Рассмотрим алгебру Ли $\mathscr{C}(g)$ функций $\xi(x)$ со значениями в конечномерной алгебре Ли g. Для определенности будем считать, что функции $\xi(x)$ удовлетворяют периодическим граничным условиям
\[
\xi(x+2 L)=\xi(x) .
\]

Алгебра $\mathscr{C}(g)$ задается генераторами $X_{a}(x),-L \leqslant x<L$, с коммутатором
\[
\left[X_{a}(x), X_{b}(y)\right]=C_{a b}^{c} X_{c}(x) \delta(x-y)
\]
(сравни с формулой (1.34)).
Будем считать, что алгебра Ли g допускает инвариантную билинейную форму 〈, >, и введем центральное расширение $\widetilde{\mathscr{C}}(\mathrm{g})$ алгебры Ли $\mathscr{C}(\mathfrak{g})$ при помощи 2-кощикла Маурера-Картана
\[
\omega(\xi, \eta)=\int_{-L}^{L}\left\langle\xi(x), \frac{d \eta}{d x}(x)\right\rangle d x .
\]

Элементами алгебры Ли $\widetilde{\mathscr{C}}(g)$ являются пары $\widetilde{\xi}=(\xi(x), \sigma)$, где $\xi(x)$ – элемент из $\mathscr{C}(\mathrm{g})$, а $\sigma$-комплексное число, с коммутатором
\[
[\widetilde{\xi}, \tilde{\eta}]=([\xi(x), \eta(x)], \omega(\xi, \eta)) .
\]

Тождество Якоби для коммутатора (4.32) выполняется ввиду свойства 2 -коцикла
\[
\omega([\xi, \eta], \zeta)+\omega([\zeta, \xi], \eta)+\omega([\eta, \xi], \xi)=0,
\]

которое следует из (4.31) при помощи интегрирования по частям с использованием инвариантности формы $\langle$,$\rangle . Элементы вида$ $(0, \sigma)$ образуют центр в $\widetilde{\mathscr{C}(g)}$.

Генераторами алгебры Ли $\widetilde{\mathscr{C}}(\mathrm{g})$ являются $\widetilde{X}_{a}(x)$ и $I$ с коммутационными соотношениями
\[
\begin{array}{c}
{\left[\widetilde{X}_{a}(x), \widetilde{X}_{b}(y)\right]=C_{a b}^{c} \widetilde{X}_{c}(x) \delta(x-y)+K_{a b} \delta^{\prime}(x-y) I,} \\
{\left[\widetilde{X}_{a}(x), I\right]=0}
\end{array}
\]

(сравни с (4.30)), где $\delta^{\prime}(x-y)$ означает производную $\delta$-функции $\delta(x-y)$ по аргументу. Здесь
\[
K_{a b}=\left\langle X_{a}, X_{b}\right\rangle,
\]

где $X_{a}$ – генераторы алгебры Ли g.
Двойственное пространство $\widetilde{\mathscr{C}}^{*}(\mathfrak{g})$ к алгебре Ли $\widetilde{\mathscr{C}}(\mathfrak{g})$ образо-вано элементами $\tilde{u}$ с координатами $\left(u_{a}(x), c\right)$; соответствующее спаривание имеет вид
\[
\tilde{u}(\widetilde{\xi})=(\tilde{u}, \widetilde{\xi})=\int_{-L}^{L} u_{a}(x) \xi^{a}(x) d x+c \sigma .
\]

В коприсоединенном представлении алгебры Ли $\widetilde{\mathscr{C}}(\mathfrak{g})$ элементы центра действуют тривиально, поэтому ӓ d\”-действие $\widetilde{\mathscr{C}}(\mathfrak{g})$ редуцируется к действию $\mathscr{C}(\mathrm{g})$, которое будем обозначать тем же символом. Имеем по определению
\[
\widetilde{\operatorname{ad}}{ }^{*} \xi \cdot \tilde{u}(x)=\left(C_{a b}^{c} u_{c}(x) \xi^{b}(x)+c K_{a b} \frac{d^{b}}{d x}, 0\right),
\]

где $\xi(x)=\xi^{a}(x) X_{a}$. Считая, что матрица $K_{a b}$ невырожденна (что мы будем предполагать в дальнейшем), действие (4.38) можно записать в элегантном виде
\[
\left(\tilde{\operatorname{ad}}{ }^{*} \xi \cdot U\right)(x)=c \frac{d \xi(x)}{d x}+[\xi(x), U(x)],
\]

вводя для любого элемента $\tilde{u}=\left(u_{a}(x), c\right)$ из $\tilde{\mathscr{C}}^{*}(g)$ функцию $U(x)$ со значениями в $\mathfrak{g}$
\[
U(x)=u_{a}(x) A^{a}, \quad A^{a}=K^{a b} X_{b}
\]
(сравни с (4.14)). Последняя формула задает отождествление двойственного пространства $\mathscr{C}^{*}(\mathrm{~g})$ с $\mathscr{C}(\mathrm{g})$.

Действие а̃d* алгебры Ли $\mathscr{C}(g)$ поднимается до действия группы Ли $\mathscr{C}(G)$, состоящей из периодических функций $g(x)$ со значениями в группе Ли $G$ :
\[
\left(\widetilde{\operatorname{A}} d^{*} g \cdot U\right)(x)=c \frac{d g(x)}{d x} g^{-1}(x)+g(x) U(x) g^{-1}(x),
\]

которое представляет собой расширение обычного действия $\mathrm{Ad}^{*}$ (преобразований подобия).

Уместно сравнить последнюю формулу с калибровочным преобразованием, введенным в § I. 2 части I. Это сравнение показывает, что элементу $\tilde{u}=\left(u_{a}(x), c\right)$ удобно сопоставлять дифференциальный оператор
\[
L=c \frac{d}{d x}-U(x) .
\]
Действие $\overline{\mathrm{A}} \mathrm{d}^{*}$ группы $\mathscr{B}(G)$ тогда дается формулой
\[
\widetilde{\mathrm{A}} \mathrm{d}^{*} g \cdot L=g(x) \operatorname{Lg}^{-1}(x),
\]

где правая часть понимается как композиция операторов умножения на функции $g(x)$ и $g^{-1}(x)$ с дифференциальным оператором $L$. «Матрица» монодромии

является функционалом на $\tilde{\mathscr{C}}^{*}(\mathrm{~g})$ со значениями в $G$ и преобразуется под действием $\overline{\mathrm{A}} \mathrm{d}^{*}$ следующим образом: $T \mapsto g(L) T g^{-1}(L)$ (где мы учли пернодичность функции $g(x)$ ). Поэтому инварианты конечномерного действия Ад группь Ли $G$.
\[
\text { Ad } g \cdot T=g T g^{-1}
\]

являются инвариантами действия $\tilde{\mathrm{A}} \mathrm{d}^{*}$ группь Ли $\mathscr{C}(G)$ и порождают алгебру функций Казимира $I(\tilde{\mathscr{C}}(\mathrm{g})$ ) алгебры $\widetilde{\mathscr{C}}(\mathrm{g})$. Действительно, если матрицы монодромии $T\left(\tilde{u}_{1}\right)$ и $T\left(\tilde{u}_{2}\right)$ подобны в $G$
\[
T\left(\tilde{u}_{2}\right)=g T\left(\tilde{u}_{1}\right) g^{-1},
\]

то функция
\[
g(x)=F_{2}(x) g F_{1}^{-1}(x),
\]

где
\[
L_{1} F_{1}(x)=0, \quad L_{2} F_{2}(x)=0
\]

и
\[
\left.F_{1}(x)\right|_{x=-L}=\left.F_{2}(x)\right|_{x=-L}=I,
\]

периодична – принадлежит группе Ли $\mathscr{C}(G)$ и
\[
\widetilde{\mathrm{A}} \mathrm{d}^{*} g \cdot U_{1}(x)=U_{2}(x) .
\]

Предположим теперь, что алгебра Ли $g$ допускает разложение (4.1). Тогда мы можем в рассмотрении п. 1 заменить $g$ на $\mathscr{C}(\mathrm{g})$. Именно, в соответствии с (4.1) разложим алгебру Ли $\mathscr{C}(\mathrm{g})$ в линейную сумму двух подалгебр
\[
\mathscr{C}(\mathfrak{g})=\mathscr{C}_{+}(\mathfrak{g})+\mathscr{C}_{-}(\mathfrak{g}),
\]

где $\mathscr{C}_{ \pm}(g)=\mathscr{C}\left(g_{ \pm}\right)$, и определим на $\widetilde{\mathscr{C}}(\mathrm{g})$ вторую структуру алгебры Ли, положив
\[
\begin{array}{l}
{[(\xi(x), \sigma),(\eta(x), \tau)]_{0}=\left(\left[\xi_{+}(x), \eta_{+}(x)\right]-\right.} \\
\left.-\left[\xi_{-}(x), \eta_{-}(x)\right], \omega\left(\xi_{+}, \eta_{+}\right)-\omega\left(\xi_{-}, \eta_{-}\right)\right),
\end{array}
\]

где $\xi(x)=\xi_{+}(x)+\xi_{-}(x), \eta(x) \equiv \eta_{+}(x)+\eta_{-}(x)$. Соответствующую алгебру Ли обозначим через $\widetilde{\mathscr{C}}_{0}(g)$. Она получается из алгебры

Ли $\mathscr{C}_{0}(\mathfrak{g})$ с коммутатором
\[
[\xi(x), \eta(x)]_{0}=[R \xi(x), \eta(x)]+[\xi(x), R \eta(x)]
\]
(сравни с (4.4)), где оператор $R$ порождается разложением (4.51) по формуле (4.3), при помощи центрального расширения с. 2 -коциклом
\[
\omega_{0}(\xi, \eta)=\omega(R \xi, \eta)+\omega(\xi, R \eta) .
\]

На фазовом пространстве $\widetilde{\mathscr{C}^{*}}(\mathrm{~g})$ введем скобки Ли – Пуассона $\{,\}_{0}$ и рассмотрим гамильтоновы уравнения движения
\[
\frac{\partial \tilde{u}}{\partial t}=\{\hat{f}, u\}_{0}
\]

где $\tilde{u}=\left(u_{\mathrm{a}}(x), c\right)$, а $f(\tilde{u})$ принадлежит $I(\tilde{\mathscr{C}}(\mathrm{g}))$. Сопоставляя сбщую формулу (4.11) из п. 1 с формулой (4.39), получаем, что в терминах элемента $U(x)=u_{a}(x) A^{\alpha}$ уравнение $(4.55)$ принимает вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial U(x)}{\partial t}=c \frac{\partial V(x)}{\partial x}+[V(x), U(x)], \\
\frac{d c}{d t}=0,
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
V(x)=R
abla f(u), \\

abla f(u)=\frac{\delta f}{\delta u_{a}(x)} X_{a} .
\end{array}
\]

Мы видим, что фазовое пространство $\tilde{\mathscr{C}}^{*}(\mathfrak{g})$ расслаивается на пуассоновы подмногообразия $с=$ const. На редуцированном фазовом пространстве $\mathscr{C}^{*}(\mathrm{~g}$ ) с с = 1 гамильтоново уравнение (4.55) переходит в уравнение нулевой кривизны. Интегралами движения для него являются элементы алгебры Казимира $I(\widetilde{\mathscr{C}}(\mathrm{g}))$ инварианты матрицы монодролии (4.44) (при с=1). Функциональная размерность $I(\widetilde{\mathscr{B}}(\mathfrak{g})$ ) совпадает с размерностью картановской подалгебры в $\mathrm{g}$.

На этом мы заканчиваем описание общей схемы, порождающей гамильтоновы уравнения, имеющие инволютивные интегралы движения и допускающие представление нулевой кривизны. Однако в представлениях нулевой кривизны, с которыми мы іймели дело при рассмотрении интегрируемых моделей, участвовали матрицы $U$ и $V$, зависящие, помимо $x$ и $t$, еще и от спектрального параметра $\lambda$. Этот случай получается в результате специализации общей схемы, когда в качестве алгебры Ли g мы выберем алгебру токов $C(g)$ из $\S 1$.