Здесь мы изложим второй способ решения обратной задачи. В отличие от первого подхода, основанного на задаче Римана об аналитической факторизации матриц-функций, он использует специальную задачу сопряжения аналитических вектор-функций, вытекающую из формулы связи (6.1) решений Иоста.
В терминах переменной $z$ эта формула записывается в виде

где $\operatorname{Im} z=0$ и
\[
T_{-}(x, z)=T_{+}(x, z) T_{\rho}(z),
\]
\[
T_{ \pm}(x, z)=T_{ \pm}(x, \lambda(z)), \quad T_{\rho}(z)=T_{\rho}(\lambda(z)) .
\]

Инволюции (6.3)-(6.4) выглядят следующим образом:
\[
\begin{aligned}
T_{ \pm}\left(x, \frac{\omega^{2}}{z}\right) & =\frac{i z}{\omega} \sigma_{1} \bar{T}_{ \pm}(x, z) \sigma_{3}, \\
T_{\rho}\left(\frac{\omega^{2}}{z}\right) & =\sigma_{3} \bar{T}_{\rho}(z) \sigma_{3} .
\end{aligned}
\]

Для формулировки нужной нам задачи сопряжения рассмотрим соотношение (7.1) для первого столбца $T_{-}^{\mathbf{1})}(x, z)$ матрицы $T_{-}(x, z)$, которое перепишем в виде
\[
\frac{1}{a_{\rho}(z)} T_{-}^{(1)}(x, z)=T_{+}^{(1)}(x, z)+r_{\rho}(z) T_{+}^{(2)}(x, z),
\]

где введено обозначение
\[
r_{\rho}(z)=\frac{b_{\rho}(z)}{a_{\rho}(z)}
\]
(сравни с $\S 4$ ).
Вектор-функция $F_{1}(x, z)=\frac{1}{a_{p}(z)} T_{-}^{(1)}(x, z)$, участвующая в левой части равенства (7.5), аналитически продолжается в верхнюю полуплоскость переменной $z$, за исключением точек $z=z_{j}=\lambda_{j}+i \sqrt{\omega^{2}-\lambda_{j}^{2}}, j=1, \ldots, n$, где она имеет простые полюса, и точки $z=0$, в которой имеется существенная особенность. В силу соотношения (I.9.22)
\[
T_{-}^{(1)}\left(x, z_{j}\right)=\gamma_{j} T_{+}^{(2)}\left(x, z_{j}\right)
\]

получаем, что
\[
\left.\operatorname{res} F_{1}(x, z)\right|_{z=z_{j}}=c_{j} T_{+}^{(2)}\left(x, z_{j}\right)
\]

где
\[
c_{j}=\frac{\gamma_{j}}{\dot{a}_{j}\left(z_{j}\right)}, \quad j=1, \ldots, n,
\]

а точка означает пронзводную по $z$.
В окрестности точки $z=0$ для Пи $z \geqslant 0$ нз формул (I.8.28), (I.8.33) и (I.9.5) для функции $F_{1}(x, z)$ получасм асимптотику
\[
F_{1}(x, z) e\left(\frac{x}{4}, z\right)=\left(\begin{array}{c}
0 \\
\frac{i \omega}{z} e^{i \theta / s}
\end{array}\right)+O(1),
\]

где мы использовали обозначение $e(x, z)$, веденное в $\$ 6$. М3 формул (I.8.28), (I.8.32) и (I.9.4) получаем аснмптотику при $|z| \rightarrow \infty, \operatorname{Im} z \geqslant 0$
\[
F_{1}(x, z) e\left(\frac{x}{4}, z\right)=\left(\begin{array}{c}
e^{-i \theta / 3} \\
0
\end{array}\right)+O\left(\frac{1}{|z|}\right) \text {. }
\]

Рассмотрим теперь правую часть равенства (7.5). Первое слагаемое в ней – вектор-функция $T_{+}^{\mathbf{1})}(x, z)$ – аналитичсски продолжается в нижнюю полуплоскость переменной $z$, за исключением точки $z=0$, в которой имеется существенная особенносін. $И_{3}$ формул (I.8.30), (I.8.32)-(I.8.33) и (I.9.4)-(I.9.5) получаем для $\operatorname{Im} z \leqslant 0$ асимптотики при $z \rightarrow 0$
\[
T_{+}^{(1)}(x, z) e\left(\frac{x}{4}, z\right)=\left(\frac{0}{z} e^{i \theta / 2}\right)+O(1)
\]

и $п р и|z| \rightarrow \infty$
\[
T_{+}^{(1)}(x, z) e\left(\frac{x}{4}, z\right)=\left(\begin{array}{c}
e^{-i \theta / 2} \\
0
\end{array}\right)+O\left(\frac{1}{|z|}\right) .
\]

Столбец $T_{+}^{(2)}(x, z)$, участвующий во втором слагаемом, аналитически продолжается в верхнюю полуплоскость переменной $z$ и связан со столбцом $T_{+}^{(1)}(x, z)$ с помощью инволюции (I.8.36)
\[
T_{+}^{(2)}(x, z)=\sigma_{1} \bar{T}_{+}^{(1)}(x, \bar{z}) .
\]

Соотношение (7.5) вместе со сформулированными условиями аналитичности, свойствами (7.8), (7.14) и асимптотиками (7.10) – (7.13) и представляет собой искомую специальную задачу сопряжения. При этом заданными считаются функция $r_{\rho}(z)$, определенная на вещественной оси, и параметры $z_{j}, c_{j}, j=1, \ldots$ $\ldots, n$. Данные $r_{\rho}(z)$ и $z_{j}, c_{j}$ не являются независимыми. Они удовлетворяют следующим условиям, вытекающим из результатов $\S$ I. 9 .
1) Функция $r_{\rho}(z)$ принадлежит пространству Шварца и вместе со всеми производными исчезает при $z=0$.

Это следует из аналогичного свойства функции $b_{\rho}(z)$ (см. интегральное представление (6.23)).
2) Свойство инволюции
\[
r\left(\frac{\omega^{2}}{z}\right)=-\vec{r}_{\rho}(z)
\]
(см. (7.4)).
3) Имеет место неравенство
\[
\left|r_{\rho}(z)\right| \leqslant 1
\]

приче знак равенства может достигаться лишь в точках $z= \pm \omega, и$ тогда
\[
r_{\mathrm{p}}( \pm \omega)=\mp i
\]
– случай общего положения.
Оно следует из соотношения нормировки
\[
\left|r_{\rho}(z)\right|^{2}=1-\frac{1}{\left|a_{\rho}(z)\right|^{2}}=\frac{\left|b_{\rho}(z)\right|^{2}}{1+\left|b_{\rho}(z)\right|^{2}}
\]

и свойства (I.9.11), имеющего место в случае $\left|a_{\rho}( \pm \omega)\right|=\infty$.
4) Условие ( $\theta$ )
\[
e^{t \theta}=\prod_{i=1}^{n} \frac{\bar{z}_{j}}{z_{i}} \exp \left\{\frac{1}{\pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\ln \left(1-\left|r_{\rho}(z)\right|^{2}\right)}{z} d z\right\} .
\]

Оно представляет собой вариант записи формулы (1.9.44) с использованием равенства
\[
1+\left|b_{\rho}(z)\right|^{2}=\frac{1}{1-\left|r_{\rho}(z)\right|^{2}} .
\]

Здесь $\left|z_{j}\right|=\omega$ в силу того, что вещественные числа $\lambda_{j}$ лежат в лакуне $(-\omega, \omega)$.
5) Условие положительности – величины $m_{j}=-c_{j} / z_{j}, j=1, \ldots$ …, $n$, являются вещественными положительными числами.
Оно следует из равенств
\[
\begin{array}{c}
c_{j}=\frac{\gamma_{j}}{\left.\frac{d a_{\rho}(z)}{d z}\right|_{z=z_{i}}}=\left.\frac{\gamma_{j}}{\frac{d a_{\rho}(\lambda)}{d \lambda}} \frac{d z(\lambda)}{d \lambda}\right|_{\lambda=\lambda_{j}}, \\
\frac{d \lambda(z)}{d z}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{\omega^{2}}{z^{2}}\right)
\end{array}
\]

и соотношения связи (6.26)
\[
\operatorname{sign} i \gamma_{j}=\operatorname{sign} \frac{d a_{\rho}}{d \lambda}\left(\lambda_{j}\right), \quad j=1, \ldots, n
\]
(см. $\S$ I.9).
Формулировка задачи сопряжения для случая конечной плотности (так же как и задачи Римана в § 6) выглядит более громоздко, чем соответствующая задача для быстроубывающего случая в § 4. Однако, в отличие от задачи Римана, ее исследование вполне аналогично быстроубывающему случаю и проводится при помощи сведения ее к системе интегральных уравнений.

Для вывода этой системы воспользуемся интегральными представлениями (I.8.13)–(I.8.14) для решений Иоста
\[
T_{+}(x, z)=Q^{-1}(\theta) E_{\rho}(x, z)+\int_{x}^{\infty} \Gamma_{+}(x, y) Q^{-1}(\vartheta) E_{\rho}(y, z) d y
\]

и
\[
T_{-}(x, z)=E_{\rho}(x, z)+\int_{-\infty}^{x} \Gamma_{-}(x, y) E_{\rho}(y, z) d y,
\]

где
\[
E_{\rho}(x, z)=E_{\rho}(x, \lambda(z))=\left(\begin{array}{cc}
1 & -\frac{i \omega}{z} \\
\frac{i \omega}{z} & 1
\end{array}\right) e^{-\frac{i x}{4}\left(z-\frac{\omega^{2}}{z}\right) \sigma_{3}}
\]
(см. формулу (I.8.9)). Подставим теперь эти представления в (7.5), вычтем из обеих частей этого равенства первый столбец $\mathscr{E}_{\rho}(x, z)$ матрицы $Q^{-1}(\theta) E_{\rho}(x, z)$
\[
\mathscr{E}_{\rho}(x, z)=\left(\begin{array}{c}
e^{-i \theta / z} \\
\frac{i \omega}{z} e^{i \theta / 2}
\end{array}\right) e\left(-\frac{x}{4}, z\right),
\]

умножим обе части получившегося соотношения на функцию $e(y / 4, z), y \geqslant x$, и проинтегрируем его по $z$ от – $\infty$ до $\infty$ (сравни с действиями в $\$ 4$ ). Вычислим возникающие при этом интегралы.

Рассмотрим сначала левую часть, обозначив ее через L. Из асимптотик (7.10)-(7.11) следует, что вектор-функцня $\left(F_{1}(x, z)-\mathscr{E}_{0}(x, z)\right) e(x / 4, z)$ регулярна при $z=0$ и при $|z| \rightarrow \infty$ имеет порядок $O(1 /|z|)$. Поэтому, используя (7.8) и лемму Жордана, заключаем, что
\[
\mathrm{L}=2 \pi i \sum_{j=1}^{n} c_{j} T_{+}^{(2)}\left(x, z_{j}\right) e\left(\frac{y}{4}, z_{j}\right) .
\]

Рассмотрим правую часть, обозначив ее через R. Здесь мы встречаемся с интегралами $\int_{-\infty}^{\infty} e(x, z) d z$ и $\int_{-\infty}^{\infty} e(x, z) \frac{d z}{z}$, понимаемыми в смысле обобщенных функций. Имеем
\[
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty} e(x, z) d z & =\int_{0}^{\infty} e^{i\left(z-\frac{\omega^{2}}{z}\right) x} d z+\int_{-\infty}^{0} e^{i\left(z-\frac{\omega^{2}}{z}\right) x} d z= \\
& =\int_{0}^{\infty} e^{i\left(z-\frac{\omega^{2}}{z}\right) x}\left(1+\frac{\omega^{2}}{z^{2}}\right) d z=\int_{-\infty}^{\infty} e^{i p} d p=2 \pi \delta(x),
\end{aligned}
\]

где во втором интеграле в первом равенстве мы совершили замену переменной $z \mapsto-\omega^{2} / z$. Анапогичным образом доказывается, что
\[
\int_{-\infty}^{\infty} e(x, z) \frac{d z}{z}=0, \quad \int_{-\infty}^{\infty} e(x, z) \frac{d z}{z^{2}}=\frac{2 \pi}{\omega^{2}} \delta(x) .
\]

С помощью этих формул получаем

где
\[
\begin{array}{c}
\tilde{\xi}(x)=\frac{\omega}{8 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} r_{\rho}(z) e\left(\frac{x}{4}, z\right) \frac{d z}{z}, \\
\tilde{\eta}(x)=\frac{e^{i \theta}}{8 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} r_{\rho}(z) e\left(\frac{x}{4}, z\right) d z .
\end{array}
\]

Используя теперь равенство $\mathrm{L}=\mathrm{R}$ и представление (7.24), получаем уравнение
\[
\Gamma_{+}(x, y)\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}
\xi(x+y) \\
\eta(x+y)
\end{array}\right)+\int_{x}^{\infty} \Gamma_{+}(x, s)\left(\begin{array}{l}
\xi(s+y) \\
\eta(s+y)
\end{array}\right) d s=0,
\]

где $y \geqslant x$ и
\[
\left(\begin{array}{l}
\xi(x) \\
\eta(x)
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
\tilde{\xi}(x) \\
\tilde{\eta}(x)
\end{array}\right)+\frac{1}{4 i} \sum_{j=1}^{n} c_{j}\left(\begin{array}{c}
\frac{\omega}{i z_{j}} \\
e^{l \prime}
\end{array}\right) e\left(\frac{x}{4}, z_{j}\right) .
\]

Вспоминая инволюции (I.8.26)-(I.8.27)
\[
\vec{\Gamma}_{ \pm}^{*}(x, y)=\sigma_{1} \Gamma_{ \pm}(x, y) \sigma_{1},
\]

мы можем записать уравнение (7.34) в матричном виде
\[
\Gamma_{+}(x, y)+\Omega(x+y)+\int_{x}^{\infty} \Gamma_{+}(x, s) \Omega(s+y) d s=0,
\]

где $y \geqslant x$ и
\[
\Omega(x)=\left(\begin{array}{ll}
\xi(x) & \vec{\eta}(x) \\
\eta(x) & \xi(x)
\end{array}\right) .
\]

Здесь мы учли, что в силу инволюции (7.15) и условия положительности функция $\xi(x)$ вещественнозначна

Соотношение (7.37) представляет собой интегральное уравнение для матрицы $\Gamma_{+}(x, y)$ и называется уравнением Гельфанда-Левитана – Марченко для правого конца. Отметим, что по форме оно вполне аналогично уравнению Гельфанда – Левитана – Марченко для быстроубывающего случая из \$ 4. Однако матрица $\Omega(x)$ здесь не антидиагональна, а имеет диагональную часть, пропорциональную единичной матрице.

Матрица $U_{0}(x)$, участвующая во вспомогательной линейной задаче
\[
\frac{d T_{ \pm}}{d x}(x, \lambda)=\left(\frac{\lambda \sigma_{3}}{2 i}+U_{0}(x)\right) T_{ \pm}(x, \lambda)
\]

выражается через решение $\Gamma_{ \pm}(x, y)$ по формуле (I.8.17)
\[
U_{0}(x)=U_{+}+\sigma_{3} \Gamma_{+}(x, x) \sigma_{3}-\Gamma_{+}(x, x),
\]

где
\[
U_{+}=Q^{-1}(\theta) U_{-} Q(\theta), \quad U_{-}=\frac{\omega}{2} \sigma_{1} .
\]

Аналогичным образом, рассматривая вытекающее из (7.1) соотношение
\[
\frac{1}{a_{\rho}(z)} T_{+}^{(2)}(x, z)=\tilde{r}_{\rho}(z) T_{-}^{(1)}(x, z)+T_{-}^{(2)}(x, z),
\]

где
\[
\tilde{r}_{\rho}(z)=-\frac{\vec{b}_{\rho}(z)}{a_{\rho}(z)},
\]

и интерпретируя его как соответствующую задачу сопряжения, приходим к уравненин Гельфанда-Левитана-Марченко для левого концза
\[
\Gamma_{-}(x, y)+\widetilde{\Omega}(x+y)+\int_{-\infty}^{x} \Gamma_{-}(x, s) \widetilde{\Omega}(s+y) d s=0, \quad y \leqslant x . \text { (7.44) }
\]

Здесь ядро $\widetilde{\Omega}(x)$ имеет вид
\[
\widetilde{\Omega}(x)=\left(\begin{array}{ll}
\tilde{\xi}(x) & \tilde{\eta}(x) \\
\widetilde{\tilde{\eta}}(x) & \widetilde{\xi}(x)
\end{array}\right),
\]

где
\[
\tilde{\xi}(x)=\frac{i \omega}{8 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{r}_{\rho}(z) e\left(-\frac{x}{4}, z\right) \frac{d z}{z}+\frac{\omega}{4} \sum_{j=1}^{n} \frac{\tilde{c}_{j}}{z_{j}} e\left(-\frac{x}{4}, z_{j}\right)
\]

и
\[
\tilde{\eta}(x)=\frac{1}{8 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{r}_{p}(z) e\left(-\frac{x}{4}, z\right) d z+\frac{1}{4 i} \sum_{j=1}^{n} \tilde{c}_{j} e\left(-\frac{x}{4}, z_{j}\right),(7.47)
\]
a
\[
\tilde{c}_{j}=\frac{1}{\gamma_{j} a_{p}\left(z_{j}\right)}, \quad j=1, \ldots, n .
\]

В формуле (7.45) уже учтено, что в силу инволюции (7.15) и условия положительности функция $\tilde{\check{\xi}}(x)$ вещественнозначна.

Матрица $U_{0}(x)$ выражается через решение $\Gamma_{-}(x, y)$ по формуле (I.8.17):
\[
U_{0}(x)=U_{-}+\Gamma_{-}(x, x)-\sigma_{3} \Gamma_{-}(x, x) \sigma_{3} .
\]

Интегральные уравнения (7.37) и (7.44) составляют основу решения обратной задачи для случая конечной плотности по методу Гельфанда – Левитана – Марченко. Будем считать, что заданы функции $r_{\rho}(z), \tilde{r}_{\rho}(z)$ и набор чисел $z_{j}, c_{j}, \tilde{c}_{j}$ и $\theta, 0 \leqslant \theta<2 \pi$, удовлетворяющие следующим свойствам.
1. Набор $\left\{r_{\rho}(z), z_{j}, c_{j}, j=1, \ldots, n\right\}$ удовлетворяет условиям 1) -5$)$.
2. Функции $r_{\mathrm{p}}(z)$ и $\tilde{r}_{\rho}(z)$ связаны соотношением
\[
\frac{\tilde{r}_{\rho}(z)}{\bar{r}_{\rho}(z)}=-\frac{\bar{a}_{\rho}(z)}{a_{\rho}(z)},
\]

где
\[
a_{\rho}(z)=e^{\frac{i_{0}}{2}} \prod_{j=1}^{n} \frac{z-z_{j}}{z-\bar{z}_{j}} \exp \left\{\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\ln \left(1-\left|r_{\rho}(s)\right|^{2}\right)}{z-s+i 0} d s\right\} .
\]
3. Коэффищиенты с и $_{j}$ удовлетворяют равенству
\[
c_{j} \tilde{c}_{j}=\frac{1}{\dot{a}_{j}^{2}\left(z_{j}\right)}, \quad j=1, \ldots, n .
\]

Тогда утверждается следующее.
I. Уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко (7.37) и (7.44) однозначно разрешимь в пространствах $L_{1}^{(2 \times 2)}(x, \infty)$ и $L_{1}^{(2 \times)}(-\infty, x)$. При этом их решения – матрицы $\Gamma_{ \pm}(x, y)$ являются, соответственно, функциями типа Шварца при $x, y \rightarrow \pm \infty$.
II. Построенные по $\Gamma_{ \pm}(x, y)$ по формулам (7.24) – (7.25) матрицы $T_{ \pm}(x, z)$ удовлетворяют дифференциальным уравнениям
\[
\frac{d T_{ \pm}(x, z)}{d x}=\left(\frac{\lambda(z) \sigma_{3}}{2 i}+U_{0}^{( \pm)}(x)\right) T_{ \pm}(x, z),
\]

где матрицы $U_{0}^{(+)}(x)$ и $U_{0}^{(-)}(x)$ даются, соответственно, правыми частлми формул (7.40) и (7.49).
III. Матрицы $U_{0}^{( \pm)}(x)$ представляются в виде
\[
U_{0}^{( \pm)}(x)=\sqrt{x}\left(\begin{array}{cc}
0 & \bar{\psi}_{ \pm}(x) \\
\psi_{ \pm}(x) & 0
\end{array}\right)
\]

где функции $\psi_{ \pm}(x)$ имеют асимптотики
\[
\lim _{x \rightarrow-\infty} \psi_{-}(x)=\rho, \lim _{x \rightarrow+\infty} \psi_{+}(x)=e^{i \theta} \rho, \rho=\frac{\omega}{2 \sqrt{x}},
\]

причем граниные значения принимаются в смысле Швариа.
IV. Нмеет место равенство
\[
U_{0}^{(+)}(x)=U_{0}^{(-)}(x)=U_{0}(x),
\]

так \”то матрица $U_{0}(x)$ удовлетворяет граничным условиям конечной плотности.
V. Коэффициенты перехода непрерывного спектра вспомогательной линейной задачи с матрией $U_{0}(x)$ даются функциями $a_{\rho}(\lambda)=a_{\rho}(z(\lambda))$ и $b_{\rho}(\lambda)=a_{\rho}(\lambda) r_{\rho}(z(\lambda))$, а дискретный спектр состоит из набора собственных значений $\lambda_{j}$, $-\omega<\lambda_{j}<\omega$, скоэффициентами перехода $\gamma_{j}=c_{j} \dot{a}_{\rho}\left(z_{j}\right), j=1, \ldots, n$.
Докажем эти утверждения.
I. Однозначная разрешимость уравнений Гельфанда-Левитана-Марченко.

Рассмотрим, для определенности, уравнение (7.44) и запишем его в операторном виде
\[
\left(\mathbf{I}+\mathbf{\Omega}_{x}\right) \Gamma_{x}=-\Omega_{x},
\]

где $\Gamma_{x}(y)=\Gamma_{-}(x, y)$ и $\Omega_{x}(y)=\widetilde{\Omega}(x+y)$ – элементы из пространства $L_{1}^{(2 \times 2)}(-\infty, x), \quad \boldsymbol{\Omega}_{x}$ – интегральный оператор с ядром $\widetilde{\Omega}(s+y)$ :
\[
\left(\boldsymbol{\Omega}_{x} f\right)(y)=\int_{-\infty}^{x} f(s) \widetilde{\Omega}(s+y) d s,
\]

а переменная $x$ играет роль параметра. Чтобы не загромождать обозначения, мы опустили индексы – и у объектов, входящих в уравнение (7.57).

Ядро $\widetilde{\Omega}(s)$ представляет собой функцию типа Шварца при $s \rightarrow-\infty$, поэтому оператор $\boldsymbol{\Omega}_{x}$ является компактным в $L^{(2 \times 2)}(-\infty, x)$ и исчезает по норме при $x \rightarrow-\infty$ (сравни с $\S 4$ ). Тем самым для однозначной разрешимости уравнения (7.57) достаточно показать, что однородное уравнение
\[
f+\boldsymbol{\Omega}_{x} f=0
\]

имеет только тривиальное решение в пространстве $L_{1}^{(2 \times 2)}(-\infty, x)$.
Для доказательства рассмотрим сначала это уравнение в гильбертовом пространстве $L_{2}^{(2 \times 2)}(-\infty, x)$ квадратично-интегрируемых $2 \times 2$ матриц-функций со скалярным произведением
\[
\langle f, g\rangle=\int_{-\infty}^{x} \operatorname{tr} f(s) g^{*}(s) d s,
\]

где * означает эрмитово сопряжение. Оператор $\boldsymbol{\Omega}_{\boldsymbol{x}}$ задается в этом пространстве той же формулой (7.58) и является компактным. Используя свойства ядра $\widetilde{\Omega}(s)$, легко убедиться, что решение уравнения (7.59) из пространства $L_{1}^{(2 \times 2)}(-\infty, x)$ принадлежит также и $L_{2}^{(2 \times)}(-\infty, x)$. Поэтому достаточно показать, что уравнение (7.59) не имеет нетривиальных решений в пространстве $L_{2}^{(2 \times 2)}(-\infty, x)$. На самом деле мы докажем более сильное утверждение – покажем, что оператор I+ $\boldsymbol{\Omega}_{x}$ положительно определен в пространстве $L_{2}^{(2 \times 2)}(-\infty, x)$.

Предположим сначала, что дискретный спектр отсутствует. Тогда оператор $\boldsymbol{\Omega}_{x}$ можно рассматривать как сужение оператора $\boldsymbol{\Omega}$ в пространстве $L_{2}^{(2 \times 2)}(-\infty, \infty)$, задаваемого формулой

Именно, следует вложить пространство $L_{2}^{(2)}(-\infty, x)$ в $L_{2}^{(2 \times 2)}(-\infty, \infty)$, продолжая элементы $f(s)$ нз $L_{2}^{(2 \times 2)}(-\infty, x)$ нулем при $s \geqslant x$. Мы покажем, что положительно определенным является оператор $\mathbf{I}+\boldsymbol{\Omega}$ и, следовательно, оператор $\mathbf{I}+\boldsymbol{\Omega}_{x}$.

Представление (7.45) — (7.47) для ядра $\widetilde{\Omega}(x)$ в нашем случае записывается в виде
\[
\widetilde{\Omega}(x)=\frac{1}{8 . \tau} \int_{-\infty}^{\infty} E_{\rho}(x, z) R(z) d z
\]

где
\[
R(z)=\left(\begin{array}{cc}
0 & \widetilde{r_{p}}(z) \\
\widetilde{r_{p}}(z) & 0
\end{array}\right)
\]

Участвующая здесь матрица $E_{\rho}(x, z)$ удовлетворяет соотношениям
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{8 \pi} \int_{\mathbb{R}_{0}} E_{\rho}(x, z) E_{\rho}^{*}(y, z) d z=\delta(x-y) I, \\
\frac{1}{8 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} E_{0}^{*}(x, z) E_{\rho}\left(x, z^{\prime}\right) d x=\delta\left(z-z^{\prime}\right) I,
\end{array}
\]

где $z$ и $z^{\prime}$ из $\mathbb{R}_{\omega}$ (т. е. $|z|,\left|z^{\prime}\right| \geqslant \omega$ ). Они имеют смысл соотношений полноты и ортогональности для собственных функций дифференциального оператора $\mathscr{L}_{-}=i \sigma_{3} \frac{d}{d x}+\frac{\omega}{2} \sigma_{2}$, который определяет асимптотику дифференциального олератора $\mathscr{L}$ вспомогательной линейной задачей (см. § I.9) при $x \rightarrow-\infty$.

Доказательство равенства (7.64) использует формулы $(7.29)-(7.30)$ и инволюцию $z \mapsto \omega^{2} / z$, переводящую $\mathbb{R}_{\omega}$ в лакуну $-\omega \leqslant z \leqslant \omega$. Равенство (7.65) следует из обычного предіставления $\delta$-функции в виде интеграла от экспонент и формулы замены переменной
\[
\delta(\varphi(z))=\sum_{l} \frac{1}{\left|\frac{d \varphi}{d z}\left(z_{l}\right)\right|} \delta\left(z-z_{l}\right),
\]

где $\varphi\left(z_{l}\right)=0$. При этом существенно условие, что $z$ и $z^{\prime}$ лежат в $\mathbb{R}_{\omega}$. Если же $z$ лежит в $\mathbb{R}_{\omega}$, а $z^{\prime}$ – в лакуне $(-\omega, \omega)$, то вместо (7.65) имеем соотношение
\[
\frac{1}{8 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} E_{\rho}^{*}(x, z) E_{\rho}\left(x, z^{\prime}\right) d x=\frac{\omega}{z} \delta\left(z^{\prime}-\frac{\omega^{2}}{z}\right) \sigma_{2} .
\]

Формулу (7.64) можно интерпретировать как условие изометричности оператора $\mathbf{E}_{\rho}$, действующего из пространства $L_{2}^{(2 \times 2)}(-\infty, \infty)$ в $L_{2}^{(2 \times)}\left(\mathbb{R}_{\omega}\right)$ по формуле
\[
\left(\mathrm{E}_{\rho} f\right)(z)=\hat{f}(z)=\frac{1}{\sqrt{8 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) E_{\rho}(x, z) d x .
\]

Сопряженный оператор $\mathrm{E}_{p}^{*}$ задается формулой
\[
\left(\mathrm{E}_{\rho}^{*} \hat{f}\right)(x)=f(x)=\frac{1}{\sqrt{8 \pi}} \int_{\mathbb{R}_{\omega}} \hat{f}(z) E_{\rho}^{*}(x, z) d z
\]

и вследствие (7.65) также изометричен, так что мы имеем
\[
\mathrm{E}_{\rho}^{*} \mathrm{E}_{\rho}=\mathrm{I}, \quad \mathrm{E}_{\rho} \mathrm{E}_{\rho}^{*}=\mathrm{I} .
\]

Покажем теперь, что оператор
\[
\hat{\boldsymbol{\Omega}}=\mathrm{E}_{\rho} \boldsymbol{\Omega} \mathrm{E}_{\rho}^{*},
\]

подобный оператору $\boldsymbol{\Omega}$ и действующий в пространстве $L_{2}^{(2 \times 2)}\left(\mathbb{R}_{\omega}\right)$, является оператором умножения на матрицу-функцию:
\[
(\hat{\boldsymbol{\Omega}} \hat{f})(z)=\hat{f}(z) R(z) .
\]

Для этого рассмотрим ядро $\hat{\Omega}\left(z, z^{\prime}\right)$ оператора $\hat{\boldsymbol{\Omega}}$ как обобщенную функцию
\[
\hat{\mathbf{\Omega}}\left(z, z^{\prime}\right)=\frac{1}{(8 \pi)^{2}} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} E_{\rho}^{*}\left(y, z^{\prime}\right) E_{\rho}\left(x+y, z^{\prime \prime}\right) R\left(z^{\prime \prime}\right) E_{\rho}(x, z) d x d y d z^{\prime \prime},
\]

где использовано представление (7.62) для ядра $\widetilde{\Omega}(x)$. Переменные $x$ и $y$ в $E_{\rho}\left(x+y, z^{\prime \prime}\right)$ разделяются:
\[
E_{\rho}\left(x+y, z^{\prime \prime}\right)=E_{\rho}\left(y, z^{\prime \prime}\right) E\left(x, \frac{1}{2}\left(z^{\prime \prime}-\frac{\omega^{2}}{z^{\prime \prime}}\right)\right),
\]

после чего интеграл по $y$ берется с помощью формул (7.65) и (7.67). В результате возникает $\delta$-функция, снимающая интегрирование по $z^{\prime \prime}$, и мы получаем
\[
\begin{aligned}
\hat{\Omega}\left(z, z^{\prime}\right)= & \frac{1}{8 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}\left[E\left(x, \frac{1}{2}\left(z^{\prime}-\frac{\omega^{2}}{z^{\prime}}\right)\right) R\left(z^{\prime}\right)+\right. \\
& \left.\left.+\frac{\omega}{z^{\prime}} \sigma_{2} E\right]\left(x,-\frac{1}{2}\left(z^{\prime}-\frac{\omega^{2}}{z^{\prime}}\right)\right) R\left(\frac{\omega^{2}}{z^{\prime}}\right)\right] E_{\rho}(x, z) d x .
\end{aligned}
\]

Теперь воспользуемся инволюцией
\[
R\left(\frac{\omega^{2}}{z}\right)=\sigma_{2} R(z) \sigma_{2}
\]
(см. (7.15)) и пронесем диагональную матрицу $E(x, \cdot)$ направо через антидиагональные матрицы $R(\cdot)$ и $\sigma_{2}$. В результате получим
\[
\begin{aligned}
\hat{\Omega}\left(z, z^{\prime}\right)= & \frac{1}{8 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} R\left(z^{\prime}\right)\left[E\left(x,-\frac{1}{2}\left(z^{\prime}-\frac{\omega^{2}}{z^{\prime}}\right)\right)+\right. \\
& \left.+\frac{\omega}{z^{\prime}} \sigma_{2} E\left(x, \frac{1}{2}\left(z^{\prime}-\frac{\omega^{2}}{z^{\prime}}\right)\right)\right] E_{\rho}(x, z) d x= \\
= & \frac{1}{8 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} R\left(z^{\prime}\right) E_{\rho}^{*}\left(x, z^{\prime}\right) E_{\rho}(x, z) d x=\delta\left(z-z^{\prime}\right) R(z),
\end{aligned}
\]

что и доказывает формулу (7.72).
Положительная определенность оператора $\mathbf{I}+\boldsymbol{\Omega}$ (и тем самым $\mathbf{I}+\boldsymbol{\Omega}_{x}$ ) следует из положительной определенности матрицы
\[
I+R(z)=\left(\begin{array}{lc}
1 & \tilde{r}_{\rho}(z) \\
\widetilde{\tau}_{\rho}(z) & 1
\end{array}\right),
\]

которая обеспечивается условием
\[
\left|\tilde{r}_{\rho}(z)\right|<1
\]

для $|z|>\omega$ (см. свойство 3) и формулу (7.50)).
Рассмотрим теперь общий случай, когда присутствует и дискретный спектр. Для доказательства положительной определенности оператора $\mathbf{I}+\boldsymbol{\Omega}_{x}$ представим его в виде суммы слагаемых, отвечающих непрерывному и дискретному спектру:
\[
\mathbf{I}+\boldsymbol{\Omega}_{x}=\mathbf{I}+\mathbf{\Omega}_{x}^{(\mathrm{c})}+\mathbf{\Omega}_{x}^{(\mathrm{d})} .
\]

Здесь $\boldsymbol{\Omega}_{x}^{(\mathrm{c})}$ и $\boldsymbol{\Omega}_{x}^{(\mathrm{d})}$ – интегральные операторы в пространстве $L_{2}^{(2 \times 2)}(-\infty, x)$ с ядрами $\widetilde{\Omega}^{(c)}\left(s+s^{\prime}\right)$ и $\widetilde{\Omega}^{(d)}\left(s+s^{\prime}\right)$ соответственно, где
\[
\begin{aligned}
\widetilde{\Omega}^{(\mathrm{c})}(\mathrm{s}) & =\frac{1}{8 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} E_{\rho}(s, z) R(z) d z, \\
\widetilde{\Omega}^{(\mathrm{d})}(s) & =\sum_{i=1}^{n} C_{i} e\left(-\frac{s}{4}, z_{i}\right),
\end{aligned}
\]

а эрмитовы $2 \times 2$ матрицы $C_{j}$ имеют вид
\[
C_{j}=\frac{\widetilde{m}_{j}}{4}\left(\begin{array}{cc}
\omega & -i z_{j} \\
\overline{i z}_{j} & \omega
\end{array}\right)
\]

и
\[
\tilde{m}_{i}=\frac{\tilde{c}_{j}}{z_{i}}, \quad j=1, \ldots, n .
\]

Представление (7.80) следует из формул (7.45) – (7.47) и соотношения
\[
e\left(s, z_{j}\right)=\bar{e}\left(s, z_{j}\right),
\]

очевидного в силу условия $\left|z_{i}\right|=\omega$.
Мы доказали выше, что оператор $\mathbf{I}+\boldsymbol{\Omega}_{x}^{\text {с) }}$ является положителыно определенным в пространстве $L_{2}^{\left(2 x_{2}\right)}(-\infty, x)$. Поэтому нам достаточно показать, что оператор $\boldsymbol{\Omega}_{x}^{(\mathrm{d})}$ неотрицателен. Это, в свою очередь, вытекает из неотрицательности матриц $C_{j}$.

Дсйствительно, в этом случае для произвольного элемента $f(s)$ из $L_{2}^{(2 \times 2)}(-\infty, x)$ имеет место неравенство

В его справедливости проще всего убедиться, приводя каждую матрицу $C_{j}$ к диагональному виду; при этом каждое слагаемое в (7.86) будет, очевидным образом, неотрицатсльно.

Докажем теперь, что матрицы $C_{j}$ неотрицательно определены. В силу условий $\left|z_{j}\right|=\omega$ эти матрицы вырожденны, поэтому нам достаточно показать, что
\[
\widetilde{m}_{3}>0, \quad j=1, \ldots, n .
\]

В справедливости этих неравенств нас убеждают формулы
\[
m_{j} \widetilde{m}_{j}=-\frac{1}{z_{j}^{*} \dot{a}_{\rho}^{?}\left(z_{j}\right)}
\]

и неравенства
\[
\frac{1}{z_{j}^{2} \dot{a}_{\rho}^{2}\left(z_{j}\right)}<0, \quad j=1, \ldots, n,
\]

которые следуют из условия положителыности, условия ( $\theta$ ) и формул (7.15), (7.51).

На этом доказательство положительной определенности оператора $\mathbf{I}+\boldsymbol{\Omega}_{x}$, а вместе с тем и однозначной разрешимости уравнения (7.44) заканчивается.

В заключение отметим, что в силу доказанной теоремы единственности и свойства инволюции для ядра $\widetilde{\Omega}(x)$
\[
\overline{\widetilde{\Omega}}(x)=\sigma_{1} \widetilde{\Omega}(x) \sigma_{1},
\]

такому же свойству удовлетворяет и решение $\Gamma(x, y)$ :
\[
\bar{\Gamma}(x, y)=\sigma_{1} \Gamma(x, y) \sigma_{1} .
\]

Уравнение (7.37) рассматривается аналогичным образом.
II. Вывод дифференциальных уравнений для матриц $T_{ \pm}(x, z)$.

Нам достаточно показать, что матрицы $\Gamma_{ \pm}(x, z)$ удовлетворяют дифференциальным уравнениям в частных производных
\[
\frac{\partial}{\partial x} \Gamma_{ \pm}(x, y)+\sigma_{3} \frac{\partial}{\partial y} \Gamma_{ \pm}(x, y) \sigma_{3}-U_{0}^{( \pm)}(x) \Gamma_{ \pm}(x, y)+\sigma_{3} \Gamma_{ \pm}(x, y) \sigma_{\triangleleft} U_{ \pm}=0,
\]

где
\[
U_{0}^{( \pm)}(x)=U_{ \pm} \mp\left(\Gamma_{ \pm}(x, x)-\sigma_{3} \Gamma_{ \pm}(x, x) \sigma_{3}\right)
\]
(см. формулы (I.8.15) – (I.8.17)).
Действительно, эти уравнения в рамках исследования вспомогательной линейной задачи были получены в § I.8. Там была указана их эквивалентность дифференциальным уравнениям (7.53) для матриц $T_{ \pm}(x, z)$, построенных по $\Gamma_{ \pm}(x, y)$ по формулам $(7.24)-(7.26)$.

Рассмотрим, для определенности, матрицу $\Gamma_{-}(x, y)$. Продифференцируем уравнение (7.44) по $x$ и $y$ и сложим получившиеся равенства, умножив предварительно последнее из них с двух сторон на матрицу $\sigma_{3}$. Мы получим, что
\[
\begin{array}{r}
\frac{\partial}{\partial x} \Gamma(x, y)+\sigma_{3} \frac{\partial}{\partial y} \Gamma(x, y) \sigma_{3}+\Omega^{\prime}(x+y)+\sigma_{3} \Omega^{\prime}(x+y) \sigma_{3}+\Gamma(x, x) \Omega(x+y)+ \\
\quad+\int_{-\infty}^{x}\left(\frac{\partial}{\partial x} \Gamma(x, s) \Omega(s+y)+\sigma_{3} \Gamma(x, s) \Omega^{\prime}(s+y) \sigma_{3}\right) d s=0, \quad \text { (7.94) }
\end{array}
\]

где штрих обозначает производную по аргументу и для сокращения записи мы опустили индексы– и $\sim$ у встречающихся объектов.

В этом равенстве участвует матрица $\sigma_{3} \Omega^{\prime}(x) \sigma_{3}+\Omega^{\prime}(x)$, пропорциональная единичной матрице. Из представления (7.46) с помощью инволюции (7.15) и условия положительности получаем, что
\[
\frac{d \xi(x)}{d x}=\frac{\omega}{4}(\eta(x)+\bar{\eta}(x))
\]

откуда с помощью (7.45) имеем
\[
\Omega^{\prime}(x)+\sigma_{3} \Omega^{\prime}(x) \sigma_{3}=\frac{\omega}{2}\left(\sigma_{1} \Omega(x)-\sigma_{3} Q(x) \sigma_{3} \sigma_{1}\right)=U Q(x)-\sigma_{3} \Omega(x) \sigma_{3} U_{-},
\]

где мы учли, что $U_{–}=\frac{\omega}{2} \sigma_{1}$. Используя это равенство, преобразуем последнее слагаемое в подынтегральном выражении в (7.94):
\[
\begin{array}{l}
\int_{-\infty}^{x} \sigma_{3} \Gamma(x, s) \Omega^{\prime}(s+y) \sigma_{3} d s= \\
\left.=-\int_{-\infty}^{x} \sigma_{3} \Gamma(x, s) \sigma_{3} \Omega^{\prime}(s+y) d s+\int_{-\infty}^{x} \sigma_{3} \Gamma(x, s) \sigma_{3} \Omega^{\prime}(s+y)+\sigma_{3} \Omega^{\prime}(s+y) \sigma_{3}\right) d s= \\
=-\sigma_{3} \Gamma(x, x) \sigma_{3} \Omega(x+y)+\int_{-\infty}^{x}\left[\sigma_{3} \frac{\partial \Gamma}{\partial s}(x, s) \sigma_{3} Q(s+y)+\right. \\
\left.\quad+\sigma_{3} \Gamma(x, s) \sigma_{3}\left(U_{-} \Omega(s+y)-\sigma_{3} \Omega(s+y) \sigma_{3} U_{-}\right)\right] d s, \quad \text { (7.97) }
\end{array}
\]

где мы воспользовались интегрированием по частям. С помощью формул (7.93) и (7.96) – (7.97) соотношение (7.94) можно переписать слсдующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial x} \Gamma(x, y)+\sigma_{3} \frac{\partial}{\partial y} \Gamma(x, y) \sigma_{3}+U_{0}^{(-)}(x) \Omega(x+y)- \\
-\sigma_{3} \Omega(x+y) \sigma_{3} U_{-}+\int_{-\infty}^{x}\left[\left(\frac{\partial}{\partial x} \Gamma(x, s)+\sigma_{3} \frac{\partial}{\partial s} \Gamma(x, s) \sigma_{3}\right) \Omega(s+y)+\right. \\
\left.\quad+\sigma_{3} \Gamma(x, s) \sigma_{3}\left(U \Omega(s+y)-\sigma_{3} \Omega(s+y) \sigma_{3} U_{-}\right)\right] d s=0 .
\end{array}
\]

Преобразуем слагаемые $U_{0}^{(-)}(x) \Omega(x+y)$ и $\sigma_{3} \Omega(x+y) \sigma_{3} U_{-}$в левой части этого равенства, заменив матрицу $\Omega(x+y)$ на правую часть уравнения Гельфанда – Левитана – Марченко, записанного в виде
\[
\Omega(x+y)=-\Gamma(x, y)-\int_{-\infty}^{x} \Gamma(x, s) \Omega(s+y) d s .
\]

Вводя обозначение
\[
\begin{array}{r}
\Phi(x, y)=\frac{\partial}{\partial x} \Gamma(x, y)+\sigma_{3} \frac{\partial}{\partial y} \Gamma(x, y) \sigma_{3}-U_{0}^{(-)}(x) \Gamma(x, y)+ \\
+\sigma_{3} \Gamma(x, y) \sigma_{3} U_{-},
\end{array}
\]

перепишем формулу (7.98) в виде соотношения
\[
\Phi(x, y)+\int_{-\infty}^{x} \Phi(x, s) \Omega(s+y) d s=0 .
\]

которое означает, что $Ф(x, y)$ как функция $y$ удовлетворяет однородному уравнению (7.59). Вследствие доказанной теоремы единственности получаем, что
\[
\Phi(x, y)=0
\]
rри всех $x, y, y \leqslant x$; это и доказывает справедливость уравнения (7.92).
Уравнение для матрицы $\Gamma_{+}(x, y)$ доказывается аналогично. III. Поведение матриц $U_{0}^{( \pm)}(x)$ при $x \rightarrow \pm \infty$.
Представления (7.40) и (7.49) показывают, что матрицы $U_{0}^{( \pm)}(x)$ антидиагональны, а инволюция (7.91) обеспечивает их специальный вид (7.54).

Исследование асимптотик ненулевых матричных элементов матриц $U_{0}^{\prime \pm},(x)$ основано на следующем соображении. Нормы операторов $\boldsymbol{\Omega}_{x}$ и $\tilde{\boldsymbol{\Omega}}_{x}$ исчезают соответственно при $x \rightarrow+\infty$ и $x \rightarrow-\infty$, поэтому при таких $x$ к интегралыным уравнениям (7.37) и (7.44) применим метод последовательных приближений. Каждая итерация является функцией типа Шварца при $x, y \rightarrow \pm \infty$, и этим свойством обладают и решения $\Gamma_{ \pm}(x, y)$. В частности, матрицы $\Gamma_{ \pm}(x, x)$ являются функциями типа Шварца при $x \rightarrow \pm \infty$. Отсюда следует требуемое поведение функций $\psi_{ \pm}(x)$ при $x \rightarrow \pm \infty$.

Заметим также, что указанные свойства ядер $\Gamma_{ \pm}(x, y)$ приводят к следующим асимптотикам для решений $T_{ \pm}(x, z)$ при вещественных $z$ :

при $x \rightarrow-\infty$ и
\[
T_{-}(x, z)=E_{\rho}(x, z)+o(1)
\]

при $x \rightarrow+\infty$.
\[
T_{+}(x, z)=Q^{-1}(\theta) E_{\rho}(x, z)+o(1)
\]
IV. Формула согласования $U_{0}^{(+)}(x)=U_{0}^{(-)}(x)$.

Для ее доказательства достаточно показать, что матрицы $T_{+}(x, z)$ и $T_{-}(x, z)$ линейно зависимы, т. е. отличаются правым матричным множителем, не зависящим от $x$. Действительно, если это свойство имеет место, то матрицы $T_{ \pm}(x, z)$ удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению и, тем самым, матрицы $U_{0}^{+)}(x)$ н $U_{0}^{(-1}(x)$ совпадают как коэффициенты в уравнениях (7.53).

Мы покажем, что при вещественных $z$ имеет место формула (7.1) с матрицей $T_{\rho}(z)$ вида
\[
T_{\rho}(z)=\left(\begin{array}{ll}
a_{\rho}(z) & \bar{b}_{\rho}(z) \\
b_{\rho}(z) & \bar{a}_{\rho}(z)
\end{array}\right),
\]

где функция $a_{\mathrm{p}}(z)$ дается формулой (7.51), а
\[
b_{\rho}(z)=a_{\rho}(z) r_{\rho}(z) .
\]

Для вывода заметим, что доказанная однозначная разрешимость интегральных уравнений (7.37) и (7.44) эквивалентна теореме существования и единственности для двух специа.тьных задач сопряжения
\[
F_{1}(x, z)=T_{+}^{(1)}(x, z)+r_{p}(z) T_{+}^{(\stackrel{ }{2})}(x, z)
\]

и
\[
F_{2}(x, z)=\tilde{r}_{p}(z) T_{-}^{(1)}(x, z)+T_{-}^{(s)}(x, z),
\]

точная формулировка которых была дана выше. При этом данные двух задач $\left\{r_{p}(z), z_{j}, c_{j}\right\}$ и $\left\{\tilde{r}_{\rho}(z), z_{j}, \tilde{c}_{j}\right\}$ связаны устовиями 1-3. Отправляясь от этих соотношений, мы покажем, что
\[
F_{1}(x, z)=\frac{1}{a_{\rho}(z)} T_{-}^{(1)}(x, z), \quad F_{2}(x, z)=\frac{1}{a_{\rho}(z)} T_{+}^{(z)}(x, z),
\]

что н эквивалентно искомой формуле (7.1).
Діля доказательства умножим равенство (7.107) на $\bar{r}_{p}(z)$ :
\[
\bar{r}_{\rho}(z) F_{1}(x, z)=\bar{r}_{\rho}(z) T_{+}^{(1)}(x, z)+\left|r_{\rho}(z)\right|^{2} T_{+}^{(y)}(x, z),
\]

а также перепишем его с помоцью инволюции (7.14),
\[
\sigma_{1} \bar{F}_{1}(x, z)=\bar{r}_{\rho}(z) T_{+}^{(1)}(x, z)+T_{+}^{(2)}(x, z) .
\]

Вычитая равенства (7.110) и (7.111) и используя (7.18), получаем, что
\[
\bar{r}_{\rho}(z) F_{1}(x, z)-\sigma_{1} \bar{F}_{1}(x, z)=-\frac{1}{\left|a_{\rho}(z)\right|^{2}} T_{+}^{(2)}(x, z) .
\]

Воспользуемся теперь условием 2 – формулой (7.50) – п перепишем полученное равенство в виде
\[
\frac{1}{a_{\rho}(z)} T_{+}^{\prime \prime}(x, z)=\widetilde{r}_{\rho}(z) a_{\rho}(z) F_{1}(x, z)+\sigma_{1} \bar{a}_{\rho}(z) \bar{F}_{1}(x, z) .
\]

Таким образом, мы преобразовали задачу сопряжения (7.107) к задаче сопряжения типа (7.108) и намерены воспользоваться теперь теоремой единственности. Для этого достаточно показать, что вектор-функции $a_{9}(z) F_{1}(x, z)$ и $\frac{1}{a_{\rho}(z)} T_{+}^{(2)}(x, z)$ удовлетворяют условиям постановки задачи сопряжения (7.108).

Рассмотрим сначала столбец $a_{\rho}(z) F_{1}(x, z)$. Он аналитически продолжается в верхнюю полуплоскость переменной $z$ и имеет те же асимптотики при $z \rightarrow 0$ и $|z| \rightarrow \infty$, что и столбец $T_{-}^{(1)}(x, z)$. При этом в случае общего положения
\[
a_{\rho}(z)=\frac{a_{ \pm}}{z \mp \omega}+O(1), \quad a_{\text {士 }}
eq 0,
\]

столбец $a_{\rho}(z) F_{1}(x, z)$ регулярен при $z= \pm \omega$. Действительно, в силу свойства $r_{\rho}( \pm \omega)=\mp i$ (см. условие 3)) и соотношения
\[
T_{+}^{(1)}(x, \pm \omega)= \pm i T_{+}^{(\mathrm{s})}(x, \pm \omega)
\]

мы имеем
\[
F_{1}(x, z)=O(|z \mp \omega|)
\]

в окрестности $z= \pm \omega$. В свою очередь формула (7.115) получается, в силу дифференциального уравнения (7.53) и асимптотики (7.104), из аналогичного свойства столбцов матрицы $Q^{-1}(\theta) E_{\rho}(x, \pm \omega)$.

Далее, столбец $\frac{1}{a_{0}(z)} T_{+}^{(2)}(x, z)$, как и столбец $F_{2}(x, z)$, аналитически продолжается в верхнюю полуплоскость, за исключением точек $z=z_{j}, j=1, \ldots, n$, где он имеет простые полюса. При этом благодаря условию 3 – формулам (7.52) и (7.8) – мы имеем
\[
\text { res } \begin{array}{l}
\left.\frac{1}{a_{\rho}(z)} T_{+}^{(2)}(x, z)\right|_{z=z_{j}}=\frac{1}{\dot{a}_{\rho}\left(z_{j}\right)} T_{+}^{())}\left(x, z_{j}\right)=\left.\frac{1}{c_{i} \dot{a}_{\rho}\left(z_{j}\right)} \operatorname{res} F_{1}(x, z)\right|_{z=z_{j}}= \\
=\left.\widetilde{c}_{j}\left(a_{\rho}(z) F_{1}(x, z)\right)\right|_{z=z_{j}}, \quad j=1, \ldots, n . \quad \text { (7.117) }
\end{array}
\]

Итак, условия, которым удовлетворяют столбцы $\frac{1}{a_{\rho}(z)} T_{+}^{(2)}(x, z)$ и $a_{\rho}(z) F_{1}(x, z)$, совпадают с условиями на столбцы $F_{2}(x, z)$ и $T_{-}^{(1)}(x, z)$ из задачи сопряжения (7.108). Поэтому эти столбцы совпадают, т. е. имеют место равенства (7.109).
V. Коэффициенты перехода и дискретный спектр.
Из результатов, доказанных в пунктах I – IV, уже следует, что матрицы $T_{ \pm}(x, z)$ являются решениями Иоста для вспомогательной линейной задачи, построенной по найденной матрице $U_{0}(x)=U_{0}^{(+)}(x)=U_{0}^{(-)}(x)$. При этом функции $a_{\rho}(\lambda)$ и $b_{\rho}(\lambda)$ играют роль коэффициентов перехода непрерывного спектра, д числа $\lambda_{j}$ являются собственными значениями дискретного спектра с коэффициентами перехода $\gamma_{j}, j=1, \ldots, n$.

На этом мы заканчиваем общее исследование обратной задачи для случая конечной плотности по методу Гельфанда Левитана – Марченко. Полученные результаты могут служить доказательством утверждений I-V в методе задачи Римана из предыдущего параграфа. Именно, по исходным данным $\left\{b_{p}(\lambda)\right.$, $\left.\bar{b}_{\mathrm{\rho}}(\lambda) ; \lambda_{j}, \gamma_{j}\right\}$ задачи Римана, удовлетворяющим условиям 1)5) из $\$ 6$, построим набор данных $\left\{r_{\rho}(z), \tilde{r}_{\rho}(z) ; z_{j}, c_{j}, \widetilde{c}_{j}\right\}$ в методе Гельфанда – Левитана – Марченко. Они удовлетворяют условиям 1-3 этого параграфа, и поэтому результаты по поводу двух специальных задач сопряжения обеспечивают справедливость утверждений I – $\mathrm{V}$ в $\S 6$.

В следующем параграфе мы рассмотрим важный частный случай обратной задачи, когда коэффициент $b_{\rho}(z)$ (а вместе с ним и $r_{\rho}(z), \tilde{r}_{\rho}(z)$ ) тождественно исчезает и соответствующие уравнения Гельфанда – Левитана – Марченко сводятся к системам линейных алгебраических уравнений и решаются явно. Этот случай отвечает солитонам модели НШ для граничных условий конечной плотности.