В ее основе лежит формула связи решений Йоста при вещественных $\lambda
eq 0$
\[
T_{-}(x, \lambda)=T_{+}(x, \lambda) T(\lambda),
\]
которая переписывается в виде
\[
F_{-}(x, \lambda)=F_{+}(x, \lambda) G(\lambda),
\]
где матрицы $F_{ \pm}(x, \lambda)$ составлены из столбцов решений $T_{ \pm}(x, \lambda)$ по формулам
\[
\begin{array}{c}
F_{+}(x, \lambda)=\frac{1}{a(\lambda)}\left(T_{-}^{\left(1^{2}\right.}(x, \lambda), T_{+}^{(2)}(x, \lambda)\right), \\
F_{-}(x, \lambda)=\left(T_{+}^{(1)}(x, \lambda), T_{-}^{(2)}(x, \lambda)\right),
\end{array}
\]
a
\[
G(\lambda)=\left(\begin{array}{cc}
1 & -\bar{b}(\lambda) \\
-b(\lambda) & 1
\end{array}\right) .
\]
Матрицы $F_{+}^{-1}(x, \lambda)$ и $F_{-}(x, \lambda)$ допускают аналитическое продолжение в полуплоскости $\operatorname{Im} \lambda>0$ и $\operatorname{Im} \lambda<0$ соответственно, однако в точках $\lambda=0$ и $\lambda=\infty$ они имеют существенные особенности (см. п. $1 \S 4$ ).
Вводя матрицы
\[
G_{+}(x, \lambda)=e^{\frac{k_{1} / \lambda \mid x}{l} \sigma_{3}} F_{+}^{-1}(x, \lambda)
\]
и
\[
G_{-}(\boldsymbol{x}, \lambda)=F_{-}(x, \lambda) e^{-\frac{k_{1}(\lambda) x}{t} \sigma_{3}},
\]
которые уже имеют конечные пределы при $\lambda \rightarrow 0$ и $|\lambda| \rightarrow \infty$ в соответствующих полуплоскостях, запишем соотношение (5.2) в виде
\[
G_{+}(x, \lambda) G_{-}(x, \lambda)=G(x, \lambda)
\]
где
$G(x, \lambda)=e^{\frac{k_{1}(\lambda) x}{i} \sigma_{3}} G(\lambda) e^{-\frac{\left.k_{1} \lambda\right) x}{l} \sigma_{3}}=$
\[
=\left(\begin{array}{cc}
1 & -e^{-\frac{i m}{2}\left(\lambda-\frac{1}{\lambda}\right) x} \bar{b}(\lambda) \\
-e^{\frac{i m}{2}\left(\lambda-\frac{1}{\lambda}\right) x_{b(\lambda)}} & 1
\end{array}\right) .
\]
Cоотношение (5.8) лежит в основе задачи Римана для модели SG. Прежде чем перейти к ее формулировке, перечислим свойства матриц $G(x, \lambda)$ и $G_{ \pm}(x, \lambda)$, вытекающие из результатов $\S 4$.
I. Матрица $G(x, \lambda)$ эрмитова
\[
G^{*}(x, \lambda)=G(x, \lambda),
\]
удовлетворяет инволюции
\[
\bar{G}(x,-\lambda)=G(x, \lambda)
\]
и условиям
\[
\begin{aligned}
\left.G(x, \lambda)\right|_{l=0}=I,\left.\quad \frac{\partial^{k} G(x, \lambda)}{\partial \lambda^{k}}\right|_{\lambda=0} & =0, \quad k=1,2, \ldots, \\
\lim _{|\lambda| \rightarrow \infty} G(x, \lambda) & =I,
\end{aligned}
\]
где предельные значения принимаются в смысле Шварца.
II. Матриць $G_{+}(x, \lambda)$ и $G_{-}(x, \lambda)$ допускают аналитическое продолжение в верхнюю и нижнюю полуплоскости соответствен-
но и удовлетворяют инволюция.и
\[
\begin{aligned}
G_{+}^{*}(x, \lambda) & =G_{-}(x, \bar{\lambda}), \\
\bar{G}_{+}(x,-\bar{\lambda}) & =i G_{+}(x, \lambda) \sigma_{1}, \\
\bar{G}_{-}(x,-\bar{\lambda}) & =-i \sigma_{1} G_{-}(x, \lambda) .
\end{aligned}
\]
III. $B$ своих областях аналитичности матрицы $G_{ \pm}(x, \lambda)$ имеют асилптотики
\[
\begin{array}{c}
G_{+}(x, \lambda)=\mathscr{E}^{\cdot 1} \Omega^{-1}(x)\left(I+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right)\right), \\
G_{-}(x, \lambda)=\Omega(x) \mathscr{E}\left(I+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right)\right)
\end{array}
\]
$n p u|\lambda| \rightarrow \infty u$
\[
\begin{array}{l}
G_{+}(x, \lambda)=\left(-\sigma_{3}\right)^{\mathscr{E}} \mathscr{E}^{-1} \Omega(x)(I+O(|\lambda|)), \\
G_{-}(x, \lambda)=\Omega^{-1}(x) \mathscr{E}\left(-\sigma_{3}\right)^{Q}(I+O(|\lambda|)) \\
\end{array}
\]
при $\lambda \rightarrow 0$, где
\[
\mathscr{E}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}
1 & i \\
i & 1
\end{array}\right) .
\]
IV. Матрицы $G_{+}(x, \lambda)$ и $G_{-}(x, \lambda)$ невырожденны в своих областях аналитичности, за исключением точек $\lambda_{2}=\lambda_{j} u \lambda=\bar{\lambda}_{j}$ соответственно, где
\[
\operatorname{Im} G_{+}\left(x, \lambda_{j}\right)=N_{j}^{(+)}(x),
\]
Ker $G_{-}\left(x, \bar{\lambda}_{j}\right)=N_{j}^{(-)}(x), \quad j=1, \ldots, n$.
Здесь $N_{j}^{(+)}(x)$ и $N_{j}^{(-)}(x)$-одномерные подпространства в $\mathbb{C}^{2}$, натянутые соответственно на векторы
\[
\left(-e^{\frac{i m}{2}\left(\lambda_{j}-\frac{1}{\lambda_{j}}\right) x_{\gamma_{j}}}\right) u\left(\begin{array}{c}
-\frac{i m}{2}\left(\bar{\lambda}_{j}-\frac{1}{\bar{\gamma}_{j}}\right) \bar{\gamma}_{j} \\
1
\end{array}\right) .
\]
Подпространства $N_{j}^{( \pm)}(x)$ удовлетворяют инволюциям
\[
\begin{array}{l}
\bar{N}_{j}^{( \pm)}(x)=N_{j}^{( \pm)}(x) \\
\bar{N}_{k+n_{z}}^{( \pm)}(x)=N_{k}^{( \pm)}(x)
\end{array}
\]
для $j=1, \ldots, n_{1} u$
для $k=n_{1}+1, \ldots, n_{1}+n_{2}$. Здесь черта означает операцию комплексного сопряжения в $\mathbb{C}^{2}$.
Отличие приведенных свойств I-IV от таковых для моделей НШ и МГ состоит в наличии двух точек нормировки: $\lambda=0$ и $\lambda=$ $=\infty$ (см. (5.17) – (5.20)) и дополнительной инволюции $\lambda \mapsto-\lambda$ (см. (5.11), (5.15) – (5.16), (5.24)-(5.25)).
Перейдем теперь к решению обратной задачи. Предположим, что нам заданы положительные параметры $m, \beta$, функции $b(\lambda)$, $\bar{b}(\lambda)$ и набор чисел $\lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}, \gamma_{j}, \bar{\gamma}_{j}, j=1, \ldots, n$, со следующими свойствами:
I’. Функция $b(\lambda)$ принадлежит пространству Шварца, исчезает при $\lambda=0$ вместе со всеми производными, удовлетворяет неравенству
\[
|b(\lambda)|<1
\]
и инволющии
\[
b(-\lambda)=\bar{b}(\lambda) .
\]
$\mathrm{II}^{\prime}$. Среди чисел $\lambda_{j}$ нет совпадающих, причем $\lambda_{j}=i \chi_{j}, \boldsymbol{x}_{j}>0$ для $j=1, \ldots, n_{1} u \lambda_{k+n_{2}}=-\bar{\lambda}_{k}, \operatorname{Im} \lambda_{k}, \operatorname{Re} \lambda_{k}>0, k=n_{1}+1, \ldots, n_{1}+n_{2}$, где $n=n_{1}+2 n_{2}$. При этом $\gamma_{j}=\gamma_{j}
eq 0, j=1, \ldots, n_{1}, u \gamma_{k+n_{2}}=\gamma_{k}
eq 0, k=$ $=n_{1}+1, \ldots, n_{1}+n_{2}$.
Построим по этим данным матрицу $G(x, \lambda)$, удовлетворяющую условиям I, и набор подпространств $N_{j}^{( \pm)}(x)$, удовлетворяющих (5.24)-(5.25). Задача Римана параметризуется переменной $x$ и выглядит следующим образом:
\[
G(x, \lambda)=G_{+}(x, \lambda) G_{-}(x, \lambda) .
\]
Здесь матрицы-функции $G_{ \pm}(x, \lambda)$ допускают аналитическое продолжение в области $\pm \operatorname{Im} \lambda \geqslant 0$, удовлетворяют там условиям (5.22) – (5.23) и в точках $\lambda=0$ и $\lambda=\infty$ нормированы согласни $(5.17)$ – (5.20), где $Q$ заменено на $n_{1}$, а $\Omega(x)$ – подлежащая определению непрерывная диагональная матрица-функция, причем
\[
\lim _{x \rightarrow-\infty} \Omega(x)=I .
\]
Таким образом, условия нормировки задачи Римана для модели SG нетривиальны: фиксируются не значения матриц-функций $G_{ \pm}(x, \lambda)$ в особых точках, а лишь оговаривается их матричная структура.
I\”. Сформулированная задача Римана однозначно разрешима.
II’. Матриць $F_{ \pm}(x, \lambda)$, построеннье по решениям $G_{ \pm}(x, \lambda)$ по формулам (5.6)-(5.7), удовлетворяют уравнению вспомогательной линейной задачи
\[
\begin{aligned}
\frac{d F_{ \pm}(x, \lambda)}{d x}=\frac{1}{4 i}\left(\beta \pi(x) \sigma_{3}\right. & +m\left(\lambda+\frac{1}{\lambda}\right) \sin \frac{\beta \varphi(x)}{2} \sigma_{1}+ \\
& \left.+m\left(\lambda-\frac{1}{\lambda}\right) \cos \frac{\beta \varphi(x)}{2} \sigma_{2}\right) F_{ \pm}(x, \lambda),
\end{aligned}
\]
где $\pi(x)$ и $\varphi(x)$-вещественнозначные функции, причем
\[
\Omega(x)=e^{\frac{i \rho \varphi x)}{4} \sigma_{3}} .
\]
III\”. Функции $\pi(x), \varphi(x)$ удовлетворяют быстроубывающим граничным условиям
\[
\lim _{|x| \rightarrow \infty} \pi(x)=0, \quad \lim _{x \rightarrow-\infty} \varphi(x)=0, \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} \varphi(x)=\frac{2 \pi}{\beta} Q,
\]
где $Q-$ целое число, $Q \equiv n_{1}(\bmod 2)$.
$\mathrm{IV}^{\prime \prime}$. Функции $a(\lambda)$ и $b(\lambda)$, где а $(\lambda)$ задается формулой (4.64), являются коэффициентами перехода вспомогательной линейной задачи (5.30); ее дискретный спектр состоит из значений $\lambda_{1}, \ldots$ $\ldots, \lambda_{n}, \bar{\lambda}_{1}, \ldots, \bar{\lambda}_{n}$ с коэффициентами перехода $\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{n} ; \bar{\gamma}_{1}, \ldots$ $\ldots, \bar{\gamma}_{n}$. Матрицы $F_{ \pm}(x, \lambda)$ составлены из решений Иоста $T_{ \pm}(x, \lambda)$ вспомогательной линейной задачи по формулам (5.3)-(5.4).
Прокомментируем доказательства этих утверждений.
Теорема единственности для задачи Римана доказывается при помощи теоремы Лиувиляя. Именно, пусть $G_{ \pm}(x, \lambda)$ и $\widetilde{G}_{ \pm}(x, \lambda)$ – два решения (5.28). При вещественных $\lambda$ имеем
\[
\Phi(x, \lambda)=G_{+}^{-1}(x, \lambda) \widetilde{G}_{+}(x, \lambda)=G_{-}(x, \lambda) \widetilde{G}_{-}^{-1}(x, \lambda) .
\]
Стандартным образом убеждаемся, что функция $\Phi(x, \lambda)$ не имеет особенностей при $\lambda=\lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}$ и поэтому является целой. Из (5.17) – (5.20) следует, что
\[
\left.\Phi(x, \lambda)\right|_{i=0}=\Omega^{-1}(x) \widetilde{\Omega}(x)
\]
и
\[
\left.\Phi(x, \lambda)\right|_{r=\infty}=\Omega(x) \widetilde{\Omega}^{-1}(x),
\]
откуда (теорема Лиувилля)
\[
\Phi(x, \lambda)=\Omega^{-1}(x) \widetilde{\Omega}(x)=\Omega(x) \widetilde{\Omega}^{-1}(x),
\]
T. e.
\[
\Omega^{2}(x)=\widetilde{\Omega}^{2}(x) .
\]
Используя (5.29) и диагональность, непрерывность и невырожденность матриц $\Omega(x), \widetilde{\Omega}(x)$, заключаем, что
\[
\Omega(x)=\widetilde{\Omega}(x),
\]
откуда
\[
G_{ \pm}(x, \lambda)=\widetilde{G}_{ \pm}(x, \lambda) .
\]
Отметим, что при доказательстве мы использовали условие (5.29), т. е. рассматривали сразу все семейство задач Римана (5.28), параметризованное переменной $x$. При фиксированном
$x$ задача Римана типа (5.28) очевидно имеет, наряду с $G_{ \pm}(x, \lambda)$, и решение $-G_{ \pm}(x, \lambda)$.
Для доказательства теоремы существования мы покажем, как наша задача Римана сводится к задаче Римана с единичной нормировкой при $\lambda=\infty$, изученной в § II. 2 части I.
Пусть матрицы $\hat{G}_{ \pm}(x, \lambda)$ дают решение следующей задачи Римана:
\[
G(x, \lambda)=\hat{G}_{+}(x, \lambda) \hat{G}_{-}(x, \lambda),
\]
где $G(x, \lambda)$ – матрица из задачи Римана (5.28) и
a) матрицы $\hat{G}_{ \pm}(x, \lambda)$ аналитически продолжаются в полуплоскости $\pm \operatorname{Im} \lambda \geqslant 0$ и нормированы на $I$ при $\lambda=\infty$
\[
\hat{G}_{ \pm}(x, \lambda)=I+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right) ;
\]
б) матрицы $\hat{G}_{ \pm}(x, \lambda)$ невырожденны всюду, за исключением точек $\lambda=\lambda_{j}$ и $\lambda=\bar{\lambda}_{j}$ соответственно, где
\[
\begin{aligned}
\operatorname{Im} \hat{G}_{+}\left(x, \lambda_{j}\right) & =N_{j}^{(+)}(x), \\
\operatorname{Ker} \hat{G}_{-}\left(x, \bar{\lambda}_{j}\right) & =N_{j}^{(-)}(x), \quad j=1, \ldots, n,
\end{aligned}
\]
а числа $\lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}$ и подпространства $N_{i}^{( \pm)}(x)$ взяты из задачи Римана (5.28).
В § II. 2 части I мы показали, что сформулированная задача Римана однозначно разрешима.
Введем матрицу $\Omega^{2}(x)$
\[
\Omega^{2}(x)=\mathscr{E}\left(-\sigma_{3}\right)^{n_{1}} \hat{G}_{+}(x, 0) \mathscr{E}^{-1}=\mathscr{E}\left(-\sigma_{3}\right)^{n_{1}} \hat{G}_{-}^{-1}(x, 0) \mathscr{E}^{-1}
\]
и убедимся, что она диагональна. Действительно, инволюции
\[
\hat{G}_{+}^{*}(x, \bar{\lambda})=\hat{G}_{-}(x, \lambda)
\]
и
\[
\overline{\hat{G}}_{ \pm}(x,-\bar{\lambda})=\hat{G}_{ \pm}(x, \lambda)
\]
вместе с условием
\[
\hat{G}_{+}(x, 0) \hat{G}_{-}(x, 0)=I
\]
означают, что матрица $\hat{G}_{+}(x, 0)$ унитарна и вещественна, т. е. ортогональна. Ее определитель дается формулой
\[
\operatorname{det} \hat{G}_{+}(x, 0)=a(0)=(-1)^{n_{1}},
\]
так что матрица ( $\left.-\sigma_{3}\right)^{n_{1}} \hat{G}_{+}(x, 0)$ унимодулярна, т. е.
\[
\left(-\sigma_{3}\right)^{n_{1}} \hat{G}_{+}(x, 0)=\left(\begin{array}{cc}
\cos \alpha(x) & -\sin \alpha(x) \\
\sin \alpha(x) & \cos \alpha(x)
\end{array}\right)
\]
и специальный вид матрицы $\mathscr{E}$ приводит к тому, что
\[
\Omega^{2}(x)=e^{l \alpha(x) \sigma_{z}} .
\]
Рассмотрим теперь асимптотику матрицы $\Omega^{2}(x)$ при $x \rightarrow-\infty$. Аналогично рассуждениям в § II. 2 части I можно показать, что
\[
\lim _{x \rightarrow-\infty} \hat{G}(x, \lambda)=\left(\begin{array}{c}
a(\lambda)-\frac{\bar{b}(\lambda)}{a(\lambda)} e^{-\frac{i m}{2}\left(\lambda-\frac{1}{\lambda}\right) x} \\
0
\end{array}\right),
\]
откуда, в частности, получаем
\[
\lim _{x \rightarrow-\infty} \hat{G}(x, 0)=\left(-\sigma_{3}\right)^{n_{1}},
\]
так что
\[
\lim _{x \rightarrow-\infty} \Omega^{2}(x)=I .
\]
Поэтому матрица $\Omega(x)$ однозначно определяется как непрерывный, диагональный квадратный корень из матрицы $\Omega^{2}(x)$, удовлетворяющий условию (5.29).
Теперь очевидно, что матрицы
\[
\begin{array}{l}
G_{+}(x, \lambda)=\hat{G}_{+}(x, \lambda) \mathscr{\mathscr { E } – 1} \Omega^{-1}(x), \\
G_{-}(x, \lambda)=\Omega(x) \mathscr{E} \hat{G}_{-}(x, \lambda)
\end{array}
\]
дают решение задачи Римана для модели SG в терминах задачи Римана со стандартной нормировкой.
Для вывода дифференциального уравнения вспомогательной линейной задачи из п. II\” перепишем задачу Римана (5.28) в виде (5.2) и продифференцируем его по $x$. Мы получим, что
\[
U(x, \lambda)=\frac{\partial F_{+}(x, \lambda)}{\partial x} F_{+}^{-1}(x, \lambda)=\frac{\partial F_{-}(x, \lambda)}{\partial x} F_{-}^{-1}(x, \lambda) .
\]
Стандартным образом заключаем отсюда, что $U(x, \lambda)$ является целой матрицей-функцией. Из (5.17)-(5.20) следует, что при $|\lambda| \rightarrow \infty$
\[
U(x, \lambda)=\frac{m \lambda}{4 i} \Omega(x) \sigma_{2} \Omega^{-1}(x)+C_{0}(x)+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right)
\]
и при $\lambda \rightarrow 0$
\[
U(x, \lambda)=-\frac{m}{4 i \lambda} \Omega^{-1}(x) \sigma_{2} \Omega(x)+\widetilde{C}_{0}(x)+O(|\lambda|) .
\]
Отсюда на основании теоремы Лиувилля заключаем, что
\[
U(x, \lambda)=C(x)+\frac{m \lambda}{4 i} \Omega(x) \sigma_{2} \Omega^{-1}(x)-\frac{m}{4 i \lambda} \Omega^{-1}(x) \sigma_{2} \dot{\Omega}(x),
\]
где
\[
C(x)=C_{0}(x)=\widetilde{C}_{0}(x) .
\]
Определим теперь матричную структуру матрицы $C(x)$. Из (5.10) – (5.11) и теоремы единственности получаем, что для решений $G_{ \pm}(x, \lambda)$ справедливы инволюции (5.14)-(5.15), откуда
\[
\begin{aligned}
U^{*}(x, \lambda) & =-U(x, \bar{\lambda}), \\
\vec{U}(x,-\bar{\lambda}) & =\sigma_{1} U(x, \lambda) \sigma_{1},
\end{aligned}
\]
так что
\[
C^{*}(x)=-C(x) \text {. }
\]
и
\[
\bar{C}(x)=\sigma_{1} C(x) \sigma_{1} .
\]
Это позволяет ввести вещественнозначную функцию $\pi(x)$ по формуле
\[
C(x)=\frac{\beta}{4 i} \pi(x) \sigma_{3} .
\]
Полагая $\varphi(x)=\frac{2}{\beta} \alpha(x)$, убеждаемся, что матрица $U(x, \lambda)$ принимает вид (5.30).
Доказательство утверждений п. III\”-IV\” проводится аналогично § II. 2 части I.
Как и в случае моделей НШ и МГ, временная динамика (4.73) коэффициентов перехода приводит к представлению нулевой кривизны модели SG. Это доказывает, что построенные по таким коэффициентам перехода функции $\varphi(x, t)$ и $\pi(x, t)=$ $=\frac{\partial \varphi}{\partial t}(x, t)$ удовлетворяют уравнению $\mathrm{SG}$.
