Введенные переменные можно рассматривать как координаты на фазовом пространстве $\mathscr{M}_{c}$, в терминах которых пуассонова структура (4.2) записывается в виде (4.32) (4.34). Однако они не являются полностью независимыми.

Именно, имеет место условие (c):
\[
c=-\int_{0}^{\pi} \frac{\rho(\theta)}{\sin \theta} d \theta-\sum_{j=1}^{N} \ln z_{j}^{2}
\]

Кроме того, в случае общего положения величина $\frac{\rho(\theta)}{\sin \theta}$ при $\theta \rightarrow$ $\rightarrow 0, \pi$ имеет особенность типа $\ln \frac{1}{|\sin \theta|}$, а значения $\varphi(0)$ и $\varphi(\pi)$ фиксированы и равны 0 или $\pi$ в соответствии с формулами (2.76). $\mathrm{B}$ случае, если $\theta=0$ или $\theta=\pi$ или оба эти значения являются виртуальными уровнями, то величина $\frac{\rho(\theta)}{\sin \theta}$ в этих точках конечна, а $\varphi(\theta)$ принимает значения 0 или $\pi$.

В качестве иллюстрации убедимся в том, что хотя правая часть в (4.36) зависит, на первый взгляд, от динамических переменных $\rho(\theta)$ и $\tilde{p}_{j}$, на самом деле она находится в инволющии с переменными $\varphi(\theta) u \tilde{q}_{j}$ (сравни с § III. 9 части I). Действительно, из (4.32)-(4.34) имеем
\[
\{c, \varphi(\theta)\}=-\frac{1}{\sin \theta}+\frac{1}{\sin \theta} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin \theta^{\prime}}{\sin \theta^{\prime}}\left(\delta\left(\theta^{\prime}\right)+\delta\left(\theta^{\prime}-\pi\right)\right) d \theta^{\prime}=0
\]

и
\[
\left\{c, \tilde{q}_{j}\right\}=\frac{2 z_{j}}{z_{j}^{2}-1}-\left\{\ln z_{i}^{3}, \tilde{q}_{j}\right\}=0 .
\]

Покажем теперь, что переход к новым переменным тривиализует динамику модели Тода. Гамильтониан $H$ и уравнения движения запнсываются следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
H=-\int_{0}^{\pi} \frac{\cos 2 \theta}{\sin \theta} \rho(\theta) d \theta+\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{N}\left(\frac{1}{z_{j}^{2}}-z_{j}^{2}\right), \\
\frac{\partial \rho(\theta)}{\partial t}=\{H, \rho(\theta)\}=0, \quad \frac{d \tilde{p}_{j}}{d t}=\left\{H, \widetilde{p}_{i}\right\}=0 \\
\frac{\partial \varphi(\theta)}{\partial t}=\{H, \varphi(\theta)\}=-\frac{\cos 2 \theta}{\sin \theta}+\frac{1}{\sin \theta}=2 \sin \theta \\
\frac{d \widetilde{q_{j}}}{d t}=\left\{H, \tilde{q}_{j}\right\}=\frac{z_{j}^{4}+1}{z_{j}\left(1-z_{j}^{2}\right)}-\frac{2 z_{j}}{1-z_{j}^{2}}=-\left(z_{j}-\frac{1}{z_{j}}\right)
\end{array}
\]

и тривиально решаются. Ответ эквивалентен формулам (2.86)-(2.87).

Подчеркнем, что иенорирование дополнительных слагаемых в скобках Пуассона (4.32)-(4.34) привело бы к неправильной временной динамике коэффициентов перехода.

Для токальных интегралов движения $I_{n}$ из тождеств следов (2.100) получаем следующие выражения:
\[
I_{n}=\int_{0}^{\pi} \frac{\cos n \theta}{\sin \theta} \rho(\theta) d \theta+\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{N}\left(z_{j}^{n}-z_{j}^{-n}\right),
\]

так что они зависят лишь от переменных $\rho(\theta)$ и $\tilde{p}_{j}$. Из этих формул следует, что функциональ $I_{2 n+1}$ являются недопустимыми. Деӥствительно, уравнения движения
\[
\frac{\partial \varphi(\theta)}{\partial t}=\left\{I_{I n+1}, \varphi(\theta)\right\}
\]

имеют вид
\[
\frac{\partial \varphi(\theta)}{\partial t}=\frac{\cos (2 n+1) \theta}{\sin \theta}
\]
(дополнительное слагаемое в скобке Пуассона (4.32) не дает вклада в (4.44)), и их решение
\[
\varphi(\theta, t)=\varphi(\theta, 0)+\frac{\cos (2 n+1) \theta}{\sin \theta} t
\]

при $t>0$ сингулярно при $\theta=0$ и $\theta=\pi$, и, тем самым, динамика, порокденная $I_{2 n+1}$, выводит из фазового пространства $\mathscr{A}_{c}$. В частности, это еще раз показывает недопустимость функционала $P=-I_{1}$.

Функционалы $I_{2 n}$ являются допустимыми и отвечают наблюдаемым на фазовом пространстве $\mathscr{M}_{c}$. Порождаемые ими уравнения движения в переменных $\rho(\theta), \varphi(\theta), \tilde{p}_{j}, \tilde{q}_{j}$ имеют вид
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial \varphi(\theta)}{\partial t} & =\left\{I_{2 n}, \varphi(\theta)\right\}=\frac{\cos 2 n \theta-1}{\sin \theta}=-\frac{2 \sin ^{2} n \theta}{\sin \theta}, \\
\frac{d \tilde{q}_{j}}{d t} & =\left\{I_{\llcorner n}, \tilde{q}_{j}\right\}=\frac{\left(z_{j}^{2 n}+z_{j}^{-2 n}\right)}{z_{j}-z_{j}^{-1}}-\frac{2}{z_{j}-z_{j}^{-1}}=\frac{\left(z_{j}^{n}-z_{j}^{-n}\right)^{2}}{z_{j}-z_{j}^{-1}}
\end{aligned}
\]
(где дополнительные слагаемые в (4.32)-(4.33) уже дают вклад), и временная динамика коэффициентов перехода дается формулами
\[
\begin{aligned}
b(z, t) & =\exp \left\{\frac{\left(z^{n}-z^{-n}\right)^{2}}{z-z^{-1}} t\right\} b(z, 0), \\
\gamma_{j}(t) & =\exp \left\{\frac{\left(z_{j}^{n}-z_{j}^{-n}\right)^{2}}{z_{j}-z_{j}^{-1}} t\right\} \gamma_{j}(0), \quad j=1, \ldots, N .
\end{aligned}
\]

При $n=1$ отсюда получаем (после обращения знака времени) знакомые выражения (2.86)-(2.87).

Не следует думать, что «половина» локальных интегралов движения являются недопустимыми. Действительно, величины
\[
I_{n}=I_{n}-I_{n-2}, n>1,
\]

где $I_{0}=-c$, уже допустимы. Они представляются в виде
\[
\begin{array}{l}
\tilde{I}_{n}=\int_{0}^{\pi} \frac{\cos n \theta-\cos (n-2) \theta}{\sin \theta} \rho(\theta) d \theta+ \\
+\sum_{j=1}^{N}\left(\frac{z_{j}^{n}-z_{j}^{-n}}{n}-\frac{z_{j}^{n-\cdot}-\hat{z}_{j}^{-n}}{n-2}\right),
\end{array}
\]

и подынтегральное выражение $\frac{\cos n \theta-\cos (n-2) \theta}{\sin \theta}$ уже несингулярно при $\theta=0$ и $\theta=\pi$. Поэтому функционалы $T_{n}$ отвечают наблюдаемым на фазовом пространстве $\mathscr{M}_{c}$, и при написании порождаемых ими уравнений движения можно не учитывать дополнительные слагаемые в (4.32)-(4.33). Аналогичную регуляризацию мы проводили для модели НШ в случае конечной п.тотности. Единственной величиной, не допускающей такую регуляризацию, является функционал $P$ (сравни с § III.9 части I).
Гамильтоновы уравнения движения
\[
\frac{d p_{n}}{d t}=\left\{\tilde{I}_{l}, p_{n}\right\}, \quad \frac{d q_{n}}{d t}=\left\{\tilde{I}_{l}, q_{n}\right\}, \quad n=-\infty, \ldots, \infty,
\]

естественно называть высшими уравнениями модели Тода. Все эти уравнения являются точно решаемыми.

Приведенные результаты позволяют утверждать, что нодель Тода и все ее высшие аналоги являются вполне интегрируемыми гамильтоновыми системами. Переменные $\rho(\theta), \varphi(\theta), \tilde{p}_{j}$ и $\tilde{q}_{j}$ фактически играют для них роль переменных типа действие – угол.

В регуляризованных интегралах движения $I_{I}$ естественным образом видно разделение мод. Так, для $\widetilde{H}=-\widetilde{I}_{2}=H-с$ имеем выражение
\[
\widetilde{H}=2 \int_{0}^{\pi} \sin \theta \rho(\theta) d \theta+\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{N}\left(z_{j}^{-2}-z_{j}^{2}+2 \ln z_{j}^{\hat{a}}\right),
\]

которое интерпретируется в виде суммы по независимым модам. Мода непрерывного спектра с номером $\theta$ имеет положительную энергию
\[
h(\theta)=2 \sin \theta, \quad 0 \leqslant \theta \leqslant \pi,
\]

а мода дискретного спектра – солитон – имеет также положительную энергию
\[
h(z)=\frac{1}{2} z^{-2}-\frac{1}{2} z^{2}+\ln z^{2}, \quad-1<z<1 .
\]