В предыдущей главе мы изучили отображение
$$\mathcal{F}:(\psi (x),\overline{\psi }(x))\mapsto (b(\lambda ),\overline{b}(\lambda );{\lambda }_j,{\gamma }_j)$$

от функций $\psi (x),\overline{\psi }(x)$ к коэффициентам перехода и дискретному спектру вспомогательной линейной задачи. Как для быстроубывающих граничных условий, так и для случая конечной плотности мы убедились, что эта «замена переменных» сильно упрощает динамику; изменение со временем коэффициентов перехода непрерывного и дискретного спектра становится линейным.

В этой главе мы изучим отображение ${\mathcal{F}}^{-1}$. Более точно, мы покажем, в каком смысле отображение $\mathcal{F}$ является обратимым, и дадим решение обратной задачи — опишем процедуру восстановления функций $\psi (x),\overline{\psi }(x)$ по коэффициентам перехода и дискретному спектру. Основным средством решения обратной задачи для нас будет служить формализм задачи сопряжения в теории функций, которая также называется задачей Римана или задачей аналитической факторизации. Различные варианты этой задачи зависят от граничных условий, дискретного спектра ит. д. Мы приведем в этой главе конкретную формулировку задачи Римана для рассматриваемых граничных условий и дадим ее полное исследование.