Здесь мы опишем способ вычисления скобок Пуассона матричных элементов матрицы перехода $T(x, y, \lambda)$. Полученные формулы будут использованы в § 5 и 6 для описания пуассоновой структуры на коэффициентах перехода в случае быстроубывающих граничных условий и, соответственно, в случае конечной плотности.

В данном параграфе все основные вычисления будут носить чисто локальный характер. Мы будем считать, что функции $\psi(x)$ и $\psi(x)$ заданы в интервале $-L<x<L$, и будем рассматривать

только «финитные» функционалы, т. е. функционалы, зависящие только от $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ при $x$ внутри этого интервала. Точное определение финитных функционалов было дано в § I.1.

Напомним, что скобка Пуассона таких функционалов выглядит следующим образом:
\[
\{F, G\}=i \int_{-L}^{L}\left(\frac{\delta F}{\delta \psi(x)} \frac{\delta G}{\delta \bar{\psi}(x)}-\frac{\delta F}{\delta \bar{\psi}(x)} \frac{\delta G}{\delta \psi(x)}\right) d x,
\]

причем вследствие свойства финитности интегрирование на самом деле ведется по меньшему интервалу. Граничные условия при этом роли не играют. Здесь и в дальнейшем наряду с вещественнозначными функционалами мы будем рассматривать и функционалы, принимающие комплексные значения. Структура Пуассона по линейности переносится и на такие функционалы, и их скобка Пуассона по-прежнему имеет вид (1.1).

Наша ближайшая цель – вычислить все 16 скобок Пуассона между матричными элементами матрицы перехода $T(x, y, \lambda)$ при разных значениях $\lambda$. Из определения $T(x, y, \lambda)$ и свойства суперпозиции (I.3.7) очевидно, что при $-L<y<x<L$ эти матричные элементы являются финитными функционалами. Для одновременной записи всех скобок Пуассона удобно использовать следующее обозначение.

Пусть $A$ и $B$ – финитные матрицы-функционалы, т. е. матрицы $2 \times 2$, матричные элементы которых являются финитными функционалами. Положим
\[
\{A \otimes B\}=i \int_{-L}^{L}\left(\frac{\delta A}{\delta \psi(x)} \otimes \frac{\delta B}{\delta \bar{\psi}(x)}-\frac{\delta A}{\delta \bar{\psi}(x)} \otimes \frac{\delta B}{\delta \psi(x)}\right) d x,
\]

где символ $\otimes$ в правой части означает тензорное произведение. Таким образом, объект $\{A \otimes B\}$ представляет собой матрицу
$4 \times 4$, составленную из всевозможных скобок Пуассона матричных элементов матриц $A$ и $B$. Мы будем использовать естественное соглашение для тензорного произведения
\[
A \otimes B=\left(\begin{array}{ll}
A_{11} B & A_{12} B \\
A_{21} B & A_{23} B
\end{array}\right),
\]

или
\[
(A \otimes B)_{j h, m n}=A_{j m} B_{k n},
\]

где $j k, m n \doteq 11,12,21,22$, так что
\[
\{A \otimes B\}_{j, m n}=\left\{A_{j m}, B_{k n}\right\} .
\]

Введенное обозначение окажется достаточно удобным, в чем мы неоднократно убедимся в дальнейшем. В частности, основ-

ные свойства скобки Пуассона принимают вид
\[
\{A \otimes B\}=-P\{B \otimes, A\} P
\]
– свойство антисимметрии,
\[
\{A \otimes B C\}=\{A \otimes B\}(I \otimes C)+(I \otimes B)\{A \otimes C\}
\]
– свойство дифференцирования и
$A \otimes\{B \otimes C\}\}+P_{13} P_{23}\{C \otimes\{A \otimes, B\}\} P_{23} P_{13}+$
\[
+P_{13} P_{12}\{B \otimes,\{C \otimes A\}\} P_{12} P_{13}=0
\]
– тождество Якоби.

Разъясним употребленные в этих формулах обозначения. В (1.6) участвует $4 \times 4$ матрица $P$ – матрица перестановки в $\mathbb{C}^{2} \otimes \mathbb{C}^{2}$, определяемая равенством
\[
P(\xi \otimes \eta)=\eta \otimes \xi
\]

для любых векторов $\xi$ и $\eta$ из $\mathbb{C}^{2}$. Из (1.9) следует, что
\[
P^{2}=I, \quad P(A \otimes B)=(B \otimes A) P,
\]

где $A$ и $B$ – матрицы $2 \times 2$, а через $I$, не опасаясь путаницы, мы обозначаем и единичную матрицу $4 \times 4$ (из контекста всегда ясно, в каком пространстве действует матрица I). Через матрицы Паули $\sigma_{a}$ (см. § I.2) матрица $P$ выражается следующим образом:
\[
P=\frac{1}{2}\left(I+\sum_{a=1}^{3} \sigma_{a} \otimes \sigma_{a}\right)
\]

и в базисе $11,12,21,22$ имеет вид
\[
P=\left(\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right) .
\]

В формуле (1.8) мы, пользуясь (1.2), определили операцию $\{\otimes\}\}$ и для матриц любой размерности, так что $\{A \otimes\{B \otimes, C\}\}$ представляет собой матрицу в $\mathbb{C}^{2} \otimes \mathbb{C}^{2} \otimes \mathbb{C}^{2}$, и через $P_{12}$ (соответственно $P_{13}$ и $P_{23}$ ) обозначили матрицу в этом пространстве, тривиально действующую в третьем (соответственно втором и первом) сомножителе тензорного произведения и совпадающую с матрицей $P$ в произведении двух оставшихся сомножителей.

Очевидно, что в записи основных свойств скобки Пуассона через операцию $\{\otimes\}$ можно считать матрицы $A, B, C$ матрицами $n \times n$, а не обязательно $2 \times 2$; матрица $n^{2} \times n^{2} P$ при этом попрежнему будет определяться формулой (1.9) и обладать свойствами (1.10).

Вернемся теперь к вычислению скобок Пуассона. Рассмотрим матрицу $U(z, \lambda)$ как финитную матрицу-функционал от $\psi(x), \bar{\psi}(x),-L<x<L$. Напомним ее явный вид:
\[
U(z, \lambda)=\frac{\lambda}{2 i} \sigma_{3}+U_{0}(z)=\frac{\lambda}{2 i} \sigma_{3}+\sqrt{x}\left(\bar{\psi}(z) \sigma_{+}+\psi(z) \sigma_{-}\right),(1
\]

в котором участвуют матрицы Паули $\sigma_{3}, \sigma_{+}$и $\sigma_{-}$(см. § I.2). Основные скобки Пуассона из § I. 1
\[
\begin{array}{c}
\{\psi(x), \psi(y)\}=\{\bar{\psi}(x), \bar{\psi}(y)\}=0, \\
\{\psi(x), \bar{\psi}(y)\}=i \delta(x-y)
\end{array}
\]

позволяют легко вычислить матрицу скобок Пуассона $\{U(x, \lambda) \otimes(y, \mu)\}:$
\[
\{U(x, \lambda) \otimes U(y, \mu)\}=i x\left(\sigma_{-} \otimes \sigma_{+}-\sigma_{+} \otimes \sigma_{-}\right) \delta(x-y) .
\]

Заметим теперь, что матрицу в правой части можно представить в виде
\[
\sigma_{-} \otimes \sigma_{+}-\sigma_{+} \otimes \sigma_{-}=\frac{1}{2}\left[P, \sigma_{3} \otimes I\right]=-\frac{1}{2}\left[P, I \otimes \sigma_{3}\right] .
\]

Чтобы убедиться в этом, достаточно воспользоваться представлением (1.11) для матрицы $P$ и коммутационными соотношениями для матриц Паули
\[
\left[\sigma_{+}, \sigma_{-}\right]=\sigma_{3}, \quad\left[\sigma_{3}, \sigma_{+}\right]=2 \sigma_{+}, \quad\left[\sigma_{3}, \sigma_{-}\right]=-2 \sigma_{-} .
\]

Формула (1.16) позволяет переписать правую часть (1.15) в виде линейного выражения по $U(x, \lambda)$ и $U(y, \mu)$.

Действительно, благодаря (1.16) ее можно представить в виде коммутатора $-\frac{x}{\lambda-\mu}\left[P, \frac{\lambda}{2 i} \sigma_{3} \otimes I+\frac{\mu}{2 i} I \otimes \sigma_{3}\right] \delta(x-y)$. Далее, в силу свойства (1.10) матрица $P$ коммутирует с матрицей $U_{0}(x) \otimes I+I \otimes U_{0}(x)$. Поэтому мы можем записать матрицу скобок Пуассона $\{U(x, \lambda) \underset{,}{\otimes} U(y, \mu)\}$ в следующем виде:
\[
\{U(x, \lambda) \otimes U(y, \mu)\}=[r(\lambda-\mu), U(x, \lambda) \otimes I+I \otimes U(x, \mu)] \delta(x-y),
\]

где
\[
r(\lambda)=-\frac{x}{\lambda} P
\]

На первый взгляд эта формула представляет собой лишь более громоздкую запись основных скобок Пуассона (1.14). На самом деле, как мы убедимся в этом ниже, приведенная формула является универсальным свойством матриц $U(x, \lambda)$, участвующих в представлении нулевой кривизны для всех моделей, рассматриваемых нами в дальнейшем. Оно же, как мы убедимся, лежит в основе самого свойства интегрируемости и допускает естественную ли-алгебраическую интерпретацию. Поэтому набор соотношений (1.18) будем называть фундаментальными скобками Пуассона.

Сейчас мы убедимся, что из (1.18) немедленно следуют соотношения для скобок Пуассона матричных элементов матрицы перехода, имеющие вид

где $-L<y<x<L$.
Мы дадим два вывода этого соотношения. Один использует определение матрицы $T(x, y, \lambda)$ как мультипликативного интеграла через предельный переход (см. \& I.2), а другой – через дифференциальное уравнение (см. § I.3).

Начнем с первого подхода. Разобьем интервал $(y, x)$ на $N$ интервалов $\Delta_{n}, n=1, \ldots, N$, и будем считать, что $\Delta$ – максимум длин $\Delta_{n}$ – исчезает при $N \rightarrow \infty$. Тогда в соответствие с (I.2.14) (I.2.16) имеем
\[
T(x, y, \lambda)=\lim _{N \rightarrow \infty} T_{N}(\lambda)
\]

где
\[
T_{N}(\lambda)=\prod_{n=1}^{\Uparrow} L_{n}(\lambda)
\]

и
\[
L_{n}(\lambda)=I+\int_{\Delta_{n}} U(x, \lambda) d x .
\]

Заметим теперь, что в силу (1.18)
\[
\left\{L_{n}(\lambda) \otimes L_{m}(\mu)\right\}=0
\]

при $n
eq m$.

Действительно, при вычислении $\left\{L_{n} \otimes, L_{m}\right\}$ возникает исчезающий интеграл $\int_{\Delta_{n}} \int_{\Delta_{m}} \delta(x-y) d x d y$.

Для данного рассуждения очень существенно, что в фундаментальных скобках Пуассона (1.18) участвует только обобщенная функция $\delta(x-y)$, а не ее производные. Это важное свойство матрицы $U(x, \lambda)$ вспомогательной линейной задачи будем называть ультралокальностью.
Из формул (1.22), (1.24) и свойства (1.7) получаем, что
\[
\begin{array}{l}
\left.T_{N}(\lambda) \otimes T_{N}(\mu)\right\}= \\
\quad=\sum_{n=1}^{N}\left(\widetilde{T}_{n}(\lambda) \otimes \widetilde{T}_{n}(\mu)\right)\left\{L_{n}(\lambda) \otimes L_{n}(\mu)\right\}\left(T_{n-1}(\lambda) \otimes T_{n-1}(\mu)\right),
\end{array}
\]

где
\[
T_{n}(\lambda)=\prod_{k=1}^{n} L_{k}(\lambda), \quad \widetilde{T}_{n}(\lambda)=\prod_{k=n+1}^{\widehat{N}} L_{k}(\lambda) .
\]

Далее, из фундаментальных скобок Пуассона получаем, что
\[
\begin{array}{l}
\left\{L_{n}(\lambda)\right. \otimes \\
\left.L_{n}(\mu)\right\}=\left\{\int_{\Delta_{n}} U(x, \lambda) d x \otimes \bigotimes_{\Delta_{n}} U(x, \mu) d x\right\}= \\
=\left[r(\lambda-\mu), \int_{\Delta_{n}} U(x, \lambda) d x \otimes I+I \otimes \int_{\Delta_{n}} U(x, \mu) d x\right],
\end{array}
\]

откуда имеем
\[
\left\{L_{n}(\lambda) \otimes L_{n}(\mu)\right\}=\left[r(\lambda-\mu), L_{n}(\lambda) \otimes L_{n}(\mu)\right]+O\left(\Delta^{2}\right) .
\]

Используя свойство коммутатора как дифференцирования по отношению к произведению, на основании (1.28) заключаем, что
\[
\left\{T_{N}(\lambda) \otimes T_{N}(\mu)\right\}=\left[r(\lambda-\mu), T_{N}(\lambda) \otimes T_{N}(\mu)\right]+O\left(N \Delta^{2}\right) .
\]

Переходя в этом равенстве к пределу $N \rightarrow \infty$ и учитывая, что $N \Delta=O(1)$, получаем соотношение (1.20).

Для второго вывода заметим, что матрицу $T(x, y, \lambda)$ можно рассматривать как матрицу-функіионал от матричных элементов $U(z, \lambda)$ при $-L<y \leqslant z \leqslant x<L$. Используя формулу дифференцирования сложной функции, из (1.1) получаем

соотношение
\[
\begin{array}{l}
\left\{T_{a b}(x, y, \lambda), T_{c d}(x, y, \mu)\right\}= \\
\quad=\int_{y}^{x} \int_{y}^{x} \frac{\delta T_{a b}(x, y, \lambda)}{\delta U_{j k}(z, \lambda)}\left\{U_{j k}(z, \lambda), U_{l m}\left(z^{\prime}, \mu\right)\right\} \frac{\delta T_{c d}(x, y, \mu)}{\delta U_{l m}\left(z^{\prime}, \mu\right)} d z d z^{\prime}, \quad(1.30)
\end{array}
\]

где по повторяющимся индексам $j, k, l, m$ подразумевается суммирование от 1 до 2. При этом мы имеем в виду, что для определения $\frac{\delta T(x, y, \lambda)}{\delta U(z, \lambda)}$ при вариации матрицы-функционала $T(x, y, \lambda)$ к матрице специального вида $U(z, \lambda)$ прибавляется: матрица общего вида $\delta U(z, \lambda)$.
Далее, варьируя дифференциальное уравнение
\[
\frac{\partial T}{\partial x}(x, y, \lambda)=U(x, \lambda) T(x, y, \lambda)
\]

для матрицы перехода (см. § I.3) с начальным условием
\[
\left.T(x, y, \lambda)\right|_{x=y}=I,
\]

приходим к уравнению
\[
\frac{\partial}{\partial x} \delta T(x, y, \lambda)=U(x, \lambda) \delta T(x, y, \lambda)+\delta U(x, \lambda) T(x, y, \lambda)
\]

с начальным условием
\[
\left.\delta T(x, y, \lambda)\right|_{x=y}=0 .
\]

Непосредственно убеждаемся, что решение задачи (1.33)-. (1.34) имеет вид
\[
\delta T(x, y, \lambda)=\int_{y}^{x} T(x, z, \lambda) \partial U(z, \lambda) T(z, y, \lambda) d z,
\]

откуда получаем, что
\[
\frac{\delta T_{a b}(x, y, \lambda)}{\delta U_{j k}(z, \lambda)}=T_{a j}(x, z, \lambda) T_{k b}(z, y, \lambda) .
\]

Подставим теперь эту формулу в выражение (1.30). Мы получим соотношение, которое снова запишем в инвариантном. виде:
\[
\begin{array}{l}
\{T(x, y, \lambda) \otimes T(x, y, \mu)\}= \\
=\int_{y}^{x} \int_{y}^{x}(T(x, z, \lambda) \\
\left.\otimes T\left(x, z^{\prime}, \mu\right)\right)\left\{U(z, \lambda) \otimes U\left(z^{\prime}, \mu\right)\right\} \times \\
\times\left(T(z, y, \lambda) \otimes T\left(z^{\prime}, y, \mu\right)\right) d z d z^{\prime} . \\
\end{array}
\]

Используя фундаментальные скобки Пуассона, получаем отсюда
\[
\begin{array}{l}
\{T(x, y, \lambda) \otimes T(x, y, \mu)\}=\int_{y}^{x}(T(x, z, \lambda) \otimes T(x, z, \mu)) \times \\
\times[r(\lambda-\mu), U(z, \lambda) \otimes I+I \otimes U(z, \mu)](T(z, y, \lambda) \otimes T(z, y, \mu)) d z .
\end{array}
\]

В коммутаторе в правой части равенства (1.38) матрицы $U(z, \lambda)$ и $U(z, \mu)$ стоят слева или справа соответственно от матриц $T(z, y, \lambda), T(z, y, \mu)$ и $T(x, z, \lambda), T(x, z ; \mu)$. Используя дифференциальные уравнения (1.31) и
\[
\frac{\partial T}{\partial y}(x, y, \lambda)=-T(x, y, \lambda) U(y, \lambda),
\]

убеждаемся, что подынтегральное выражение в (1.38) представляет собой полную производную по $z$ от произведения
\[
(T(x, z, \lambda) \otimes T(x, z, \mu)) r(\lambda-\mu)(T(z, y, \lambda) \otimes T(z, y, \mu)) .
\]

Интегрируя с учетом начального устовия (1.32), получаем соотношение (1.20).

В заключение этого параграфа сделаем несколько замечаний по поводу полученных формул.
1. Отнюдь не произвольная матрица $r(\lambda)$ может играть роль классической $r$-матрицы. Для совместности фундаментальных скобок Пуассона (1.18) со свойством антисимметрии (1.6) и тождеством Якоби (1.8) достаточно, соответственно, выполнения соотношений
\[
r(-\lambda)=-\operatorname{Pr}(\lambda) P
\]
$u$
\[
\left[r_{12}(\lambda-\mu), r_{13}(\lambda)+r_{23}(\mu)\right]+\left[r_{13}(\lambda), r_{23}(\mu)\right]=0 .
\]

Матрица $r(\lambda)$ из (1.19) очевидно удовлетворяет этим равенствам. Обратно, при выполнении условий (1.40)-(1.41) равенство (1.18) задает пуассонову структуру на пространстве функционалов от матричных. элементов матрицы $U(x, \lambda)$. В части II мы дадим способ построения других решений уравнений (1.40) (1.41) и покажем, что с каждым из них можно связать интегрируемую гамильтонову систему.
2. Приведенные выше два способа вывода соотношения (1.20) из фундаментальных скобок Пуассона носили совершенно общий характер и не зависели от конкретного вида матриц $U(x, \lambda)$ и $r(\lambda)$. Именно, мы показали, что если матрица $U(x, \lambda)$ удовлетворяет соотношению (1.18) с некоторой матрицей $r(\lambda)$, то для скобок Пуассона матричных элементов матрицы перехода $T(x, y, \lambda)$ выполняется равенство (1.20). При этом локальная формула (1.18) является инфинитезимальным вариантом (1.20).

3. В правых частях формул (1.18) и (2.20) имеется кажущаяся сингулярность при $\lambda=0$ вследствие того, что знаменатель в (1.19) исчезает при $\lambda=\mu$. Однако, благодаря свойству (1.10) матрица $P$ коммутирует как с матрицей $U(x, \lambda) \otimes I+I \otimes U(x, \lambda)$, так и с матрищей $T(x, y, \lambda) \otimes T(x, y, \lambda)$, так что и числитель в формулах (1.18), (1.20) исчезает при $\lambda=\mu$ и сингулярность не возникает («правило Лопиталя»).
4. При $-L<x<y<L$ из равенства (1.20) следует, что
\[
\{T(x, y, \lambda) \otimes T(x, y, \mu)\}=-[r(\lambda-\mu), T(x, y, \lambda) \otimes T(x, y, \mu)],
\]

так как (см. § I.3)
\[
T(y, x, \lambda)=T^{-1}(x, y, \lambda) .
\]
5. Соотношение (1.20) можно обобщить и на матрицы перехода, отвечающие двум произвольным интервалам ( $y, x$ ) и $\left(y^{\prime}, x^{\prime}\right)$, содержащимся в $(-L, L)$. Заметим для этого, что, вследствие ультралокальности, скобки Пуассона матричных элементов матриц $T(x, y, \lambda)$ и $T\left(x^{\prime}, y^{\prime}, \mu\right)$ исчезают для непересекаюшихся интервалов $(y, x)$ и $\left(y^{\prime}, x^{\prime}\right)$, так же как и для интервалов, имеющих только одну общую точку. Поэтому из свойства суперпозиции (I.3.7), свойства дифференцирования и (1.20) получаем, что
\[
\begin{array}{l}
\left\{T(x, y, \lambda) \otimes T\left(x^{\prime}, y^{\prime}, \mu\right)\right\}=\left(T\left(x, x^{\prime \prime}, \lambda\right) \otimes T\left(x^{\prime}, x^{\prime \prime}, \mu\right)\right) \times \\
\quad \times\left[r(\lambda-\mu), T\left(x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}, \lambda\right) \otimes T\left(x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}, \mu\right)\right]\left(T\left(y^{\prime \prime}, y, \lambda\right) \otimes T\left(y^{\prime \prime}, y^{\prime}, \mu\right)\right) .
\end{array}
\]

где $\left(y^{\prime \prime}, x^{\prime \prime}\right)$ – пересечение интервалов $(y, x)$ и $\left(y^{\prime}, x^{\prime}\right)$.