Эта модель возникает как условие нулевой кривизны для связности ( $U(x, t, \lambda), V(x, t, \lambda)$ ), коэффициенты которой имеют по одному общему полюсу, например, в точке $\lambda=\infty$ :
\[
U(x, t, \lambda)=U_{0}+\lambda U_{1}, \quad V(x, t, \lambda)=V_{0}+\lambda V_{1} .
\]

B ситуации общего положения устраним калибровочный произвол следующим условием: матрицы $U_{1}$ и $V_{1}$ диагональны и имеют несовпадающие собственные значения, а матрицы $U_{0}$ и $V_{0}$ имеют нулевые диагональные части. В уравнениях (3.3) диагональные и антидиагональные части расщепляются и поэтому допустима редукция: матрицы $U_{1}$ и $V_{A}$ не зависят от $x$ и $t$. Таким образом, система (3.3) приобретает вид
\[
\begin{array}{c}
{\left[U_{1}, V_{0}\right]=\left[V_{1}, U_{0}\right],} \\
\frac{\partial_{0} U}{\partial t}-\frac{\partial V_{0}}{\partial x}+\left[U_{0}, V_{0}\right]=0 .
\end{array}
\]

Алгебраическое уравнение (3.22) тривиально решается:
\[
U_{0}=\left[U_{1}, W\right], \quad V_{0}=\left[V_{1}, W\right],
\]

где $W$-матрица с нулевой диагональной частью, а уравнение (3.23) переписывается в виде эволюционной системы с квадратичной нелинейностью
\[
\left[U_{1}, \frac{\partial W}{\partial t}\right]-\left[V_{1}, \frac{\partial W}{\partial x}\right]+\left[\left[U_{1}, W\right],\left[V_{1}, W\right]\right]=0 .
\]

Получившаяся система имеет интересные приложения в случае дополнительной редукции
\[
U_{1}^{*}=-U_{1}, V_{1}^{*}=-V_{1}, W^{*}=-J W J,
\]

где $J$-диагональная матрица, $J^{2}=I$. Эта редукция уменьшает вдвое число неизвестных функций в системе (3.25). Первые нетривиальный пример отвечает вспомогательному пространству $\mathbb{C}^{3}$ и описывает простейшее нелинейное взаимодействие трех волновых пакетов. В общем случае число элементарных волн $N$ равно $\frac{n(n-1)}{2}$, где $n$ – размерность вспомогательного пространства $\mathbb{C}^{n}$.

Выпишем более явно уравнения (3.25) в случае энтиэрмитовой редукции $J=I$. Положим
\[
\begin{array}{c}
U_{1}=i \operatorname{diag}\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right), \quad V_{1}=i \operatorname{diag}\left(b_{1}, \ldots, b_{n}\right), \\
w_{i k}=\frac{\psi_{i k_{1}}}{\sqrt{a_{j}-a_{k}}},
\end{array}
\]

где $j<k$ и предполагается, что $a_{1}>a_{2}>\ldots>a_{n}$. Для функций $\psi_{i k}(x, t)$ получаем систему гиперболического типа
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial \psi_{j k}}{\partial t}=v_{j k} \frac{\partial \psi_{j k}}{\partial x}+\frac{1}{i} & \sum_{l=k+1}^{n} v_{j k l} \Psi_{j l} \bar{\Psi}_{k l}+ \\
& +\frac{1}{i} \sum_{l=j+1}^{k-1} v_{j l k} \psi_{j l} \Psi_{l k}+\frac{1}{i} \sum_{l=1}^{j-1} v_{l j k} \bar{\psi}_{l j} \psi_{l k}, \quad(3.29 p
\end{aligned}
\]

где $j<k, j, k=1, \ldots, n$, и
\[
\begin{array}{c}
v_{j k}=\frac{b_{j}-b_{k}}{a_{j}-a_{k}}, \\
v_{j k l}=\frac{a_{j} b_{l}-a_{l} b_{j}+a_{l} b_{k}-a_{k} b_{l}+a_{k} b_{i}-a_{j} b_{k}}{\sqrt{\left(a_{j}-a_{k}\right)\left(a_{j}-a_{l}\right)\left(a_{k}-a_{l}\right)}} .
\end{array}
\]

Эта система является гамильтоновой. Фазовое пространство для случая быстроубывающих граничных условий параметризуется набором $n(n-1)$ шварцевских функций $\left(\psi_{j k}(x), \bar{\psi}_{j k}(x), 1 \leqslant\right.$ $\leqslant j<k \leqslant n)$. Пуассонова структура задается скобками Пуассона
\[
\left\{\psi_{i k}(x), \psi_{l m}(y)\right\}=\left\{\bar{\psi}_{j k}(x), \bar{\psi}_{l m}(y)\right\}=0,
\]
\[
\left\{\psi_{j k}(x), \bar{\psi}_{l m}(y)\right\}=i \delta_{j l} \delta_{k m} \delta(x-y) ; 1 \leqslant j<k \leqslant n, 1 \leqslant l<m \leqslant n,
\]

и система уравнений (3.29) записывается в гамильтоновом виде
\[
\frac{\partial \psi_{j k}}{\partial t}=\left\{H, \psi_{j k}\right\}, \quad \frac{\partial \bar{\psi}_{j k}}{\partial t}=\left\{H, \bar{\psi}_{j k}\right\}
\]

с гамильтонианом
\[
H=\int_{-\infty}^{\infty}\left\{\frac{i}{2} \sum_{1 \leqslant j<k \leqslant n} v_{j k}\left(\frac{\partial \Psi_{i k}}{\partial x} \bar{\psi}_{j k}-\psi_{j k} \frac{\partial \bar{\psi}_{i k}}{\partial x}\right)+\right.
\]
\[
\left.+\sum_{1 \leqslant i<k<l \leqslant n} v_{j k l}\left(\psi_{j k} \psi_{k l} \bar{\psi}_{j l}+\bar{\psi}_{j k} \bar{\psi}_{k l} \psi_{i l}\right)\right\} d x .
\]