Фазовое пространство модели образовано векторфункциями $\vec{S}(x)=\left(S_{1}(x), S_{2}(x), S_{3}(x)\right)$, принимающими значе-
ния на единичной сфере $\mathbb{S}^{2}$ в $\mathbb{R}^{3}$ :
\[
\vec{S}^{2}(x)=\sum_{a=1}^{3} S_{a}^{2}(x)=1
\]
и удовлетворяющими определенным граничным условиям (см. ниже). Уравнения движения имеют вид
\[
\frac{\partial \vec{S}}{\partial t}=\vec{S} \wedge \frac{\partial^{2} \vec{S}}{\partial x^{2}}
\]
где $\bigwedge$ означает внешнее (векторное) произведение в $\mathbb{R}^{3}$. Очевидно, что это уравнение сохраняет ограничение (1.1). Модель является $O(3)$-инвариантной: если $\vec{S}(x, t)$ – решение уравнений движения, а $R$ – произвольная, не зависящая от $x$ и $t$ ортогональная матрица в $\mathbb{R}^{3}$, то $R \vec{S}(x, t)$ – тоже решение.
Типичными граничными условиями являются:
a) Периодические граничные условия:
\[
\vec{S}(x+2 L)=\overrightarrow{\mathcal{S}}(x) .
\]
б) Быстроубывающие граничные условия:
\[
\lim _{|x| \rightarrow \infty} \vec{S}(x)=\vec{S}_{0}
\]
где в силу $O(3)$-инвариантности постоянный вектор $\vec{S}_{0}$ без ограничения общности можно выбрать в виде
\[
\vec{S}_{0}=(0,0,1) .
\]
При этом считается, что предельные значения принимаются достаточно быстро, например, в смысле Шварца.
Более общими граничными условиями являются условия квазипериодичности:
\[
\vec{S}(x+2 L)=F \vec{S}(x),
\]
где фиксированная матрица $R$ принадлежит группе $O(3)$, и их предел при $L \rightarrow \infty$ (аналог условий конечной плотности). Однако ниже мы не будем их рассматривать.
Введенная модель встречается в физике твердого тела и описывает классический спин $\vec{S}$, распределенный на линии,-одномерный непрерывный магнетик.
Пуассонова структура на фазовом пространстве задается скобками Пуассона
\[
\left\{S_{a}(x), S_{b}(y)\right\}=-\varepsilon_{a b c} S_{c}(x) \delta(x-y),
\]
где $S_{a}, a=1,2,3$,-компоненты вектора $\vec{S}$, а $\varepsilon_{a b c}$ – полностью антисимметричный тензор ранга $3, \varepsilon_{123}=1$. С точки зрения теории групп Ли, скобки Пуассона (1.7) представляют собой реализацию общей скобки Ли – Пуассона, ассоциированной с группой токов – группой матриц-функций $g(x)$ со значениями в $O(3)$, суженную на симплектическую орбиту, задаваемую условием (1.1). Впрочем, используя ограничение (1.1), невырожденность этой пуассоновой структуры можно проверить и непосредственно, без ссылок на общую теорию.
Уравнение МГ записывается в гамильтоновом виде
\[
\frac{\partial \vec{S}}{\partial t}=\{H, \vec{S}\}
\]
где
\[
H=\frac{1}{2} \int\left(\frac{\partial \vec{S}}{\partial x}\right)^{2} d x
\]
а интегрирование ведется по фундаментальной области для граничных условий а) или по всей вещественной оси для случая б).
Другими интересными с физической точки зрения интегралами движения являются импульс-генератор сдвига по $x$
\[
P=\int \frac{S_{1} \frac{\partial S_{2}}{\partial x}-S_{2} \frac{\partial S_{1}}{\partial x}}{1+S_{3}} d x
\]
иі полный спин для периодических граничных условий
\[
\vec{M}=\int_{-L}^{L} \vec{S}(x) d x .
\]
Қомпоненты $M_{a}$ полного спина задают гамильтоново действие алгебры Ли группы $O(3)$, и их скобки Пуассона имеют вид
\[
\left\{M_{a}, M_{b}\right\}=-\varepsilon_{a b c} M_{c}
\]
(сравни с (1.7)).
В быстроубывающем случае в качестве наблюдаемой остается только регуляризованная третья компонента спина
\[
M_{3}=\int_{-\infty}^{\infty}\left(S_{3}(x)-1\right) d x .
\]
Формально существующие величины $M_{1}$ и $M_{2}$ являются недопустимыми функционалами, так как порождаемые ими гамильтоновы потоки нарушают граничные условия (1.4)-(1.5).
Выражение для импульса (1.10) имеет интересный геометрический смысл, который мы обсудим в конце параграфа. При этом
станет ясной $O(3)$-инвариантность импульса в периодическом случае, хотя это н не очевидно из формулы (1.10).
Уравнение (1.2) представляется как условие нулевой кривизны для связности $(U(x, t, \lambda), V(x, t, \lambda))$ вида
\[
U(\lambda)=\frac{\lambda}{2 i} S, V(\lambda)=\frac{i \lambda^{2}}{2} S+\frac{\lambda}{2} \frac{\partial S}{\partial x} S .
\]
Здесь
\[
S=\vec{S} \cdot \vec{\sigma}=\sum_{a=1}^{3} S_{a} \sigma_{a}
\]
– бесследовая эрмитова матрица, удовлетворяющая соотношению
\[
S^{2}=1
\]
(см. (1.1)), а $\sigma_{a}$ – матрицы Паули. Действительно, условие нулевой кривизны
\[
\frac{\partial U}{\partial t}-\frac{\partial V}{\partial x}+|U, V|=0
\]
с учетом (1.16) эквивалентно уравнению
\[
\frac{\partial S}{\partial t}=\frac{1}{2 i}\left[S, \frac{\partial^{2} S}{\partial x^{2}}\right]
\]
которое, в свою очередь, эквивалентно исходному уравнению МГ. Отметим, что эквивалентность соотношений (1.14), (1.17) и (1.18) использует только условие (1.16) и остается справедливой и для матриц $S(x, t)$ произвольной размерности.
