Здесь мы определим эволюцию коэффициентов перехода, когда участвующие во вспомогательной линейной задаче функции $\varphi(x, t)$ и $\pi(x, t)=\frac{\partial \varphi}{\partial t}(x, t)$ удовлетворяют уравнению SG. Для этого воспользуемся вытекающим из представления нулевой кривизны эволюционным уравнением для матрицы перехода
\[
\frac{\partial T}{\partial t}(x, y, \lambda)=V(x, \lambda) T(x, y, \lambda)-T(x, y, \lambda) V(y, \lambda),
\]

где
\[
\begin{aligned}
V(x, t, \lambda)=\frac{1}{4 i} \beta \frac{\partial \varphi}{\partial x} \sigma_{3}+\frac{m}{4 i}\left(\lambda-\frac{1}{\lambda}\right) & \sin \frac{\beta \varphi}{2} \sigma_{1}+ \\
& +\frac{m}{4 i}\left(\lambda+\frac{1}{\lambda}\right) \cos \frac{\beta \varphi}{2} \sigma_{2}
\end{aligned}
\]
(см. § I.1). Имеем
\[
\begin{array}{l}
\lim _{x \rightarrow \pm \infty} E_{ \pm}^{-1}(x, \lambda) V(x, t, \lambda) E_{ \pm}(x, \lambda)= \\
=\frac{(-1)^{Q} m}{4 i}\left(\lambda+\frac{1}{\lambda}\right) \lim _{x \rightarrow \pm \infty} E_{ \pm}^{-1}(x, \lambda) \sigma_{2} E_{ \pm}(x, \lambda)=\frac{m}{4 i}\left(\lambda+\frac{1}{\lambda}\right) \sigma_{3},
\end{array}
\]

откуда, переходя в (4.68) к пределам при $y \rightarrow \pm \infty, x \rightarrow+\infty$, получаем эволюционные уравнения для решений Йоста
\[
\frac{\partial T_{ \pm}(x, \lambda)}{\partial t}=V(x, \lambda) T_{ \pm}(x, \lambda)-\frac{m}{4 i}\left(\lambda+\frac{1}{\lambda}\right) T_{ \pm}(x, \lambda) \sigma_{3}
\]

и приведенной матрицы монодромии
\[
\frac{\partial T(\lambda)}{\partial t}=\frac{m}{4 i}\left(\lambda+\frac{1}{\lambda}\right)\left[\sigma_{3}, T(\lambda)\right] .
\]

Таким образом, зависимость от $t$ коэффициентов перехода дается следующими формулами:
\[
\begin{aligned}
a(\lambda, t) & =a(\lambda, 0), \quad b(\lambda, t)=e^{\frac{m i}{2}\left(\lambda+\frac{1}{\lambda}\right) t} b(\lambda, 0), \\
\lambda_{j}(t) & =\lambda_{j}(0), \quad \gamma_{i}(t)=e^{\frac{m t}{2}\left(\lambda_{i}+\frac{1}{\lambda_{j}}\right) t} \gamma_{j}(0), \quad j=1, \ldots, n .
\end{aligned}
\]

Отметим, что условие исчезновения со всеми производными коэффициента $b(\lambda)$ при $\lambda=0$ согласовано с динамикой уравнения SG.

Как уже стало привычным, в быстроубывающем случае роль производящей функции интегралов движения играет коэффициент $a(\lambda)$. Закончим этот параграф описанием процедуры построения локальных интегралов движения.