На введенном в примере 1 фазовом пространстве изотропного магнетика рассмотрим гамильтониан
\[
H=\frac{1}{2} \int\left(\left(\frac{\partial \vec{S}}{\partial x}\right)^{2}-J(\vec{S})\right) d x
\]
где $J(\vec{S})$ – квадратичная форма постоянной матрицы $J$, которую без ограничения общности можно считать диагональной, так что
\[
J(\vec{S})=J_{1} S_{1}^{2}+J_{2} S_{2}^{2}+J_{3} S_{3}^{2}, \quad J_{1} \leqslant J_{2} \leqslant J_{3} .
\]
(В быстроубывающем случае из подынтегрального выражения в $(1.34)$ следует вычесть величину $-J\left(\vec{S}_{0}\right)$.)
Гамильтоновы уравнения движения имеют вид
\[
\frac{\partial \vec{S}}{\partial t}=\vec{S} \wedge \frac{\partial^{2} \vec{S}}{\partial x^{2}}+\vec{S} \wedge J \vec{S}
\]
и описывают анизотропный магнетик. В физике твердого тела уравнение (1.36) называется уравнением Ландау – Лифшица.
Представление нулевой кривизны для модели Л-Л в общем случае $J_{1}<J_{2}<J_{3}$ задается матрицами
\[
\begin{array}{c}
U(x, t, \lambda)=\frac{1}{i} \sum_{a=1}^{3} u_{a}(\lambda) S_{a} \sigma_{a}, \\
V(x, t, \lambda)=2 i \sum_{a=1}^{3} \frac{u_{1}(\lambda) u_{2}(\lambda) u_{3}(\lambda)}{u_{a}(\lambda)} S_{a} \sigma_{a}+\frac{1}{i} \sum_{a, b, c=1}^{3} u_{a}(\lambda) \varepsilon_{a b c} S_{b} \frac{\partial S_{c}}{\partial x} \sigma_{a},
\end{array}
\]
где
\[
u_{1}(\lambda)=\rho \frac{1}{\operatorname{sn}(\lambda, k)}, \quad u_{2}(\lambda)=\rho \frac{\operatorname{dn}(\lambda, k)}{\operatorname{sn}(\lambda, k)}, \quad u_{3}(\lambda)=\rho \frac{\operatorname{cn}(\lambda, k)}{\operatorname{sn}(\lambda, k)}
\]
и
\[
k=\sqrt{\frac{J_{2}-J_{1}}{J_{3}-J_{1}}}, \quad 0<k<-1,
\]
a
\[
\rho=\frac{1}{2} \sqrt{J_{3}-J_{1}}, \quad \rho>0 .
\]
Здесь $\operatorname{sn}(\lambda, k), \operatorname{cn}(\lambda, k)$ и $\operatorname{dn}(\lambda, k)$ – эллиптические функции Якоби модуля $k$.
Функции $u_{a}(\lambda)$ удовлетворяют квадратичным соотношениям
\[
u_{a}^{2}(\lambda)-u_{b}^{\circ}(\lambda)=\frac{1}{4}\left(J_{b}-J_{a}\right) ; \quad a, b=1,2,3,
\]
задающим эллиптическую кривую; спектральный параметр $\lambda$ играет роль униформизующей переменной. Отметим, что формулы (1.39) – (1.40) дают одну из возможных параметризаций соотношений (1.42); для вывода уравнения (1.36) из условия нулевой кривизны достаточно использовать лишь формулы (1.41) (1.42).
В дальнейшем мы убедимся, что модель Л-Л является в определенном смысле универсальной и приведенные выше модели получаются из нее различными предельными переходами.
Все рассмотренные до сих пор модели допускали представление нулевой кривизны с $2 \times 2$ матрицами $U(x, t, \lambda)$ и $V(x, t, \lambda)$; другими словами, соответствующее расслоение (см. § I. 2 части I) имело в качестве слоя пространство $\mathbb{C}^{2}$. Это пространство принято называть вспомогательным, поскольку оно определяет матричный характер вспомогательной линейной задачи.
Двумерность вспомогательного пространства отнюдь не является непременной принадлежностью метода обратной задачи. Многие интересные для физических приложений модели требуют введения вспомогательного пространства большей размерности. Приведем характерный пример.
