Матрица перехода $T(x, y, \lambda)$ определяется как решение дифференциального уравнения (1.1) с начальным условием
\[
\left.T(x, y, \lambda)\right|_{x=y}=I
\]

и представляется в виде

так что
\[
\left.T(x, y, \lambda)\right|_{\lambda=0}=I .
\]

Матрица $T(x, y, \lambda)$ унимодулярна и является целой матрицейфункцией переменной $\lambda$. Из соотношения
\[
\bar{S}(x)=-\sigma_{2} S(x) \sigma_{2}
\]

вытекает свойство инволюции
\[
T(x, y, \lambda)=\sigma_{2} \bar{T}(x, y, \bar{\lambda}) \sigma_{2} .
\]

Имеет место формула связи
\[
T^{\mathrm{M \Gamma}}(x, y, \lambda)=\Omega^{-1}(x) T^{\mathrm{HII}}(x, y, \lambda) \Omega(y) .
\]

При $|x| \rightarrow \infty$ вспомогательная линейная задача (1.1) превращается в дифференциальное уравнение
\[
\frac{d E}{d x}=\frac{\lambda}{2 i} \sigma_{3} E
\]

которое решается явно:
\[
E(x, \lambda)=e^{\frac{i x}{y i} \sigma_{3}} .
\]

Решения Иоста $T_{ \pm}(x, \lambda)$ при вещественных $\lambda$ определяются как пределы
\[
T_{ \pm}(x, \lambda)=\lim _{y \rightarrow \pm \infty} T(x, y, \lambda) E(y, \lambda) .
\]

Матрицы $T_{ \pm}(x, \lambda)$ унимодулярны, удовлетворяют дифференциальному уравнению (1.1), соотношению инволюции
\[
\bar{T}_{ \pm}(x, \lambda)=\sigma_{2} T_{ \pm}(x, \lambda) \sigma_{2},
\]

обладают свойством
\[
\left.T_{ \pm}(x, \lambda)\right|_{\lambda=0}=I
\]

и при $x \rightarrow \pm \infty$ соответственно имеют асимптотики
\[
T_{ \pm}(x, \lambda)=E(x, \lambda)+o(1) .
\]

Альтернативно решения Иоста можно задать при помощи интегральных уравнений
\[
T_{-}(x, \lambda)=E(x, \lambda)+\frac{\lambda}{2 i} \int_{-\infty}^{x} E(x-y, \lambda)\left(S(y)-\sigma_{3}\right) T_{-}(y, \lambda) d y
\]

и
\[
T_{+}(x, \lambda)=E(x, \lambda)-\frac{\lambda}{2 i} \int_{x}^{\infty} E(x-y, \lambda)\left(S(y)-\sigma_{3}\right) T_{+}(y, \lambda) d y .
\]

При вещественных $\lambda$ эти уравнения являются вольтерровскими и итерации для них абсолютно сходятся. Анализируя эти итерации, убеждаемся, что матрицы $T_{ \pm}(x, \lambda)$ допускают представления
\[
T_{-}(x, \lambda)=E(x, \lambda)+\frac{\lambda}{2 i} \int_{-\infty}^{x} \Gamma_{-}(x, y) E(y, \lambda) d y
\]

и
\[
T_{+}(x, \lambda)=E(x, \lambda)+\frac{\lambda}{2 i} \int_{x}^{\infty} \Gamma_{+}(x, y) E(y, \lambda) d y .
\]

Подставляя эти интегральные представления в уравнение (1.1), получаем, что матрицы $\Gamma_{ \pm}(x, y)$ удовлетворяют задачам Гурса – дифференциальному уравнению в частных производных
\[
\frac{\partial \Gamma_{ \pm}}{\partial x}(x, y)+S(x) \frac{\partial \Gamma_{ \pm}}{\partial y} \sigma_{3}=0
\]

при $\pm(y-x)>0$ и граничным условиям
\[
\begin{array}{c}
\lim _{y \rightarrow \pm \infty} \Gamma_{ \pm}(x, y)=0, \\
\mp\left(\Gamma_{ \pm}(x, x)-S(x) \Gamma_{ \pm}(x, x) \sigma_{3}\right)=S(x)-\sigma_{3} .
\end{array}
\]

Имеют место формулы связи
\[
\begin{array}{l}
T_{-}^{M \Gamma}(x, \lambda)=\Omega^{-1}(x) T_{+}^{\mathrm{H}}(x, \lambda), \\
T_{+}^{\mathrm{M \Gamma}}(x, \lambda)=\Omega^{-1}(x) T_{-}^{\mathrm{H}}(x, \lambda) \Omega_{0}
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
\Gamma_{-}^{\mathrm{HU}}(x, y)=-\Omega(x) \frac{\partial \Gamma_{-}^{\mathrm{M \Gamma}}}{\partial y}(x, y) \sigma_{3}, \\
\Gamma_{+}^{\mathrm{HU}}(x, y)=-\Omega(x) \frac{\partial \Gamma_{+}^{\mathrm{M \Gamma}}}{\partial y}(x, y) \Omega_{3}^{-1} \sigma_{3} .
\end{array}
\]

Здесь матрица $\Omega(x)$ считается нормированной следующим образом:
\[
\lim _{x \rightarrow-\infty} \Omega(x)=I .
\]

Последнее условие вместе с уравнением (1.7) и условием антидиагональности матрицы $U_{0}(x)$ определяет $\Omega(x)$ однозначно. При этом имеем
\[
\lim _{x \rightarrow+\infty} \Omega(x)=\Omega_{0},
\]

где $\Omega_{0}$ – унитарная диагональная матрица. Соотношения (1.30) – (1.31) получаются из сопоставления интегральных представлений (1.23) – (1.24) и (I.5.10), (I.5.16) части I с использованием формул
\[
\begin{array}{l}
\Gamma_{-}(x, x)=\left(\Omega^{-1}(x)-I\right) \sigma_{3}, \\
\Gamma_{+}(x, x)=\left(I-\Omega^{-1}(x) \Omega_{0}\right) \sigma_{3},
\end{array}
\]

которые вытекают из сравнения пределов обеих частей равенств $(1.28)-(1.29)$ при $|\lambda| \rightarrow \infty$.

Отметим, что формулы (1.34) – (1.35) согласованы с граничными условиями (1.26)-(1.27), а соотношения (1.30)-(1.31) и дифференциальное уравнение (1.25) – дифференциальным

уравнением (I.8.15) из части I для ядер $\Gamma_{ \pm}^{\text {нш }}(x, y)$ (где следует положить $U_{ \pm}=0$ ).

Сопоставляя формулы (1.19) и (1.28), получаем представление для матрицы $\Omega(x)$ :
\[
\Omega(x)=\left.T_{\sim}^{\mathrm{HW}}(x, \lambda)\right|_{\lambda=0} .
\]

Из интегральных представлений (1.23)-(1.24) и формул (1.34)-(1.35) следуют аналитические свойства столбцов $T_{ \pm}^{(l)}(x, \lambda), l=1,2$, решений Иоста $T_{ \pm}(x, \lambda)$. Столбцы $T_{-}^{(1)}(x, \lambda)$ и $T_{+}^{(2)}(x, \lambda)$ аналитически продолжаются в верхнюю полуплоскость переменной $\lambda$, а столбцы $T_{+}^{(1)}(x, \lambda)$ и $T_{-}^{(2)}(x, \lambda)$ – в нижнюю полуплоскость со следующими асимптотиками при $|\lambda| \rightarrow \infty$ :
\[
\begin{array}{l}
e^{i \lambda x / s} T_{-}^{(1)}(x, \lambda)=\Omega^{-1}(x)\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right), \\
e^{-i \lambda x / 2} T_{+}^{(2)}(x, \lambda)=\Omega^{-1}(x) \Omega_{0}\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right)+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right)
\end{array}
\]

при $\operatorname{Im} \lambda \geqslant 0$ и
\[
\begin{array}{l}
e^{i \lambda x / 2} T_{+}^{(\mathrm{l})}(x, \lambda)=\Omega^{-1}(x) \Omega_{0}\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right)+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right), \\
e^{-i \lambda x / 2} T_{-}^{(2)}(x, \lambda)=\Omega^{-1}(x)\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right)+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right)
\end{array}
\]

при $\operatorname{Im} \lambda \leqslant 0$.