Заменим в. рассмотрении п. 2 алгебру Ли $g$ на алгебру токов $C(g)$ из $\mathrm{\$}1$ с:

описанным там разложением
$$C(\mathfrak{g})=C_{+}(\mathfrak{g})+C_{-}(\mathfrak{g}).$$

Чтобы иметь возможность ввести соответствующую группу токов $C(G)$, нам придется несколько изменить данное там определение. Для определенности будем считать, что алгебра Ли $C(\mathfrak{g})$ образована функциями $\xi (\lambda )$ со значениями в $\mathfrak{g}$, аналитическими в области $\mathbb{C}\mathrm{\setminus }\{0\}$. Подалгебры $C_{+}(\mathfrak{g})$ п $C_{-}(\mathrm{g})$ при этом состоят, соответственно, из функций ${\xi }_{\perp }(\lambda )$ и ${\xi }_{-}(\lambda )$, аналитических в областях $\mathbb{C}$ и $(\mathbb{C}\mathrm{\setminus }\{0\})\cup \{\mathrm{\infty }\}$, причем ${\xi }_{-}(\mathrm{\infty })=0$. (Здесь возможны и другие определения $C(\mathfrak{g})$ и $C_{\pm }(\mathfrak{g})$, с одним из которых мы встретимся в $\mathrm{\$}5$.) Тогда группы Ли $C(G)$ и $C_{\pm }(G)$ состоят из функций $g\left({\lambda }_{)}\right)$и $g_{\pm }(\lambda )$ со значениями в $G$, аналитических в соответствующих областях с условием нормировки $g_{-}(\mathrm{\infty })=I$. Задачу о факторизации
$$g(\lambda )=g_{+}(\lambda )g_{-}(\lambda )$$

в группе Ли $C(G)$ можно интерпретировать как задачу Римана для контура, разделяющего точки $\lambda =0$ и $\lambda =\mathrm{\infty }$.

Каждая инвариантная билинейная форма 〈,〉 на алгебре Ли g порождает бесконечное семейство инвариантных форм $⟨,{⟩}_p$ на алгебре токов $C(\mathrm{g})$ по правилу
$$⟨\xi ,\eta {⟩}_p=\mathrm{Res}{\lambda }^p⟨\xi (\lambda ),\eta (\lambda )⟩,p=-\mathrm{\infty },\dots ,\mathrm{\infty }.$$

Каждая такая форпа задает 2-коцикл на алгебре Ли $\mathcal{C}(\mathrm{g}))=$ $=\mathcal{C}(C(g))$
$${\omega }_p(\xi ,\eta )={\int }_{-L}^L\mathrm{Res}{\lambda }^p⟨\xi (\lambda ,x),\frac{d}{dx}\eta (\lambda ,x)⟩dx,$$

который определяет ее центральное расширение ${\tilde{\mathcal{C}}}_p((\mathrm{g}))$. Алгебра Ли ${\tilde{\mathcal{C}}}_p((\mathfrak{g}))$ образована генераторами $X_{a,k}(x)$ и $I$ с коммутатором
$$\begin{array}{c}{[X_{a,k}(x),X_{b,l}(y)]}_p=C_{a,}^c{X}_{c,k+l}\delta (x-y)+{\delta }_{k+l,-p-1}{K}_{aj}{\delta }^{\prime }(x-y)I,\\ {[X_{a,k}(x),I]}_p=0.\end{array}$$

Разложение (4.60) позволяет ввести на $\tilde{\mathcal{C}}((g))$ вторую структуру алгебры Ли и порожденное ею семейство скобок Ли-Пуассона $\{,{\}}_p$ на редуцированном фазовом пространстве ${\mathcal{C}}^{\ast }((\mathrm{g}))$ с координатами $u_{a,k}(x)$ :

Конечно, неультралокальное слагаемое $\pm K_{ab}{\delta }^{\prime }(x-y)$ входит только в одну из строчек в правой части (4.66): в верхнюю при $p<0$ п в нижнюю при $p>0$. При $p=0$ оно вообще отсутствует, и мы приходим к ультралокальным скобкам Пуассона из $\mathrm{\$}1$.

Таким образом, рассмотрение $\mathrm{\$}1$ полностью погружается в изложенную общую схему. При этом нам стало ясно, почему естественно рассматривать дифференциальный оператор $L$ вспомогательной линейной задачи и инварианты отвечающей ему матрнцы монодромии.

В общем случае коприсоединенное действие ал * алгебры Ли $\mathcal{C}((\mathfrak{g}))$ на редуцированном фазовом пространстве ${\mathcal{C}}^{\ast }((\mathfrak{g}))$ дается формулой
$${\widetilde{\mathrm{ad}}}_p^{\ast }\xi \cdot U(x,\lambda )={\lambda }^p\frac{d\xi }{dx}(x,\lambda )+[\xi (x,\lambda ),U(x,\lambda )]$$
(сравни с формулой (4.39)). Поэтому гамильтоновы уравнения движения с гамильтонианом $f$ из алгебры Казимира $I(\tilde{\mathcal{E}}((\mathrm{g}))$ )
$$\frac{\partial U(x,\lambda )}{\partial t}=\{f,U(x,\lambda ){\}}_p=\widetilde{{\mathrm{ad}}^{\ast }}Rablaf(U(x,\lambda ))$$

принимают вид уравнения нулевой кривизны, если сделать замену матрицы $U$, вводя
$$U_p(x,\lambda )={\lambda }^{-p}U(x,\lambda ).$$

Уравнения (4.68) при разных р по существу являются эквиєалентными. Более точно, гамильтоново уравнение (4.68) с $p=p_1$ и гамильтонианом ${\hat{f}}_1$ может быть записано как уравнение того же вида при $p=p_2$ с гамильтонианом $f_2$, просто связанным с $f_1$. Например, если в качестве $f_1$ мы возьмем функционал
$$f_1(U(x,\lambda ))=\mathrm{Res}{\lambda }^{N}P(T(U(\cdot ,\lambda ))),$$

где $P$ — инвариант матрицы монодромии $T(U(\cdot ,\lambda ))$, то в качестве функционала $f_2$ мы должны взять
$$f_2(U(x,\lambda ))=\mathrm{Res}{\lambda }^{N+p_2-p_1}P\left(T(U(\cdot ,\lambda ){\lambda }^{p_1-p_2})\right).$$

Для доказательства заметим, что поскольку в определении матрицы монодромии (4.44) $\lambda$ является параметром, для $abla{f}_1$ имеем общее выражение
\[

abla f_{1}(U(x, \lambda))=M(x, \lambda) \lambda^{N},
\]

где $M(x,\lambda )$ — функция от $x$ и $\lambda$ со значениями в алгебре Ли $g$, зависящая от $\lambda$ только через $U(x,\lambda ):M(x,\lambda )=M(U(\cdot ,\lambda ),x)$. Отсюда следует, что
\[

abla f_{2}\left(U(x, \lambda) \lambda^{p_{2}-p_{1}}\right)=
abla f_{1}(U(x, \lambda)),
\]
и уравнения нулевой кривизны, порождаемые соответствующими гамильтоновыми уравнениями (4.68), совпадают после замены $U(x,\lambda )\mapsto U(x,\lambda ){\lambda }^{p_2-p_4}$.

Введенные в $\mathrm{\S }1$ пуассоновы подмногообразия $C_{N,M}^{\ast }$ скобки Ли — Пуассона $\{,{\}}_0$ являются пуассоновыми и для скобок Ли- Пуассона $\{,{\}}_p$ при $p=-N,\dots ,M$. Формулы для соответствующих скобок Ли — Пуассона можно получить из (4.66), если положить в них $u_{a,k}=0,k⩾N,k<-$. Формула (4.69) показывает, что гамильтоново уравнение (4.68), записанное как уравнение нулевой кривизны, удобнее рассматривать на фазовом пространстве $C_{N-p,M+p}^{\ast }$. Соответствующие элементы $U_p(x,\lambda )$ в этом случае имеют одинаковый вид:
$$U_p(x,\lambda )=\sum _{k=-M}^{N-1}{u}_{a,k}^{(p)}(x)A^a{\lambda }^{-k-1},$$

и фазовые пространства естественно отождествляются. В следующем параграфе мы убедимся на примере модели НШ, для которой $N=0,M=2$, что семейство скобок $\{,{\}}_p$ естественно порождает $\mathrm{\Lambda }$-оператор и иерархию пуассоновых структур, введенную в § III.5 части I.