Матрица перехода $T(n, m, \lambda$ ) определяется как решение уравнения (2.1) с началь. ным условием
\[
\left.T(n, m, \lambda)\right|_{n=m}=I
\]

и при $n>m$ имеет вид
\[
T(n, m, \lambda)=\prod_{k=m}^{\hat{n-1}} L_{k}(\lambda)
\]

при $n<m$

Матрица $T(n, m, \lambda)$ унимодулярна, является полиномом по $\lambda$ степени $|n-m|$ и удовлетворяет инволюции
\[
\bar{T}(n, m, \lambda)=T(n, m, \bar{\lambda}) .
\]

При $n \rightarrow \pm \infty$ вспомогательная линейная задача (2.1) упрощается и принимает вид
\[
E_{n+1}=L_{ \pm}(\lambda) E_{n}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
L_{-}(\lambda)=L(\lambda)=\left(\begin{array}{rr}
\lambda & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right), \\
L_{+}(\lambda)=Q(c) L(\lambda) Q^{-1}(c) .
\end{array}
\]

При $\lambda
eq 2$ матрица $L(\lambda)$ приводится к диагональному виду
\[
L(\lambda)=U(\lambda)\left(\begin{array}{cc}
\frac{1}{z(\lambda)} & 0 \\
0 & z(\lambda)
\end{array}\right) U^{-1}(\lambda),
\]

где
\[
U(\lambda)=\left(\begin{array}{cc}
1 & -z(\lambda) \\
-z(\lambda) & 1
\end{array}\right)
\]

а $z(\lambda)$ определяется из уравнения
\[
z+\frac{1}{z}=\lambda
\]

и дается формулой
\[
z(\lambda)=\frac{\lambda+\sqrt{\lambda^{2}-4}}{2} .
\]

Функция $z(\lambda)$ аналогична $k(\lambda)$ для модели НШ в случае конечной плотности (см. § I. 8 части I) и определена на римановой поверхности функции $\sqrt{\lambda^{2}-4}$. Часто удобно использовать переменную $z$ вместо спектрального параметра $\lambda$; в этом случае для функции $F(\lambda)$ мы не меняем функционального значка и через $F(z)$ обозначаем $F(\lambda(z))$.
Решения уравнений (2.7) даются формулами
\[
E_{n}^{(-)}(z)=E_{n}(z)=U(z)\left(\begin{array}{cc}
z^{-n} & 0 \\
0 & z^{n}
\end{array}\right)
\]

и
\[
E_{n}^{(+)}(z)=Q(c) E_{n}(z) .
\]

Матрица $E_{n}(z)$ удовлетворяет инволюциям
\[
\begin{array}{c}
\bar{E}_{n}(z)=E_{n}(\bar{z}), \\
\bar{E}_{n}\left(\frac{1}{\bar{z}}\right)=-\frac{1}{z} E_{n}(z) \sigma_{1}
\end{array}
\]

и соотношению
\[
\operatorname{det} E_{n}(z)=1–z^{2} .
\]

На окружности $|z|=1$ матричные элементы $E_{n}(z)$ ограничены при всех $n$, что соответствует непрерывному спектру вспомогательной линейной задачи (2.7). В терминах переменной $\lambda$ непрерывный спектр заполняет отрезок $-2 \leqslant \lambda \leqslant 2$. Матрица $E_{n}(z)$ вырождается при $z= \pm 1$, так что у задачи (2.7) на краях спектра имеются виртуальные уровни (сравни с § I.8-I. 9 части I). Внутренность и внешность единичного круга в переменной $z$ играют роль, аналогичную верхней и нижней полуплоскостям переменной $k(\lambda)$ для модели НШ в случае конечной плотности.

Свойства аналитичности матрицы $E_{n}(z)$ аналогичны таковым для матрицы $E_{\rho}(x, k)$ из $\S$ I. 8 части I.

Решения Иоста $T_{ \pm}(n, z)$ при $|z|=1$ определяются как пределы
\[
T_{ \pm}(n, z)=\lim _{m \rightarrow \pm \infty} T(n, m, z) E_{m}^{( \pm)}(z) .
\]

Альтернативно их можно задать как решения задачи со следующими асимптотиками:
\[
T_{ \pm}(n, z)=E_{n}^{( \pm)}(z)+o(1)
\]

при $n \rightarrow \pm \infty$.
Матрицы $T_{ \pm}(n, z)$ при $|z|=1$ удовлетворяют инволюциям
\[
\begin{array}{l}
\bar{T}_{ \pm}(n, z)=T_{ \pm}(n, \bar{z}), \\
\bar{T}_{ \pm}(n, z)=-\frac{1}{z} T_{ \pm}(n, z) \sigma_{1}
\end{array}
\]

и соотношению
\[
\operatorname{det} T_{ \pm}(n, z)=1-z^{2} .
\]

Они обладают следующими аналитическими свойствами: столбцы $T_{-}^{(1)}(n, z)$ и $T_{+}^{(2)}(n, z)$ аналитически продолжаются во внутренность единичного круга $|z| \leqslant 1$, а столбцы $T_{+}^{(\mathbf{1})}(n, z)$ и $T_{-}^{(2)}(n, z)$ во внешность $|z| \geqslant 1$ и имеют там асимптотики
\[
\begin{array}{l}
z^{n} T_{\hookrightarrow}^{(1)}(n, z)=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)+O(|z|), \\
|z| \leqslant 1 \\
z^{n} T_{+}^{(2)}(n, z)=\left(\begin{array}{c}
0 \\
e^{-c / 2}
\end{array}\right)+O(|z|), \\
\end{array}
\]

при $z \rightarrow 0$ и
\[
\begin{array}{l}
z^{n} T_{+}^{(1)}(n, z)=-e^{-c / 2} z\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right)+O(1), \\
z^{n} T_{-}^{(2)}(n, z)=-z\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)+O(1), \quad|z| \geqslant 1,
\end{array}
\]

при $|z| \rightarrow \infty$.
дования их свойств удобно совершить калибровочное преобразование
\[
F_{n}=\Omega_{n} \widetilde{F}_{n},
\]

где
\[
\Omega_{n}=\left(\begin{array}{cc}
e^{q_{n} / 2} & 0 \\
0 & -e^{-q_{n-1} / 2}
\end{array}\right),
\]

при котором вспомогательная линейная задача (2.1) принимает вид
\[
\tilde{F}_{n+1}=\tilde{L}_{n}(\lambda) \tilde{F}_{n},
\]

где
\[
\widetilde{L}_{n}(\lambda)=\Omega_{n+1}^{-1} L_{n}(\lambda) \Omega_{n}=\left(\begin{array}{cc}
e^{\frac{a_{n}-q_{n+1}}{2}}\left(p_{n}+\lambda\right) & -e^{-\frac{q_{n+1}-2 q_{n}+q_{n-1}}{2}} \\
1 & 0
\end{array}\right) .
\]

Полагая
\[
\tilde{F}_{n}=\left(\begin{array}{l}
f_{n} \\
g_{n}
\end{array}\right)
\]

отсюда получаем, что $g_{n+1}=f_{n}$ и
\[
c_{n+1} f_{n+1}-p_{n} f_{n}+c_{n} f_{n-1}=\lambda f_{n},
\]

где
\[
c_{n}=e^{\frac{q_{n}-q_{n-1}}{2}} .
\]

Таким образом, вспомогательная линейная задача эквивалентна задаче на собственные значения (2.33) для бесконечной якобиевой матрицы $\mathscr{L}$ :
\[
\mathscr{L}_{n m}=c_{n} \delta_{n, m+1}-p_{n} \delta_{n m}+c_{n+1} \delta_{n+1, m} .
\]

Покажем, что эта задача при $|z|=1$ имеет решения $\psi_{ \pm}(n, z)$ со следующими асимптотиками:
\[
\psi_{ \pm}(n, z)=z^{n}+o(1)
\]

при $n \rightarrow \pm \infty$ (напомним, что $\lambda=z+1 / z$ ). Будем искать эти решения в виде
\[
\begin{array}{l}
\psi_{+}(n, z)=z^{n}+\sum_{m=n}^{\infty} \Gamma(n, m) z^{m}, \\
\psi_{-}(n, z)=z^{n}+\sum_{m=-\infty}^{n} \widetilde{\Gamma}(n, m) z^{m},
\end{array}
\]

где
\[
\lim _{n, m \rightarrow \infty} \Gamma(n, m)=\lim _{n, m \rightarrow-\infty} \widetilde{\Gamma}(n, m)=0 .
\]

Рассмотрим, для определенности, представление (2.37) и подставим его в уравнение (2.33). Отделяя члены при одинаковых степенях $z$, мы получим, что
\[
\begin{array}{c}
c_{n}(1+\Gamma(n-1, n-1))=1+\Gamma(n, n), \\
c_{n} \Gamma(n-1, n)-p_{n}(1+\Gamma(n, n))=\Gamma(n, n+1) \\
\text { и } \begin{aligned}
\Gamma(n, m+1)+\Gamma(n, m-1)=c_{n+1}\left(\delta_{m-n, 1}+\right. \\
\text { при } m>n . \quad+\Gamma(n+1, m))-p_{n} \Gamma(n, m)+c_{n} \Gamma(n-1, m)
\end{aligned}
\end{array}
\]

и

при $m>n$.

В классе ядер $\Gamma(n, m)$, удовлетворяющих условию (2.39), система (2.40)-(2.42) однозначно разрешима. Действітельно, уравнение (2.40) позволяет найти значения $\Gamma(n, n)$, а уравнение (2.41) – значения $\Gamma(n, n+1)$ при всех $n$, так что уравнение (2.42) – уравнение в частных разностях второго порядка однозначно разрешимо в области $m>n$. При этом предельные значения в (2.39) принимаются в смысле Шварца. Таким образом, существование решения $\Psi_{+}(n, z)$ доказано.
Существование решения $\psi$ – $(n, z)$ доказывается аналогично. В терминах $\psi_{ \pm}(n, z)$ решения Иоста $T_{ \pm}(n, z)$ имеют вид
\[
T_{ \pm}(n, z)=\Omega_{n}\left(\begin{array}{ll}
\Psi_{ \pm}(n, 1 / z) & -z \psi_{ \pm}(n, z) \\
\psi_{ \pm}(n-1,1 / z) & -z \psi_{ \pm}(n-1, z)
\end{array}\right)
\]

и очевидно удовлетворяют сформулированным выше свойствам.