Рассмотрим основные неисчезающие скобки Пуассона модели SG
\[
\{\pi(x), \varphi(y)\}=\delta(x-y)
\]
и перепишем их в виде
\[
\begin{array}{c}
\left\{\pi(x), \sin \frac{\beta \varphi(y)}{2}\right\}=\frac{\beta}{2} \cos \frac{\beta \varphi(x)}{2} \delta(x-y), \\
\left\{\pi(x), \cos \frac{\beta \varphi(y)}{2}\right\}=-\frac{\beta}{2} \sin \frac{\beta \varphi(x)}{2} \delta(x-y) .
\end{array}
\]
Для скобок Пуассона матричных элементов матрицы $U(x, \lambda)$ вспомогательной линейной задачи получаем отсюда
\[
\begin{array}{l}
\{U(x, \lambda) \otimes U(y, \mu)\}=\frac{m \beta^{2}}{32}\left(\left(\lambda+\frac{1}{\lambda}\right) \cos \frac{\beta \varphi(x)}{2} \sigma_{1} \otimes \sigma_{3}-\right. \\
-\left(\lambda-\frac{1}{\lambda}\right) \sin \frac{\beta \varphi(x)}{2} \cdot \sigma_{2} \otimes \sigma_{3}-\left(\mu+\frac{1}{\mu}\right) \cos \frac{\beta \varphi(x)}{2} \sigma_{3} \otimes \sigma_{1}+ \\
\left.\quad+\left(\mu-\frac{1}{\mu}\right) \sin \frac{\beta \varphi(x)}{2} \sigma_{3} \otimes \sigma_{2}\right) \delta(x-y) .
\end{array}
\]
Наша цель состоит в том, чтобы представить правую часть (6.4) в виде следующего коммутатора:
\[
[r(\lambda, \mu), U(x, \lambda) \otimes I+I \otimes U(x, \mu)] \delta(x-y) .
\]
Правая часть (6.4) не содержит функций $\pi(x)$ и $\pi(y)$, и поэтому из явного вида матрицы $U(x, \lambda)$ получаем следующее условие на матрицу $r(\lambda, \mu)$, гарантирующее исчезновение зависи-
мости от $\pi$ в (6.5):
\[
\left[r(\lambda, \mu), \sigma_{3} \otimes I+I \otimes \sigma_{3}\right]=0 .
\]
В соответствии с (6.6) будем искать $r$-матрицу в виде
\[
r(\lambda, \mu)=f(\lambda, \mu)\left(I \otimes I-\sigma_{3} \otimes \sigma_{3}\right)+g(\lambda, \mu)\left(\sigma_{1} \otimes \sigma_{1}+\sigma_{2} \otimes \sigma_{2}\right) .
\]
Используя формулы коммутации матриц Паули, отсюда для двух неизвестных функций $f(\lambda, \mu)$ и $g(\lambda, \mu)$ получаем систему из четырех уравнений:
\[
\begin{aligned}
\left(\lambda+\frac{1}{\lambda}\right) f(\lambda, \mu)+\left(\mu+\frac{1}{\mu}\right) g(\lambda, \mu) & =\frac{\beta^{2}}{16}\left(\lambda-\frac{1}{\lambda}\right), \\
\left(\mu+\frac{1}{\mu}\right) f(\lambda, \mu)+\left(\lambda+\frac{1}{\lambda}\right) g(\lambda, \mu) & =-\frac{\beta^{2}}{16}\left(\mu-\frac{1}{\mu}\right), \\
\left(\lambda-\frac{1}{\lambda}\right) f(\lambda, \mu)+\left(\mu-\frac{1}{\mu}\right) g(\lambda, \mu) & =\frac{\beta^{2}}{16}\left(\lambda+\frac{1}{\lambda}\right), \\
\left(\mu-\frac{1}{\mu}\right) f(\lambda, \mu)+\left(\lambda-\frac{1}{\lambda}\right) g(\lambda, \mu) & =-\frac{\beta^{2}}{16}\left(\mu+\frac{1}{\mu}\right) .
\end{aligned}
\]
Система (6.8) однозначно разрешима и ее решение имеет вид
\[
f(\lambda, \mu)=\frac{\gamma}{2} \frac{\lambda^{2}+\mu^{2}}{\lambda^{2}-\mu^{2}}, \quad g(\lambda, \mu)=-\frac{\gamma \lambda \mu}{\lambda^{2}-\mu^{2}},
\]
1 де
\[
\gamma=\beta^{2} / 8 .
\]
В терминах переменных
\[
\alpha=\ln \lambda, \quad \beta=\ln \mu
\]
имеем
\[
f=\frac{\gamma}{2} \frac{\operatorname{ch}(\alpha-\beta)}{\operatorname{sh}(\alpha-\beta)}, \quad g=-\frac{\gamma}{2 \operatorname{sh}(\alpha-\beta)},
\]
так что
\[
r(\lambda, \mu)=r(\alpha-\beta) \text {. }
\]
В матричной записи (6.7), с учетом (6.11), (6.13), переписывается в виде
\[
r(\alpha)=\frac{\gamma}{\operatorname{sh} \alpha}\left(\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \text { ch } \alpha & -1 & 0 \\
0 & -1 & \text { ch } \alpha & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right),
\]
Итак, мы вывели фундаментальные скобки Пуассона для модели SG:
\[
\{U(x, \lambda) \otimes U(y, \mu)\}=[r(\lambda, \mu), U(x, \lambda) \otimes I+I \otimes U(x, \mu)] \delta(x-y) .
\]
Отсюда получаем выражение для скобок Пуассона матрицы перехода:
\[
\{T(x, y, \lambda) \otimes T(x, y, \mu)\}=[r(\lambda, \mu), T(x, y, \lambda) \otimes T(x, y, \mu)],
\]
где $y<x$.
