Уравнения движения модели имеют вид
\[
i \frac{d \psi_{n}}{d t}=2 \psi_{n}-\psi_{n-1}-\psi_{n+1}+x\left|\psi_{n}\right|^{2}\left(\psi_{n-1}+\psi_{n+1}\right)
\]
и в непрерывном пределе
\[
x=n \Delta, \quad \psi_{n} \cong \Delta \psi(x)
\]
очевидно переходят в уравнения движения модели НШ после замены $t \mapsto \Delta^{2} \cdot t$. Фазовое пространство модели образовано функциями $\psi_{n}, \bar{\psi}_{n}$ с определенными граничными условиями (например, периодическими или быстроубывающими). Пуассонова структура задается скобками Пуассона
\[
\begin{array}{c}
\left\{\psi_{n}, \psi_{m}\right\}=\left\{\bar{\psi}_{n}, \bar{\psi}_{m}\right\}=0, \\
\left\{\psi_{n}, \bar{\psi}_{m}\right\}=i\left(1-\chi\left|\psi_{n}\right|^{2}\right) \delta_{n m},
\end{array}
\]
и гамильтониан модели имеет вид
\[
H=\sum_{n}\left(-\psi_{n}\left(\bar{\psi}_{n+1}+\bar{\psi}_{n-1}\right)-\frac{2}{\%} \ln \left(1-\gamma\left|\psi_{n}\right|^{2}\right)\right),
\]
где суммирование ведется в соответствии с граничными условиями. При $x>0$ предполагается, что $\psi_{n}, \bar{\psi}_{n}$ меняются внутри круга
\[
\left|\psi_{n}\right|^{2} \leqslant 1 / x .
\]
Скобки Пуассона $\frac{1}{\Delta}\{$,$\} и гамильтониан \frac{1}{\Delta^{3}} H$ при $\Delta \rightarrow 0$ переходят в соответствующие выражения для модели НШI.
Симплектическая форма на $\mathbb{C}$, порожденная скобками Пуассона (2.68), имеет вид
\[
\omega=\frac{1}{i} \frac{d z \wedge \overline{d z}}{1-\varkappa|z|^{2}}
\]
и отличается как от канонической формы (2.48), так и от формы (2.47), порожденной формой площади на $\mathbb{S}^{2}$. Однако в теории представлений групп $S U(2)$ и $S U(1,1)$ встречаются формы
\[
\omega_{l}=\frac{d z \wedge \overline{d z}}{i\left(1-\%|z|^{2}\right)^{2+\cdots l}}, \quad l=0,1 / 2,1, \ldots
\]
заданные на сфере $\mathbb{S}^{2}$ при $x<0$ или на плоскости Лобачевского при $x>0$. Форма $\omega$ получается из $\omega_{l}$, если положить формально $l=-1 / 2$.
Модель РНШ 2 допускает представление нулевой кривизны с матрицами $L_{n}(t, \lambda)$ и $V_{n}(t, \lambda)$ вида
\[
\begin{array}{c}
L_{n}(\lambda)=\left(\begin{array}{cc}
\lambda & \sqrt{x} \bar{\psi}_{n} \\
\sqrt{\varkappa \psi_{n}} & \lambda^{-1}
\end{array}\right), \\
V_{n}(\lambda)=i\left(\begin{array}{cc}
1+x \bar{\psi}_{n} \psi_{n-1}-\lambda^{2} & \sqrt{x}\left(\frac{1}{\lambda} \bar{\psi}_{n-1}-\lambda \bar{\psi}_{n}\right) \\
\sqrt{\bar{x}}\left(\frac{1}{\lambda} \psi_{n}-\lambda \psi_{n-1}\right) & -1-\chi \psi_{n} \bar{\psi}_{n-1}+\lambda^{-2}
\end{array}\right) .
\end{array}
\]
Заменяя $t$ на $\Delta^{2} \cdot t$ и $\lambda$ на $e^{-i \lambda \Delta / 2}$, в непрерывном пределе отсюда получаем представление нулевой кривизны модели НШ.
Сравнивая уравнения движения (2.53) – (2.55) и (2.66) моделей $\mathrm{PHW}_{1}$ и РНШ⿰ ты отдать преимущество второй модели. Однако неочевидная симметрия модели РНШ , $_{1}$, связанная с действием группы $O(3)$ в ее фазовом пространстве, которое получается переносом естественного действия группы $O(3)$ в фазовом пространстве модели РМГ, показывает, что эта модель также естественна и интересна. В гл. III мы убедимся, что с гамильтоновой точки зрения она ближе к непрерывной модели НШ.
