Здесь мы введем основные характеристики для вспомогательной линейной задачи модели SG (см. § I.1)
\[
\begin{aligned}
\frac{d F}{d x}=U(x, \lambda) F=\frac{1}{4 i}\left(\beta \pi(x) \sigma_{3}\right. & +m\left(\lambda+\frac{1}{\lambda}\right) \sin \frac{\beta \varphi(x)}{2} \sigma_{1}+ \\
& \left.+m\left(\lambda-\frac{1}{\lambda}\right) \cos \frac{\beta \varphi(x)}{2} \sigma_{2}\right) F,
\end{aligned}
\]

где $\varphi(x)$ и $\pi(x)$ – вещественнозначные функции, $m$ и $\beta$ – положительные константы. Мы будем рассматривать только быстроубывающий случай, когда
\[
\lim _{x \rightarrow-\infty} \varphi(x)=0, \lim _{x \rightarrow+\infty} \varphi(x)=\frac{2 \pi}{\beta} Q, \lim _{|x| \rightarrow \infty} \pi(x)=0,
\]

где $Q$ – целое число (топологическйй заряд; см. § I.1) и граничные значения принимаются в смысле Шварца.

Отличие рассматриваемой вспомогательной линейной задачи состоит в том, что дивизор полюсов $\mathfrak{A}$ матрицы $U(x, \lambda)$ содержит две точки $\lambda=0, \infty$, а не одну $\lambda=\infty$, как это было ранее в моделях НUІ и МГ. На это обстоятельство ниже мы будем обращать особое внимание.