Фазовое пространство модели образовано векторфункциями $\overrightarrow{S}(x)=(S_1(x),S_2(x),S_3(x))$, принимающими значе-

ния на единичной сфере ${\mathbb{S}}^2$ в ${\mathbb{R}}^3$ :
$${\overrightarrow{S}}^2(x)=\sum _{a=1}^3{S}_a^2(x)=1$$

и удовлетворяющими определенным граничным условиям (см. ниже). Уравнения движения имеют вид
$$\frac{\partial \overrightarrow{S}}{\partial t}=\overrightarrow{S}\wedge \frac{{\partial }^2\overrightarrow{S}}{\partial x^2}$$

где $\bigwedge$ означает внешнее (векторное) произведение в ${\mathbb{R}}^3$. Очевидно, что это уравнение сохраняет ограничение (1.1). Модель является $O(3)$-инвариантной: если $\overrightarrow{S}(x,t)$ — решение уравнений движения, а $R$ — произвольная, не зависящая от $x$ и $t$ ортогональная матрица в ${\mathbb{R}}^3$, то $R\overrightarrow{S}(x,t)$ — тоже решение.
Типичными граничными условиями являются:
a) Периодические граничные условия:
$$\overrightarrow{S}(x+2L)=\overrightarrow{\mathcal{S}}(x).$$
б) Быстроубывающие граничные условия:
$$\underset{|x|\to \mathrm{\infty }}{lim}\overrightarrow{S}(x)={\overrightarrow{S}}_0$$

где в силу $O(3)$-инвариантности постоянный вектор ${\overrightarrow{S}}_0$ без ограничения общности можно выбрать в виде
$${\overrightarrow{S}}_0=(0,0,1).$$

При этом считается, что предельные значения принимаются достаточно быстро, например, в смысле Шварца.

Более общими граничными условиями являются условия квазипериодичности:
$$\overrightarrow{S}(x+2L)=F\overrightarrow{S}(x),$$

где фиксированная матрица $R$ принадлежит группе $O(3)$, и их предел при $L\to \mathrm{\infty }$ (аналог условий конечной плотности). Однако ниже мы не будем их рассматривать.

Введенная модель встречается в физике твердого тела и описывает классический спин $\overrightarrow{S}$, распределенный на линии,-одномерный непрерывный магнетик.

Пуассонова структура на фазовом пространстве задается скобками Пуассона
$$\{S_a(x),S_b(y)\}=-{\epsilon }_{abc}{S}_c(x)\delta (x-y),$$

где $S_a,a=1,2,3$,-компоненты вектора $\overrightarrow{S}$, а ${\epsilon }_{abc}$ — полностью антисимметричный тензор ранга $3,{\epsilon }_{123}=1$. С точки зрения теории групп Ли, скобки Пуассона (1.7) представляют собой реализацию общей скобки Ли — Пуассона, ассоциированной с группой токов — группой матриц-функций $g(x)$ со значениями в $O(3)$, суженную на симплектическую орбиту, задаваемую условием (1.1). Впрочем, используя ограничение (1.1), невырожденность этой пуассоновой структуры можно проверить и непосредственно, без ссылок на общую теорию.
Уравнение МГ записывается в гамильтоновом виде
$$\frac{\partial \overrightarrow{S}}{\partial t}=\{H,\overrightarrow{S}\}$$

где
$$H=\frac{1}{2}\int {\left(\frac{\partial \overrightarrow{S}}{\partial x}\right)}^{2}dx$$

а интегрирование ведется по фундаментальной области для граничных условий а) или по всей вещественной оси для случая б).

Другими интересными с физической точки зрения интегралами движения являются импульс-генератор сдвига по $x$
$$P=\int \frac{S_1\frac{\partial S_2}{\partial x}-S_2\frac{\partial S_1}{\partial x}}{1+S_3}dx$$

иі полный спин для периодических граничных условий
$$\overrightarrow{M}={\int }_{-L}^L\overrightarrow{S}(x)dx.$$

Қомпоненты $M_a$ полного спина задают гамильтоново действие алгебры Ли группы $O(3)$, и их скобки Пуассона имеют вид
$$\{M_a,M_b\}=-{\epsilon }_{abc}{M}_c$$
(сравни с (1.7)).
В быстроубывающем случае в качестве наблюдаемой остается только регуляризованная третья компонента спина
$$M_3={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(S_3(x)-1)dx.$$

Формально существующие величины $M_1$ и $M_2$ являются недопустимыми функционалами, так как порождаемые ими гамильтоновы потоки нарушают граничные условия (1.4)-(1.5).

Выражение для импульса (1.10) имеет интересный геометрический смысл, который мы обсудим в конце параграфа. При этом

станет ясной $O(3)$-инвариантность импульса в периодическом случае, хотя это н не очевидно из формулы (1.10).

Уравнение (1.2) представляется как условие нулевой кривизны для связности $(U(x,t,\lambda ),V(x,t,\lambda ))$ вида
$$U(\lambda )=\frac{\lambda }{2i}S,V(\lambda )=\frac{i{\lambda }^2}{2}S+\frac{\lambda }{2}\frac{\partial S}{\partial x}S.$$

Здесь
$$S=\overrightarrow{S}\cdot \overrightarrow{\sigma }=\sum _{a=1}^3{S}_a{\sigma }_a$$
— бесследовая эрмитова матрица, удовлетворяющая соотношению
$$S^2=1$$
(см. (1.1)), а ${\sigma }_a$ — матрицы Паули. Действительно, условие нулевой кривизны
$$\frac{\partial U}{\partial t}-\frac{\partial V}{\partial x}+|U,V|=0$$

с учетом (1.16) эквивалентно уравнению
$$\frac{\partial S}{\partial t}=\frac{1}{2i}[S,\frac{{\partial }^{2}S}{\partial x^2}]$$

которое, в свою очередь, эквивалентно исходному уравнению МГ. Отметим, что эквивалентность соотношений (1.14), (1.17) и (1.18) использует только условие (1.16) и остается справедливой и для матриц $S(x,t)$ произвольной размерности.