В $\S 3$ мы ввели уравнения киральных полей и привели для них представление нулевой кривизны. Здесь мы рассмотрим соответствующие модели с гамильтоновой точки зрения. Начнем с модели главного кирального поля.
Уравнения движения имеют вид
\[
\frac{\partial^{2} g}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}=\frac{\partial g}{\partial t} g^{-1} \frac{\partial g \mathbf{1}}{\partial t}-\frac{\partial g^{\top}}{\partial x} g^{-1} \frac{\partial g}{\partial x},
\]

где $g(x, t)$ – функция со значениями в компактной группе Ли $G$. В качестве динамических переменных удобно использовать левые токи поля $g$
\[
l_{0}=\frac{\partial g}{\partial t} g^{-1}, \quad l_{1}=\frac{\partial g}{\partial x} g^{-\mathbf{1}},
\]

в терминах которых уравнения движения принимают вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial l_{1}}{\partial t}-\frac{\partial l_{0}}{\partial x}+\left[l_{1}, l_{0}\right]=0, \\
\frac{\partial l_{0}}{\partial t}-\frac{\partial l_{1}}{\partial x}=0 .
\end{array}
\]

Введем в алгебре Ли $g$ группы $G$ базис $t^{a}, a=1, \ldots, n ; n=$ $=\operatorname{dimg}$, нормированный относительно формы Киллинга – матричного следа в присоединенном представлении
\[
\operatorname{tr} t^{a} t^{b}=-\frac{1}{2} \delta^{a b} .
\]

В этом случае структурные константы $f^{a b c}$, участвующие в основных коммутационных соотношениях
\[
\left[t^{a}, t^{b}\right]=f^{a b c} t^{c},
\]

образуют полностью антисимметрический тензор. Здесь и ниже мы используем обычное соглашение о суммировании по повторяющимся индексам.
Введем компоненты $l_{\mu}^{a}$ матриц $l_{\mu}$
\[
l_{\mu}=l_{\mu}^{a} t^{a}, \quad \mu=0,1 .
\]

В этих обозначениях функционал действия $S(g)$ имеет вид
\[
S(g)=\frac{1}{2} \iint_{t_{1}}^{t_{2}} \sum_{a=1}^{n}\left(\left(l_{0}^{a_{0}}\right)^{2}-\left(l_{1}^{a}\right)^{2}\right) d x d t .
\]

Рассмотрим функции $q^{\alpha}(x)=l_{1}^{a}(x)$ как набор обобщенных координат кирального поля и используем уравнение (5.3) для определения их производных по времени
\[
\dot{q}^{a}=\frac{\partial q^{a}}{\partial t}=\left(
abla_{1} l_{0}\right)^{a}=\frac{\partial l_{0}^{a}}{\partial x}-f^{a b c} q^{b} l_{0}^{c},
\]

где мы ввели ковариантную производную $
abla_{1}$ относительно связности $l_{1}=q^{a} t^{a}$. Для канонически сопряженного импульса $\pi^{a}(x)$ получаем выражение
\[
\pi^{a}(x)=\frac{\delta S}{\dot{\delta q^{a}}(x)}=-\left(
abla_{1}^{-1} l_{0}\right)^{a}(x),
\]

где выбрано антисимметричное определение оператора $
abla_{1}^{-1}$, обратного к оператору $
abla_{1}$. Переменные $\pi^{a}(x), q^{a}(x)$ имеют канонические скобки Пуассона:
\[
\begin{array}{c}
\left\{q^{a}(x), q^{b}(y)\right\}=\left\{\pi^{a}(x), \pi^{b}(y)\right\}=0, \\
\left\{\pi^{a}(x), q^{b}(y)\right\}=\delta^{a b} \delta(x-y), \quad a, b=1, \ldots, n,
\end{array}
\]

а гамильтониан $H$ получается из лагранжиана $\mathscr{L}$ для действия $S$
\[
S=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \mathscr{L} d t
\]

при помощи обычного преобразования Лежандра
\[
H=\int \pi \dot{l}^{a} \dot{q}^{a} d x-\mathscr{L}=\frac{1}{2} \int \sum_{a=1}^{n}\left(\left(l_{0}^{a}\right)^{2}+\left(l_{1}^{a}\right)^{2}\right) d x .
\]

Скобки Пуассона (5.11) легко переписываются в терминах токов. Действительно, используя соотношение
\[
l_{0}=-
abla_{1} \pi
\]

и тождество Якоби для структурных констант $f^{a b c}$, из (5.11) получаем, что
\[
\begin{array}{l}
\left\{l_{0}^{a}(x), l_{0}^{b}(y)\right\}=-f^{a b c} l_{0}^{c}(x) \delta(x-y), \\
\left\{l_{0}^{a}(x), l_{1}^{b}(y)\right\}=-f^{a b c} l_{1}^{c}(x) \delta(x-y)-\delta^{a b} \delta^{\prime}(x-y), \\
\left\{l_{1}^{a}(x), l_{1}^{b}(y)\right\}=0,
\end{array}
\]

где $\delta^{\prime}(x-y)$ означает производную функции $\delta(x-y)$ по аргу менту.

Скобки Пуассона (5.15)-(5.17) являются скобками ЛиПуассона для бесконечномерной алгебры Ли, которая представляет собой полупрямую сумму абелевой алгебры $\mathscr{A}(\mathrm{g})$ с образующими $l_{1}^{a}(x)$ и алгебры токов $C(g)$ алгебры Ли $\mathfrak{g}$ с образующими $l_{0}^{a}(x)$. Действие алгебры токов $C(\mathfrak{g})$ на $\mathscr{A}(\mathfrak{g})$ получается расширением естественного действия (локальных вращений) при помощи 2-коцикла Маурера – Картана $\delta^{a b} \delta^{\prime}(x-y)$.

Скобки Пуассона (5.16) – (5.17) можно получить из скобок Пуассона для $g(x)$ и $l_{0}^{a}(x)$
\[
\begin{array}{l}
\left\{g(x), l_{0}^{a}(y)\right\}=-t^{a} g(x) \delta(x-y), \\
\{g(x), g(y)\}=0
\end{array}
\]

дифференцированием по $x$ и переходом к $l_{1}(x)$ по формуле (5.2). Здесь левая часть формулы (5.18) представляет собой матрицу, составленную из скобок Пуассона матричных элементов матрицы $g(x)$ с $l_{0}^{a}(y)$. Формула (5.19) означает, что скобки Пуассона всех матричных элементов матрицы $g(x)$ исчезают.

Вместо левых токов $l_{\mu}$ с равным основанием можно было бы использовать правые токи поля $g$
\[
r_{0}=-g^{-1} \frac{\partial g}{\partial t}, \quad r_{1}=-g^{-1} \frac{\partial g}{\partial x} .
\]

Очевидно, что
\[
r_{\mu}=-g^{-1} l_{\mu} g, \quad \mu=0,1,
\]

и из формулы (5.18) получаем
\[
\left\{g(x), r_{0}^{a}(y)\right\}=g(x) t^{a} \delta(x–y),
\]

где мы ввели разложение
\[
r_{\mu}=r_{\mu}^{a} t^{a}, \quad \mu=0,1 .
\]

Отсюда заключаем, что скобки Пуассона правых токов имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\left\{r_{0}^{a}(x), r_{0}^{b}(y)\right\}=-f^{a b c} r_{0}^{c}(x) \delta(x-y), \\
\left\{r_{0}^{a}(x), r_{1}^{b}(y)\right\}=-f^{a b c} r_{1}^{c}(x) \delta(x-y)-\delta^{a b} \delta^{\prime}(x-y), \\
\left\{r_{1}^{a}(x), r_{1}^{b}(y)\right\}=0 .
\end{array}
\]

Наконец, из (5.15)-(5.19) и (5.21) получаем скобки Пуассона левых и правых токов:
\[
\begin{array}{c}
\left\{r_{0}^{a}(x), l_{0}^{b}(y)\right\}=\left\{r_{1}^{a}(x), l_{1}^{b}(y)\right\}=0, \\
\left\{l_{0}^{a}(x), r_{1}(y)\right\}=\widetilde{t}^{a}(y) \delta^{\prime}(x-y), \\
\left.\left\{l_{1}^{a}(x), r_{0}(y)\right\}=\widetilde{t^{a}}(x), r_{1}(x)\right] \delta(x-y)+\widetilde{t^{a}}(y) \delta^{\prime}(x-y)= \\
=\widetilde{t}^{a}(x) \delta^{\prime}(x-y),
\end{array}
\]

где мы положили $\tilde{t}^{a}(x)=g^{-1}(x) t^{a} g(x)$.
До сих пор мы не обсуждали граничных условий, так что приведенные выкладки носили формальный характер. Существует несколько способов введения граничных условий: их можно накладывать как на переменные $g(x), l_{0}(x)$, так и на токи $l_{0}(x)$, $l_{1}(x)$ или $r_{0}(x), r_{1}(x)$. Для определенности мы будем параметризовать фазовое пространство в терминах левых токов и наложим на них периодические граничные условия
\[
l_{\mu}(x+2 L)=l_{\mu}(x), \quad \mu=0,1 .
\]

Интегрирование в выражениях (5.8) для действия и (5.13) для гамильтониана ведегся по фундаментальной области $-L \leqslant x \leqslant L$.

Пуассонова структура (5.15) – (5.17) на фазовом пространстве является вырожденной. Действительно, матрица монодромии $U$ связности $l_{1}(x)$
\[
U=\tilde{g}(L,-L)=\exp ^{n} \int_{-L}^{L} l_{1}(x) d x
\]

находится в инволюции со всеми образующими $l_{\mu}^{a}(x)$. Чтобы убедиться в этом, вычислим формально скобку Пуассона между функциями $l_{0}^{a}(y)$ и матрицей $\tilde{g}(x,-L)$, где использовано обозначение
\[
\left.\tilde{g}(x, y)=\hat{\operatorname{xxp}}_{y}^{x} \int_{1}^{x} l^{\prime}\right) d x^{\prime}
\]
(сравни с определением матрицы перехода в части I). Эта матрица удовлетворяет дифференциальным уравнениям
\[
\frac{\partial \tilde{g}}{\partial x}=l_{1}(x) \tilde{g}, \frac{\partial \tilde{g}}{\partial y}=-\tilde{g} l .(y) .
\]

Имеем теперь, считая, что $-L<y<L$, и используя (5.16) и (5.33):
\[
\begin{array}{l}
\left\{\tilde{g}(x,-L), l_{0}^{a}(y)\right\}=\int_{-L}^{x} \tilde{g}(x, z)\left\{l_{1}(z), l_{0}^{a}(y)\right\} \tilde{g}(z,-L) d z= \\
=\int_{-L}^{x} \tilde{g}(x, z)\left(\left[l_{1}(z), l^{a}\right] \delta(y-z)\right.\left.+t^{a} \hat{o}^{\prime}(y-z)\right) \tilde{g}(z,-L) d z= \\
=-t^{a} \widetilde{g}(x,-L) \delta(x-y),
\end{array}
\]

где при выводе последнего соотношения мы воспользовались интегрированием по частям. Подчеркнем, что полученная формула совпадает со скобкой Пуассона (5.18) после замены $g(x)$ на $\tilde{g}(x,-L)$.

Полагая в (5.34) $x=L$, получаем, что функции $l_{0}^{a}(y)$ находятся в инволюции с матрицей монодромни $U$. Для функций $l_{1}^{a}(y)$ это очевидно из (5.17).

Используем теперь матрицу $\tilde{g}(x,-L)$ для построения аналогов правых токов
\[
\tilde{r}_{\mu}=-\tilde{g}^{-1} l_{\mu} \tilde{g}, \quad \mu=0,1 .
\]

Их скобки Пуассона с левыми токами $l_{\mu}$ имеют тот же вид, что и формулы (5.27) – (5.29) с заменой $r_{\mu}$ на $\tilde{r}_{\mu}$. Поэтому величины
\[
\widetilde{R}^{a}=\int_{-L}^{L} \tilde{r}_{0}^{a}(x) d x,
\]

так же как и матричные элементы матрицы $U$, находятся в инволюции со всеми функциями $l_{\mu}^{a}(x)$.

Однако приведенные вычисления были формальными и для описания функционалов, порождающих аннулятор пуассоновой структуры, необходимо выделить допустимые функционалы, совместные с граничными условиями (5.30). Для функционалов от матрицы монодромии $U$ таковыми являются лишь инварианты присоединенного действия группы $G$, т. е. инварианты преобразований $U \mapsto a U a^{-1}$, для всех $a$ из $G$. (Сравни с выделением допустимых функционалов в § III. 2 части I.) Для функционалов от $r_{0}(x)$ условия допустимости выглядят более сложно и состоят в том, что их плотности должны быть периодическими функциями переменной $x$, а сами они не должны меняться при замене $\hat{g}(x,-L) \mapsto \tilde{g}(x,-L) C$, где $C$ – произвольная постоянная матрица. Можно показать в ситуации общего положения (когда все собственные значения матрицы $U$ различны), что число функционалов, порождающих аннулятор нашей пуассоновой структуры, совпадает с удвоенной размерностью картановской подалгебры в g. Этим заканчивается описание фазового пространства в терминах левых токов $l_{\mu}(x)$.

Рассмотрим теперь параметризацию переменными $g(x)$ и $l_{0}(x)$. В случае периодических граничных условий
\[
g(x+2 L)=g(x)
\]

пуассонова структура, задаваемая скобками Пуассона (5.15) и (5.18) – (5.19), является невырожденной. В терминах $l_{1}(x)$ условие (5.37) приобретает вид
\[
U=I,
\]

так что, в частности, все величины $\widetilde{R}^{a}$ являются допустимыми функционалами на фазовом пространстве переменных $g(x)$ и $l_{0}(x)$. Это и не удивительно, так как в рассматриваемом фазовом пространстве модель главного кирального поля является $G \times G$ инвариантной. Действие групп $G \times G$ в фазовом пространстве является гамильтоновым и задается генераторами
\[
L^{a}=\int_{-L}^{L} l_{0}^{a}(x) d x, \quad R^{a}=\int_{-L}^{L} r_{0}^{a}(x) d x
\]

со скобками Пуассона
\[
\begin{array}{l}
\left\{L^{a}, L^{b}\right\}=-f^{a b c} L^{c}, \\
\left\{R^{a}, R^{b}\right\}=-f^{a b c} R^{c}, \\
\left\{L^{a}, R^{b}\right\}=0 .
\end{array}
\]

В этом случае существует инволюция $g \mapsto g^{-1}$, переводящая левые токи в правые.

Переход от первой параметризации фазового пространства ко второй можно осуществить, при выполнении условия (5.38), с помощью интегрирования
\[
g(x)=\tilde{g}(x,-L) g(-L) .
\]

При этом возникает новая динамическая переменная – матрица $g(-L)$ («постоянная интегрирования»), находящаяся в инволюции со всеми $l_{\mu}(x)$, но не с бывшими аннуляторами $\widetilde{R}^{a}$. Преобразование подобия
\[
g^{-1}(-L) \widetilde{R} g(-L)=R=R^{a} t^{a}
\]

переводит их в правые токи.
Мы подробно привели здесь все эти рассуждения с тем, чтобы обратить внимание на неочевидные свойства стандартной пуассоновой структуры модели главного кирального поля.

Эта модель допускает интересную редукцию, приводящую к гамильтоновой системе с отличной от (5.15) – (5.17) пуассоновой структурой. Ограничившись для простоты случаем $G=S U(2)$ и периодическими граничными условиями на токи $l_{\mu}(x)$, введем

переменные
\[
S=\frac{l_{0}+l_{1}}{2}, \quad T=\frac{l_{0}-l_{1}}{2},
\]

в терминах которых уравнения (5.3)-(5.4) принимают вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial S}{\partial t}=\frac{\partial S}{\partial x}-[S, T], \\
\frac{\partial T}{\partial t}=-\frac{\partial T}{\partial x}+[S, T] .
\end{array}
\]
(В обозначениях из $\S 3$ имеем $S=U_{+}, T=U_{-}$.) Редукция
\[
S^{2}=T^{2}=I
\]

задает инвариантное подмногообразие системы уравнений (5.46) – (5.47). Рассмотрим его в качестве фазового пространства с пуассоновой структурой, задаваемой следующими скобками Пуассона:
\[
\begin{array}{l}
\left\{S^{a}(x), S^{b}(y)\right\}=-\varepsilon^{a b c} S^{c}(x) \delta(x-y), \\
\left\{T^{a}(x), T^{b}(y)\right\}=-\varepsilon^{a b c} T^{c}(x) \delta(x-y), \\
\left\{S^{a}(x), T^{b}(y)\right\}=0 .
\end{array}
\]

Введенное фазовое пространство является прямым произведением $O \times O$, где $O$ – симплектическая орбита алгебры токов группы $S U(2)$, задаваемая условием $S^{2}=I$, так что пуассонова структура (5.49)-(5.51) невырожденна. Уравнения (5.46)-(5.47) записываются в гамильтоновом виде
\[
\frac{\partial S}{\partial t}=\{H, S\}, \quad \frac{\partial T}{\partial t}=\{H, T\}
\]

с гамильтонианом
\[
H(S, T)=P(T)-P(S)-2 \int_{-L}^{L} \operatorname{tr} S T d x,
\]

где $P$ – функционал импульса на фазовом пространстве $O$, введенный в § 1. Отметим, что гамильтониан $H$ дает пример многозначного функционала, определенного с точностью до целого кратного $8 \pi$ (см. $\S 1$ ). Однако его вариационные производные очевидно являются однозначными периодическими функциями.

Перейдем теперь к гамильтоновой формулировке модели $\vec{n}$ поля, ограничившись для простоты случаем сферы $\mathbb{S}^{2}$. Фазовое пространство модели образовано вектор-функциями $\vec{\pi}(x), \vec{n}(x)$ со значениями в $\mathbb{R}^{3}$, удовлетворяющими периодическим граничным

условиям
\[
\vec{\pi}(x+2 L)=\vec{\pi}(x), \vec{n}(x+2 L)=\vec{n}(x)
\]

и связям
\[
\overrightarrow{n^{2}}=1, \quad \vec{\pi} \cdot \vec{n}=0
\]

Уравнения движения
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \vec{n}}{\partial t}=\vec{\pi} \\
\frac{\partial \vec{\pi}}{\partial t}=\frac{\partial^{2} \vec{n}}{\partial x^{2}}+\left(\left(\frac{\partial \vec{n}}{\partial x}\right)^{2}-\overrightarrow{\pi^{2}}\right) \vec{n}
\end{array}
\]

порождаются гамильтонианом
\[
H=\int_{-L}^{L}\left(\frac{1}{2} \vec{\pi}^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \vec{n}}{\partial x}\right)^{2}\right) d x
\]

и скобками Пуассона
\[
\begin{array}{c}
\left\{n^{a}(x), n^{b}(y)\right\}=0, \\
\left\{\pi^{a}(x), \pi^{b}(y)\right\}=-\left(\pi^{a}(x) n^{b}(x)-\pi^{b}(x) n^{a}(x)\right) \delta(x-y), \\
\left\{\pi^{a}(x), n^{b}(y)\right\}=\left(\delta^{a b}-n^{a}(x) n^{b}(x)\right) \delta(x-y), \quad a, b=1,2,3 .
\end{array}
\]

Пуассонова структура, порождаемая этими скобками Пуассона, совместна со связями (5.55).

Скобки Пуассона (5.59)-(5.61) можно упростить, если использовать вместо $\vec{\pi}(x)$ переменную $\vec{l}(x)$ :
\[
\vec{l}=\vec{n} \wedge \vec{\pi}, \quad \overrightarrow{l^{2}}=\vec{\pi}^{2}
\]

В результате получаем скобки Пуассона
\[
\begin{aligned}
\left\{l^{a}(x), l^{b}(y)\right\} & =-\varepsilon^{a b c} l^{c}(x) \delta(x-y), \\
\left\{l^{a}(x), n^{b}(y)\right\} & =-\varepsilon^{a b c} n^{c}(x) \delta(x-y), \\
\left\{n^{a}(x), n^{b}(y)\right\} & =0,
\end{aligned}
\]

характеризующие алгебру токов группы $E$ (3). Фазовым пространством модели является симплектическая орбита
\[
\vec{n}^{2}=1, \quad \vec{l} \cdot \vec{n}=0
\]

алгебры $C(e(3))$, так что пуассонова структура на нем невырожденна.

В рассматриваемом случае модель $n$-поля является $O(3)$-инвариантной. Роль генераторов гамильтонова действия группы

$O(3)$ на фазовом пространстве играют величины
\[
L^{a}=\int_{-L}^{L} t^{a}(x) d x
\]

со скобками Пуассона
\[
\left\{L^{a}, L^{b}\right\}=-\varepsilon^{a b c} L^{c} .
\]

Закончим этот параграф обсуждением еще одной модели кирального поля, имеющей интересное топологическое прэисхождение. Ее можно ввести благодаря тому, что на компактных группах Ли помимо обычного действия $S(g)$ для главного кирального поля имеется еще один двусторонне инвариантный функционал $W(g)$, не зависящий от метрики на $\mathbb{R}^{2}$.

Для его определения рассмотрим на компактной группе Ли $G$ правоинвариантню 3 -форму $\Omega$, определив ее при $g=I$ равенством
\[
\Omega(x, y, z)=\operatorname{tr}([x, y] z),
\]

так что
\[
\Omega=\operatorname{tr} \theta \wedge \theta \wedge \theta
\]

где $\theta$ – форма Маурера – Картана на $G$ :
\[
\theta=d g \cdot g^{-1} .
\]

Форма $\Omega$ двусторонне инвариантна и замкнута
\[
d \Omega=0,
\]

но не точна (существование такой формы $\Omega$ означает, что для компактных групп Jи $G$ группа когомологий $H^{3}(G, \mathbb{R})$ нетривиальна).

Пусть $g(x, t)$-главное киральное поле, т. е. отображение $g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow G$. Будем считать, что его можно компактифицировать продолжить до отображения сферы $\mathbb{S}^{2}$ в $G$, задав тем самым на $G 2$-цикл $\gamma$. Покроем этот цикл односвязной картой на $G$, рассмотрим в ней локальную первообразную ө формы $\Omega$
\[
\omega=d^{-1} \Omega
\]

и положим
\[
W(g)=\int_{\gamma} \omega .
\]

По своему построению функционал $W(g)$ является многозначным, поскольку $\omega$ не продолжается до 2-формы на $G$. Выясним характер его неоднозначности.

Натянем на 2 -цикл $\gamma$ пленку $B_{\gamma}$ (известно, что гомотопическая группа $\pi_{2}(G)$ тривиальна). По формуле Стокса имеем
\[
W(g)=\int_{\infty} \Omega .
\]

Неоднозначность в выборе пленки приводит к дополнительному слагаемому $\int_{B} \Omega$, где $B=B_{\gamma}-B_{\gamma}^{\prime}-3$-цикл на $G$. Предположим, что группа гомологий $H_{3}(G)$ порождена одной образующей $B_{0}$ (т. е. $\left.H_{3}(G)=\mathbb{Z}\right)$. Тогда весь произвол в определении $W(g)$ состоит в добавлении к нему целого кратного периода формы $\Omega$ величины $\int_{B_{0}} \Omega$ (сравни с определением функционала импульса модели $M \Gamma$ в § 1). В этом случае функционал $W(g)$ имеет такое же право на существование, что и элементарная многозначная функция $\ln z$.

Сделанное выше предположение $H_{3}(G)=\mathbb{Z}$ справедливо для всех простых групп Ли. В простейшем случае $G=S U(2)$ форма $\Omega$ совпадает с формой объема на группе.

Важным свойством функционала $W(g)$ является однозначность его вариации $\delta W(g)$. Для доказательства воспользуемся формулой для вариации интеграла при варьировании замкнутой поверхности интегрирования $\gamma(s)$
\[
\left.\frac{d}{d s} \int_{\gamma+s)} \omega\right|_{s=0}=\int_{\gamma} i_{s} d \omega,
\]

где $\gamma=\gamma(0), \xi$ – векторное поле вариации на $\gamma$, а $i_{\xi} d \omega-$ свертка поля $\xi$ с формой $d \omega$. В нашем случае $\xi=\delta g$, и из формулы (5.74) получаем
\[
\delta W(g)=\int_{g\left(\mathbb{S}^{2}\right)} i_{\xi} d \omega=\int_{\mathscr{S}^{2}} \operatorname{tr}\left(\left[l_{1}, l_{0}\right] \delta g \cdot g^{-1}\right) d x d t,
\]

где $l_{\mu}$, как обычно, означают левые токи поля $g$.
Введем теперь модифицированный функционал действия для кирального поля $g$, положив
\[
S_{\alpha}(g)=S(g)+\alpha W(g),
\]

где функционал $S(g)$ дается формулой (5.8), а $\alpha$-вещественная константа. Уравнения Эйлера – Лагранжа для $S_{\alpha}(g)$, записанные в терминах левых токов, имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial l_{1}}{\partial t}-\frac{\partial l_{0}}{\partial x}+\left[l_{1}, l_{0}\right]=0, \\
\frac{\partial l_{0}}{\partial t}-\frac{\partial l_{1}}{\partial x}+\alpha\left[l_{1}, l_{0}\right]=0
\end{array}
\]

и называются модифицированными уравнениями главного кирального поля.

Между локальными решениями обычных и модифицированных уравнений главных киральных полей имеется простое взаимно однозначное соответствие. Именно, пусть $l_{0}$ и $l_{1}$ – решение

уравнений (5.79)-(5.80). Тогда матрицы
\[
\begin{array}{l}
\tilde{l}_{0}=l_{0}-\alpha l_{1}, \\
\tau_{1}=l_{1}-\alpha l_{0}
\end{array}
\]

удовлетворяют системе (5.3)-(5.4). Обратное преобразование дается формулами
\[
\begin{array}{l}
l_{0}=\frac{1}{1-\alpha^{2}}\left(\widetilde{l_{0}}+\alpha \widetilde{l_{1}}\right), \\
l_{1}=\frac{1}{1-\alpha^{2}}\left(\widetilde{l_{1}}+\alpha \widetilde{l_{0}}\right) .
\end{array}
\]

Далее, пусть $U(x, t, \lambda)$ и $V(x, t, \lambda)$ – матрицы из представления нулевой кривизны для модели главного кирального поля (см. §3). Рассмотрим совместную систему уравнений
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial F}{\partial x}=U(x, t, \lambda) F, \\
\frac{\partial F}{\partial t}=V(x, t, \lambda) F,
\end{array}
\]

где $F(x, t, \lambda)$ – матрица-функция со значениями в группе $G$, и положим
\[
\begin{array}{l}
\tilde{g}(x, t)=\left.F(x, t, \lambda)\right|_{\lambda=0}, \\
g(x, t)=\left.F(x, t, \lambda)\right|_{\lambda=\alpha} .
\end{array}
\]

Тогда матрицы $\tilde{g}$ и $g$ удовлетворяют, соответственно, обычным и модифицированным уравнениям главного кирального поля. Таким образом, представление нулевой кривизны (3.37) – (3.40) обслуживает и модифицированные уравнения главных киральных полей.

Однако между обычной и модифицированной моделями имеются и отличия. Во-первых, поскольку
\[
W(g)=-W\left(g^{-1}\right),
\]

в модифицированной модели нарушена инвариантность при замене $g \mapsto g^{-1}$, имевшая место в обычной модели. Во-вторых, эти модели имеют разные пуассоновы структуры.

Именно, уравнения (5.79) – (5.80) являются гамильтоновыми по отношению к гамильтониану $H$, совпадающему с гамильтонианом главного кирального поля (5.13), и к следующим скобкам Пуассона:
\[
\begin{array}{l}
\left\{l_{0}^{a}(x), l_{0}^{b}(y)\right\}=-f^{a b c}\left(l_{0}^{c}(x)+\alpha l_{1}^{c}(x)\right) \delta(x-y), \\
\left\{l_{0}^{a}(x), l_{1}^{b}(y)\right\}=-f^{a b c} l_{1}^{c}(x) \delta(x-y)-\delta^{a b} \delta^{\prime}(x-y), \\
\left\{l_{1}^{a}(x), l_{1}^{b}(y)\right\}=0 .
\end{array}
\]

Последние отличаются от скобок Пуассона (5.15)-(5.17) лишь добавлением слагаемого – $\alpha f^{a b c} l_{1}^{c}(x) \delta(x-y)$ в правой части формулы (5.90). Аналогичная модификация скобок Пуассона пра вых токов выглядит следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\left\{r_{0}^{a}(x), r_{0}^{b}(y)\right\}=-f^{a b c}\left(r_{0}^{c}(x)-\alpha r_{1}^{c}(x)\right) \delta(x-y), \\
\left\{r_{0}^{a}(x), r_{1}^{b}(y)\right\}=-f^{a b c} r_{1}^{c}(x) \delta(x-y)-\delta^{a b} \delta^{\prime}(x-y), \\
\left\{r_{1}^{a}(x), r_{1}^{b}(y)\right\}=0 .
\end{array}
\]

Отметим, что скобки Пуассона между величинами $g(x)$ и $l_{0}(x)$, а также $g(x)$ и $r_{0}(x)$ по-прежнему даются формулами (5.18) и (5.22).

Повторяя выкладки, приводящие к формулам (5.27)-(5.29), убеждаемся, что величины
\[
\begin{array}{l}
L^{a}(x)=l_{0}^{a}(x)-\alpha l_{1}^{a}(x), \\
R^{a}(x)=r_{0}^{a}(x)+\alpha r_{1}^{a}(x)
\end{array}
\]

имеют следующие скобки Пуассона:
\[
\begin{array}{l}
\left\{L^{a}(x), L^{b}(y)\right\}=-f^{a b c} L^{c}(x) \delta(x-y)+2 \alpha \delta^{a b} \delta^{\prime}(x-y), \\
\left\{R^{a}(x), R^{b}(y)\right\}=-f^{a b c} R^{c}(x) \delta(x-y)-2 \alpha \delta^{a b} \delta^{\prime}(x-y) \\
\left\{L^{a}(x), R^{b}(y)\right\}=0 .
\end{array}
\]

Соображения теории возмущений показывают, что при $\alpha
eq 0$ переменные $L^{a}(x)$ и $R^{a}(x)$ можно использовать для параметризации фазового пространства. Таким образом, фазовое пространство модели ассоциируется с прямой суммой двух центрально расширенных алгебр токов $C_{ \pm}(g)$ алгебры $g$ с 2 -коциклами $\pm 2 \alpha \delta^{a b} \delta^{\prime}(x-y)$. Ради этой неожиданной и красивой интерпретации мы и ввели здесь в рассмотрение модифицированную модель главного кирального поля. На ее примере мы еще раз убедились в полезности использования многозначных функционалов и оператора $d^{-1}$.