Задача Римана о факторизации матриц-функций играла важную роль в нашей книге. Во-первых, она использовалась для решения обратной задачи – обращения отображения $\mathscr{F}$ (см. § II. $1-3$, § II. 6 части I и § II.2, II.5) и, тем самым, была составной частью метода решения начальной задачи для рассматриваемых нелинейных уравнений. В частности, дредставление нулевой кривизны дия этих уравнений вытекало из формализма задачи Римана. Во-вторых, в § I. 6 с ее помощью мы описали метод нахождения широкого класса частных решений общего уравнения нулевой кривизны – процедуру одевания. В этом параграфе мы рассмотрим метод решения начальной задачи для интегрируемых нелинейных уравнений и процедуру одевания с общей точки зрения. Именно, мы изложим геометрическую схему, порождающую гамильтоновы уравнения, имеющие богатый набор инволютивных интегралов движения и допускающие представление нулевой кривизны. В ней свое естественное место найдет и процедура одевания. Основную роль в этой схеме будет играть введенная в $\$ 1$ бесконечномерная алгебра Ли $\mathscr{C}((\mathfrak{g}))$ с двумя коммутаторами $[$,$] и [$,$] , и ее центральное расши-$ рение.

Построение геометрической схемы мы разобьем на несколько этапов. Сначала в п. 1 мы рассмотрим модельную ситуацию, отправляясь от конечномерной алгебры Ли g. На ее примере будут введены основные приемы геометрического подхода к построению интегрируемых уравнений и их решений при помощи задачи факторизации в группе Ли $G$. Затем в п. 2 мы заменим алгебру Ли $\mathfrak{g}$ на бесконечномерную алгебру Ли $\mathscr{C}(\mathfrak{g})$ – алгебру Ли функций от $x$ со значениями в $g$ и ее центральное расширение. Там естественным образом появятся представление нулевой кривизны и матрица монодромии вспомогательной линейной задачи. Окончательная схема в п. 3 получается при замене алгебры Ли g из п. 2 на алгебру токов $C(\mathfrak{g})$, приводящей к алгебре Ли $\mathscr{C}((g))$. Таким образом, порядок введения переменных $x$ и $\lambda$ здесь обратен принятому в $\$ 1$. Абстрактная задача о факторизации из п. 1 в п. 3 превратится в традиционную задачу Римана об аналитической факторизации матриц-функций.