В $\mathrm{\S }3$ мы ввели уравнения киральных полей и привели для них представление нулевой кривизны. Здесь мы рассмотрим соответствующие модели с гамильтоновой точки зрения. Начнем с модели главного кирального поля.
Уравнения движения имеют вид
$$\frac{{\partial }^{2}g}{\partial t^2}-\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x^2}=\frac{\partial g}{\partial t}{g}^{-1}\frac{\partial g\mathbf{1}}{\partial t}-\frac{\partial g^{\mathrm{\top }}}{\partial x}{g}^{-1}\frac{\partial g}{\partial x},$$

где $g(x,t)$ — функция со значениями в компактной группе Ли $G$. В качестве динамических переменных удобно использовать левые токи поля $g$
$$l_0=\frac{\partial g}{\partial t}{g}^{-1},l_1=\frac{\partial g}{\partial x}{g}^{-\mathbf{1}},$$

в терминах которых уравнения движения принимают вид
$$\begin{array}{c}\frac{\partial l_1}{\partial t}-\frac{\partial l_0}{\partial x}+[l_1,l_0]=0,\\ \frac{\partial l_0}{\partial t}-\frac{\partial l_1}{\partial x}=0.\end{array}$$

Введем в алгебре Ли $g$ группы $G$ базис $t^a,a=1,\dots ,n;n=$ $=\mathrm{dimg}$, нормированный относительно формы Киллинга — матричного следа в присоединенном представлении
$$\mathrm{tr}{t}^a{t}^b=-\frac{1}{2}{\delta }^{ab}.$$

В этом случае структурные константы $f^{abc}$, участвующие в основных коммутационных соотношениях
$$[t^a,t^b]=f^{abc}{t}^c,$$

образуют полностью антисимметрический тензор. Здесь и ниже мы используем обычное соглашение о суммировании по повторяющимся индексам.
Введем компоненты $l_{\mu }^a$ матриц $l_{\mu }$
$$l_{\mu }=l_{\mu }^a{t}^a,\mu =0,1.$$

В этих обозначениях функционал действия $S(g)$ имеет вид
$$S(g)=\frac{1}{2}{\iint }_{t_1}^{t_2}\sum _{a=1}^n({\left(l_0^{a_0}\right)}^2-{\left(l_1^a\right)}^2)dxdt.$$

Рассмотрим функции $q^{\alpha }(x)=l_1^a(x)$ как набор обобщенных координат кирального поля и используем уравнение (5.3) для определения их производных по времени
$${\dot{q}}^a=\frac{\partial q^a}{\partial t}={\left(abl{a}_1{l}_0\right)}^a=\frac{\partial l_0^a}{\partial x}-f^{abc}{q}^b{l}_0^c,$$

где мы ввели ковариантную производную $abl{a}_1$ относительно связности $l_1=q^a{t}^a$. Для канонически сопряженного импульса ${\pi }^a(x)$ получаем выражение
$${\pi }^a(x)=\frac{\delta S}{\dot{\delta q^a}(x)}=-{\left(abl{a}_1^{-1}{l}_0\right)}^a(x),$$

где выбрано антисимметричное определение оператора $abl{a}_1^{-1}$, обратного к оператору $abl{a}_1$. Переменные ${\pi }^a(x),q^a(x)$ имеют канонические скобки Пуассона:
$$\begin{array}{c}\{q^a(x),q^b(y)\}=\{{\pi }^a(x),{\pi }^b(y)\}=0,\\ \{{\pi }^a(x),q^b(y)\}={\delta }^{ab}\delta (x-y),a,b=1,\dots ,n,\end{array}$$

а гамильтониан $H$ получается из лагранжиана $\mathcal{L}$ для действия $S$
$$S={\int }_{t_1}^{t_2}\mathcal{L}dt$$

при помощи обычного преобразования Лежандра
$$H=\int \pi {\dot{l}}^a{\dot{q}}^{a}dx-\mathcal{L}=\frac{1}{2}\int \sum _{a=1}^n({\left(l_0^a\right)}^2+{\left(l_1^a\right)}^2)dx.$$

Скобки Пуассона (5.11) легко переписываются в терминах токов. Действительно, используя соотношение
$$l_0=-abl{a}_1\pi$$

и тождество Якоби для структурных констант $f^{abc}$, из (5.11) получаем, что
$$\begin{array}{l}\{l_0^a(x),l_0^b(y)\}=-f^{abc}{l}_0^c(x)\delta (x-y),\\ \{l_0^a(x),l_1^b(y)\}=-f^{abc}{l}_1^c(x)\delta (x-y)-{\delta }^{ab}{\delta }^{\prime }(x-y),\\ \{l_1^a(x),l_1^b(y)\}=0,\end{array}$$

где ${\delta }^{\prime }(x-y)$ означает производную функции $\delta (x-y)$ по аргу менту.

Скобки Пуассона (5.15)-(5.17) являются скобками ЛиПуассона для бесконечномерной алгебры Ли, которая представляет собой полупрямую сумму абелевой алгебры $\mathcal{A}(\mathrm{g})$ с образующими $l_1^a(x)$ и алгебры токов $C(g)$ алгебры Ли $\mathfrak{g}$ с образующими $l_0^a(x)$. Действие алгебры токов $C(\mathfrak{g})$ на $\mathcal{A}(\mathfrak{g})$ получается расширением естественного действия (локальных вращений) при помощи 2-коцикла Маурера — Картана ${\delta }^{ab}{\delta }^{\prime }(x-y)$.

Скобки Пуассона (5.16) — (5.17) можно получить из скобок Пуассона для $g(x)$ и $l_0^a(x)$
$$\begin{array}{l}\{g(x),l_0^a(y)\}=-t^{a}g(x)\delta (x-y),\\ \{g(x),g(y)\}=0\end{array}$$

дифференцированием по $x$ и переходом к $l_1(x)$ по формуле (5.2). Здесь левая часть формулы (5.18) представляет собой матрицу, составленную из скобок Пуассона матричных элементов матрицы $g(x)$ с $l_0^a(y)$. Формула (5.19) означает, что скобки Пуассона всех матричных элементов матрицы $g(x)$ исчезают.

Вместо левых токов $l_{\mu }$ с равным основанием можно было бы использовать правые токи поля $g$
$$r_0=-g^{-1}\frac{\partial g}{\partial t},r_1=-g^{-1}\frac{\partial g}{\partial x}.$$

Очевидно, что
$$r_{\mu }=-g^{-1}{l}_{\mu }g,\mu =0,1,$$

и из формулы (5.18) получаем
$$\{g(x),r_0^a(y)\}=g(x)t^a\delta (x—y),$$

где мы ввели разложение
$$r_{\mu }=r_{\mu }^a{t}^a,\mu =0,1.$$

Отсюда заключаем, что скобки Пуассона правых токов имеют вид
$$\begin{array}{l}\{r_0^a(x),r_0^b(y)\}=-f^{abc}{r}_0^c(x)\delta (x-y),\\ \{r_0^a(x),r_1^b(y)\}=-f^{abc}{r}_1^c(x)\delta (x-y)-{\delta }^{ab}{\delta }^{\prime }(x-y),\\ \{r_1^a(x),r_1^b(y)\}=0.\end{array}$$

Наконец, из (5.15)-(5.19) и (5.21) получаем скобки Пуассона левых и правых токов:
$$\begin{array}{c}\{r_0^a(x),l_0^b(y)\}=\{r_1^a(x),l_1^b(y)\}=0,\\ \{l_0^a(x),r_1(y)\}={\tilde{t}}^a(y){\delta }^{\prime }(x-y),\\ \{l_1^a(x),r_0(y)\}=\widetilde{t^a}(x),r_1(x)]\delta (x-y)+\widetilde{t^a}(y){\delta }^{\prime }(x-y)=\\ ={\tilde{t}}^a(x){\delta }^{\prime }(x-y),\end{array}$$

где мы положили ${\tilde{t}}^a(x)=g^{-1}(x)t^{a}g(x)$.
До сих пор мы не обсуждали граничных условий, так что приведенные выкладки носили формальный характер. Существует несколько способов введения граничных условий: их можно накладывать как на переменные $g(x),l_0(x)$, так и на токи $l_0(x)$, $l_1(x)$ или $r_0(x),r_1(x)$. Для определенности мы будем параметризовать фазовое пространство в терминах левых токов и наложим на них периодические граничные условия
$$l_{\mu }(x+2L)=l_{\mu }(x),\mu =0,1.$$

Интегрирование в выражениях (5.8) для действия и (5.13) для гамильтониана ведегся по фундаментальной области $-L⩽x⩽L$.

Пуассонова структура (5.15) — (5.17) на фазовом пространстве является вырожденной. Действительно, матрица монодромии $U$ связности $l_1(x)$
$$U=\tilde{g}(L,-L)={\exp }^n{\int }_{-L}^L{l}_1(x)dx$$

находится в инволюции со всеми образующими $l_{\mu }^a(x)$. Чтобы убедиться в этом, вычислим формально скобку Пуассона между функциями $l_0^a(y)$ и матрицей $\tilde{g}(x,-L)$, где использовано обозначение
$$\tilde{g}(x,y)={\widehat{\mathrm{xxp}}}_y^x{\int }_1^x{l}^{\prime })d{x}^{\prime }$$
(сравни с определением матрицы перехода в части I). Эта матрица удовлетворяет дифференциальным уравнениям
$$\frac{\partial \tilde{g}}{\partial x}=l_1(x)\tilde{g},\frac{\partial \tilde{g}}{\partial y}=-\tilde{g}l.(y).$$

Имеем теперь, считая, что $-L<y<L$, и используя (5.16) и (5.33):
$$\begin{array}{l}\{\tilde{g}(x,-L),l_0^a(y)\}={\int }_{-L}^x\tilde{g}(x,z)\{l_1(z),l_0^a(y)\}\tilde{g}(z,-L)dz=\\ ={\int }_{-L}^x\tilde{g}(x,z)([l_1(z),l^a]\delta (y-z)+t^a{\hat{o}}^{\prime }(y-z))\tilde{g}(z,-L)dz=\\ =-t^a\tilde{g}(x,-L)\delta (x-y),\end{array}$$

где при выводе последнего соотношения мы воспользовались интегрированием по частям. Подчеркнем, что полученная формула совпадает со скобкой Пуассона (5.18) после замены $g(x)$ на $\tilde{g}(x,-L)$.

Полагая в (5.34) $x=L$, получаем, что функции $l_0^a(y)$ находятся в инволюции с матрицей монодромни $U$. Для функций $l_1^a(y)$ это очевидно из (5.17).

Используем теперь матрицу $\tilde{g}(x,-L)$ для построения аналогов правых токов
$${\tilde{r}}_{\mu }=-{\tilde{g}}^{-1}{l}_{\mu }\tilde{g},\mu =0,1.$$

Их скобки Пуассона с левыми токами $l_{\mu }$ имеют тот же вид, что и формулы (5.27) — (5.29) с заменой $r_{\mu }$ на ${\tilde{r}}_{\mu }$. Поэтому величины
$${\tilde{R}}^a={\int }_{-L}^L{\tilde{r}}_0^a(x)dx,$$

так же как и матричные элементы матрицы $U$, находятся в инволюции со всеми функциями $l_{\mu }^a(x)$.

Однако приведенные вычисления были формальными и для описания функционалов, порождающих аннулятор пуассоновой структуры, необходимо выделить допустимые функционалы, совместные с граничными условиями (5.30). Для функционалов от матрицы монодромии $U$ таковыми являются лишь инварианты присоединенного действия группы $G$, т. е. инварианты преобразований $U\mapsto aU{a}^{-1}$, для всех $a$ из $G$. (Сравни с выделением допустимых функционалов в § III. 2 части I.) Для функционалов от $r_0(x)$ условия допустимости выглядят более сложно и состоят в том, что их плотности должны быть периодическими функциями переменной $x$, а сами они не должны меняться при замене $\hat{g}(x,-L)\mapsto \tilde{g}(x,-L)C$, где $C$ — произвольная постоянная матрица. Можно показать в ситуации общего положения (когда все собственные значения матрицы $U$ различны), что число функционалов, порождающих аннулятор нашей пуассоновой структуры, совпадает с удвоенной размерностью картановской подалгебры в g. Этим заканчивается описание фазового пространства в терминах левых токов $l_{\mu }(x)$.

Рассмотрим теперь параметризацию переменными $g(x)$ и $l_0(x)$. В случае периодических граничных условий
$$g(x+2L)=g(x)$$

пуассонова структура, задаваемая скобками Пуассона (5.15) и (5.18) — (5.19), является невырожденной. В терминах $l_1(x)$ условие (5.37) приобретает вид
$$U=I,$$

так что, в частности, все величины ${\tilde{R}}^a$ являются допустимыми функционалами на фазовом пространстве переменных $g(x)$ и $l_0(x)$. Это и не удивительно, так как в рассматриваемом фазовом пространстве модель главного кирального поля является $G\times G$ инвариантной. Действие групп $G\times G$ в фазовом пространстве является гамильтоновым и задается генераторами
$$L^a={\int }_{-L}^L{l}_0^a(x)dx,R^a={\int }_{-L}^L{r}_0^a(x)dx$$

со скобками Пуассона
$$\begin{array}{l}\{L^a,L^b\}=-f^{abc}{L}^c,\\ \{R^a,R^b\}=-f^{abc}{R}^c,\\ \{L^a,R^b\}=0.\end{array}$$

В этом случае существует инволюция $g\mapsto g^{-1}$, переводящая левые токи в правые.

Переход от первой параметризации фазового пространства ко второй можно осуществить, при выполнении условия (5.38), с помощью интегрирования
$$g(x)=\tilde{g}(x,-L)g(-L).$$

При этом возникает новая динамическая переменная — матрица $g(-L)$ («постоянная интегрирования»), находящаяся в инволюции со всеми $l_{\mu }(x)$, но не с бывшими аннуляторами ${\tilde{R}}^a$. Преобразование подобия
$$g^{-1}(-L)\tilde{R}g(-L)=R=R^a{t}^a$$

переводит их в правые токи.
Мы подробно привели здесь все эти рассуждения с тем, чтобы обратить внимание на неочевидные свойства стандартной пуассоновой структуры модели главного кирального поля.

Эта модель допускает интересную редукцию, приводящую к гамильтоновой системе с отличной от (5.15) — (5.17) пуассоновой структурой. Ограничившись для простоты случаем $G=SU(2)$ и периодическими граничными условиями на токи $l_{\mu }(x)$, введем

переменные
$$S=\frac{l_0+l_1}{2},T=\frac{l_0-l_1}{2},$$

в терминах которых уравнения (5.3)-(5.4) принимают вид
$$\begin{array}{c}\frac{\partial S}{\partial t}=\frac{\partial S}{\partial x}-[S,T],\\ \frac{\partial T}{\partial t}=-\frac{\partial T}{\partial x}+[S,T].\end{array}$$
(В обозначениях из $\mathrm{\S }3$ имеем $S=U_{+},T=U_{-}$.) Редукция
$$S^2=T^2=I$$

задает инвариантное подмногообразие системы уравнений (5.46) — (5.47). Рассмотрим его в качестве фазового пространства с пуассоновой структурой, задаваемой следующими скобками Пуассона:
$$\begin{array}{l}\{S^a(x),S^b(y)\}=-{\epsilon }^{abc}{S}^c(x)\delta (x-y),\\ \{T^a(x),T^b(y)\}=-{\epsilon }^{abc}{T}^c(x)\delta (x-y),\\ \{S^a(x),T^b(y)\}=0.\end{array}$$

Введенное фазовое пространство является прямым произведением $O\times O$, где $O$ — симплектическая орбита алгебры токов группы $SU(2)$, задаваемая условием $S^2=I$, так что пуассонова структура (5.49)-(5.51) невырожденна. Уравнения (5.46)-(5.47) записываются в гамильтоновом виде
$$\frac{\partial S}{\partial t}=\{H,S\},\frac{\partial T}{\partial t}=\{H,T\}$$

с гамильтонианом
$$H(S,T)=P(T)-P(S)-2{\int }_{-L}^L\mathrm{tr}STdx,$$

где $P$ — функционал импульса на фазовом пространстве $O$, введенный в § 1. Отметим, что гамильтониан $H$ дает пример многозначного функционала, определенного с точностью до целого кратного $8\pi$ (см. $\mathrm{\S }1$ ). Однако его вариационные производные очевидно являются однозначными периодическими функциями.

Перейдем теперь к гамильтоновой формулировке модели $\overrightarrow{n}$ поля, ограничившись для простоты случаем сферы ${\mathbb{S}}^2$. Фазовое пространство модели образовано вектор-функциями $\overrightarrow{\pi }(x),\overrightarrow{n}(x)$ со значениями в ${\mathbb{R}}^3$, удовлетворяющими периодическим граничным

условиям
$$\overrightarrow{\pi }(x+2L)=\overrightarrow{\pi }(x),\overrightarrow{n}(x+2L)=\overrightarrow{n}(x)$$

и связям
$$\overrightarrow{n^2}=1,\overrightarrow{\pi }\cdot \overrightarrow{n}=0$$

Уравнения движения
$$\begin{array}{c}\frac{\partial \overrightarrow{n}}{\partial t}=\overrightarrow{\pi }\\ \frac{\partial \overrightarrow{\pi }}{\partial t}=\frac{{\partial }^2\overrightarrow{n}}{\partial x^2}+({\left(\frac{\partial \overrightarrow{n}}{\partial x}\right)}^2-\overrightarrow{{\pi }^2})\overrightarrow{n}\end{array}$$

порождаются гамильтонианом
$$H={\int }_{-L}^L(\frac{1}{2}{\overrightarrow{\pi }}^2+\frac{1}{2}{\left(\frac{\partial \overrightarrow{n}}{\partial x}\right)}^2)dx$$

и скобками Пуассона
$$\begin{array}{c}\{n^a(x),n^b(y)\}=0,\\ \{{\pi }^a(x),{\pi }^b(y)\}=-({\pi }^a(x)n^b(x)-{\pi }^b(x)n^a(x))\delta (x-y),\\ \{{\pi }^a(x),n^b(y)\}=({\delta }^{ab}-n^a(x)n^b(x))\delta (x-y),a,b=1,2,3.\end{array}$$

Пуассонова структура, порождаемая этими скобками Пуассона, совместна со связями (5.55).

Скобки Пуассона (5.59)-(5.61) можно упростить, если использовать вместо $\overrightarrow{\pi }(x)$ переменную $\overrightarrow{l}(x)$ :
$$\overrightarrow{l}=\overrightarrow{n}\wedge \overrightarrow{\pi },\overrightarrow{l^2}={\overrightarrow{\pi }}^2$$

В результате получаем скобки Пуассона
$$\begin{array}{rl}\{l^a(x),l^b(y)\}& =-{\epsilon }^{abc}{l}^c(x)\delta (x-y),\\ \{l^a(x),n^b(y)\}& =-{\epsilon }^{abc}{n}^c(x)\delta (x-y),\\ \{n^a(x),n^b(y)\}& =0,\end{array}$$

характеризующие алгебру токов группы $E$ (3). Фазовым пространством модели является симплектическая орбита
$${\overrightarrow{n}}^2=1,\overrightarrow{l}\cdot \overrightarrow{n}=0$$

алгебры $C(e(3))$, так что пуассонова структура на нем невырожденна.

В рассматриваемом случае модель $n$-поля является $O(3)$-инвариантной. Роль генераторов гамильтонова действия группы

$O(3)$ на фазовом пространстве играют величины
$$L^a={\int }_{-L}^L{t}^a(x)dx$$

со скобками Пуассона
$$\{L^a,L^b\}=-{\epsilon }^{abc}{L}^c.$$

Закончим этот параграф обсуждением еще одной модели кирального поля, имеющей интересное топологическое прэисхождение. Ее можно ввести благодаря тому, что на компактных группах Ли помимо обычного действия $S(g)$ для главного кирального поля имеется еще один двусторонне инвариантный функционал $W(g)$, не зависящий от метрики на ${\mathbb{R}}^2$.

Для его определения рассмотрим на компактной группе Ли $G$ правоинвариантню 3 -форму $\mathrm{\Omega }$, определив ее при $g=I$ равенством
$$\mathrm{\Omega }(x,y,z)=\mathrm{tr}([x,y]z),$$

так что
$$\mathrm{\Omega }=\mathrm{tr}\theta \wedge \theta \wedge \theta$$

где $\theta$ — форма Маурера — Картана на $G$ :
$$\theta =dg\cdot g^{-1}.$$

Форма $\mathrm{\Omega }$ двусторонне инвариантна и замкнута
$$d\mathrm{\Omega }=0,$$

но не точна (существование такой формы $\mathrm{\Omega }$ означает, что для компактных групп Jи $G$ группа когомологий $H^3(G,\mathbb{R})$ нетривиальна).

Пусть $g(x,t)$-главное киральное поле, т. е. отображение $g:{\mathbb{R}}^2\to G$. Будем считать, что его можно компактифицировать продолжить до отображения сферы ${\mathbb{S}}^2$ в $G$, задав тем самым на $G2$-цикл $\gamma$. Покроем этот цикл односвязной картой на $G$, рассмотрим в ней локальную первообразную ө формы $\mathrm{\Omega }$
$$\omega =d^{-1}\mathrm{\Omega }$$

и положим
$$W(g)={\int }_{\gamma }\omega .$$

По своему построению функционал $W(g)$ является многозначным, поскольку $\omega$ не продолжается до 2-формы на $G$. Выясним характер его неоднозначности.

Натянем на 2 -цикл $\gamma$ пленку $B_{\gamma }$ (известно, что гомотопическая группа ${\pi }_2(G)$ тривиальна). По формуле Стокса имеем
$$W(g)={\int }_{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Omega }.$$

Неоднозначность в выборе пленки приводит к дополнительному слагаемому ${\int }_B\mathrm{\Omega }$, где $B=B_{\gamma }-B_{\gamma }^{\prime }-3$-цикл на $G$. Предположим, что группа гомологий $H_3(G)$ порождена одной образующей $B_0$ (т. е. $H_3(G)=\mathbb{Z})$. Тогда весь произвол в определении $W(g)$ состоит в добавлении к нему целого кратного периода формы $\mathrm{\Omega }$ величины ${\int }_{B_0}\mathrm{\Omega }$ (сравни с определением функционала импульса модели $M\mathrm{\Gamma }$ в § 1). В этом случае функционал $W(g)$ имеет такое же право на существование, что и элементарная многозначная функция $\ln z$.

Сделанное выше предположение $H_3(G)=\mathbb{Z}$ справедливо для всех простых групп Ли. В простейшем случае $G=SU(2)$ форма $\mathrm{\Omega }$ совпадает с формой объема на группе.

Важным свойством функционала $W(g)$ является однозначность его вариации $\delta W(g)$. Для доказательства воспользуемся формулой для вариации интеграла при варьировании замкнутой поверхности интегрирования $\gamma (s)$
$${\frac{d}{ds}{\int }_{\gamma +s)}\omega |}_{s=0}={\int }_{\gamma }{i}_{s}d\omega ,$$

где $\gamma =\gamma (0),\xi$ — векторное поле вариации на $\gamma$, а $i_{\xi }d\omega -$ свертка поля $\xi$ с формой $d\omega$. В нашем случае $\xi =\delta g$, и из формулы (5.74) получаем
$$\delta W(g)={\int }_{g\left({\mathbb{S}}^2\right)}{i}_{\xi }d\omega ={\int }_{{\mathcal{S}}^2}\mathrm{tr}([l_1,l_0]\delta g\cdot g^{-1})dxdt,$$

где $l_{\mu }$, как обычно, означают левые токи поля $g$.
Введем теперь модифицированный функционал действия для кирального поля $g$, положив
$$S_{\alpha }(g)=S(g)+\alpha W(g),$$

где функционал $S(g)$ дается формулой (5.8), а $\alpha$-вещественная константа. Уравнения Эйлера — Лагранжа для $S_{\alpha }(g)$, записанные в терминах левых токов, имеют вид
$$\begin{array}{c}\frac{\partial l_1}{\partial t}-\frac{\partial l_0}{\partial x}+[l_1,l_0]=0,\\ \frac{\partial l_0}{\partial t}-\frac{\partial l_1}{\partial x}+\alpha [l_1,l_0]=0\end{array}$$

и называются модифицированными уравнениями главного кирального поля.

Между локальными решениями обычных и модифицированных уравнений главных киральных полей имеется простое взаимно однозначное соответствие. Именно, пусть $l_0$ и $l_1$ — решение

уравнений (5.79)-(5.80). Тогда матрицы
$$\begin{array}{l}{\tilde{l}}_0=l_0-\alpha l_1,\\ {\tau }_1=l_1-\alpha l_0\end{array}$$

удовлетворяют системе (5.3)-(5.4). Обратное преобразование дается формулами
$$\begin{array}{l}{l}_0=\frac{1}{1-{\alpha }^2}(\widetilde{l_0}+\alpha \widetilde{l_1}),\\ l_1=\frac{1}{1-{\alpha }^2}(\widetilde{l_1}+\alpha \widetilde{l_0}).\end{array}$$

Далее, пусть $U(x,t,\lambda )$ и $V(x,t,\lambda )$ — матрицы из представления нулевой кривизны для модели главного кирального поля (см. §3). Рассмотрим совместную систему уравнений
$$\begin{array}{l}\frac{\partial F}{\partial x}=U(x,t,\lambda )F,\\ \frac{\partial F}{\partial t}=V(x,t,\lambda )F,\end{array}$$

где $F(x,t,\lambda )$ — матрица-функция со значениями в группе $G$, и положим
$$\begin{array}{l}\tilde{g}(x,t)={F(x,t,\lambda )|}_{\lambda =0},\\ g(x,t)={F(x,t,\lambda )|}_{\lambda =\alpha }.\end{array}$$

Тогда матрицы $\tilde{g}$ и $g$ удовлетворяют, соответственно, обычным и модифицированным уравнениям главного кирального поля. Таким образом, представление нулевой кривизны (3.37) — (3.40) обслуживает и модифицированные уравнения главных киральных полей.

Однако между обычной и модифицированной моделями имеются и отличия. Во-первых, поскольку
$$W(g)=-W\left(g^{-1}\right),$$

в модифицированной модели нарушена инвариантность при замене $g\mapsto g^{-1}$, имевшая место в обычной модели. Во-вторых, эти модели имеют разные пуассоновы структуры.

Именно, уравнения (5.79) — (5.80) являются гамильтоновыми по отношению к гамильтониану $H$, совпадающему с гамильтонианом главного кирального поля (5.13), и к следующим скобкам Пуассона:
$$\begin{array}{l}\{l_0^a(x),l_0^b(y)\}=-f^{abc}(l_0^c(x)+\alpha l_1^c(x))\delta (x-y),\\ \{l_0^a(x),l_1^b(y)\}=-f^{abc}{l}_1^c(x)\delta (x-y)-{\delta }^{ab}{\delta }^{\prime }(x-y),\\ \{l_1^a(x),l_1^b(y)\}=0.\end{array}$$

Последние отличаются от скобок Пуассона (5.15)-(5.17) лишь добавлением слагаемого — $\alpha f^{abc}{l}_1^c(x)\delta (x-y)$ в правой части формулы (5.90). Аналогичная модификация скобок Пуассона пра вых токов выглядит следующим образом:
$$\begin{array}{l}\{r_0^a(x),r_0^b(y)\}=-f^{abc}(r_0^c(x)-\alpha r_1^c(x))\delta (x-y),\\ \{r_0^a(x),r_1^b(y)\}=-f^{abc}{r}_1^c(x)\delta (x-y)-{\delta }^{ab}{\delta }^{\prime }(x-y),\\ \{r_1^a(x),r_1^b(y)\}=0.\end{array}$$

Отметим, что скобки Пуассона между величинами $g(x)$ и $l_0(x)$, а также $g(x)$ и $r_0(x)$ по-прежнему даются формулами (5.18) и (5.22).

Повторяя выкладки, приводящие к формулам (5.27)-(5.29), убеждаемся, что величины
$$\begin{array}{l}{L}^a(x)=l_0^a(x)-\alpha l_1^a(x),\\ R^a(x)=r_0^a(x)+\alpha r_1^a(x)\end{array}$$

имеют следующие скобки Пуассона:
$$\begin{array}{l}\{L^a(x),L^b(y)\}=-f^{abc}{L}^c(x)\delta (x-y)+2\alpha {\delta }^{ab}{\delta }^{\prime }(x-y),\\ \{R^a(x),R^b(y)\}=-f^{abc}{R}^c(x)\delta (x-y)-2\alpha {\delta }^{ab}{\delta }^{\prime }(x-y)\\ \{L^a(x),R^b(y)\}=0.\end{array}$$

Соображения теории возмущений показывают, что при $\alpha eq0$ переменные $L^a(x)$ и $R^a(x)$ можно использовать для параметризации фазового пространства. Таким образом, фазовое пространство модели ассоциируется с прямой суммой двух центрально расширенных алгебр токов $C_{\pm }(g)$ алгебры $g$ с 2 -коциклами $\pm 2\alpha {\delta }^{ab}{\delta }^{\prime }(x-y)$. Ради этой неожиданной и красивой интерпретации мы и ввели здесь в рассмотрение модифицированную модель главного кирального поля. На ее примере мы еще раз убедились в полезности использования многозначных функционалов и оператора $d^{-1}$.