Рассмотрим алгебру Ли $\mathcal{C}(g)$ функций $\xi (x)$ со значениями в конечномерной алгебре Ли g. Для определенности будем считать, что функции $\xi (x)$ удовлетворяют периодическим граничным условиям
$$\xi (x+2L)=\xi (x).$$

Алгебра $\mathcal{C}(g)$ задается генераторами $X_a(x),-L⩽x<L$, с коммутатором
$$[X_a(x),X_b(y)]=C_{ab}^c{X}_c(x)\delta (x-y)$$
(сравни с формулой (1.34)).
Будем считать, что алгебра Ли g допускает инвариантную билинейную форму 〈, >, и введем центральное расширение $\tilde{\mathcal{C}}(\mathrm{g})$ алгебры Ли $\mathcal{C}(\mathfrak{g})$ при помощи 2-кощикла Маурера-Картана
$$\omega (\xi ,\eta )={\int }_{-L}^L⟨\xi (x),\frac{d\eta }{dx}(x)⟩dx.$$

Элементами алгебры Ли $\tilde{\mathcal{C}}(g)$ являются пары $\tilde{\xi }=(\xi (x),\sigma )$, где $\xi (x)$ — элемент из $\mathcal{C}(\mathrm{g})$, а $\sigma$-комплексное число, с коммутатором
$$[\tilde{\xi },\tilde{\eta }]=([\xi (x),\eta (x)],\omega (\xi ,\eta )).$$

Тождество Якоби для коммутатора (4.32) выполняется ввиду свойства 2 -коцикла
$$\omega ([\xi ,\eta ],\zeta )+\omega ([\zeta ,\xi ],\eta )+\omega ([\eta ,\xi ],\xi )=0,$$

которое следует из (4.31) при помощи интегрирования по частям с использованием инвариантности формы $⟨$,$⟩.Элементывида$ $(0,\sigma )$ образуют центр в $\widetilde{\mathcal{C}(g)}$.

Генераторами алгебры Ли $\tilde{\mathcal{C}}(\mathrm{g})$ являются ${\tilde{X}}_a(x)$ и $I$ с коммутационными соотношениями
$$\begin{array}{c}[{\tilde{X}}_a(x),{\tilde{X}}_b(y)]=C_{ab}^c{\tilde{X}}_c(x)\delta (x-y)+K_{ab}{\delta }^{\prime }(x-y)I,\\ [{\tilde{X}}_a(x),I]=0\end{array}$$

(сравни с (4.30)), где ${\delta }^{\prime }(x-y)$ означает производную $\delta$-функции $\delta (x-y)$ по аргументу. Здесь
$$K_{ab}=⟨X_a,X_b⟩,$$

где $X_a$ — генераторы алгебры Ли g.
Двойственное пространство ${\tilde{\mathcal{C}}}^{\ast }(\mathfrak{g})$ к алгебре Ли $\tilde{\mathcal{C}}(\mathfrak{g})$ образо-вано элементами $\tilde{u}$ с координатами $(u_a(x),c)$; соответствующее спаривание имеет вид
$$\tilde{u}(\tilde{\xi })=(\tilde{u},\tilde{\xi })={\int }_{-L}^L{u}_a(x){\xi }^a(x)dx+c\sigma .$$

В коприсоединенном представлении алгебры Ли $\tilde{\mathcal{C}}(\mathfrak{g})$ элементы центра действуют тривиально, поэтому ӓ d\»-действие $\tilde{\mathcal{C}}(\mathfrak{g})$ редуцируется к действию $\mathcal{C}(\mathrm{g})$, которое будем обозначать тем же символом. Имеем по определению
$$\widetilde{\mathrm{ad}}{}^{\ast }\xi \cdot \tilde{u}(x)=(C_{ab}^c{u}_c(x){\xi }^b(x)+c{K}_{ab}\frac{d^b}{dx},0),$$

где $\xi (x)={\xi }^a(x)X_a$. Считая, что матрица $K_{ab}$ невырожденна (что мы будем предполагать в дальнейшем), действие (4.38) можно записать в элегантном виде
$$(\widetilde{\mathrm{ad}}{}^{\ast }\xi \cdot U)(x)=c\frac{d\xi (x)}{dx}+[\xi (x),U(x)],$$

вводя для любого элемента $\tilde{u}=(u_a(x),c)$ из ${\tilde{\mathcal{C}}}^{\ast }(g)$ функцию $U(x)$ со значениями в $\mathfrak{g}$
$$U(x)=u_a(x)A^a,A^a=K^{ab}{X}_b$$
(сравни с (4.14)). Последняя формула задает отождествление двойственного пространства ${\mathcal{C}}^{\ast }(\mathrm{g})$ с $\mathcal{C}(\mathrm{g})$.

Действие а̃d* алгебры Ли $\mathcal{C}(g)$ поднимается до действия группы Ли $\mathcal{C}(G)$, состоящей из периодических функций $g(x)$ со значениями в группе Ли $G$ :
$$(\tilde{\mathrm{A}}{d}^{\ast }g\cdot U)(x)=c\frac{dg(x)}{dx}{g}^{-1}(x)+g(x)U(x)g^{-1}(x),$$

которое представляет собой расширение обычного действия ${\mathrm{Ad}}^{\ast }$ (преобразований подобия).

Уместно сравнить последнюю формулу с калибровочным преобразованием, введенным в § I. 2 части I. Это сравнение показывает, что элементу $\tilde{u}=(u_a(x),c)$ удобно сопоставлять дифференциальный оператор
$$L=c\frac{d}{dx}-U(x).$$
Действие $\bar{\mathrm{A}}{\mathrm{d}}^{\ast }$ группы $\mathcal{B}(G)$ тогда дается формулой
$$\tilde{\mathrm{A}}{\mathrm{d}}^{\ast }g\cdot L=g(x){\mathrm{Lg}}^{-1}(x),$$

где правая часть понимается как композиция операторов умножения на функции $g(x)$ и $g^{-1}(x)$ с дифференциальным оператором $L$. «Матрица» монодромии

является функционалом на ${\tilde{\mathcal{C}}}^{\ast }(\mathrm{g})$ со значениями в $G$ и преобразуется под действием $\bar{\mathrm{A}}{\mathrm{d}}^{\ast }$ следующим образом: $T\mapsto g(L)T{g}^{-1}(L)$ (где мы учли пернодичность функции $g(x)$ ). Поэтому инварианты конечномерного действия Ад группь Ли $G$.
$$\text{ Ad }g\cdot T=gT{g}^{-1}$$

являются инвариантами действия $\tilde{\mathrm{A}}{\mathrm{d}}^{\ast }$ группь Ли $\mathcal{C}(G)$ и порождают алгебру функций Казимира $I(\tilde{\mathcal{C}}(\mathrm{g})$ ) алгебры $\tilde{\mathcal{C}}(\mathrm{g})$. Действительно, если матрицы монодромии $T\left({\tilde{u}}_1\right)$ и $T\left({\tilde{u}}_2\right)$ подобны в $G$
$$T\left({\tilde{u}}_2\right)=gT\left({\tilde{u}}_1\right)g^{-1},$$

то функция
$$g(x)=F_2(x)g{F}_1^{-1}(x),$$

где
$$L_1{F}_1(x)=0,L_2{F}_2(x)=0$$

и
$${F_1(x)|}_{x=-L}={F_2(x)|}_{x=-L}=I,$$

периодична — принадлежит группе Ли $\mathcal{C}(G)$ и
$$\tilde{\mathrm{A}}{\mathrm{d}}^{\ast }g\cdot U_1(x)=U_2(x).$$

Предположим теперь, что алгебра Ли $g$ допускает разложение (4.1). Тогда мы можем в рассмотрении п. 1 заменить $g$ на $\mathcal{C}(\mathrm{g})$. Именно, в соответствии с (4.1) разложим алгебру Ли $\mathcal{C}(\mathrm{g})$ в линейную сумму двух подалгебр
$$\mathcal{C}(\mathfrak{g})={\mathcal{C}}_{+}(\mathfrak{g})+{\mathcal{C}}_{-}(\mathfrak{g}),$$

где ${\mathcal{C}}_{\pm }(g)=\mathcal{C}\left(g_{\pm }\right)$, и определим на $\tilde{\mathcal{C}}(\mathrm{g})$ вторую структуру алгебры Ли, положив
$$\begin{array}{l}[(\xi (x),\sigma ),(\eta (x),\tau ){]}_0=([{\xi }_{+}(x),{\eta }_{+}(x)]-\\ -[{\xi }_{-}(x),{\eta }_{-}(x)],\omega ({\xi }_{+},{\eta }_{+})-\omega ({\xi }_{-},{\eta }_{-})),\end{array}$$

где $\xi (x)={\xi }_{+}(x)+{\xi }_{-}(x),\eta (x)\equiv {\eta }_{+}(x)+{\eta }_{-}(x)$. Соответствующую алгебру Ли обозначим через ${\tilde{\mathcal{C}}}_0(g)$. Она получается из алгебры

Ли ${\mathcal{C}}_0(\mathfrak{g})$ с коммутатором
$$[\xi (x),\eta (x){]}_0=[R\xi (x),\eta (x)]+[\xi (x),R\eta (x)]$$
(сравни с (4.4)), где оператор $R$ порождается разложением (4.51) по формуле (4.3), при помощи центрального расширения с. 2 -коциклом
$${\omega }_0(\xi ,\eta )=\omega (R\xi ,\eta )+\omega (\xi ,R\eta ).$$

На фазовом пространстве $\widetilde{{\mathcal{C}}^{\ast }}(\mathrm{g})$ введем скобки Ли — Пуассона $\{,{\}}_0$ и рассмотрим гамильтоновы уравнения движения
$$\frac{\partial \tilde{u}}{\partial t}=\{\hat{f},u{\}}_0$$

где $\tilde{u}=(u_{\mathrm{a}}(x),c)$, а $f(\tilde{u})$ принадлежит $I(\tilde{\mathcal{C}}(\mathrm{g}))$. Сопоставляя сбщую формулу (4.11) из п. 1 с формулой (4.39), получаем, что в терминах элемента $U(x)=u_a(x)A^{\alpha }$ уравнение $(4.55)$ принимает вид
$$\begin{array}{c}\frac{\partial U(x)}{\partial t}=c\frac{\partial V(x)}{\partial x}+[V(x),U(x)],\\ \frac{dc}{dt}=0,\end{array}$$

где
\[
\begin{array}{c}
V(x)=R
abla f(u), \

abla f(u)=\frac{\delta f}{\delta u_{a}(x)} X_{a} .
\end{array}
\]

Мы видим, что фазовое пространство ${\tilde{\mathcal{C}}}^{\ast }(\mathfrak{g})$ расслаивается на пуассоновы подмногообразия $с=$ const. На редуцированном фазовом пространстве ${\mathcal{C}}^{\ast }(\mathrm{g}$ ) с с = 1 гамильтоново уравнение (4.55) переходит в уравнение нулевой кривизны. Интегралами движения для него являются элементы алгебры Казимира $I(\tilde{\mathcal{C}}(\mathrm{g}))$ инварианты матрицы монодролии (4.44) (при с=1). Функциональная размерность $I(\tilde{\mathcal{B}}(\mathfrak{g})$ ) совпадает с размерностью картановской подалгебры в $\mathrm{g}$.

На этом мы заканчиваем описание общей схемы, порождающей гамильтоновы уравнения, имеющие инволютивные интегралы движения и допускающие представление нулевой кривизны. Однако в представлениях нулевой кривизны, с которыми мы іймели дело при рассмотрении интегрируемых моделей, участвовали матрицы $U$ и $V$, зависящие, помимо $x$ и $t$, еще и от спектрального параметра $\lambda$. Этот случай получается в результате специализации общей схемы, когда в качестве алгебры Ли g мы выберем алгебру токов $C(g)$ из $\mathrm{\S }1$.