Гамильтонов подход в теории солитонов (Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фадеев)

Научная библиотека

Научная библиотека

Гамильтонов подход в теории солитонов (Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фадеев)

Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фадеев

ГАМИЛЬТОНОВ ПОДХОД В ТЕОРИИ СОЛИТОНОВ

Посвящается одному из наиболее активно развивающихся направлений современной математической физики – теории солитонов – методу обратной задачи. Приводится полное и систематическое изложение основ метода обратной задачи с гамильтоновой точки зрения, что позволяет связать воедино различные аспекты теории. Основные понятия теории солитонов вначале излагаются на избранном примере нелинейного уравнения Шредингера, и лишь затем вводятся в общем виде.

Для специалистов математиков и физиков-теоретиков, а также студентов математических и физических факультетов университетов.

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Часть I НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА (модель НШ)
Гл а в а I ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
§ 1. Формулировка модели НШ
§ 2. Условие нулевой кривизны
§3.Свойства матрицы монодромии в квазипериодическом случае
§ 4. Локальные интегралы движения
§ 5. Матрица монодромии в быстроубывающем случае
§6. Аналитические свойства коэффициентов перехода
§ 7. Динамика коэффициентов перехода
§ 8. Случай конечной плотности. Решения Йоста
§ 9. Случай конечной плотности. Коэффициенты перехода
§ 10. Случай конечной плотности. Временная динамика и интегралы движения
§ 11. Комментарии и литературные указания
Гл а в а II ЗАДАЧА РИМАНА
§ 1. Быстроубывающий случай. Формулировка задачи Римана
§ 2. Быстроубывающий случай. Исследование задачи Римана
§ 3. Приложение решения обратной задачи к модели НШ
§ 4. Связь метода задачи Римана с формализмом интегральных уравнений Гельфанда – Левитана – Марченко
§ 5. Быстроубывающий случай. Солитонные решения
§ 6. Решение обратной задачи для случая конечной плотности. Метод задачи Римана
§ 7. Решение обратной задачи для случая конечной плотности. Формализм Гельфанда – Левитана – Марченко
§ 8. Солитонные решения для случая конечной плотности
§ 9. Комментарии и литературные указания
Гл а в а III ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
§ 1. Фундаментальные скобки Пуассона и $r$-матрица
§ 2. Инволютивность интегралов движения в квазипериодическом случае
§ 3. Вывод представления нулевой кривизны из фундаментальных скобок Пуассона
§ 4. Интегралы движения в быстроубывающем случае и в случае конечной плотности
§ 5. $\Lambda$-оператор и иерархия пуассоновых структур
§ 6. Скобки Пуассона коэффициентов перехода в быстроубывающем случае
§ 7. Переменные действие – угол для быстроубывающего случая
§ 8. Динамика солитонов с гамильтоновой точки зрения
§ 9. Полная интегрируемость в случае конечной плотности
10. Комментарии и литературные указания
Часть II ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
Глава 1 ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ И ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
§ 1. Формулировка основных непрерывных моделей
1. Модель непрерывного изотропного магнетика Гейзенберга (модель МГ).
2. Модель Sine-Gordon (модель SG).
3. Модель Ландау – Лифшица непрерывного анизотропного магнетика (модель Л – Л).
4. Векторная модель нелинейного уравнения Шредингера (векторная модель НШ).
§ 2. Примеры моделей на решетке
1. Модель Тода.
2. Модель Вольтерра.
3. Модель изотропного магнетика Гейзенберга на решетке (модель РМГ).
4.Модель РНШ
5. Модель РНШ2.
§ 3. Представление нулевой кривизны как способ построения интегрируемых уравнений
1. Уравнение Кортевега – де Фриза (модель КдФ)
2. Модель $N$-волн.
3. Уравнения киральных полей.
4. Двумеризованная модель Тода.
§ 4. Калибровочная эквивалентность моделей НШ при $x=-1$ и $М \Gamma$
§ 5. Гамильтонова формулировка уравнений главных киральных полей и связанных с ними моделей
§ 6. Задача Римана как способ построения решений интегрируемых уравнений
§ 7. Схема построения общего решения уравнения нулевой кривизны. Заключительные замечания по поводу интегрируемых уравнений
§ 8. Комментарии и литературные указания
Гл а в а II ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ
§ 1. Вспомогательная линейная задача для модели МГ
1. Матрица перехода и решения Йоста.
2. Приведенная матрица монодромии и коэффициенты перехода.
3. Временна́я динамика коэффициентов перехода.
4. Локальные интегралы движения.
§ 2. Обратная задача для модели МГ
1. Задача Римана.
2. Формализм Гельфанда – Левитана – Марченко.
3. Солитонные решения.
§ 3. Гамильтонова формулировка модели МГ
1. Фундаментальные скобки Пуассона и $r$-матрица.
2. Скобки Пуассона коэффициентов перехода и дискретного спектра.
3. Канонические переменные типа действие – угол.
4. Рассеяние солитонов с гамильтоновой точки зрения.
§ 4. Вспомогательная линейная задача для модели SG
1. Матрица перехода и решения Йоста.
2. Приведенная матрица монодромии и коэффициенты перехода.
3. Временная динамика коэффициентов перехода.
4. Локальные интегралы движения.
§ 5. Обратная задача для модели SG
1. Задача Римана.
2. Формализм Гельфанда – Левитана – Марченко.
3. Солитонные решения.
§ 6. Гамильтонова формулировка модели SG
1. Фундаментальные скобки Пуассона и $r$-матрица.
2. Скобки Пуассона коэффициентов перехода и дискретного спектра.
3. Канонические переменные типа действие – угол.
4. Реализация алгебры Ли группы Пуанкаре в терминах переменных типа действие – угол.
5. Рассеяние солитонов с гамильтоновой точки зрения.
§ 7. Модель SG в координатах светового конуса
§ 8. Уравнение Л – Л как универсальная интегрируемая модель с двумерным вспомогательным пространством
§ 9. Комментарии и литературные указания
Гл а в а III ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ НА РЕШЕТКЕ
§ 1. Полная интегрируемость модели Тода в квазипериодическом случае
§ 2. Вспомогательная линейная задача для модели Тода в быстроубывающем случае
1. Матрица перехода и решения Йоста.
2. Приведенная матрица монодромии и коэффициенты перехода.
3. Временная динамика коэффициентов перехода.
4. Локальные интегралы движения.
§ 3. Обратная задача и динамика солитонов модели Тода в быстроубывающем случае
1. Формализм Гельфанда – Левитана – Марченко.
2. Солитонные решения.
§ 4. Полная интегрируемость модели Тода в быстроубывающем случае
1. Пуассонова структура и алгебра наблюдаемых.
2. Скобки Пуассона коэффициентов перехода и дискретного спектра.
3. Гамильтонова динамика и интегралы движения в переменных $\boldsymbol{\rho}(\theta), \varphi(\theta), \tilde{p}_{j}, \tilde{q}_{j}$.
4. Динамика солитонов.
§ 5. Решеточная модель Л-Л как универсальная интегрируемая система с двумерным вспомогательным пространством
§6. Комментарии и литературные указания
Глава IV ЛИ-АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ПОДХОД К КЛАССИФИКАЦИИ И ИССЛЕДОВАНИЮ ИНТЕГРИРУЕМЫХ МОДЕЛЕЙ
§ 1. Фундаментальные скобки Пуассона, порожденные алгеброй токов
§ 2. Тригонометрические и эллиптические $r$-матрицы и связанные с ними фундаментальные скобки Пуассона
§ 3. Фундаментальные скобки Пуассона на решетке
§ 4. Геометрическая интерпретация представления нулевой кривизны и метода задачи Римана
1. Задача о факторизации как способ построения интегрируемых гамильтоновых уравнений и их решений.
2. Центральное расширение алгебры Ли $\mathscr{C}(g)$ и уравнение нулевой кривизны.
3. Реализация общей схемы на примере алгебры Ли $\mathscr{C}((g))$; задача Римана и семейство пуассоновых структур.
4. Геометрическая интерпретация процедуры одевания.
§ 5. Иллюстрация общей схемы на примере модели НШ
§ 6. Комментарии и литературные указания
ЗАКЛЮЧЕНИЕ