Завершая эту книгу, мы еще раз вернемся к нашему основному примеру — модели НШ и посмотрим, как развитый в части I метод ее точного решения согласуется с общим геометрическим рассмотрением настояцей главы. Именно, мы покажем, в каком смысле задача Римана, использованная для решения џачальной задачи в гл. II части I, получает интергіретацию как задача о факторизации из $\mathrm{\S }4$. Кроме того, мы свяжем введенную в § III. 5 части I иерархию пуассоновых структур и порождающий их $\mathrm{\Lambda }$-оператор с семейством пуассоновых структур из п. 3 § 4. При этом мы докажем обещанное в § III. 5 части I тождество Якоби.

При обсуждении задачи Римана мы ограничимся случаем быстроубывающих граничных условий и будем считать, что дискретный спектр отсутствует. Решение начальной задачи для модели НШ при помощи задачи Римана, данное в § III. 3 части I, состояло в следующем: по начальным данным $\psi (x),\overline{\psi }(x)$ мы строили коэффициент перехода $b(\lambda )$ и решали семейство

регулярных задач Римана
$$G(x,t,\lambda )=G_{+}(x,t,\lambda )G_{-}(x,t,\lambda ),$$

где
$$\begin{array}{l}G(x,t,\lambda )=\left(\begin{array}{cc}1& \epsilon \overline{b}(\lambda )e^{-i\lambda x+i\lambda ,2t}\\ -b(\lambda )e^{i\lambda x-i\lambda ,2t}& 1\end{array}\right)=e^{\frac{i{\lambda }_{2}t}{2}{\sigma }_3}G(x,\lambda )e^{-\frac{i\lambda 2t}{2}{\sigma }_3},\\ \epsilon =\mathrm{sign}x,\end{array}$$

и
$$G(x,\lambda )=G(x,0,\lambda ).$$

В качестве контура $\mathrm{\Gamma }$ выбиралась вещественная ось и предполагалось, что решения $G_{\pm }(x,t,\lambda )$ допускают аналитическое продолжение в полуплоскости $\pm \mathrm{Im}\lambda >0$, невырожденны там и нормированы на $I$ при $|\lambda |\to \mathrm{\infty }$ :
$$G_{\pm }(x,t,\mathrm{\infty })=I\text{. }$$

Матрица $U(x,t,\lambda )$ из вспомогательной линейной задачи выражалась через решения $G_{\pm }(x,t,\lambda )$ следующими формулами:
$$\begin{array}{l}U(x,t,\lambda )=\\ =-G_{+}^{-1}(x,t,\lambda )\frac{\partial G_{+}}{\partial x}(x,t,\lambda )+\frac{\lambda }{2i}{G}_{+}^{-1}(x,t,\lambda ){\sigma }_3{G}_{+}(x,t,\lambda )=\\ =\frac{\partial G_{-}}{\partial x}(x,t,\lambda )G_{-}^{-1}(x,t,\lambda )+\frac{\lambda }{2i}{G}_{-}(x,t,\lambda ){\sigma }_3{G}_{-}^{-1}(x,t,\lambda ).\end{array}$$

В обозначениях из $\mathrm{\S }4$ эти формулы записываются в компактном виде:
$$U(t)=\tilde{\mathrm{A}}{\mathrm{d}}^{\ast }{G}_{+}^{-1}(t)\left(\frac{\lambda {\sigma }_3}{2i}\right)=\widetilde{{\mathrm{A}}^{\ast }}{G}_{-}(t)\left(\frac{\lambda {\sigma }_3}{2i}\right),$$

где здесь и ниже мы часто будем опускать зависимость от $x$ и $\lambda$. Используя формулы (5.6) и групповое свойство $\bar{\mathrm{A}}{\mathrm{d}}^{\ast }$, получаем представление для решения $U(t)$ в терминах начального данного $U_0={U(t)|}_{t=0}$ :
$$U(t)=\tilde{\mathrm{A}}{\mathrm{d}}^{\ast }{h}_{+}^{-1}(t)U_0=\tilde{\mathrm{A}}{\mathrm{d}}^{\ast }{h}_{-}(t)U_0,$$

где матрицы $h_{\pm }(t)$ имеют вид
$$\begin{array}{l}{h}_{+}(x,t,\lambda )=G_{+}^{-1}(x,0,\lambda )G_{+}(x,t,\lambda ),\\ h_{-}(x,t,\lambda )=G_{-}(x,t,\lambda )G_{-}^{-1}(x,0,\lambda ).\end{array}$$

Эти матрицы дают решение задачи о факторизации
$$h(t)=h_{+}(t)h_{-}(t),$$

где матрица $h(t)$ представляется в виде
$$h(x,t,\lambda )=G_{+}^{-1}(x,0,\lambda )e^{\frac{i{\lambda }_{2}t}{2}{\sigma }_2}{G}_{+}(x,0,\lambda )G_{-}(x,0,\lambda )e^{-\frac{i{\lambda }_{2}t}{2}{\sigma }_3}{G}_{-}^{-1}(x,0,\lambda )$$

и выражается через решения задачи Римана (5.1) при $t=0$, которые однозначно определяются начальным условием $U_0$.

Формулы (5.7) совпадают с общими формулами (4.17) из л. $1\mathrm{\$}4$ для решения начальной задачи для абстрактного гамильтонова уравнения (4.10), которое, как мы знаем из п. 2 $\mathrm{\S }4$, представляет собой уравнение нулевой кривизны. Однако общая задача о факторизации (4.16) и задача Римана (5.10) отличаются: в первой задаче речь шла о факторизации однолараметрической подгруппы матриц $g(t)=\exp \{-tablaH\left(U_0\right)\}$, в то время как участвующие во второй задаче матрицы $h(t)$ однопараметрической подгруппы не образуют.

Для согласования этих двух подходов к решению начальной задачи заметим, что формулы типа (5.7) определяют матрицы $h_{+}^{-1}(t)$ и $h_{-}(t)$ с точностью до правых множителей из централизатора элемента $U_0$ относительно действия $\overline{A}{d}^{\ast }$. Очевидно, что матрицы вида $F(x,\lambda )C(\lambda )F^{-}(x,\lambda )$, где $F(x,\lambda )$ — решение вспомогательной линейной задачи с матрицей $U_0(x,\lambda )$, а $C(\lambda )$ произвольная матрица, принадлежат этому централизатору. Используя это соображение, введем матрицы
$$\begin{array}{l}{g}_{+}(x,t,\lambda )=h_{+}(x,t,\lambda ),\\ g_{-}(x,t,\lambda )=h_{-}(x,t,\lambda ))G_{-}(x,0,\lambda )e^{\frac{i{\lambda }^{2}t}{2}{\sigma }_3}{G}_{-}^{-1}(x,0,\lambda ),\end{array}$$

которые удовлетворяют соотношению
$$g_{+}(t)g_{-}(t)=g(t),$$

где
$$g(x,t,\lambda )=G_{+}^{-1}(x,0,\lambda )e^{\frac{i{\lambda }^{2}t}{2}{\sigma }_3}{G}_{+}(x,0,\lambda ).$$

Матрицы $g(t)$ уже образуют однопараметрическую подгруппу, и сравнение с формулой (4.90) показывает, что
$$g(t)=\exp \{-tablaH\left(U_0\right)\}.$$

Таким образом, соотношение (5.14) реализует абстрактную задачу о факторизации в применении к модели НШІ. Формулы (5.12) — (5.13) показывают, каким функциональным классам принадлежат искомые матрицы $g_{\pm }(x,t,\lambda )$ : эти матрицы допускают аналитическое продолжение в полуплоскости $\pm \mathrm{Im}\lambda >0$ и

при $|\lambda |\to \mathrm{\infty }$ имеют следующие асимптотики:
$$\begin{array}{l}{g}_{+}(x,t,\lambda )=I+O\left(\frac{1}{|\lambda |}\right),\\ g_{-}(x,t,\lambda )=(I+O\left(\frac{1}{|\lambda |}\right))e^{\frac{i{\lambda }_{2}t}{2}{\sigma }_3}(I+O\left(\frac{1}{|\lambda |}\right)):\end{array}$$

Итак, мы получили формальное согласование конкретной задачи Римана для модели НШ и абстрактной задачи о факторизации из п. 1 § 4 . Следует, однако, сказать, что абстрактная задача о факторизации для бесконечномерной группы $\mathcal{C}((G))$ в случае быстроубывающих граничных условий нами не была сформулирована (даже и для соответствующей алгебры Ли). Іоэтому на проведенное выше рассуждение следует смотреті как на определение такой задачи в применении к конкретной орбите, отвечающей модели НШ. Этот пример показывает, что для приложения общей схемы из § 4 к конкретному нелинейному уравнению, отвечающему специальной орбите, требуется дополнительне аналитическое исследование соответствующей вспомогательной линейной задачи, приводящее к подходінеї задаче Римана. На этом мы заканчиваем обсуждение ролі задачи о факторизации для решения начальной задачи для интегрируемых нелинейных уравнений.

Перейдем теперь к описанию геометрического смысла $\mathrm{\Lambda }$-оператора из § III. 5 части I и связанной с ним иерархии пуассоновых структур. Напомним соответствующие определения, ограничиваясь для простоты быстроубывающим случаем и считая, что $x=-1$. На фазовом пространстве ${\mathcal{M}}_0$ с координатами $\psi (x)$, $\overline{\psi }(x)$, помимо основной пуассоновой структуры
$$\{f,g\}=⟨\mathrm{grad}f,\mathrm{grad}g⟩=i{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{tr}(\mathrm{grad}f(x){\sigma }_3\mathrm{grad}g(x))dx,(5.19)$$

где для произвольной наблюдаемой $f$
$$\mathrm{grad}f(x)=\frac{1}{i}(\frac{\delta f}{\delta \psi (x)}{\sigma }_{+}+\frac{\delta f}{\delta \overline{\psi (x)}}{\sigma }_{-}),$$

мы ввели иерархию пуассоновых структур $⟨f,g{\}}_{k)}=⟨\mathrm{grad}f,{\mathrm{\Lambda }}^k\mathrm{grad}g⟩=$
$$=i{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{tr}(\mathrm{grad}f(x){\sigma }_3{\mathrm{\Lambda }}^k\mathrm{grad}g(x))dx,k=-\mathrm{\infty },\dots ,\mathrm{\infty }.$$

Здесь $\mathrm{\Lambda }$ — интегро-дифференциальный оператор, действующий на антидиагональные матрицы $F(x)$ по формуле
$$\mathrm{\Lambda }F(x)=i{\sigma }_3(\frac{dF}{dx}(x)-[U_0(x),d^{-1}\left([U_0(\cdot ),F(\cdot )]\right)(x)]),$$

где
$$U_0(x)=i(\psi (x){\sigma }_{-}+\overline{\psi }(x){\sigma }_{+})$$

и $⟨,>$ означает билинейную форму, задаваемую пнтегралом в (5.19). Очевидно, что $\{\}=,\{,{\}}_{(0)}$.

Тождество Якоби для скобок Пуассона $\{\text{, }{\}}_{(k)}$ в $\mathrm{\S }$ III. 5 части I нами проверено не было. Здесь мы выясним геометрический смысл пуассоновой структуры $\{,{\}}_{(1)}$ и докажем это тождество Якоби.

В п. 3 предыдущего параграфа на фазовом пространстве $C_{N,M}^{\ast }$ мы ввели семейство пуассоновых структур $\{,{\}}_p$, $p=-N,\dots ,M$. В частности, мы показали, что уравнение нулевой кривизны для матрицы $U(x,\lambda )$ вида
$$U(x,\lambda )=\lambda J+Q(x),$$

где для алгебры Ли $g=\mathrm{su}(2)$
$$J=i{J}_a{\sigma }_a,Q(x)=i{Q}_a(x){\sigma }_a,$$

может быть записано в гамильтоновой форме тремя способами; ниже нас будут интересовать только два из иих. В первом способе участвует фазовое пространство $C_{0,\mathrm{\%}}^{\ast }$, состоящее из матриц. $U(x,\lambda )$ вида (5.24) со скобкой Пуассона $\{,{\}}_0$ :
$$\begin{array}{c}{\{J_a,J_b\}}_0=0,{\{J_a,Q_b(x)\}}_0=0,\\ {\{Q_a(x),Q_b(y)\}}_0={\epsilon }_{abc}{J}_c\delta (x-y),\end{array}$$

а во втором — фазовое пространство $C_{1,1}^{\ast }$, состоящее из матриц $\tilde{U}(x,\lambda )=J+\frac{Q(x)}{\lambda }$ со скобкой Пуассона $\{,{\}}_{-1}$ :
$$\begin{array}{c}{\{J_a,J_b\}}_{-1}=0,{\{J_a,Q_b(x)\}}_{-1}=0\\ {\{Q_a(x),Q_b(y)\}}_{-1}=-{\epsilon }_{abc}{Q}_c(x)\delta (x-y)+\frac{1}{2}{\delta }_{ab}{\delta }^{\prime }(x-y).\end{array}$$

В последнем способе уравнение нулевой кривизны получается для матрицы $U(x,\lambda )=\lambda \hat{O}(x,\lambda )$, по виду совпадающей с (5.24).

Модели НШ отвечает специальная орбита в фазовом пространстве $C_{0,2}^{\ast }$, задаваемая условиями
$$J_1=J_2=0,J_3=-1/2,Q_3(x)=0,$$

которая отождествляется с фазовым пространством ${\mathcal{M}}_0$, если положить
$$\psi (x)=Q_1(x)+i{Q}_2(x)$$
(см. пример 2 в $\mathrm{\S }1$ ). Однако ${\mathcal{M}}_0$ не является пуассоновым подмногообразием относительно скобки Пуассона $\{,{\}}_{-1}$.

Тем не менее, мы можем редуцировать пуассонову структуру $\{,{\}}_{-1}$ на многообразие ${\mathcal{M}}_0$, рассматривая уравнения $Q_3(x)=0$ как связи. Мы осуществим это, вычислив явно соответствующую скобку Пуассона — Дирака, которая имеет вид
$$\{f,g{\}}_{-1}^{\ast }=\{f,g{\}}_{-1}+{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\{f,Q_3(x)\}}_{-1}{K}^{-1}(x,y){\{Q_3(y),g\}}_{-1}dxdy,$$

где $K^{-1}(x,y)$ — ядро интегрального оператора $K^{-1}$, обратного к оператору $K$ с ядром $K(x,y)={\{Q_3(x),Q_3(y)\}}_{-1}$, и в правой части (5.32) следует ограничиться на поверхность связей $Q_3(x)=0$. Из (5.29) имеем
$$K(x,y)=\frac{1}{2}{\delta }^{\prime }(x-y),$$

так что
$$K^{-1}(x,y)=\epsilon (x-y),$$

где
$$\epsilon (x)=\{\begin{array}{r}1\text{ при }x>0,\\ -1\text{ при }x<0.\end{array}$$

В частности, полагая формально $f=\psi (x)$ и $g=\psi (y)$ или $\overline{\psi }(y)$, цолучаем скобки Пуассона-Дирака для координат $\psi (x)$, $\overline{\psi }(x)$ :
$$\begin{array}{c}\{\psi (x),\psi (y){\}}_{-1}^{\ast }=\psi (x)\psi (y)\epsilon (x-y),\\ \{\psi (x),\overline{\psi }(y){\}}_{-1}^{\ast }={\delta }^{\prime }(x-y)-\psi (x)\overline{\psi }(y)\epsilon (x-y).\end{array}$$

Этот же ответ мы получим, вычисляя скобки Пуассона координат $\psi (x),\overline{\psi }(x)$ по формуле (5.21) при $k=1$. Таким образом, мы показали совпадение пуассоновых структур $\{,{\}}_{(1)}u\{,{\}}_{-1}^{\ast }$. Отсюда, в частности, следует справедливость тождества Якоби для скобки Пуассона $\{\text{, }{\}}_{(1)}$.

Для доказательства тождества Якоби для всех пуассоновых структур $\{,{\}}_{(k)}$ применим следующий прием. Замет:м, что скобки Пуассона $\{,{\}}_0$ и $\{,{\}}_{-1}$ на $C_{0,2}^{\ast }$ согласованы в следующем смысле: при всех $\alpha$ скобки Пуассона $\{,{\}}^{(\alpha )}=\{,{\}}_{-1}+$ $+\alpha \{,{\}}_0$ удовлетворяет тождеству Якоби. Это проще всего проверить в координатах $Q_a(x),a=1,2,3$. Из (5.26) — (5.27) и $(5.28)$ — (5.29) имеем
$$\begin{array}{r}{\{Q_a(x),Q_b(y)\}}^{(\alpha )}={\{Q_a(x),Q_b(y)\}}_{-1}+\alpha {\{Q_a(x),Q_b(y)\}}_0=\\ =-{\epsilon }_{abc}{\tilde{Q}}_c(x-y)+\frac{1}{2}{\delta }_{ab}{\delta }^{\prime }(x-y),\end{array}$$

где ${\tilde{Q}}_a(x)=Q_a(x)+\alpha J_a,a=1,2,3$. Таким образом скобка $\{,{\}}^{(\alpha )}$ получается из скобки Пуассона $\{,{\}}_{-1}$ заменой координат

$Q_a(x)\mapsto {\tilde{Q}}_a(x)$ и, тем самым, удовлетворяет тождеству Якоби. Редуцированные скобки Пуассона $\{,{\}}_{(0)}$ и $\{,{\}}_{(1)}$ на фазовом пространстве ${\mathcal{M}}_0$ также являются согласованными. Рассмотрим теперь симплектическую форму ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha }$, отвечающую скобке Пуассона $\{,{\}}^{(\alpha )}$. Она является билинейной формой антидиагональных матриц $\xi (x),\eta (x)$ и имеет вид
$${\mathrm{\Omega }}_{\alpha }(\xi ,\eta )={\mathrm{\Omega }}_{(0)}(\xi ,(\mathrm{\Lambda }+\alpha {)}^{-1}\eta ),$$

где ${\mathrm{\Omega }}_{(0)}$ — симплектическая форма скоб́ки Пуассона $\{,{\}}_{(0)}$. Из замкнутости формы ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha }$ следует замкнутость всех форм ${\mathrm{\Omega }}_{(k)}$ :
$${\mathrm{\Omega }}_{(k)}(\xi ,\eta )={\mathrm{\Omega }}_{(0)}(\xi ,{\mathrm{\Lambda }}^{-k}\eta ),$$

в чем легко убедиться, раскладывая $(\mathrm{\Lambda }+\alpha {)}^{-1}$ в геометрическую прогрессию в окрестности точек $\alpha =0$ н $\alpha =\mathrm{\infty }$. Формы ${\mathrm{\Omega }}_{(k)}$ соответствуют скобкам Пуассона $\{,{\}}_{(k)}$, и тождество Якоби для последних следует из замкнутости первых.

Конечно, из приведенного рассуждения следует также, что тождество Якоби справедливо и для более общей скобки Пуассона
$$\{f,g{\}}_{\phi }=⟨\mathrm{grad}f,\phi (\mathrm{\Lambda })\mathrm{grad}g⟩,$$

где ч-произвольная гладкая функция. Тем самым согласованными являются скобки Пуассона $\{,{\}}_{\phi }u\{,{\}}_{\mathrm{\%}}$ для произвольных функций $\phi и\chi$. Приведенному формалыному доказательству нетрудно придать необходимую строгость, если считать, что 1 обратим; в случае, если оператор $\mathrm{\Lambda }$ имеет ядро (это так для $\mathrm{\Lambda }$-оператора вида (5.22), следует редуцировать фазовое пространство ${\mathcal{A}}_0$, фиксируя значения функционалов из аннулятора.

B § III. 5 части I мы выяснили и вторую роль $\mathrm{\Lambda }$ как оператора, порождающего семейство инволютивных интегралов движения $I_n$ посредством соотношения
$$\mathrm{grad}{I}_n(x)=\mathrm{\Lambda }\mathrm{grad}{I}_{n-1}(x).$$

Здесь мы покажем, как эта формула, установленная в § III. 5 части I непосредственным вычислением, получается из простых геометрических соображений и может служить для построения семейства $I_n$.

Будем считать, что нам заданы два функционала $I_1$ и $I_2$ такие, что гамильтоновы уравнения движения, порождаемые ими на фазовом пространстве ${\mathcal{M}}_0$ относительно скобок Пуассона $\{,{\}}_{(1)}u\{,{\}}_{(0)}$, соответственно, совпадают, т. е. для произвольной наблюдаемой $f$
$${\{I_1,f\}}_{(1)}={\{I_2,f\}}_{(0)}.$$

Убедимся, используя согласованность скобок Пуассона $\{$, \}юr

и $\{,{\}}_{(1)}$, что из этого равенства следует существование семейства функционалов $I_n$, инволютивных по отношению к скобкам Пуассона $\{,{\}}_{(0!}u\{,{\}}_{(1)}$ и удовлетворяющих соотношению
$${\{I_n,f\}}_{(1)}={\{I_{n+1},f\}}_{(0)}.$$

Для доказательства достаточно установить существование функционала $I_3$ такого, что
$${\{I_2,f\}}_{(1)}={\{I_3,f\}}_{(0)}.$$

Для этого покажем, что векторное поле $X$
$$Xf={\{I_2,f\}}_{(1)}$$

является (локально) гамильтоновым по отношению к скобке Пуассона $\{\text{, }{\}}_{(0)}$, т. е.
$$X\{f,g{\}}_{(0)}=\{Xf,g{\}}_{(0)}+\{f,Xg{\}}_{(0)}.$$

Последняя формула переписывается в виде
$${\{I_2,\{f,g{\}}_{(0)}\}}_{(1)}={\{{\{I_2,f\}}_{(1)},g\}}_{(0)}+{\{f,{\{I_2,g\}}_{(1)}\}}_{(0)}$$

и следует из тождества Якоби для скобки Пуассона $\{,{\}}_{(0)}+$ $+\{,{\}}_{(1)}$ и равенства
$${\{I_2,\{f,g{\}}_{(1)}\}}_{(0)}={\{{\{I_2,f\}}_{(0)},g\}}_{(1)}+{\{f,{\{I_2,g\}}_{(0)}\}}_{(1)},$$

которое получается аналогично (5.48) из заданного соотношения (5.43).

Из явного віда (5.19) и (5.21) скобок Пуассона $\{,{\}}_{(0)}$ и $\{,{\}}_{(1)}$ следует, что функционал $I_3$ можно определить из соотношения
$$\mathrm{grad}{I}_3(x)=\mathrm{\Lambda }\mathrm{grad}{I}_2(x).$$

Приведенное выше рассуждение можно рассматривать как доказательство разрешимости этого уравнения (в случае односвязного фазового пространства).
Окончательная формула для функционалов $I_n$ имеет вид
$$I_n={\mathrm{grad}}^{-1}{\mathrm{\Lambda }}^{n-1}\mathrm{grad}{I}_1={\mathrm{grad}}^{-1}{\mathrm{\Lambda }}^{n-m}\mathrm{grad}{I}_m.$$

Отсюда и из определения (5.21) скобок Пуассона $\{,{\}}_{(k)}$ следует инволютивность функционалов $I_n$ по отношению ко всем этим пуассоновым структурам и более общее, чем (5.44), соотношение где $k+l=m+n$.
$${\{I_k,f\}}_{(t)}={\{I_m,f\}}_{(n)},$$

Для модели НШ в качестве $I_1$ и $I_2$ мы можем выбрать функщионалы числа частиц $N$
$$N={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|\psi (x){|}^{2}dx$$

и импульса $P$
$$P=\frac{1}{2i}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\overline{\psi }\frac{d\psi }{dx}-\psi \frac{d\overline{\psi }}{dx})dx$$

и проверить соотношение (5.43) по заданным скобкам Пуассона $\{,{\}}_{(0)}$ и $\{,{\}}_{(1)}$ в форме (5.19) и (5.36)-(5.37). Из приведенных рассуждений следует существование $\mathrm{\Lambda }$-оператора, иерархии пуассоновых структур $\{,{\}}_{(k)}u$ семейства функционалов $I_n$, инволютивного по отношению ко всем этим скобкам Пуассона.

Итак, вернувшись к модели НШ, мы по-новому осветили связанные с ней структуры. Тем самым мы замкнули круг идей, которым посвящена эта книга, и на этом месте она прищла к естественному концу.