Существует обширная литература, посвященная исследованию приведенаых в этой главе моделей. Здесь мы дадим ссылки только на те работы, в которых к этим моделям был применен метод обратной задачи, т. е. получено представление нулевой кривизны и, как правило, рассмотрен случай быстроубывающих граничных условий. Дальнейшие ссылки см. в соответствующих параграфах глав II-III. Там же мы укажем работы, в которых эти модели были рассмотрены с гамильтоновой точки зрения.
1) Модель МГ была погружена в метод обратной задачи в работе [1.86].
2) Модель SG активно исследовалась в 1973-1975 годах. Представление нулевой кривизны для уравнения $S G$ в координатах светового конуса
\[
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial \xi \partial \eta}+\frac{m^{2}}{\beta} \sin \beta \varphi=0
\]

было подучено в работах [1.46], [1.55], а в форме (1.19) — в [1.19], [1.47]. Конечно, эти представления нулевой кривизны формально эквивалентны; различие приведенных работ состоит в том, что исследуются разные вспомогательные линейные задачи. Более подробные ссылки см. в гл. II.
3) Метод обратной задачи к модели Л-Л был применен в работах [1.4], [1.85].
4) Векторная модель НШ с двумя цветами была погружена в метод обратной задачи в работе [1.32], результаты которой непосредственно переносятся на случай произвольного числа цветов. Ее обобщение на однородные пространства групп Ли было дано в работе [1.69].
5) Общее замечание в конце $\S 1$ о связи функционала импульса с симплектической формой на фазовом пространстве возникло при обсуждении этого вопроса с А.Г. Рейманом.
6) Первой интегрируемой моделью на решетке явилась модель Тода, описывающая ангармонические колебания одномерной кристаллической решетки (см. [1.87]). Метод обратной задачи для ее точного решения был применен С. В. Манаковым [1.33] и Г. Флашкой [1.66]-[1.67]. Дальнейшие ссылки см. в гл. III.
7) Переформулировка условия нулевой кривизны для решеточных моделей была осуществлена М. Абловитцем и Дж. Ладиком в работе [1.57].
8) Вторая модель в § 2 была введена Вольтерра в работе [1.88], что и объясняет ее название. Помимо экологических приложений, она возникает и в физике плазмы при изучении тонкой структуры спектров ленгмюровских колебаний. Метод обратной задачи для нее был развит в работе [1.33]. По поводу пуассоновой структуры модели Вольтерра см. гл. III.
9) Модель РМГ и вспомогательная линейная задача для нее были введены в работе [1.44].
10) Модель PHШ⿰ и вспомогательная линейная задача (2.62)-(2.63) появитись в работе $[1,27]$.
11) Модель РНШ 2 была введена в работе [1.57], где к ней был применен метод обратной задачи. Гамильтонова формулировка модели была дана в $[1.72]-[1.73]$.
12) Связь моделей РНШ и РМГ, в частности операция альтернирования знака (2.51), обсуждалась в работе [1.45].
13) По поводу теории представлений групп $S U(2)$ и $S U(1,1)$ см., например, монографию [1.11].
14) Предложение использовать общее представление нулевой кривизны для изучения нелинейных уравнений принадлежит В. Е. Захарову и А. Б. Шабату [1.23] и носит сейчас название схемы Захарова — Шабата. Для случая двумерного вспомогательного пространства общее представление нулевой кривизны изучалось ранее в работе [1.56]. Роль калибровочного преобразования в этом подходе обсуждалась в работе [1.24] на примере моделей МГ и НШІ.

15) Систематическое исследование различных редукций в представлении нулевой кривизны было проведено А. В. Михайловым [1.78].
16) Как мы отмечали во введении, знаменитое уравнение КдФ появляется только в основном тексте гл. I части II. Традиционно это уравнение рассматривается при помощи представления Лакса [1.75]. Представление нулевой кривизны для уравнения КдФ появилось в работе [1.37]. Другие ссылки по поводу этого уравнения уже указывались в гл. III части I.
17) Переход от уравнения (3.13) к (3.12) является частным случаем преобразования Фробениуса, приводящего обыкновенное линейное дифференциальное уравнение $n$-го порядка к системе $n$ линейных уравнений 1 -го порядка. Очевндна унифицирующая роль таких систем в представлении нулевой кривизны. Дифференциальные уравнения высшего порядка, изученные в работах [1.12]-[1.13], таким образом, могут быть рассмотрены как редукции схемы Захарова — Шабата [1.14], [1.15].
18) Пуассонова структура (3.15) была введена в работах [1.18] и [1.71]. В работах [1.60], [1.64] отмечались важные тонкости, связанные с гамильтоновой интерпретацией уравнения КдФ.
19) Модель $N$-волн, исследованная В. Е. Захаровым и С. В. Манаковым в работе [1.21], явилась первым примером, в котором проявились все пречмущества представления нулевой кривизны. На ее основе также был разработан метод матричной задачи Римана [1.53]-[1.54], заменяющий фор мализм интегральных уравнений Гельфанда — Левнтана — Марченко.
20) В стационарном случае ( т. е. когда нет зависимости от $t$ ) уравнения $N$-волн совпалают с уравнениями Эйлера, обобщающими уравнения вращения твердого тела. Этот важный факт был отмечен С. В. Манаковым в работе [1.34]. В дальнейшем были найдены другие примеры подобного типє $[1.3],[1.8],[1.36],[1.39]$. Эти примеры естественным образом погружаются в об̈ую схему, использющую аффинные алгебры Ли [1.40], [1.42], [1.59], [1.83].
21) Кирайное поле является популярной моделью теории поля, имеющей геометрическое происхождение (см., например, [1.17]). Представление нулевой кривизны для $n$-поля было получено в работе [1.81], а для главных киральных полей — р работе [1.22]. Мы называем матрицы $l_{\mu}$ левыми токами, поскольку гамильтснианы $\int l_{0}^{a}(x) A^{a}(x) d x$ относительно пуассоновой структуры (5.15), (5.18)-(5.19) порождают действие группы $G$ на себе левыми сдвигами. Поаналогичной причине матрицы $r_{0}=-g^{-1} \frac{\partial g}{\partial t}, r_{1}=-g^{-1} \frac{\partial g}{\partial x}$ называются правыми токами.
22) Двумеризованная модель Тода была введена в работе [1.35], где для нее было получено представление нулевой кривизны. В другой форме она рассматривалась в работе [1.76]; ее обобщение на другие системы корней дано в работе [1.79]. Уравнение (3.54) появилось независимо от двумеризованной модели Тода в работах [1.26], [1.63]. В работе [1.35] для него было найдено представление нулевой кривизны.
23) Изложение в $\$ 4$ следует работе [1.24]. Формулы типа (4.19)-(4.21) также были приведены в работе [1.74], посвященной установлению связи между моделями МГ и НШ без использования метода обратной задачи. Отметим, что в то время как в решеточном случае модели РМГ и РНШ , $_{1}$, по существу, совпадают, в непрерывном случае нх связь осуществляется уже калибровочным пресбразсванием. Это объясняется тем, что в последнем случае модели $M \Gamma$ и НШ получаются в результате различных непрерывных пределов из одной решеточной модели.
24) С расслоением Хопфа и теоремой о голономии можно познакомиться, например, по монографии [1.17]. Предложение использовать эту теорему для доказательства формулы (4.21) принадлежит А. Г. Рейману.
25) Со скобками Ли — Пуассона, задающими пуассонову структуру на двойственном пространстве к алгебре Ли, мы более подробно познакомимся в гл. IV.
26) Расширенная алгебра токов, которая появнлась у нас в $\S 5$, в настоящее время очень популярна в современной математической физике (см. [1.41], [1.61], [1.62], [1.70], [1.84]). Некоторые ее приложения к интегрируемым уравнениям мы обсудим в гл. IV. Термин «коцикл Маурера — Картана» был введен в работе [1.7] в связи с теорией представлений групп токов. 27) Скобки Пуассона (5.15) и (5.18)-(5.19) задают обычную пуассонову структуру на кокасательном расслоении $T * C(G)$ группы токов $C(G)$. Взаимоотношение этих скобок Пуассона со скобками (5.15)-(5.17) представляет ссбой пример гамильтоновой редукции пространства $T^{*} C(G)$ по действию группы $G$. По поводу понятия гамильтоновой редукции см., например, [1.2].
28) Вторая гамильтонова формулировка модели главного кирального поля в § 5 была введена и использовалась в работе [1.65].
29) Скобки Пуассона (5.59) — (5.61) для модели $n$-поля получаются как скобки Пуассона — Дирака из канонических скобок
\[
\left\{\pi^{a}(x), \pi^{b}(y)\right\}=\left\{n^{a}(x), n^{b}(y)\right\}=0, \quad\left\{\pi^{a}(x), n^{b}(y)\right\}=\delta_{a b} \delta(x-y)
\]

и связей
\[
\overrightarrow{n^{2}}=1, \quad \vec{\pi} \cdot \vec{n}=0 .
\]
30) Роль неоднозначных функционалов типа (5.74) в качестве функционалов действия для моделей механики и теории поля была в общем виде выявлена С. П. Новиксвым [1.38]. Функционал $W(g)$ является характерным примером общей конструкции в [1.38], где была поставлена задача об исследовании модели с функционалом действия $S(g)+\alpha W(g)$. Функционал импульса модели $М \Gamma$ из $§ 1$ представляет собой другой интересный пример и играет роль не действия, а наблюдаемой.
31) С используемыми в § 5 простыми топологическими свойствами групп Ли можно, например, ознакомиться по монографии [1.1]. Формула (5.76) выводится из формулы Стокса дифференцированием по параметру $s$.
32) Многозначные функционалы действия в неявном виде появлялись в физической литературе в работе Дж. Весса, Б. Зумино [1.89] на конкретном примере модели главного кирального поля в четырехмерном пространстве-времени; геометрическое происхождение неоднозначности действия было выявлено Э. Виттеном в работе [1.92]. Отметим также, что в модели, рассмотренной в работах [1.5]-[1.6], фактически использовалось многозначное действие (5.78) в качестве кинетического члена. Эта модель представляет собой матричное обобщение модели SG и также интегрируется методом обратной задачи. Она описывает поле $g(x, t)$ со значениями в группе $\mathcal{S} O(n)$; уравнения движения модели имеют вид
\[
\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial g}{\partial t} g^{-1}\right)-\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial g}{\partial x} g^{-1}\right)+\left[\frac{\partial g}{\partial x} g^{-1}, \frac{\partial g}{\partial t} g^{-1}\right]+\left[A, g B g^{-1}\right]=0,
\]

где $A$ и $B$-вещественные диагональные матрицы, не зависящие от $x$ и $t$. Матричная модель SG калибровочно эквивалентна модели главного кирального поля на группе $S O(n)$ (см. [1.6]).
33) Связь модифицированных и обычных уравнений главного кирального поля была установлена в работе [1.9].
34) Геометрическая интерпретация симплектической структуры, связанной с модифицированными скобками Пуассона (5.90)-(5.92), дана в работе $[1.82]$.
35) Появление двух независимых расширенных алгебр токов в модифицированной модели главного кирального поля с $\alpha= \pm 1$ было впервые обнаружено в работе [1.93].
36) Метод задачи Римана для построения решений общего уравнения нулевой кривизны из § 6 и термин «процедура одевания» принадлежат В. Е. Захарову и А. Б. Шабату [1.23]. Обсуждение редукций в задаче Римана содержится в работе [1.78]. По псводу использования процедуры одева-

ния для построения солитонных решений различных уравнений см. [1.22], [1.25].
37) Схема построения общего локального решения уравнения нулевой кривизны, изложенная в § 7, принадлежит И. М. Кричеверу (см. [1.30]) и была первоначально применена им в работе [1.29] к решению модели главного кирального поля и модели SG в координатах светового конуса.
38) В схеме раздевания, по существу использовалась группа $G L(n)$ над жольцом аделей поля рациональных функций на $\mathbb{C}$. Полезность этого языка при изложении общих вопросов метода обратной задачи была проиллюстрирована в работе [1.52].
39) Задача Римана (7.5) обобщает на матричный случай процедуру Вей. ерштрасса выделения главных частей функции $F(x, t, \lambda)$, а задача Римана (7.18) представляет собой матричный аналог мультипликативной проблемы Кузена об определении функции по ее главным частям.
40) Построению интегралов движения для интегрируемых уравнений посвящена обширная литература: [1.10], [1.12]-[1.15], [1.21], [1.31], [1.43], [1.48]-[1.51], [1.80], [1.90]-[1.91].
41) В настоящей книге мы рассматриваем только интегрируемые уравнения с одной пространственной переменной. Метод обратной задачи применим также и к уравнениям с двумя пространственными переменными, нанболее известным из которых является уравнение Кадомцева — Петвиашвили
\[
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial t}-6 u \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial^{3} u}{\partial x^{3}}\right)=3 \varepsilon \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}, \quad \varepsilon= \pm 1,
\]

имеющее многочисленные физические приложения. Вспомогательная линейная задача для него выглядит следующим образом:
\[
\sqrt{\varepsilon} \frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}}-u(x, y) F=\lambda F
\]
(см. [1.16], [1.20]). По поводу уравнения Кадомцева — Петвиашвили имеется обширная литература, из которой, помимо монографии [1.25], мы укажем работы [1.28], [1.58], [1.62], [1.68], [1.77].