Рассмотрим основные скобки Пуассона модели МГ
\[
\left\{S_{a}(x), S_{b}(y)\right\}=-\varepsilon_{a b c} S_{c}(x) \delta(x-y)
\]
(см. § I.1) и запишем их в терминах матрицы $S(x)=\sum_{a=1}^{3} S_{a}(x) \sigma_{a}$ :
\[
\{S(x) \otimes S(y)\}=-\sum_{a, b, c=1}^{3} \varepsilon_{a b c} S_{c}(x)\left(\sigma_{a} \otimes \sigma_{b}\right) \delta(x-y) .
\]

Используя формулу умножения для матриц Паули
\[
\sigma_{a} \sigma_{b}=\delta_{a b} I+i \varepsilon_{a b c} \sigma_{c}
\]

и определение матрицы перестановки $P$ из § III. 1 части I
\[
P=\frac{1}{2}\left(I \otimes I+\sum_{a=1}^{3} \sigma_{a} \otimes \sigma_{a}\right),
\]

матрицы $\sigma_{a} \otimes \sigma_{b}-\sigma_{b} \otimes \sigma_{a}$, участвующие в правой части (3.2), можно представить в виде
\[
\sigma_{a} \otimes \sigma_{b}-\sigma_{b} \otimes \sigma_{a}=i \varepsilon_{a b c} P\left(I \otimes \sigma_{c}-\sigma_{c} \otimes I\right) .
\]

Поэтому скобка Пуассона $\{S(x) \otimes \underset{S}{\otimes}(y)\}$ может быть переписана следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\{S(x) \otimes S(y)\}=i P(S(x) \otimes I-I \otimes S(x)) \delta(x-y)= \\
=i[P, S(x) \otimes I] \delta(x-y) .
\end{array}
\]

Получим теперь выражение для скобок Пуассона коэффициентов вспомогательной линейной задачи $U(x, \lambda)=\frac{\lambda}{2 i} S(x)$. Для этого умножим обе части (3.6) на $-\lambda \mu / 4$ и преобразуем правую часть следующим образом:
\[
\begin{aligned}
\frac{\lambda \mu}{4 i}[P, S(x) \otimes I] & =\frac{\lambda \mu}{2(\lambda-\mu)}[P, U(x, \lambda) \otimes I-U(x, \mu) \otimes I]= \\
& =\frac{\lambda \mu}{2(\lambda-\mu)}[P, U(x, \lambda) \otimes I+I \otimes U(x, \mu)] .
\end{aligned}
\]

Окончательно отсюда получаем фундаментальные скобки Пуассона для модели МГ:
\[
\{U(x, \lambda) \otimes \underset{,}{ } U(y, \mu)\}=[r(\lambda, \mu), U(x, \lambda) \otimes I+I \otimes U(x, \mu)] \delta(x-y),
\]

где
\[
r(\lambda, \mu)=\frac{\lambda \mu}{2(\lambda-\mu)} P .
\]

Имеют место формулы связи
\[
r^{\mathrm{M \Gamma}}(\lambda, \mu)=\frac{\lambda \mu}{2} r^{\mathrm{H}}(\lambda-\mu)
\]

или
\[
r^{\mathrm{Mr}}(\lambda, \mu)=-\frac{1}{2} r^{\mathrm{HU}}\left(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\mu}\right),
\]

так что в переменных $1 / \lambda$ и $1 / \mu r$-матрица модели $М Г$ зависит от разности аргументов.

В силу общего рассуждення в § III.1 части I из фундаментальных скобок Пуассона (3.8) получаем выражение для скобок Пуассона матрицы перехода $T(x, y, \lambda)$ :
\[
\{T(x, y, \lambda) \otimes, T(x, y, \mu)\}=[r(\lambda, \mu), T(x, y, \lambda) \otimes T(x, y, \mu)],(3.12)
\]

где $y<x$.