Здесь мы покажем, в каком смысле существование фундаментальных скобок Пуассона заменяет условие нулевой кривизны. Более точно, по заданной $r$-матрице и матрице $U(x, \lambda)$ мы построим набор матриц $V_{n}(x, \lambda)$, участвующих в представлении нулевой кривизны для высиих уравнений НІІ – уравнений движения, порожденных интегралами $I_{n}$. При этом, как и в $\$ 2$, мы ограничимся пока случаем квазипериодических граничных условий.
Рассмотрим производящие уравнения движения
\[
\frac{\partial \psi}{\partial t}=\left\{p_{L}(\mu), \psi\right\}, \quad \frac{\partial \bar{\psi}}{\partial t}=\left\{p_{L}(\mu), \bar{\psi}\right\}
\]

для всех высших уравнений НШ. Здесь
\[
p_{L}(\mu)=\arccos \frac{1}{2} F_{L}(\mu),
\]

а $\mu$ играет роль параметра. Покажем, что уравнение (3.1) эквивалентно условию нулевой кривизны
\[
\frac{\partial U}{\partial t}(x, \lambda)-\frac{\partial V}{\partial x}(x, \lambda, \mu)+[U(x, \lambda), V(x, \lambda, \mu)]=0,
\]

выполняющемуся при всех $\lambda$ (где мы, для сокращения записи, опустили зависимость от $t$ ), и дадим явное выражение для матрицы $V(x, \lambda, \mu)$.

Вычислим матрицу скобок Пуассона $\{T(x, y, \mu) \otimes, U(z, \lambda)\}$, где $-L<y<z<x<L$. По аналогии со вторым выводом формулы (1.20), используя (1.18), (1.36) и очевидное равенство
\[
\frac{\delta U_{a b}(z, \lambda)}{\delta U_{c d}\left(z^{\prime}, \lambda\right)}=\delta_{a c} \delta_{b d} \delta\left(z-z^{\prime}\right),
\]

где $\delta_{a b}$ – $\delta$-символ Кронекера, имеем выражение
\[
\begin{array}{l}
\{T(x, y, \mu) \otimes U(z, \lambda)\}=(T, x, z, \mu) \otimes I) \times \\
\quad \times[r(\mu-\lambda), U(z, \mu) \otimes I+I \otimes U(z, \lambda)](T(z, y, \mu) \otimes I) .
\end{array}
\]

В нем участвует матрица $4 \times 4$
\[
M(z, x, y ; \lambda, \mu)=(T(x, z, \mu) \otimes I) r(\mu-\lambda)(T(z, y, \mu) \otimes I),
\]

входящая в (3.5) посредством коммутатора с матрицей $I \otimes$ $\otimes U(z, \lambda)$. Для преобразования оставшихся слагаемых с матрицей $U(z, \mu) \otimes I$ в правой части (3.5) воспользуемся дифференциальными уравнениями (1.39) и (1.31) для $T(x, z, \mu)$ и $T(z, y, \mu)$ соответственно. Мы получим, что эти слагаемые дают выражение $\frac{\partial}{\partial z} M(z, x, y ; \lambda, \mu)$. Таким образом, окончательно имеем следующее равенство:
\[
\begin{array}{l}
\{T(x, y, \mu) \otimes(z, \lambda)\}= \\
=\frac{\partial}{\partial z} M(z, x, y ; \lambda, \mu)+[M(z, x, y ; \lambda, \mu), I \otimes U(z, \lambda)] .
\end{array}
\]

В дальнейшем, помимо обычного матричного следа $\operatorname{tr}$, мы будем также использовать операцию $\mathrm{tr}_{1}$ – матричный след по первому сомножителю в тензорном произведении $\mathbb{C}^{2} \otimes \mathbb{C}^{2}$. Она переводит матрицы в $\mathbb{C}^{2} \otimes \mathbb{C}^{2}$ в матрицы в $\mathbb{C}^{2}$ и определяется по линейности из соотношения
\[
\operatorname{tr}_{1}(A \otimes B)=\operatorname{tr} A \cdot B,
\]

где $A$ и $B$-матрицы в $\mathbb{C}^{2}$. Операция $\operatorname{tr}_{1}$ характеризуется свойствами
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{tr}_{1}(I \otimes A) X=A \cdot \operatorname{tr}_{1} X, \\
\operatorname{tr}_{1} X(I \otimes A)=\operatorname{tr}_{1} X \cdot A, \\
\operatorname{tr}_{1}(A \otimes I) X=\operatorname{tr}_{1} X(A \otimes I),
\end{array}
\]

где $A$ – матрица в $\mathbb{C}^{2}$, а $X$ – в $\mathbb{C}^{2} \otimes \mathbb{C}^{2}$.
Умножим теперь обе части равенства (3.7) справа на матрицу $Q(\theta) \otimes I$, возьмем след $\operatorname{tr}_{1}$ и перейдем к пределу при $x \rightarrow L$,

$y \rightarrow-L$. Используя свойства (3.9)-(3.10), получим соотношение
\[
\left\{F_{L}(\mu), U(x, \lambda)\right\}=\frac{\partial}{\partial x} \widetilde{V}(x, \lambda, \mu)+[\widetilde{V}(x, \lambda, \mu), U(x, \lambda)],
\]

где
\[
\widetilde{V}(x, \lambda, \mu)=\operatorname{tr}_{1}(M(x, L,-L ; \lambda, \mu)(Q(\theta) \otimes I))
\]

и мы заменили переменную $z$ на $x,-L \leqslant x \leqslant L$. При этом левая часть (3.12) представляет собой матрицу $2 \times 2$, составленную из скобок Пуассона функционала $F_{L}(\mu)$ с матричными элементами матрицы $U(x, \lambda)$.

Выражение для матрицы $\widetilde{
abla}(x, \lambda, \mu)$ можно упростить, используя явный вид матрицы $r(\lambda)$ – формулу (1.19). Имеем
\[
\begin{aligned}
\widetilde{V}(x, \lambda, \mu) & =\frac{\varkappa}{\lambda-\mu} \operatorname{tr}_{1}((T(L, x, \mu) \otimes I) P(T(x,-L, \mu) Q(\theta) \otimes I))= \\
& =\frac{\lambda}{\lambda-\mu} \operatorname{tr}_{1}(P(T(x,-L, \mu) Q(\theta) T(L, x, \mu) \otimes I))= \\
= & \frac{x}{\lambda-\mu} \operatorname{tr}_{1}((I \otimes T(x,-L, \mu) Q(\theta) T(L, x, \mu)) P)= \\
& =\frac{x}{\lambda-\mu} T(x,-L, \mu) Q(\theta) T(L, x, \mu) \cdot \operatorname{tr}_{1} P, \quad \text { (3.14) }
\end{aligned}
\]

где мы воспользовались свойствами (3.11), (1.10) и (3.9). Далее, из явного вида матрицы $P$ – формулы (1.11) – следует, что
\[
\operatorname{tr}_{1} P=I \text {, }
\]

откуда для матрицы $\mathscr{V}(x, \lambda, \mu)$ получаем представление
\[
\widetilde{V}(x, \lambda, \mu)=\frac{\lambda}{\lambda-\mu} T(x,-L, \mu) Q(\theta) T(L, x, \mu) .
\]

Покажем теперь, что матрица $\bar{V}(x, \lambda, \mu)$ удовлетворяет условию квазипериодичности
\[
\widetilde{V}(x+2 L, \lambda, \mu)=Q^{-1}(\theta) \widetilde{V}(x, \lambda, \mu) Q(\theta) .
\]

Следуя рассуждениям предыдущего параграфа, мы сравним матрицы $\tilde{V}(x, \lambda, \mu)$ при $x=L$ и $x=-L$. Имеем
\[
\widetilde{V}(L, \lambda, \mu)=\frac{\varkappa}{\lambda-\mu} T_{L}(\mu) Q(\theta)
\]

и
\[
\widetilde{V}(-L, \lambda, \mu)=\frac{x}{\lambda-\mu} Q(\theta) T_{L}(\mu),
\]

так что
\[
\tilde{V}(L, \lambda, \mu)=Q^{-1}(\theta) \widetilde{V}(-L, \lambda, \mu) Q(\theta) .
\]

Это равенство вместе с гладкостью матричных элементов матрицы $\mathscr{V}(x, \lambda, \mu)$ при $-L<x<L$ и обеспечивает возможность ее

продолжения на всю ось $-\infty<x<\infty$ с выполнением условия квазипериодичности (3.17).

Итак, мы убедились, что левая и правая части формулы (3.12) корректно определены для рассматриваемых граничных условий. Полученное равенство означает, что все коммутирующие потоки на фазовом пространстве $\mathscr{A}_{L, \theta}$, порожденные общими уравнениями движения
\[
\frac{\partial \psi}{\partial t}=\left\{F_{L}(\mu), \psi\right\}, \quad \frac{\partial \bar{\psi}}{\partial t}=\left\{F_{L}(\mu), \bar{\psi}\right\},
\]

или, что эквивалентно,
\[
\frac{\partial U(x, \lambda)}{\partial t}=\left\{F_{L}(\mu), U(x, \lambda)\right\},
\]

представляются в виде условия нулевой кривизны (3.3) с матрицей $\widetilde{\Gamma}(x, \lambda, \mu)$, задаваемой формулой (3.16). При этом наш вывод носил общий характер и был основан на фундаментальных скобках Пуассона.

Однако уравнения (3.22) являются нелокальными. Покажем теперь, как из полученных формул получаются представления, нулевой кривизны для потоков, порожденных локальными интегралами $I_{n}$ – высыих уравнений $Н Ш$.

Для этого воспользуемся представлением (I.4.5) для матрицы перехода
\[
T(x, y, \mu)=(I+W(x, \mu)) e^{Z(x, y, \mu)}(I+W(y, \mu))^{-1},
\]

где $W(x, \mu)$ и $Z(x, y, \mu)$ – соответственно антидиагональная и диагональная матрицы. Как отмечалось в § I.4, это раз.тожение носит асимптотический характер при больших вещественных $\mu$ и справедливо с точностью $O\left(|\mu|^{-\infty}\right)$, а матрицы $W(x, \mu)$ и $Z(x, y, \mu)+\frac{i \mu \sigma_{3}}{2}(x-y)$ представляют собой асимптотические ряды Тейлора по переменной $\mu^{-1}$. Поэтому все дальнейшие преобразования понимаются в асимптотическом смысле и получающиеся формулы справедливы с точностью $O\left(|\mu|^{-\infty}\right)$, что мы ниже не будем оговаривать явно.

Подставим теперь разложение (3.23) в формулу (3.16). Используя условие квазипериодичности
\[
W(x+2 L, \mu)=Q^{-1}(\theta) W(x, \mu) Q(\theta)
\]

и диагональность матрицы $Z(x, y, \mu)$, для $\hat{V}(x, \lambda, \mu)$ получаем представление
\[
\widetilde{V}(x, \lambda, \mu)=\frac{\chi(I+W(x, \mu)) e^{Z_{L^{(\mu)}} Q(\theta)(I+W(x, \mu))^{-1}}}{\lambda-\mu} .
\]

Заметим далее, что из (3.23) – (3.24) следует разложение
\[
T_{L}(\mu) Q(\theta)=(I+W(L, \mu)) e^{Z_{L}\left(\mu^{\prime}\right.} Q(\theta)(I+W(L, \mu))^{-1},
\]

что вместе с унимодулярностью матрицы $T_{L}(\mu) Q(\theta)$ и определением
\[
\operatorname{tr} T_{L}(\mu) Q(\theta)=2 \cos p_{L}(\mu)
\]

приводит к равенству
\[
e^{Z_{L}(\mu)} Q(\theta)=\cos p_{L}(\mu) I+i \sin p_{L}(\mu) \sigma_{3} .
\]

Подставляя это в (3.25), получаем
\[
\begin{aligned}
\widetilde{V}(x, \lambda, \mu) & =\frac{\varkappa}{\lambda-\mu} \cos p_{L}(\mu) I+ \\
& +\frac{i \varkappa}{\lambda-\mu} \sin p_{L}(\mu)(I+W(x, \mu)) \sigma_{3}(I+W(x, \mu))^{-\mathbf{1}} .
\end{aligned}
\]

Теперь обратим внимание, что первое слагаемое в (3.29) не зависит от $x$ и пропорционально единичной матрице. Поэтому оно не дает вклада в правую часть (3.12) и его можно опустить. Таким образом, получаем искомое представление для матрицы $\widetilde{V}(x, \lambda, \mu)$ :
\[
\tilde{V}(x, \lambda, \mu)=-2 \sin p_{L}(\mu) V(x, \lambda, \mu),
\]

где
\[
V(x, \lambda, \mu)=\frac{x}{2 i(\lambda-\mu)}(I+W(x, \mu)) \sigma_{3}(I+W(x, \mu))^{-1} .
\]

После этих преобразований вернемся к задаче о получении представления нулевой кривизны для уравнений (3.1), или, что эквивалентно, для уравнения
\[
\frac{\partial U(x, \lambda)}{\partial t}=\left\{p_{L}(\mu), U(x, \lambda)\right\} .
\]

Используя элементарную формулу
\[
\frac{d}{d t} \arccos f(t)=-\frac{1}{\sqrt{1-f^{2}(t)}} \frac{d f(t)}{d t}
\]

и равенства (3.12), (3.30), убеждаемся в справедливости формулы
\[
\left\{p_{L}(\mu), U(x, \lambda)\right\}=\frac{\partial V(x, \lambda, \mu)}{\partial x}+[V(x, \lambda, \mu), U(x, \lambda)] .
\]

Отсюда получаем, что уравнение (3.32) допускает представление нулевой кривизны, понимаемое в асимптотическом смысле с точностью $O\left(|\mu|^{-\infty}\right)$.

Матрица $V(x, \lambda, \mu)$ представляет собой производящую функцию для матриц $V_{n}(x, \lambda)$, участвующих в представлении нулевой кривизны для высших уравнений НШ. Действительно, в § I. 4

мы показали, что матрица $W(x, \mu)$ допускает асимптотическое разложение вида
\[
W(x, \mu)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{W_{n}(x)}{\mu^{n}}+O\left(|\mu|^{-\infty}\right),
\]

где коэффициенты $W_{n}(x)$ являются полиномами от $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ и их производных в точке $x$. Подставляя это разложение в (3.31) и раскладывая знаменатель $\frac{1}{\lambda-\mu}$ в геометрическую прогрессию, приходим к разложению
\[
V(x, \lambda, \mu)=x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{V_{n}(x, \lambda)}{\mu^{n}}+O\left(|\mu|^{-\infty}\right),
\]

где коэффициенты $V_{n}(x, \lambda)$ явно вычисляются. Первые из них имеют вид $V_{1}=\frac{i}{2} \sigma_{3}, V_{2}(x, \lambda)=-U(x, \lambda)$, а $V_{3}(x, \lambda)$ совпадает с матрицей $V(x, \lambda)$ из $\S$ I. 2 (см. (I.2.6) – (I.2.8)).

Сравнивая разложение (3.36) с (2.27), получаем, что все высшие уравнения НШ
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \psi}{\partial t}=\left\{I_{n}, \psi\right\}, \\
\frac{\partial \bar{\psi}}{\partial t}=\left\{I_{n}, \bar{\psi}\right\}, \quad n=1,2, \ldots ;
\end{array}
\]

допускают представления нулевой кривизны с матрицами $U(x, \lambda)$ и $V_{n}(x, \lambda)$. Матричные элементы матриц $V_{n}(x, \lambda)$ являются полиномами от $\lambda, \psi(x), \bar{\psi}(x)$ и их производных в точке $x$, причем их степень по $\lambda$ есть $n-1$. При этом в соответствующем условии нулевой кривизны будет участвовать полином степени $n$ іго $\lambda$; коэффициенты его при степенях $\lambda, \ldots, \lambda^{n}$ исчезают тождественно, а исчезновение постоянного члена эквивалентно $n$-му уравнению НШ.

Итак, мы показали, что фундаментальные скобки Пуассона заменяют представление нулевой кривизны. Закончим этот параграф следующим общим замечанием.

Условие нулевой кривизны, представляющее собой фундаментальный факт метода обратной задачи, выглядит несколько мистически и появляется в § I. 2 лишь как замечательное вычислительное наблюдение. Гамильтонов подход, основанный на понятии $r$-матрицы и фундаментальных скобках Пуассона, дает этому наблюдению естественное объяснение. Однако, в свою очередь, можно сказать, что пока непонятен внутренний смысл метода $r$-матрицы. Тем не менее мы надеемся, что к концу книги в части II мы объясним его естественность, исходя из фундаментальных ли-алгебраических соображений.