вариационные производные должны быть функциями типа Шварца. Действительно. $\frac{\delta F}{\delta \psi (x)}$ и $\frac{\delta F}{\delta \overline{\mathrm{\Psi }}(x)}$ входят в гамитьтоновы уравнения (1.23), и убывание этих вариационных производных гарантирует, что гамильтоновы преобразования не выводят из фазового пространства ${\mathcal{M}}_{\rho ,\theta }$.

Скобки Пуассона наблюдаемых задаются снова формулой (1.12), а формальные скобки Пуассона координат $\psi (x)$ и $\psi (x)$ имеют снова вид (1.18), поскольку при $L\to \mathrm{\infty }{\delta }_{L,\theta }(x)$ переходит в обычную $\delta$-функцию. Эта пуассонова структура невырожденна, так как она получается из невырожденной структуры квазипериодического случая предельным переходом $L\to \mathrm{\infty }$ после наложения двух некоммутирующих связей
$$\psi (-L)=\overline{\psi }(-L)=\rho .$$

Простейший пример недопустимого функционала на ${\mathcal{M}}_{\rho ,\theta }$ дается выражением
$$N_{\rho }={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(|\psi {|}^2-{\rho }^2)dx$$
— естественным аналогом заряда в быстроубывающем случае. Действительно, его вариационные производные
$$\frac{\delta N_{\rho }}{\delta \psi (x)}=\overline{\psi }(x),\frac{\delta N_{\rho }}{\delta \overline{\psi }(x)}=\psi (x)$$

не исчезают при $|x|\to \mathrm{\infty }$ в силу граничных условий (1.4). Это связано с тем, что в нашем фазовом пространстве ${\mathcal{M}}_{\mathrm{p},\theta }$ не определены преобразования (1.27), так как значение аргумента $\psi (x)$ при $x\to -\mathrm{\infty }$ фиксировано. Другой пример недопустимого функционала дается наивно регуляризованным гамильтонианом квазипериодического случая
$${\tilde{H}}_{\rho }={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}({\left|\frac{\partial \psi }{\partial x}\right|}^2+x(|\psi {|}^1-{\rho }^4))dx.$$

В то же время функционалы
$$H_{\rho }={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}({\left|\frac{\partial \psi }{\partial x}\right|}^2+x{(|\psi {|}^2-{\rho }^2)}^2)dx$$

и
$$P=\frac{1}{2i}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\frac{\partial \psi }{\partial x}\overline{\psi }-\frac{\partial \overline{\psi }}{\partial x}\psi )dx$$

являются допустимыми на ${\mathcal{M}}_{\rho ,\theta }$ и играют роль гамильтониана и импульса соответственно. Модифицированные уравнения движения (1.5) порождаются именно гамильтөнианом $H_{\rho }$.

В описанных фазовых пространствах ${\mathcal{M}}_0,{\mathcal{K}}_{L,\theta }$ и ${\mathcal{M}}_{\rho ,\theta }$ введенные пуассоновы структуры невырожденны. Однако это ограничение имеет чисто математический характер, будучи порожденным соображениями симплектической геометрии. Ниже мы убедимся, что динамика солитонов в случае конечной плотности более естественно описывается в пространстве ${\mathcal{M}}_{\rho }=\bigcup _{0⩽\theta <\because \pi }{\mathcal{M}}_{\rho ,\theta }$. В пространстве ${\mathcal{M}}_{\rho }$ скобка Пуассона вырожденна и имеет нетривиальный центр (или, как иногда говорят, аннулятор), порожденный динамической переменной $\theta$.

На этом мы заканчиваем формулировку модели НШ и переходим к описанию ее динамики.