Термин киральное поле используется в современной литературе для функции на пространстве-времени со значениями в нелинейном многообразии $M$. Фактически такие поля появляются в случае, когда $M$ является однородным пространством группы Ли $G$, которую мы будем считать компактной. Если $M=G$, то принято употреблять термин главное киральное поле.

Уравнения движения для главного кирального поля $g(x, t)$ имеют вид
\[
\frac{\partial^{2} g}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}=\frac{\partial g}{\partial t} g^{-1} \frac{\partial g}{\partial t}-\frac{\partial g}{\partial x} g^{-1} \frac{\partial g}{\partial x} .
\]

Их удобно переписать, используя в качестве независимых функций матрицы
\[
l_{0}(x, t)=\frac{\partial g}{\partial t} g^{-1}, \quad l_{1}(x, t)=\frac{\partial g}{\partial x} g^{-1} .
\]

Эти матрицы принадлежат алгебре Ли g группы $G$ и называются левыми токами поля $g(x, t)$. В терминах токов уравнения движения выглядят следующим образом:
\[
\frac{\partial l_{1}}{\partial t}-\frac{\partial l_{0}}{\partial x}+\left[l_{1}, l_{0}\right]=0, \quad \frac{\partial l_{0}}{\partial t}-\frac{\partial l_{1}}{\partial x}=0 .
\]

Первое из этих уравнений представляет собой условие нулевой кривизны и следует из определения (3.35), а второе – из уравнения (3.34).

Представление нулевой кривизны задается матрицами $U(x, t, \lambda)$ и $V(x, t, \lambda)$ с двумя простыми полюсами, которые, без ограничения общности, выберем лежащими в точках $\lambda= \pm 1$. Kалибровочный произвол фиксируется требованием исчезновения постоянных членов этих матриц. Тогда матрицы $U(x, t, \lambda)$ и $V(x, t, \lambda)$ имеют вид
\[
\begin{array}{l}
U(\lambda)=\frac{U_{+}}{1-\lambda}-\frac{U_{-}}{1+\lambda}, \\
V(\lambda)=\frac{V_{+}}{1-\lambda}-\frac{V_{-}}{1+\lambda},
\end{array}
\]

и релятивистски-инвариантная редукция приводит к условиям
\[
U_{+}=V_{+}, \quad U_{-}=-V_{-} .
\]

После этой редукции условие нулевой кривизны сводится к системе (3.36), если положить
\[
U_{+}=\frac{l_{0}+l_{1}}{2}, \quad U_{-}=\frac{l_{0}-l_{1}}{2} .
\]

Уравнения (3.36) являются уравнениями Эйлера – Лагранжа для функционала действня
\[
S(g)=\iint \operatorname{tr}\left(l_{1}^{2}-l_{0}^{2}\right) d x d t,
\]

где интегрирование по $x$ ведется в соответствии с граничными условиями, а по $t-$ в интервале $t_{1} \leqslant t \leqslant t_{2}$. Действие $S(g)$ имеет простое геометрическое происхождение. При отображении $g(x, t)$ форма Маурера – Қартана $\theta=d g \cdot g^{-1}$ имеет прообразом матричнозначную 1-форму $\Theta=l_{0} d t+l_{1} d x$. Локальное скалярное произведение таких форм задается формой Киллинга $t r$, а интеграл представляет собой скалярное произведение 1-форм по отношению к метрике Минковского на $\mathbb{R}^{2}$.

Уравнения движения киральных полей со значениями в однородных пространствах $M$ группы $G$ выглядят более сложно. Однако, как правило, они могут быть получены редукцией уравнений двнжения главных киральных полей.
Например, связь
\[
g=I-2 P
\]

где $P-$ проектор, $P^{2}=P$, или, что эквивалентно,
\[
g^{2}=I \text {, }
\]

совместна с уравнением (3.34). Параметризации проекторов $P$ дают различные примеры однородных пространств. Простейший пример соответствует матричной группе $G=S O(N)$ и одномерному проектору $P$ на единичный вектор $\vec{n}(x, t)$ в $\mathbb{R}^{N}$. Для этого вектора получаем уравнение
\[
\left(\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\right) \vec{n}+\left(\left(\frac{\partial \vec{n}}{\partial t}\right)^{2}-\left(\frac{\partial \vec{n}}{\partial x}\right)^{2}\right)^{2} \vec{n}=0 .
\]

Оно называется уравнением $\vec{n}$-поля (или нелинейной $\sigma$-модели) для единичной сферы $\mathbb{S}^{N-1}$ в $\mathbb{R}^{N}$, являющейся простейшим однородным пространством группы $G, \mathbb{S}^{N-1}=S O(N) / S O(N-1)$. (Более точно, при указанной редукции мы получаем модель $\vec{n}$ поля на проективном пространстве $\mathbb{R P}^{N-1}=\mathbb{S}^{N-1} / \mathbb{Z}_{2}$.)

Гамильтонова формулировка уравнений киральных полей и ее геометрическая интерпретация будут даны в § 5 .