Заменим в. рассмотрении п. 2 алгебру Ли $g$ на алгебру токов $C(g)$ из $\$ 1$ с:

описанным там разложением
\[
C(\mathfrak{g})=C_{+}(\mathfrak{g})+C_{-}(\mathfrak{g}) .
\]

Чтобы иметь возможность ввести соответствующую группу токов $C(G)$, нам придется несколько изменить данное там определение. Для определенности будем считать, что алгебра Ли $C(\mathfrak{g})$ образована функциями $\xi(\lambda)$ со значениями в $\mathfrak{g}$, аналитическими в области $\mathbb{C} \backslash\{0\}$. Подалгебры $C_{+}(\mathfrak{g})$ п $C_{-}(\mathrm{g})$ при этом состоят, соответственно, из функций $\xi_{\perp}(\lambda)$ и $\xi_{-}(\lambda)$, аналитических в областях $\mathbb{C}$ и $(\mathbb{C} \backslash\{0\}) \cup\{\infty\}$, причем $\xi_{-}(\infty)=0$. (Здесь возможны и другие определения $C(\mathfrak{g})$ и $C_{ \pm}(\mathfrak{g})$, с одним из которых мы встретимся в $\$ 5$.) Тогда группы Ли $C(G)$ и $C_{ \pm}(G)$ состоят из функций $g\left(\lambda_{)}\right)$и $g_{ \pm}(\lambda)$ со значениями в $G$, аналитических в соответствующих областях с условием нормировки $g_{-}(\infty)=I$. Задачу о факторизации
\[
g(\lambda)=g_{+}(\lambda) g_{-}(\lambda)
\]

в группе Ли $C(G)$ можно интерпретировать как задачу Римана для контура, разделяющего точки $\lambda=0$ и $\lambda=\infty$.

Каждая инвариантная билинейная форма 〈,〉 на алгебре Ли g порождает бесконечное семейство инвариантных форм $\langle,\rangle_{p}$ на алгебре токов $C(\mathrm{~g})$ по правилу
\[
\langle\xi, \eta\rangle_{p}=\operatorname{Res} \lambda^{p}\langle\xi(\lambda), \eta(\lambda)\rangle, \quad p=-\infty, \ldots, \infty .
\]

Каждая такая форпа задает 2-коцикл на алгебре Ли $\mathscr{C}(\mathrm{g}))=$ $=\mathscr{C}(C(g))$
\[
\omega_{p}(\xi, \eta)=\int_{-L}^{L} \operatorname{Res} \lambda^{p}\left\langle\xi(\lambda, x), \frac{d}{d x} \eta(\lambda, x)\right\rangle d x,
\]

который определяет ее центральное расширение $\widetilde{\mathscr{C}}_{p}((\mathrm{~g}))$. Алгебра Ли $\widetilde{\mathscr{C}}_{p}((\mathfrak{g}))$ образована генераторами $X_{a, k}(x)$ и $I$ с коммутатором
\[
\begin{array}{c}
{\left[X_{a, k}(x), X_{b, l}(y)\right]_{p}=C_{a,}^{c} X_{c, k+l} \delta(x-y)+\delta_{k+l,-p-1} K_{a j} \delta^{\prime}(x-y) I,} \\
{\left[X_{a, k}(x), I\right]_{p}=0 .}
\end{array}
\]

Разложение (4.60) позволяет ввести на $\widetilde{\mathscr{C}}((g))$ вторую структуру алгебры Ли и порожденное ею семейство скобок Ли-Пуассона $\{,\}_{p}$ на редуцированном фазовом пространстве $\mathscr{C}^{*}((\mathrm{~g}))$ с координатами $u_{a, k}(x)$ :

Конечно, неультралокальное слагаемое $\pm K_{a b} \delta^{\prime}(x-y)$ входит только в одну из строчек в правой части (4.66): в верхнюю при $p<0$ п в нижнюю при $p>0$. При $p=0$ оно вообще отсутствует, и мы приходим к ультралокальным скобкам Пуассона из $\$ 1$.

Таким образом, рассмотрение $\$ 1$ полностью погружается в изложенную общую схему. При этом нам стало ясно, почему естественно рассматривать дифференциальный оператор $L$ вспомогательной линейной задачи и инварианты отвечающей ему матрнцы монодромии.

В общем случае коприсоединенное действие ал * алгебры Ли $\mathscr{C}((\mathfrak{g}))$ на редуцированном фазовом пространстве $\mathscr{C}^{*}((\mathfrak{g}))$ дается формулой
\[
\widetilde{\operatorname{ad}}_{p}^{*} \xi \cdot U(x, \lambda)=\lambda^{p} \frac{d \xi}{d x}(x, \lambda)+[\xi(x, \lambda), U(x, \lambda)]
\]
(сравни с формулой (4.39)). Поэтому гамильтоновы уравнения движения с гамильтонианом $f$ из алгебры Казимира $I(\tilde{\mathscr{E}}((\mathrm{g}))$ )
\[
\frac{\partial U(x, \lambda)}{\partial t}=\{f, U(x, \lambda)\}_{p}=\widetilde{\mathrm{ad}^{*}} R
abla f(U(x, \lambda))
\]

принимают вид уравнения нулевой кривизны, если сделать замену матрицы $U$, вводя
\[
U_{p}(x, \lambda)=\lambda^{-p} U(x, \lambda) .
\]

Уравнения (4.68) при разных р по существу являются эквиєалентными. Более точно, гамильтоново уравнение (4.68) с $p=p_{1}$ и гамильтонианом $\hat{f}_{1}$ может быть записано как уравнение того же вида при $p=p_{2}$ с гамильтонианом $f_{2}$, просто связанным с $f_{1}$. Например, если в качестве $f_{1}$ мы возьмем функционал
\[
f_{1}(U(x, \lambda))=\operatorname{Res} \lambda^{N} P(T(U(\cdot, \lambda))),
\]

где $P$ – инвариант матрицы монодромии $T(U(\cdot, \lambda))$, то в качестве функционала $f_{2}$ мы должны взять
\[
f_{2}(U(x, \lambda))=\operatorname{Res} \lambda^{N+p_{2}-p_{1}} P\left(T\left(U(\cdot, \lambda) \lambda^{p_{1}-p_{2}}\right)\right) .
\]

Для доказательства заметим, что поскольку в определении матрицы монодромии (4.44) $\lambda$ является параметром, для $
abla f_{1}$ имеем общее выражение
\[

abla f_{1}(U(x, \lambda))=M(x, \lambda) \lambda^{N},
\]

где $M(x, \lambda)$ – функция от $x$ и $\lambda$ со значениями в алгебре Ли $g$, зависящая от $\lambda$ только через $U(x, \lambda): M(x, \lambda)=M(U(\cdot, \lambda), x)$. Отсюда следует, что
\[

abla f_{2}\left(U(x, \lambda) \lambda^{p_{2}-p_{1}}\right)=
abla f_{1}(U(x, \lambda)),
\]
и уравнения нулевой кривизны, порождаемые соответствующими гамильтоновыми уравнениями (4.68), совпадают после замены $U(x, \lambda) \mapsto U(x, \lambda) \lambda^{p_{2}-p_{4}}$.

Введенные в $\S 1$ пуассоновы подмногообразия $C_{N, M}^{*}$ скобки Ли – Пуассона $\{,\}_{0}$ являются пуассоновыми и для скобок Ли- Пуассона $\{,\}_{p}$ при $p=-N, \ldots, M$. Формулы для соответствующих скобок Ли – Пуассона можно получить из (4.66), если положить в них $u_{a, k}=0, k \geqslant N, k<-$. Формула (4.69) показывает, что гамильтоново уравнение (4.68), записанное как уравнение нулевой кривизны, удобнее рассматривать на фазовом пространстве $C_{N-p, M+p}^{*}$. Соответствующие элементы $U_{p}(x, \lambda)$ в этом случае имеют одинаковый вид:
\[
U_{p}(x, \lambda)=\sum_{k=-M}^{N-1} u_{a, k}^{(p)}(x) A^{a} \lambda^{-k-1},
\]

и фазовые пространства естественно отождествляются. В следующем параграфе мы убедимся на примере модели НШ, для которой $N=0, M=2$, что семейство скобок $\{,\}_{p}$ естественно порождает $\Lambda$-оператор и иерархию пуассоновых структур, введенную в § III.5 части I.