1) Интерпретация отображенчя $\mathscr{F}$ как канонического преобразования к переменным типа действие – угол впервые была предложена в работе [3.19] на примере уравнения Кортевега – де Фриза. Именно там был вычислен образ симплектической формы $\Omega$ при отображении $\mathscr{F}^{-1}$, задаваемом обратной задачей для одномерного оператора Шредингера, и приведены канонические переменные типа действие – угол. Аналогичное вычисление для модели НШ в быстроубывающем случае при $\varepsilon=1$ было проведено в работе [3.43].
А.тьтернативная программа для пересчета скобок Пуассона для моделей КдФ и НШ впервые была проведена в работе [3.20] (см. также монографию [3.21]). В случае модели НШ с граничными условиями конечной плотности изложенные в § 9 тонкости, связанные с корректной формой скобок Пуассона, в этой работе не были отмечены.

В указанных работах при пересчете как симплектической, так и пуассоновой структур важную роль играют тождества для решений вспомогательной линейной задачи, позволяющие явно вычислять встречающиеся интегралы. Эти тождества представляют собой выражение некоторых специальных однородных форм четвертой степени от решений в виде полных производных. Сам факт существования таких формул для разных моделей является своего рода вычислительным «чудом». Классическая $r$-матрица дает этому рациональное объяснение (см. комментарий 3)).
2) Впервые понятие $r$-матрицы появилось в квантовом варианте метода обратной задачи в работах [3.40-3.41], [3.44], [3.53]. Большое влияние на эти работы оказали результаты Р. Бакстера по точно решаемым моделям статистической физики [3.48] (см. также монографию [3.49]). Понятие $r$-матрицы в той форме, в которой оно используется в этой книге, появилось в работе E. K. Склянина [3.66], посвященной модели Ландау – Лифшица (см. часть II), в результате естественного квазиклассического предельного перехода из квантовой задачи. После этого фундаментальная роль $r$-матрицы в классическом методе обратной задачи стала общепризнанной (см. обзоры [3.22], (3.30], [3.60]).

Рассмотрение быстроубывающего случая модели НШ на основании $r$-матричного подхода было осуществлено в работе [3.42].
3) Простой вывод в § 1 глобального соотношения (1.20) из инфинитезимального (1.18) является одним из основных формальных достижений метода $r$-матрицы. Первый вариант доказательства формулы (1.20) повторяет соответствующие рассуждения в квантовом случае (см., например, [3.44]). Второй способ вывода формулы (1.20) был приведен в работе [3.58]. Утверждение, что подынтегральное выражение в (1.38) является полной производной, представляет собой абстрактную форму упоминавшихся в комментарии 1) тождеств.
4) Роль уравнений (1.40)-(1.41) для задания пуассоновой структуры отмечалась в работах [3.2-3.3] и [3.30]. Уравнение (1.40), по аналогии с квантовым случаем, называют «классическим условием унитарности», а уравнение (1.41) – «классическим уравнением Янга – Бакстера» или «классическим уравнением треугольников». В квантовом случае термин «уравнение Янга -Бакстера» был введен в работе [3.44]. Подробнее об истории этих названий можно прочесть в обзоре [3.30]. Фундаментальная роль, которую играют решения уравнений (1.40)-(1.41) в построении интегрируемых моделей, будет объяснена в части II.
5) С теоремой Лиувилля – Арнольда и, вообще, с гамильтоновой механикой для систем с конечным числом степеней свободы можно ознакомиться

по учебникам
В. И. Арнольда
[3.1],
Б. А. Дубровина, С. П. Новнкова и А. Т. Фоменко [3.16] и Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [3.32]. При этом в первой книге используется симплектическая структура, в то время как в двух других за основу взята пуассонова структура.
6) Рассмотрение квазипериодического случая модели НШ требует особого подхода, основанного на изучении поведения решений вспомогательной линейной задачи на римановой поверхности $\Gamma$ функции
\[
y^{2}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{\lambda}{E_{n}}\right) .
\]

Здесь $E_{n}$ – границы разешенных и запрещенных зон в спектре соответствующего оператора $\mathscr{L}$, определяемые из уравнения
\[
p_{L}\left(E_{n}\right)= \pm 2 .
\]

В случае, когда число зон конечно, уравнение (10.1) определяет гиперэллиттическую кривую; функции $\psi(x), \bar{\psi}(x)$, участвующие в соответствующей вспомогательной лннейной задаче, называются конечнозонными. Они допускают явные выражения через тэта-функции Римана кривой Г. Альтернативно конетнозонные функции $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ могут быть определены как стационариые (т. е. не зависящие от $t$ ) решения высших уравнений НШ
\[
\sum_{n} c_{n} \frac{\delta I_{n}}{\delta \psi(x)}=\sum_{n} c_{n} \frac{\delta I_{n}}{\delta \bar{\psi}(x)}=0 .
\]

Эти уравнения прннято называть уравнениями Новикова.
Қласс конечнозонных начальных данных инвариантен по отношению к динамике модели НШ, которая становится линейной на многообразни Якоби (якобиане) кривой $\Gamma$. Конечнозонные функции $\psi(x)$, $\psi(x)$ плотны в множестве всех квазипериодических функций. При $L \rightarrow \infty$ конечнозонные решения уравнения НШ переходят в многосолитонные.

Теория конечнозониы решений нелинейных эволюционных уравнений (с одной пространственной переменной) берет свое начало от работы С. П. Новнкова [3.37]. Как теория конечнозонного интегрирования она оформилась в работах Б. А. Дубровниа и С. П. Новикова [3.14], А. Р. Итса и В. Б. Матвеева [3.23], П. Лакса [3.61], Г. Маккина и П. ван Мербеке [3.63] и В. А. Марченко [3.35], посвященных уравиению КдФ. Алгебро-геометрический подход к интегрированию нелинейных эволюционных уравнений с двумя пространственными переменными, основанный на аксиоматике так называемой функции Бейкера – Ахіезера, был развит И. М. Кричевером в работе [3.27]. Этот подход оказался весьма плодотворным также и для случая уравнений с одной пространственной переменной. С современным состоянием в теории конечнозонного интегрирования можно ознакомиться по обзорам [3.15], [3.17], [3.27] и монографиям [3.21], [3.34], [3.36].

Явные формулы для конечнозонных решений уравнения НШ впервые были получены в работах [3.24-3.26].

Построению канонических переменных типа действие – угол для уравнения КдФ в пернодическом случае посвящены работы [3.6] и [3.55]. Переменными типа действие являются $A$-периоды формы $p_{L}(\lambda) d(\lambda)$ на кривой $\Gamma$, а сопряженными к ним углами являются коорднаты на якобиане. С последним обстоятельством связана малая эффективность построения этих переменных в общем бесконечнозонном случае, которому посвящены работы[3.33] и [3.64]. Случай модели НШ разбирается в работе [3.18] (по сравнению с уравнением КдФ здесь возникает нетривиальная проблема вещественности; см. работы [3.18] и [3.38]).

На многообразии конечнозонных функций $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ имеется еще одна естественная пуассонова структура, порожденная вариационным исчислением. На примере уравнения КдФ она впервые была введена в работе С. П. Новикова [3.37]. Построению канонических переменных типа действие – угол для этих скобок Пуассона и их связи с исходными скобками Пуассона для уравнений КэФ и НШ посвящены рабсты [3.4-3.6], [3.8-3.9], [3.18] и [3.47]. Анализ пуассоновых структур на многообразии конечнозонных решений привел к появтению в теорип конечномерных интегрируемых систем общего понятия – алгебро-геометрических (или аналитических) скобок Пуассона [3.7].

Мы намеренно привели в этом комментарии большое количество ссылок па оригинальные работы и обзоры по интегрируемым моделям с периодическими граничными условиями для того, чтобы лучше орнентировать читателя в этой области, которая практически не была затронута в основном тексте.
7) Вывод представления нулевой кривизны из $r$-матричной записи скобок Пуассона для быстроубывающего случая модели НШ был приведен в работе [3.42], Наше изложение следует работе [3.45].
8) Понятие $\Lambda$-оператора для одномерного уравнения Шредингера
\[
-\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+u(x) y=\lambda y
\]

имеет болышую историю. Так, дифференциальный оператор третьего порядка
\[
\Lambda=-\frac{1}{4} \frac{d^{3}}{d x^{3}}+u(x) \frac{d}{d x}+\frac{1}{2} \frac{d u(x)}{d x},
\]

обладаюций свойством
\[
\Lambda\left(y_{1} y_{2}\right)=\lambda \frac{d}{d x}\left(y_{1} y_{2}\right)
\]

Для любых двух решений уравнения (10.4), встречается еще у Эрмита [3.57]. В формализме метода обратной задачи для уравнения КдФ оператор $\Lambda$ впервые использовался в работах [3.23], [3.56] и [3.63], в которых отмечалась компактная формула записи высших уравнений КдФ
\[
\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x} \frac{\delta I_{n}}{\delta u(x)}=2 \frac{\partial}{\partial x}\left(2 d^{-1} \Lambda\right)^{n-1} u_{0},
\]

где $u_{0}(x)=1$ при всех $x$. (Сравни формулы (10.7) и (5.28).)
Дія модели НШ в быстроубывающем случае оператор $\Lambda$ был впервые введен в работе [3.46] как оператор, для которого квадраты решений Иоста уравнения вспомогательной линейной задачи являются собственными. Более точно, выполняется раценство
\[
\Lambda F(x, \lambda)=\lambda F(x, \lambda),
\]

где
\[
F(x, \lambda)=\left(\begin{array}{cc}
0 & f_{1}^{2}(x, \lambda) \\
f_{2}^{2}(x, \lambda) & 0
\end{array}\right),
\]

а $f_{1,2}(x, \lambda)$ – компоненты столбцов решений Иоста $T_{ \pm}(x, \lambda)$. Теорема разложения по функциям $F(x, \lambda)$ была доказана в работах [3.12-3.13] и [3.59].

Для общего линейного дифференциального оператора первого порядка с матричными коэффициентами $\Lambda$-оператор был введен в работе [3.65]. Oператор $\Lambda$ возникал и в работах [3.50-3.51] как средство для компактной записи нелинейных эволюционных уравнений. В этих работах также было дано пбобщение $\Lambda$-оператора для произведения решений двух вспомогателыны линейных задач.

9) В работе [3.62] было показано, что уравнения КдФ и НШ являются гамильтоновыми по отношению к двум гамильтоновым структурам. В быстроубывающем случае в [3.62] с помощью $\Lambda$-оператора была построена бесконечная последовательность гамильтоновых векторных полей, инволютивных по отношению к этим двум скобкам Пуассона. В работе [3.29] этот результат анализировался с точки зрения метода обратной задачи. На примерах уравнений КдФ и НШ в быстроубывающем случае в этой работе была построена иерархия симплектических структур, связанных с $\Lambda$-оператором, и было показано, что в канонических переменных типа действие — угол применение оператора $\Lambda$ по существу сводится к умножению на спектральный параметр $\lambda$. В обзорной статье [3.31] оператор $\Lambda$ и его гамильтонова интерпретация приведены для других интегрируемых нелинейных уравнений.

Также следует отметить работы $[3.10-3.11]$, посвященные изложению абстрактного гамильтонова формализма с двумя согласованными скобками Пуассона. В качестве примера в этих работах рассматриваются нелинейные эволюционные уравнения, допускающие представление Лакса. Показано, что если $\Lambda$-оператор является отношением операторов Якоби двух согласованных пуассоновых структур, то эти операторы Якоби имеют нулевую скобку Нейенхейса, известную из дифференциальной геометрии.
10) Приведенная в $\$ 6$ и 9 процедура вычисления скобок Пуассона коэффициентов перехода является одним из методологических достижений $r$-матричного подхода. В ее основе лежит выражение (1.20) для скобок Пуассона матрицы перехода $T(x, y, \lambda)$, которое не зависит от граничных условий. Они учитываются лишь в предельных переходах $x, y \rightarrow \pm \infty$ и их специфика проявляется в виде осшилтирующих матричных множителей типа $E(y, z)$, на которые следует сократить матрицу $T(x, y, \lambda)$.

Впервые такой способ вычисления был проведен для квантовой модели HII в обзоре [3.53 ] н применен к классическому случаю в работе [3.42].

Отметим фундаментальную роль скобки Пуассона (6.22) для коэффициентов перехода $a(\lambda)$ и $b(\mu)$. Именно, запишем эту формулу в виде
\[
\{\ln a(\lambda), b(\mu)\}=\frac{\varkappa}{\lambda-\mu} b(\mu)
\]

и разяожим обе части ее по обратным степеням $\lambda$. Поскольку фуккция $\frac{1}{i} \ln a(\lambda)$ является произвсдящей для локальных иитегралов ввижения $I_{n}$, отсюда получаем
\[
\left\{I_{n}, b(\mu)\right\}=-i \mu^{n-1} b(\mu) .
\]

Эти формулы определяют временную динамику функции $b(\mu)$ по высшим уравнениям НШ: для $n$-го уравнения НШ
\[
\frac{\partial b}{\partial t}(\mu)=\left\{I_{n}, b(\mu)\right\}
\]

из (10.11) имеем
\[
b(\mu, t)=e^{-i \mu^{n-1} t} b(\mu) .
\]

Это наблюдение легло в основу переноса метода обратной задачи на квантовый случай в работе [3.39].
11) Использованные в $\$ 7$ формулы (7.45)-(7.46) были доказаны в $\S$ II. 2 лишь для случая, когда функции $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ принадлежат $L_{1}(-\infty, \infty)$. Однако легко убедиться, что для шварцевских функций $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ предельные значения в указанных формулах принимаются в смысле Шварца.
12) Для быстроубывающего случая модели НШ канонические переменные типа действие – угол были введены в работе [3.43] для $\varepsilon=1$ и в работе [3.20] для $\varepsilon= \pm 1$.

13) Қак указывалось в § 7, описание образа алгебры наблюдаемых на фазовом пространстве $\mathscr{H}_{0}$ при отображении $\mathscr{F}$ даже в простейшем случае $\varepsilon=1$ представляет собой трудную задачу. Возможно, что рассмотрение в качестве наблюдаемых только вещественно-аналитических функционалов (с вариационными производными из пространства Шварца) является слишком ограншчительным. Одним из альтернативных вариантов условий на допустимые функционалы является подходящее обобщение понятия шварцевских функций на функционалы $F(\psi, \bar{\psi})$. Строгое исследование этой проблемы представляет интересную задачу глобального анализа.
14) Фазовое пространство $\mathscr{M}_{0}$ очевидным образом является связным. С другой стороны, в случае $\varepsilon=-1$ часть $\mathscr{M}_{0}$, выделяемая условием (А),подмногообразие $\tilde{\mathscr{H}_{0}}$ – распадается на компоненты
\[
\widetilde{\mathscr{M}_{0}}=\bigcup_{n=0}^{\infty} \mathfrak{M}_{n}
\]

и поэтому несвязно. Дело в том, что условие (A) запрещает выход нулей $\lambda_{j}$ на вещественную ось и появление кратных нулей. Разумным образом пополненные $\mathfrak{M}_{n}$ должны пересекаться в $\mathscr{M}_{0}$ именно по этим (вещественным или кратным) нулям. Задача введения глобальной топологии в $\mathscr{K}_{0}$ и, в частности, корректное определение «листов» $\mathfrak{M}_{n}$ не решена и представляется нам весьма интересной.

В то же время подчеркнем еще раз, что $\tilde{\mathscr{M}}_{0}$ открыто и плотно в $\mathscr{M}_{0}$ и его вполне хватает для описания динамики модели НШІ. В частности, для солитонных решений кратные и вещественные нули можно получить надлежащим предельным переходом в явных формулах.
15) Перенос иерархии пуассоновых структур на алгебру наблюдаемых в координатах $\rho(\lambda), \varphi(\lambda) ; \rho_{j}, \varphi_{j}, p_{j}, q_{j}$, обсуждавшийся в конце $\S 7$, можно осуществить и непосредственно, используя свойство (10.8) оператора $\Lambda$. Для моделей КдФ и НШ соответствующие вычисления (в терминах симплектических, а не пуассоновых структур) были проведены в работе [3.29].
16) Гамильтонова интерпретация рассеяния солитонов в быстроубывающем стучае, изложенная в § 8, впервые была дана в работе [3.28] и использовалась там для квазиклассического квантования. В частности, выражение $e^{i \kappa\left(r_{1}, \ldots, p_{n} ; \rho_{1}, \ldots, \rho_{n}\right)}$ является квазиклассическим приближением матрицы рассеяния $n$ квантовых солитонов.
17) В высшей стегени желательным является построение матричного аналога процедуры сгущения нулей, приведенной в §8 для скалярной задачи Римана. Более точно, речь идет о получении решений регулярной задачи Римана из $\S$ II.1-II. 2 с матрицей $G(\lambda)$ вида
\[
G(\lambda)=\left(\begin{array}{cc}
1 & -\bar{b}(\lambda) \\
-b(\hat{\lambda}) & 1
\end{array}\right),
\]

как соответствующих пределов при $n \rightarrow \infty$ решений тривиальной задачи Римана с $n$ нулями. Сложной является задача описания сгущения проекторов $P_{j}$, участвующих в построении соответствующих матричных множителей Бляшке – Потапова.

Решение этой задачи позволило бы получить асимптотику общего решения $\psi(x, t)$ уравнения НШ при $t \rightarrow \pm \infty$ сгущением явных формул для $n$-солитонного случая из $\S$ II. 5 .
18) Наивные скобки Пуассона (9.40) для модели НШ в случае конечной плотности были предъявлены в работах [3.20] и [3.28]. Процедура построения корректных скобок Пуассона актуальна также и для уравнения КдФ (см. работу [3.54]), и для модели Тода (см. часть II). Вообще, подобная модификация скобок Пуассона возникает каждый раз, когда непрерывный спектр вспомогательной линейной задачи не заполняет всю ось (т. е. имеет лакуны).

19) Корректные скобки Пуассона (9.57) – (9.59) можно интерпретировать как скобки Пуассона – Дирака, порожденные наивными скобками Пуассона (9.40) и связями
\[
\theta=c_{1}, \quad \varphi(\omega)+\varphi(-\omega)=c_{2},
\]

где $c_{1}, c_{2}$ – произвольные константы.
Напомним определєние этих скобок для системы с конечным числом степеней свободы, описываемой каноническими координатами $p_{j}, q_{j}$ :

и связями
\[
\left\{p_{j}, q_{l}\right\}=\delta_{j l}, \quad i, l=1, \ldots, n,
\]
\[
\Phi_{k}(p, q)=c_{k}, \quad k=1, \ldots, m, m<n .
\]

В случае, когда матрица $M$ скобок Пуассона
\[
M_{i j}=\left\{\Phi_{i}, \Phi_{j}\right\}, \quad i, j=1, \ldots, m,
\]

невырожденна, скобки Пуассона – Дирака имеют вид
\[
\left\{f, g_{j *}^{\prime}=\{f, g\}+\sum_{i, j=1}^{m}\left\{f, \Phi_{i}\right\} M^{i j}\left\{g, \Phi_{j}\right\},\right.
\]

где $M^{i j}$ – матричные элементы матрицы, обратной к $M$ (см. [3.52]).
Скобки Пуассона (9.57) – (9.59) получаются формальным распространением формулы (10.20) на наш бесконечномерный случай.
20) Задача опнсания алгебры наблюдаемых и топологии фазового пространства $\mathscr{K}_{\rho, \theta}$ в коордннатах $\rho(\lambda), \varphi(\lambda), p_{j}, q_{j}$ еще сложнее, чем в быстроубывающем случае, и в литературе не рассматривалась.
21) Интерпретация ветвей спектра возбуждений для случая конечной плотности впервые была предложена в работе [3.28]. Использованиый нами сдвиг импульса $P_{\mapsto} \rightarrow P_{\rho}=P-\rho^{2} \theta$ также был введен в этой работе.