Динамическими переменными являются комплекснозначные вектор-функции $\psi_{a}(x), \bar{\psi}_{a}(x), a=1, \ldots, n$, описывающие заряженное поле с $n$ цветами. Уравнения движения являются непосредственным обобщением обычного уравнения HUI
\[
i \frac{\partial \psi_{a}}{\partial t}=-\frac{\partial^{2} \psi_{a}}{\partial x^{2}}+2 x \sum_{b=1}^{n}\left|\psi_{b}\right|^{2} \psi_{a} .
\]

Пуассонова структура на фазовом пространстве задается скобками Пуассона
\[
\begin{array}{c}
\left\{\psi_{a}(x), \psi_{b}(y)\right\}=\left\{\bar{\psi}_{a}(x), \bar{\psi}_{b}(y)\right\}=0, \\
\left\{\psi_{a}(x), \bar{\psi}_{b}(y)\right\}=i \delta_{a b} \delta(x-y), \quad a, b=1, \ldots, n,
\end{array}
\]

а гамильтониан модели имеет вид
\[
H=\int\left(\sum_{a=1}^{n}\left|\frac{\partial \psi_{a}}{\partial x}\right|^{2}+x\left(\sum_{a=1}^{n}\left|\psi_{a}\right|^{2}\right)^{2}\right) d x,
\]

где интегрирование ведется в соответствин с граничными условиями, обобщающими таковые для обычной модели НШ.

Система уравнений (1.43) обладает естественной $U(n)$-инвариантностью, так что квазипериодические граничные условия ьыглядят следующим образом:
\[
\psi(x+2 L)=\psi(x) U,
\]

где $\psi(x)$ – вектор-строка с компонентами $\psi_{a}(x), a=1, \ldots, n$, а $U$ – постоянная унитарная матрица в $\mathbb{C}^{n}$.

Матрицы $U(x, t, \lambda)$ и $V(x, t, \lambda)$, участвующие в условии нулевой кривизны для векторной модели НШ, имеют вид
\[
U(\lambda)=U_{0}+\lambda U_{1}, \quad V(\lambda)=V_{0}+\lambda V_{1}+\lambda^{2} V_{2}
\]
(сравни с обычной моделью НШІ в $§$ I. 2 части I), где в блочной записи
\[
U_{0}=\sqrt{x}\left(\begin{array}{ll}
0 & \psi^{*} \\
\psi & 0
\end{array}\right), \quad U_{1}=\frac{1}{2 i} \operatorname{diag}(\underbrace{1, \ldots, 1,-1)}_{n}
\]

и
\[
V_{0}=i \sqrt{\bar{x}}\left(\begin{array}{cc}
\sqrt{x} \psi^{*} \psi & -\frac{\partial \psi^{*}}{\partial x} \\
\frac{\partial \psi}{\partial x} & -\sqrt{\bar{x} \psi \psi^{*}}
\end{array}\right), \quad V_{1}=-U_{0}, V_{2}=-U_{1}
\]

Здесь $\psi^{*}(x)$ – вектор-столбец, эрмитово сопряженный к вектору-строке $\psi(x)$, а 0 обозначает нулевой блок размерности $n \times n$.

Эти формулы допускают обобщение и на другие случаи, например когда $\psi(x)$ является матрицей размерности $n_{1} \times n_{2}$. Наиболее общая ситуация описывается в терминах однородных пространств компактных групп Ли.

Этот пример мы привели лишь для иллюстрации важности многомерных вспомогательных пространств. Исследование вспомогательной линейной задачи для систем общего вида размерности, большей 2 , существенно слокнее, чем в двумерном случае, и в этой книге не будет обсуждаться.

На этом мы заканчиваем перечистение основных непрерывных моделей.

Завершим этот параграф общим замечанием по поводу наблюдаемой типа импульса $P$, являющейся генератором сдвига по пространственной переменной $x$, т. е.
\[
\{P, \varphi(x)\}=-\frac{d \varphi}{d x}(x)
\]

дия произвольной локальной наблюдаемой $\varphi(x)$. Покажем, что импульс $P$ допускает явное выражение через 2 -форму $\Omega$, задающую симплектическую структуру.

Именно, пусть $M$-многообразие размерности $n$ с симплектической формой $\omega$. Рассмотрим фазовое пространство $\mathscr{M}$, образованное функциями $u(x)$ со значениями в многообразии $M$, удовлетворяющими периодическим или быстроубывающим граничным условиям. Многообразие $\mathscr{A}$ имеет естественную пуассонову структуру, которая в локальных координатах $u_{a}(x), a=$ $=1, \ldots, n$, задается скобками Пуассона
\[
\left\{u_{a}(x), u_{b}(y)\right\}=\eta_{a b}(u(x)) \delta(x-y), \quad a, b=1, \ldots, n,(1.51)
\]

где $\eta_{a b}$ образуют матрицу Якоби $\eta$ пуассоновой структуры на $M$. Соответствующая симплектическая форма $\Omega$ имеет вид
\[
\Omega(u)=\int \omega(u(x)) d x,
\]

где
\[
\omega(u(x))=-\sum_{1 \leqslant a<b \leqslant n} \eta^{a b}(u(x)) d u_{a}(x) \wedge d u_{b}(x) .
\]

Здесь интегрирование ведется в соответствии с граничными условиями, а $\eta^{a b}$ – матричные элементы матрицы $\eta^{-1}$, обратной к $\eta$ :
\[
\sum_{c=1}^{n} \eta^{a c} \eta_{c b}=\delta_{a^{b}} .
\]
Форма а замкнута, поэтому имеем (по крайней мере локально в фиксированной карте на многообразии $M$ )
\[
\omega=d \theta \text {. }
\]

Принято говорить, что 1-форма $\theta$ является (локальной) первосбразной 2-формы $\omega, \theta=d^{-1} \omega$. Отсюда получаем, что и форма $\Omega$ (в тех же координатах на $\mathscr{M}$ ) имеет первообразную $\Theta$, где
\[
\Theta(u)=\int \theta(u(x)) d x, \quad \theta(u(x))=\sum_{a=1}^{n} \theta^{a}(u(x)) d u_{a}(x)
\]

и
\[
\frac{\partial \theta^{a}}{\partial u_{b}}-\frac{\partial \theta^{b}}{\partial u_{a}}=\eta^{a b}, \quad a, b=1, \ldots, n .
\]

Форма $\Theta$ инвариантна относительно сдвига по переменной $x$. Согласно общим правилам гамильтоновой механики импульс $P$ – генератор сдвига по $x$ – получается в результате применения формы $\Theta$ к касательному вектору $\frac{d u}{d x}$ и в локальных координатах задается формулой
\[
P(u)=-\sum_{a=1}^{n} \int \theta^{a}(u(x)) \frac{d u_{a}(x)}{d x} d x .
\]

В справедливости формулы (1.50) для так определенного функционала $P$ в случае $\varphi(x)=u_{a}(x)$ легко убедиться и непосредственно, используя равенства (1.51), (1.54) и (1.57).

Функции $u_{a}(x), a=1, \ldots, n$, определяют, в силу граничных условий, замкнутый контур на многообразии $M$ – 1 -цикл $\gamma$, так что формула (1.58) может быть переписана в виде
\[
P=-\int_{\gamma} \theta .
\]

Это соотношение можно записать только через симплектическую форму ө, если воспользоваться формулой Стокса. Именно, натянем на контур $\gamma$ пленку $B_{\gamma}$, лежащую в выбранной карте на $M$. Тогда имеем
\[
P=-\int_{B_{\gamma}} \omega .
\]

Проверим, что описанная конструкция действительно дает выражения для импульсов в рассмотренных выше примерах. Для моделей НШ и SG это элементарно, поскольку форма $\omega$ точна, $\omega=d \theta$, где
\[
\theta_{\mathrm{H}}=\frac{1}{2 i}(\psi d \bar{\psi}-\bar{\psi} d \psi), \quad \theta_{\mathrm{SG}}=\pi d \varphi,
\]

после чего остается сравнить общую формулу (1.58) с формулами (I.1.26) части I и (1.27).

Для моделей МГ и Л-Л эта проверка более интересна. Именно, в этом случае форма о совпадает со стандартной формой площади на сфере $\mathbb{S}^{2}$, нормированной условием
\[
\int_{S^{2}} \omega=4 \pi
\]

В отличие от предыдущих примеров, форма $\omega$ не точна и поэтому имеет лишь локальную первообразную $\theta=d^{-1} \omega$. Нетрудно убедиться, что общее выражение (1.59) совпадает с формулой (1.10), если в качестве карты на сфере $\mathbb{S}^{2}$ взять область $\mathbb{S}^{2} \backslash\{(0,0,-1)\}$ и использовать переменные $S_{1}$ и $S_{2}$ в качестве локальных координат. Действительно, в этих координатах имеем
\[
\omega=-\frac{d S_{1} \wedge d S_{2}}{S_{3}}, \quad \theta=\frac{S_{2} d S_{1}-S_{1} d S_{2}}{1+S_{3}},
\]

где $S_{3}=\sqrt{1-S_{1}^{2}-S_{2}^{2}}$.
B локальных координатах другой карты на $\mathbb{S}^{2}$ мы получим для импульса $P$ другое явное выражение. Однако численно (в односвязных картах) эти выражения отличаются лишь на целое кратное площади сферы $\mathbb{S}^{2}$ – величины $4 \pi$. Действительно, из формулы (1.60) следует, что упомянутая многозначность функционала импульса связана с неоднозначностью выбора пленки $B_{\gamma}$. Однако для различных выборов пленки выражения для $P$ отличаются лишь на целое кратное периода $\int_{\mathbb{S}^{2}} \omega$ формы $\omega$, равного 4 л. Поэтому формулу (1.60) для нашего случая можно скончательно записать в виде
\[
P \equiv-\int_{B_{\gamma}} \omega(\bmod 4 \pi) .
\]

Из этой формулы очевидна упоминавшаяся выше $O$ (3)-инвариантность импульса (по $\bmod 4 \pi$ ) для периодических граничных условий.

С еще одним важным примером многозначного функционала мы познакомимся в §5 при обсуждении других моделей.