Завершая эту книгу, мы еще раз вернемся к нашему основному примеру — модели НШ и посмотрим, как развитый в части I метод ее точного решения согласуется с общим геометрическим рассмотрением настояцей главы. Именно, мы покажем, в каком смысле задача Римана, использованная для решения џачальной задачи в гл. II части I, получает интергіретацию как задача о факторизации из $\S 4$. Кроме того, мы свяжем введенную в § III. 5 части I иерархию пуассоновых структур и порождающий их $\Lambda$-оператор с семейством пуассоновых структур из п. 3 § 4. При этом мы докажем обещанное в § III. 5 части I тождество Якоби.

При обсуждении задачи Римана мы ограничимся случаем быстроубывающих граничных условий и будем считать, что дискретный спектр отсутствует. Решение начальной задачи для модели НШ при помощи задачи Римана, данное в § III. 3 части I, состояло в следующем: по начальным данным $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ мы строили коэффициент перехода $b(\lambda)$ и решали семейство

регулярных задач Римана
\[
G(x, t, \lambda)=G_{+}(x, t, \lambda) G_{-}(x, t, \lambda),
\]

где
\[
\begin{array}{l}
G(x, t, \lambda)=\left(\begin{array}{cc}
1 & \varepsilon \bar{b}(\lambda) e^{-i \lambda x+i \lambda, 2 t} \\
-b(\lambda) e^{i \lambda x-i \lambda, 2 t} & 1
\end{array}\right)=e^{\frac{i \lambda_{2} t}{2} \sigma_{3}} G(x, \lambda) e^{-\frac{i \lambda 2 t}{2} \sigma_{3}}, \\
\varepsilon=\operatorname{sign} x, \\
\end{array}
\]

и
\[
G(x, \lambda)=G(x, 0, \lambda) .
\]

В качестве контура $\Gamma$ выбиралась вещественная ось и предполагалось, что решения $G_{ \pm}(x, t, \lambda)$ допускают аналитическое продолжение в полуплоскости $\pm \operatorname{Im} \lambda>0$, невырожденны там и нормированы на $I$ при $|\lambda| \rightarrow \infty$ :
\[
G_{ \pm}(x, t, \infty)=I \text {. }
\]

Матрица $U(x, t, \lambda)$ из вспомогательной линейной задачи выражалась через решения $G_{ \pm}(x, t, \lambda)$ следующими формулами:
\[
\begin{array}{l}
U(x, t, \lambda)= \\
=-G_{+}^{-1}(x, t, \lambda) \frac{\partial G_{+}}{\partial x}(x, t, \lambda)+\frac{\lambda}{2 i} G_{+}^{-1}(x, t, \lambda) \sigma_{3} G_{+}(x, t, \lambda)= \\
=\frac{\partial G_{-}}{\partial x}(x, t, \lambda) G_{-}^{-1}(x, t, \lambda)+\frac{\lambda}{2 i} G_{-}(x, t, \lambda) \sigma_{3} G_{-}^{-1}(x, t, \lambda) .
\end{array}
\]

В обозначениях из $\S 4$ эти формулы записываются в компактном виде:
\[
U(t)=\widetilde{\mathrm{A}} \mathrm{d}^{*} G_{+}^{-1}(t)\left(\frac{\lambda \sigma_{3}}{2 i}\right)=\widetilde{\mathrm{A}^{*}} G_{-}(t)\left(\frac{\lambda \sigma_{3}}{2 i}\right),
\]

где здесь и ниже мы часто будем опускать зависимость от $x$ и $\lambda$. Используя формулы (5.6) и групповое свойство $\overline{\mathrm{A}} \mathrm{d}^{*}$, получаем представление для решения $U(t)$ в терминах начального данного $U_{0}=\left.U(t)\right|_{t=0}$ :
\[
U(t)=\widetilde{\mathrm{A}} \mathrm{d}^{*} h_{+}^{-1}(t) U_{0}=\widetilde{\mathrm{A}} \mathrm{d}^{*} h_{-}(t) U_{0},
\]

где матрицы $h_{ \pm}(t)$ имеют вид
\[
\begin{array}{l}
h_{+}(x, t, \lambda)=G_{+}^{-1}(x, 0, \lambda) G_{+}(x, t, \lambda), \\
h_{-}(x, t, \lambda)=G_{-}(x, t, \lambda) G_{-}^{-1}(x, 0, \lambda) .
\end{array}
\]

Эти матрицы дают решение задачи о факторизации
\[
h(t)=h_{+}(t) h_{-}(t),
\]

где матрица $h(t)$ представляется в виде
\[
h(x, t, \lambda)=G_{+}^{-1}(x, 0, \lambda) e^{\frac{i \lambda_{2} t}{2} \sigma_{2}} G_{+}(x, 0, \lambda) G_{-}(x, 0, \lambda) e^{-\frac{i \lambda_{2} t}{2} \sigma_{3}} G_{-}^{-1}(x, 0, \lambda)
\]

и выражается через решения задачи Римана (5.1) при $t=0$, которые однозначно определяются начальным условием $U_{0}$.

Формулы (5.7) совпадают с общими формулами (4.17) из л. $1 \$ 4$ для решения начальной задачи для абстрактного гамильтонова уравнения (4.10), которое, как мы знаем из п. 2 $\S 4$, представляет собой уравнение нулевой кривизны. Однако общая задача о факторизации (4.16) и задача Римана (5.10) отличаются: в первой задаче речь шла о факторизации однолараметрической подгруппы матриц $g(t)=\exp \left\{-t
abla H\left(U_{0}\right)\right\}$, в то время как участвующие во второй задаче матрицы $h(t)$ однопараметрической подгруппы не образуют.

Для согласования этих двух подходов к решению начальной задачи заметим, что формулы типа (5.7) определяют матрицы $h_{+}^{-1}(t)$ и $h_{-}(t)$ с точностью до правых множителей из централизатора элемента $U_{0}$ относительно действия $\bar{A} d^{*}$. Очевидно, что матрицы вида $F(x, \lambda) C(\lambda) F^{-}(x, \lambda)$, где $F(x, \lambda)$ — решение вспомогательной линейной задачи с матрицей $U_{0}(x, \lambda)$, а $C(\lambda)$ произвольная матрица, принадлежат этому централизатору. Используя это соображение, введем матрицы
\[
\begin{array}{l}
g_{+}(x, t, \lambda)=h_{+}(x, t, \lambda), \\
\left.g_{-}(x, t, \lambda)=h_{-}(x, t, \lambda)\right) G_{-}(x, 0, \lambda) e^{\frac{i \lambda^{2} t}{2} \sigma_{3}} G_{-}^{-1}(x, 0, \lambda),
\end{array}
\]

которые удовлетворяют соотношению
\[
g_{+}(t) g_{-}(t)=g(t),
\]

где
\[
g(x, t, \lambda)=G_{+}^{-1}(x, 0, \lambda) e^{\frac{i \lambda^{2} t}{2} \sigma_{3}} G_{+}(x, 0, \lambda) .
\]

Матрицы $g(t)$ уже образуют однопараметрическую подгруппу, и сравнение с формулой (4.90) показывает, что
\[
g(t)=\exp \left\{-t
abla H\left(U_{0}\right)\right\} .
\]

Таким образом, соотношение (5.14) реализует абстрактную задачу о факторизации в применении к модели НШІ. Формулы (5.12) — (5.13) показывают, каким функциональным классам принадлежат искомые матрицы $g_{ \pm}(x, t, \lambda)$ : эти матрицы допускают аналитическое продолжение в полуплоскости $\pm \operatorname{Im} \lambda>0$ и

при $|\lambda| \rightarrow \infty$ имеют следующие асимптотики:
\[
\begin{array}{l}
g_{+}(x, t, \lambda)=I+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right), \\
g_{-}(x, t, \lambda)=\left(I+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right)\right) e^{\frac{i \lambda_{2} t}{2} \sigma_{3}}\left(I+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right)\right):
\end{array}
\]

Итак, мы получили формальное согласование конкретной задачи Римана для модели НШ и абстрактной задачи о факторизации из п. 1 § 4 . Следует, однако, сказать, что абстрактная задача о факторизации для бесконечномерной группы $\mathscr{C}((G))$ в случае быстроубывающих граничных условий нами не была сформулирована (даже и для соответствующей алгебры Ли). Іоэтому на проведенное выше рассуждение следует смотреті как на определение такой задачи в применении к конкретной орбите, отвечающей модели НШ. Этот пример показывает, что для приложения общей схемы из § 4 к конкретному нелинейному уравнению, отвечающему специальной орбите, требуется дополнительне аналитическое исследование соответствующей вспомогательной линейной задачи, приводящее к подходінеї задаче Римана. На этом мы заканчиваем обсуждение ролі задачи о факторизации для решения начальной задачи для интегрируемых нелинейных уравнений.

Перейдем теперь к описанию геометрического смысла $\Lambda$-оператора из § III. 5 части I и связанной с ним иерархии пуассоновых структур. Напомним соответствующие определения, ограничиваясь для простоты быстроубывающим случаем и считая, что $x=-1$. На фазовом пространстве $\mathscr{M}_{0}$ с координатами $\psi(x)$, $\bar{\psi}(x)$, помимо основной пуассоновой структуры
\[
\{f, g\}=\langle\operatorname{grad} f, \operatorname{grad} g\rangle=i \int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{tr}\left(\operatorname{grad} f(x) \sigma_{3} \operatorname{grad} g(x)\right) d x,(5.19)
\]

где для произвольной наблюдаемой $f$
\[
\operatorname{grad} f(x)=\frac{1}{i}\left(\frac{\delta f}{\delta \psi(x)} \sigma_{+}+\frac{\delta f}{\delta \overline{\psi(x)}} \sigma_{-}\right),
\]

мы ввели иерархию пуассоновых структур $\langle f, g\}_{k)}=\left\langle\operatorname{grad} f, \Lambda^{k} \operatorname{grad} g\right\rangle=$
\[
=i \int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{tr}\left(\operatorname{grad} f(x) \sigma_{3} \Lambda^{k} \operatorname{grad} g(x)\right) d x, \quad k=-\infty, \ldots, \infty .
\]

Здесь $\Lambda$ — интегро-дифференциальный оператор, действующий на антидиагональные матрицы $F(x)$ по формуле
\[
\Lambda F(x)=i \sigma_{3}\left(\frac{d F}{d x}(x)-\left[U_{0}(x), d^{-1}\left(\left[U_{0}(\cdot), F(\cdot)\right]\right)(x)\right]\right),
\]

где
\[
U_{0}(x)=i\left(\psi(x) \sigma_{-}+\bar{\psi}(x) \sigma_{+}\right)
\]

и $\langle,>$ означает билинейную форму, задаваемую пнтегралом в (5.19). Очевидно, что $\{\}=,\{,\}_{(0)}$.

Тождество Якоби для скобок Пуассона $\{\text {, }\}_{(k)}$ в $\S$ III. 5 части I нами проверено не было. Здесь мы выясним геометрический смысл пуассоновой структуры $\{,\}_{(1)}$ и докажем это тождество Якоби.

В п. 3 предыдущего параграфа на фазовом пространстве $C_{N, M}^{*}$ мы ввели семейство пуассоновых структур $\{,\}_{p}$, $p=-N, \ldots, M$. В частности, мы показали, что уравнение нулевой кривизны для матрицы $U(x, \lambda)$ вида
\[
U(x, \lambda)=\lambda J+Q(x),
\]

где для алгебры Ли $g=\mathrm{su}(2)$
\[
J=i J_{a} \sigma_{a}, \quad Q(x)=i Q_{a}(x) \sigma_{a},
\]

может быть записано в гамильтоновой форме тремя способами; ниже нас будут интересовать только два из иих. В первом способе участвует фазовое пространство $C_{0, \%}^{*}$, состоящее из матриц. $U(x, \lambda)$ вида (5.24) со скобкой Пуассона $\{,\}_{0}$ :
\[
\begin{array}{c}
\left\{J_{a}, J_{b}\right\}_{0}=0, \quad\left\{J_{a}, Q_{b}(x)\right\}_{0}=0, \\
\left\{Q_{a}(x), Q_{b}(y)\right\}_{0}=\varepsilon_{a b c} J_{c} \delta(x-y),
\end{array}
\]

а во втором — фазовое пространство $C_{1,1}^{*}$, состоящее из матриц $\widetilde{U}(x, \lambda)=J+\frac{Q(x)}{\lambda}$ со скобкой Пуассона $\{,\}_{-1}$ :
\[
\begin{array}{c}
\left\{J_{a}, J_{b}\right\}_{-1}=0, \quad\left\{J_{a}, Q_{b}(x)\right\}_{-1}=0 \\
\left\{Q_{a}(x), Q_{b}(y)\right\}_{-1}=-\varepsilon_{a b c} Q_{c}(x) \delta(x-y)+\frac{1}{2} \delta_{a b} \delta^{\prime}(x-y) .
\end{array}
\]

В последнем способе уравнение нулевой кривизны получается для матрицы $U(x, \lambda)=\lambda \hat{O}(x, \lambda)$, по виду совпадающей с (5.24).

Модели НШ отвечает специальная орбита в фазовом пространстве $C_{0,2}^{*}$, задаваемая условиями
\[
J_{1}=J_{2}=0, \quad J_{3}=-1 / 2, \quad Q_{3}(x)=0,
\]

которая отождествляется с фазовым пространством $\mathscr{M}_{0}$, если положить
\[
\psi(x)=Q_{1}(x)+i Q_{2}(x)
\]
(см. пример 2 в $\S 1$ ). Однако $\mathscr{M}_{0}$ не является пуассоновым подмногообразием относительно скобки Пуассона $\{,\}_{-1}$.

Тем не менее, мы можем редуцировать пуассонову структуру $\{,\}_{-1}$ на многообразие $\mathscr{M}_{0}$, рассматривая уравнения $Q_{3}(x)=0$ как связи. Мы осуществим это, вычислив явно соответствующую скобку Пуассона — Дирака, которая имеет вид
\[
\{f, g\}_{-1}^{*}=\{f, g\}_{-1}+\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}\left\{f, Q_{3}(x)\right\}_{-1} K^{-1}(x, y)\left\{Q_{3}(y), g\right\}_{-1} d x d y,
\]

где $K^{-1}(x, y)$ — ядро интегрального оператора $K^{-1}$, обратного к оператору $K$ с ядром $K(x, y)=\left\{Q_{3}(x), Q_{3}(y)\right\}_{-1}$, и в правой части (5.32) следует ограничиться на поверхность связей $Q_{3}(x)=0$. Из (5.29) имеем
\[
K(x, y)=\frac{1}{2} \delta^{\prime}(x-y),
\]

так что
\[
K^{-1}(x, y)=\varepsilon(x-y),
\]

где
\[
\varepsilon(x)=\left\{\begin{array}{r}
1 \text { при } x>0, \\
-1 \text { при } x<0 .
\end{array}\right.
\]

В частности, полагая формально $f=\psi(x)$ и $g=\psi(y)$ или $\bar{\psi}(y)$, цолучаем скобки Пуассона-Дирака для координат $\psi(x)$, $\bar{\psi}(x)$ :
\[
\begin{array}{c}
\{\psi(x), \psi(y)\}_{-1}^{*}=\psi(x) \psi(y) \varepsilon(x-y), \\
\{\psi(x), \bar{\psi}(y)\}_{-1}^{*}=\delta^{\prime}(x-y)-\psi(x) \bar{\psi}(y) \varepsilon(x-y) .
\end{array}
\]

Этот же ответ мы получим, вычисляя скобки Пуассона координат $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ по формуле (5.21) при $k=1$. Таким образом, мы показали совпадение пуассоновых структур $\{,\}_{(1)} u\{,\}_{-1}^{*}$. Отсюда, в частности, следует справедливость тождества Якоби для скобки Пуассона $\{\text {, }\}_{(1)}$.

Для доказательства тождества Якоби для всех пуассоновых структур $\{,\}_{(k)}$ применим следующий прием. Замет:м, что скобки Пуассона $\{,\}_{0}$ и $\{,\}_{-1}$ на $C_{0,2}^{*}$ согласованы в следующем смысле: при всех $\alpha$ скобки Пуассона $\{,\}^{(\alpha)}=\{,\}_{-1}+$ $+\alpha\{,\}_{0}$ удовлетворяет тождеству Якоби. Это проще всего проверить в координатах $Q_{a}(x), a=1,2,3$. Из (5.26) — (5.27) и $(5.28)$ — (5.29) имеем
\[
\begin{array}{r}
\left\{Q_{a}(x), Q_{b}(y)\right\}^{(\alpha)}=\left\{Q_{a}(x), Q_{b}(y)\right\}_{-1}+\alpha\left\{Q_{a}(x), Q_{b}(y)\right\}_{0}= \\
=-\varepsilon_{a b c} \widetilde{Q}_{c}(x-y)+\frac{1}{2} \delta_{a b} \delta^{\prime}(x-y),
\end{array}
\]

где $\widetilde{Q}_{a}(x)=Q_{a}(x)+\alpha J_{a}, a=1,2,3$. Таким образом скобка $\{,\}^{(\alpha)}$ получается из скобки Пуассона $\{,\}_{-1}$ заменой координат

$Q_{a}(x) \mapsto \widetilde{Q}_{a}(x)$ и, тем самым, удовлетворяет тождеству Якоби. Редуцированные скобки Пуассона $\{,\}_{(0)}$ и $\{,\}_{(1)}$ на фазовом пространстве $\mathscr{M}_{0}$ также являются согласованными. Рассмотрим теперь симплектическую форму $\Omega_{\alpha}$, отвечающую скобке Пуассона $\{,\}^{(\alpha)}$. Она является билинейной формой антидиагональных матриц $\xi(x), \eta(x)$ и имеет вид
\[
\Omega_{\alpha}(\xi, \eta)=\Omega_{(0)}\left(\xi,(\Lambda+\alpha)^{-1} \eta\right),
\]

где $\Omega_{(0)}$ — симплектическая форма скоб́ки Пуассона $\{,\}_{(0)}$. Из замкнутости формы $\Omega_{\alpha}$ следует замкнутость всех форм $\Omega_{(k)}$ :
\[
\Omega_{(k)}(\xi, \eta)=\Omega_{(0)}\left(\xi, \Lambda^{-k} \eta\right),
\]

в чем легко убедиться, раскладывая $(\Lambda+\alpha)^{-1}$ в геометрическую прогрессию в окрестности точек $\alpha=0$ н $\alpha=\infty$. Формы $\Omega_{(k)}$ соответствуют скобкам Пуассона $\{,\}_{(k)}$, и тождество Якоби для последних следует из замкнутости первых.

Конечно, из приведенного рассуждения следует также, что тождество Якоби справедливо и для более общей скобки Пуассона
\[
\{f, g\}_{\varphi}=\langle\operatorname{grad} f, \varphi(\Lambda) \operatorname{grad} g\rangle,
\]

где ч-произвольная гладкая функция. Тем самым согласованными являются скобки Пуассона $\{,\}_{\varphi} u\{,\}_{\%}$ для произвольных функций $\varphi ~ и \chi$. Приведенному формалыному доказательству нетрудно придать необходимую строгость, если считать, что 1 обратим; в случае, если оператор $\Lambda$ имеет ядро (это так для $\Lambda$-оператора вида (5.22), следует редуцировать фазовое пространство $\mathscr{A}_{0}$, фиксируя значения функционалов из аннулятора.

B § III. 5 части I мы выяснили и вторую роль $\Lambda$ как оператора, порождающего семейство инволютивных интегралов движения $I_{n}$ посредством соотношения
\[
\operatorname{grad} I_{n}(x)=\Lambda \operatorname{grad} I_{n-1}(x) .
\]

Здесь мы покажем, как эта формула, установленная в § III. 5 части I непосредственным вычислением, получается из простых геометрических соображений и может служить для построения семейства $I_{n}$.

Будем считать, что нам заданы два функционала $I_{1}$ и $I_{2}$ такие, что гамильтоновы уравнения движения, порождаемые ими на фазовом пространстве $\mathscr{M}_{0}$ относительно скобок Пуассона $\{,\}_{(1)} u\{,\}_{(0)}$, соответственно, совпадают, т. е. для произвольной наблюдаемой $f$
\[
\left\{I_{1}, f\right\}_{(1)}=\left\{I_{2}, f\right\}_{(0)} .
\]

Убедимся, используя согласованность скобок Пуассона $\{$, \}юr

и $\{,\}_{(1)}$, что из этого равенства следует существование семейства функционалов $I_{n}$, инволютивных по отношению к скобкам Пуассона $\{,\}_{(0 !} u\{,\}_{(1)}$ и удовлетворяющих соотношению
\[
\left\{I_{n}, f\right\}_{(1)}=\left\{I_{n+1}, f\right\}_{(0)} .
\]

Для доказательства достаточно установить существование функционала $I_{3}$ такого, что
\[
\left\{I_{2}, f\right\}_{(1)}=\left\{I_{3}, f\right\}_{(0)} .
\]

Для этого покажем, что векторное поле $X$
\[
X f=\left\{I_{2}, f\right\}_{(1)}
\]

является (локально) гамильтоновым по отношению к скобке Пуассона $\{\text {, }\}_{(0)}$, т. е.
\[
X\{f, g\}_{(0)}=\{X f, g\}_{(0)}+\{f, X g\}_{(0)} .
\]

Последняя формула переписывается в виде
\[
\left\{I_{2},\{f, g\}_{(0)}\right\}_{(1)}=\left\{\left\{I_{2}, f\right\}_{(1)}, g\right\}_{(0)}+\left\{f,\left\{I_{2}, g\right\}_{(1)}\right\}_{(0)}
\]

и следует из тождества Якоби для скобки Пуассона $\{,\}_{(0)}+$ $+\{,\}_{(1)}$ и равенства
\[
\left\{I_{2},\{f, g\}_{(1)}\right\}_{(0)}=\left\{\left\{I_{2}, f\right\}_{(0)}, g\right\}_{(1)}+\left\{f,\left\{I_{2}, g\right\}_{(0)}\right\}_{(1)},
\]

которое получается аналогично (5.48) из заданного соотношения (5.43).

Из явного віда (5.19) и (5.21) скобок Пуассона $\{,\}_{(0)}$ и $\{,\}_{(1)}$ следует, что функционал $I_{3}$ можно определить из соотношения
\[
\operatorname{grad} I_{3}(x)=\Lambda \operatorname{grad} I_{2}(x) .
\]

Приведенное выше рассуждение можно рассматривать как доказательство разрешимости этого уравнения (в случае односвязного фазового пространства).
Окончательная формула для функционалов $I_{n}$ имеет вид
\[
I_{n}=\operatorname{grad}^{-1} \Lambda^{n-1} \operatorname{grad} I_{1}=\operatorname{grad}^{-1} \Lambda^{n-m} \operatorname{grad} I_{m} .
\]

Отсюда и из определения (5.21) скобок Пуассона $\{,\}_{(k)}$ следует инволютивность функционалов $I_{n}$ по отношению ко всем этим пуассоновым структурам и более общее, чем (5.44), соотношение где $k+l=m+n$.
\[
\left\{I_{k}, f\right\}_{(t)}=\left\{I_{m}, f\right\}_{(n)},
\]

Для модели НШ в качестве $I_{1}$ и $I_{2}$ мы можем выбрать функщионалы числа частиц $N$
\[
N=\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^{2} d x
\]

и импульса $P$
\[
P=\frac{1}{2 i} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\bar{\psi} \frac{d \psi}{d x}-\psi \frac{d \bar{\psi}}{d x}\right) d x
\]

и проверить соотношение (5.43) по заданным скобкам Пуассона $\{,\}_{(0)}$ и $\{,\}_{(1)}$ в форме (5.19) и (5.36)-(5.37). Из приведенных рассуждений следует существование $\Lambda$-оператора, иерархии пуассоновых структур $\{,\}_{(k)} u$ семейства функционалов $I_{n}$, инволютивного по отношению ко всем этим скобкам Пуассона.

Итак, вернувшись к модели НШ, мы по-новому осветили связанные с ней структуры. Тем самым мы замкнули круг идей, которым посвящена эта книга, и на этом месте она прищла к естественному концу.