Матрица перехода $T(x, y, \lambda)$ определяется как решение дифференциального уравнения (4.1) с начальным условием
\[
\left.T(x, y, \lambda)\right|_{x=y}=I
\]

и представляется в виде
\[
T(x, y, \lambda)=\overbrace{\exp }^{x} U(z, \lambda) d z .
\]

Матрица $T(x, y, \lambda)$ унимодулярна, аналитична в области $\mathbb{C} \backslash$ $\backslash\{0\}$ и имеет существенные особенности в точках $\lambda=\infty$ и $\lambda=0$. Из соотношений
\[
\bar{U}(x, \bar{\lambda})=\sigma_{2} U(x, \lambda) \sigma_{2}
\]

и
\[
U(x,-\lambda)=\sigma_{3} U(x, \lambda) \sigma_{3}
\]

вытекают свойства инволюции для матрицы перехода
\[
\bar{T}(x, y, \bar{\lambda})=\sigma_{2} T(x, y, \lambda) \sigma_{2}
\]

и
\[
T(x, y,-\lambda)=\sigma_{3} T(x, y, \lambda) \sigma_{3} .
\]

Кроме того, матрица $U(x, \lambda)$ инвариантна при замене $\pi(x) \mapsto$ $\mapsto \pi(x), \varphi(x) \mapsto-\varphi(x), \lambda \mapsto-1 / \lambda$. Поэтому имеем соотношение
\[
\hat{T}(x, y,-1 / \lambda)=T(x, y, \lambda),
\]

где через $\hat{T}(x, y, \lambda)$ мы обозначили матрицу перехода для данных $\hat{\pi}(x)=\pi(x)$ и $\hat{\varphi}(x)=-\varphi(x)$.

При $x \rightarrow \pm \infty$ вспомогательная линейная задача (4.1) превращается в дифференциальные уравнения
\[
\frac{d E}{d x}=U_{ \pm}(\lambda) E
\]

где
\[
U_{-}(\lambda)=\frac{1}{i} k_{1}(\lambda) \sigma_{2}, \quad U_{+}(\lambda)=(-1)^{Q} U_{-}(\lambda),
\]

а $k_{1}(\lambda)=\frac{m}{4}\left(\lambda-\frac{1}{\lambda}\right)$. Эти уравнения решаются явно:
\[
\begin{array}{c}
E_{-}(x, \lambda)=E(x, \lambda)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ll}
1 & i \\
i & 1
\end{array}\right) e^{\frac{1}{i} k_{1}(\lambda) x \sigma_{\mathbf{a}}}, \\
E_{+}(x, \lambda)=(-1)^{Q / 2} E(x, \lambda)
\end{array}
\]

при четном $Q$ и
\[
E_{+}(x, \lambda)=(-1)^{(\varphi-1) / 2} i \sigma_{3} E(x, \lambda)
\]

при нечетном $Q$; смысл такого выбора матрицы $E_{+}(x, \lambda)$, зависящей от значений $Q(\bmod 4)$, будет ясен чуть ниже (сравни формулы (4.2), (4.21) и (4.23)-(4.24), (4.28)).
Матрицы $E_{ \pm}(x, \lambda)$ унимодулярны и обладают инволюциями
\[
\begin{aligned}
\bar{E}_{ \pm}(x, \bar{\lambda}) & =\sigma_{2} E_{ \pm}(x, \lambda) \sigma_{2}, \\
E_{ \pm}(x,-\lambda) & =-\sigma_{3} E_{ \pm}(x, \lambda) \sigma_{2}, \\
\vec{E}_{ \pm}(x,-\bar{\lambda}) & =-i \sigma_{1} E_{ \pm}(x, \lambda) .
\end{aligned}
\]

При вещественных $\lambda
eq 0$ решения Иоста $T_{ \pm}(x, \lambda)$ определяются как пределы
\[
T_{ \pm}(x, \lambda)=\lim _{y \rightarrow \pm \infty} T(x, y, \lambda) E_{ \pm}(y, \lambda) .
\]

Матрицы $T_{ \pm}(x, \lambda)$ унимодулярны, удовлетворяют дифференциальному уравнению (4.1) и соотношениям инволюции
\[
\begin{aligned}
\bar{T}_{ \pm}(x, \lambda) & =\sigma_{2} T_{ \pm}(x, \lambda) \sigma_{2}, \\
\bar{T}_{ \pm}(x,-\lambda) & =-i \sigma_{1} T_{ \pm}(x, \lambda) .
\end{aligned}
\]

При $x \rightarrow \pm \infty$ они соответственно имеют асимптотики
\[
T_{ \pm}(x, \lambda)=E_{ \pm}(x, \lambda)+o(1) .
\]

Для описания аналитических свойств решений Иоста в окрестности $\lambda=\infty$ удобно совершить калибровочное преобразование с тем, чтобы коэффициент при $\lambda$ во вспомогательной линейной задаче стал независящим от $x$. Для этого запишем уравнение (4.1) в виде
\[
\frac{d T_{ \pm}}{d x}=\left(\frac{\beta \pi}{4 i} \sigma_{3}+\frac{m \lambda}{4 i} \Omega \sigma_{2} \Omega^{-1}-\frac{m}{4 i \lambda} \Omega^{-1} \sigma_{2} \Omega\right) T_{ \pm},
\]

где
\[
\Omega(x)=e^{\frac{i \beta \Phi^{\prime}(x)}{4} \sigma_{3}}
\]

и положим
\[
T_{ \pm}(x, \lambda)=\Omega(x) \widetilde{T}_{ \pm}(x, \lambda) .
\]

Матрицы $\widetilde{T}_{ \pm}(x, \lambda)$. удовлетворяют дифференциальному уравнению
\[
\frac{d \widetilde{T}_{ \pm}}{d x}=\widetilde{U}(x, \lambda) \widetilde{T}_{ \pm}
\]

где
\[
\widetilde{U}(x, \lambda)=U^{\Omega-1}(x, \lambda)=\frac{\beta}{4 i} \theta(x) \sigma_{3}+\frac{m \lambda}{4 i} \sigma_{2}-\frac{m}{4 i \hbar} \Omega^{-2}(x) \sigma_{2} \Omega^{2}(x)
\]

II
\[
\theta(x)=\pi(x)+\frac{d \varphi}{d x}(x) .
\]

Решения $\widetilde{T}_{ \pm}(x, \lambda)$ имеют интегральные представления, аналогичные таковым для моделей НШ и МГ:
\[
\widetilde{T}_{+}(x, \lambda)=E(x, \lambda)+\int_{x}^{\infty} \Gamma_{+}^{(1)}(x, y) E(y, \lambda) d y+\frac{1}{\lambda} \int_{i}^{\infty} \Gamma_{+}^{(2)}(x, y) E(y, \lambda) d y
\]

I
\[
\tilde{T}_{-}(x, \lambda)=E(x, \lambda)+\int_{-\infty}^{x} \Gamma_{-}^{(1)}(x, y) E(y, \lambda) d y+\frac{1}{\lambda} \int_{-\infty}^{x} \Gamma_{-}^{(2)}(x, y) E(y, \lambda) d y .
\]

Для ядер $\Gamma_{ \pm}^{(l)}(x, y), \quad l=1,2$, справедливы инволюции
\[
\bar{\Gamma}_{ \pm}^{(1,2)}=\sigma_{2} \Gamma_{ \pm}^{(1,2)} \sigma_{2}
\]

и
\[
\bar{\Gamma}_{ \pm}^{(1)}=\sigma \Gamma_{ \pm}^{(1)} \sigma_{1}, \quad \bar{\Gamma}_{ \pm}^{(2)}=-\sigma_{1} \Gamma_{ \pm}^{(2)} \sigma_{1},
\]

так что матрицы $\Gamma_{ \pm}^{(\mathbf{1})}$ диагональны, а $\Gamma_{ \pm}^{(2)}$ – антидиагональны. Они удовлетворяют следующим системам дифференциальных

уравнений в частных производных:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \Gamma_{ \pm}^{(1)}}{\partial x}(x, y)+\sigma_{2} \frac{\partial \Gamma_{ \pm}^{(1)}}{\partial y}(x, y) \sigma_{2}-\frac{\beta \theta(x)}{4 i} \sigma_{3} \Gamma_{ \pm}^{(1)}(x, y)- \\
-\frac{m}{4 i}\left(\sigma_{2}-\Omega^{-2}(x) \sigma_{2} \Omega^{2}(x)\right) \Gamma_{ \pm}^{(2)}(x, y)=0 \\
\frac{\partial \Gamma_{ \pm}^{(2)}(x, y)}{\partial x}+\Omega^{-2}(x) \sigma_{2} \Omega^{2}(x) \frac{\partial \Gamma_{ \pm}^{(2)}(x, y)}{\partial y} \sigma_{2}-\frac{\beta \theta(x)}{4 i} \sigma_{3} \Gamma_{ \pm}^{(2)}(x, y)- \\
-\frac{m}{4 i}\left(\sigma_{2}-\Omega^{-2}(x) \sigma_{2} \Omega^{2}(x)\right) \Gamma_{ \pm}^{(1)}(x, y)=0
\end{array}
\]

при $\pm(y-x)>0$ и граничным условиям
\[
\begin{array}{c}
\lim _{y \rightarrow \pm \infty} \Gamma_{ \pm}^{(l)}(x, y)=0, \quad l=1,2, \\
\Gamma_{ \pm}^{(1)}(x, x)-\sigma_{2} \Gamma_{ \pm}^{(1)}(x, x) \sigma_{2}=\mp \frac{\beta}{4 i} \theta(x) \sigma_{3}, \\
\Gamma_{ \pm}^{(2)}(x, x)-\Omega^{-2}(x) \sigma_{2} \Omega^{2}(x) \Gamma_{ \pm}^{(2)}(x, x) \sigma_{2}= \pm \frac{m}{4 i} \cdot\left(\Omega^{-2}(x) \sigma_{2} \Omega^{2}(x)-\sigma_{2}\right)
\end{array}
\]

Формулы (4.32)-(4.36) получаются в результате подстановки интегральных представлений (4.28)-(4.29) в дифференциальное уравнение (4.25).

Связь между интегральными представлениями (4.28) – (4.29) и дифференциальными уравнениями (4.32) – (4.36) взаимно однозначна. Эти дифференциальные уравнения легко связать с вольтерровскими интегральными уравнениями и, тем самым, доказать существование решений Иоста и их интегральных представлений.

Для столбцов $T_{ \pm}^{(l)}(x, \lambda), l=1,2$, матриц $T_{ \pm}(x, \lambda)$ имеем следующие свойства: столбцы $T_{-}^{(1)}(x, \lambda)$ и $T_{+}^{(2)}(x, \lambda)$ аналитически продолжаются в верхнюю полуплоскость переменной $\lambda$, а столбцы $T_{+}^{(1)}(x, \lambda)$ и $T_{-}^{(2)}(x, \lambda)$ – в нижнюю полуплоскость и имеют асимптотики при $|\bar{\lambda}| \rightarrow \infty$
\[
\begin{aligned}
e^{-\frac{\lambda m x}{4 i}} T_{-}^{(1)}(x, \lambda) & =\frac{1}{\sqrt{2}} \Omega(x)\left(\begin{array}{l}
1 \\
i
\end{array}\right)+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right) \\
e^{\frac{\lambda m x}{\Delta i}} T_{+}^{(2)}(x, \lambda) & =\frac{1}{\sqrt{2}} \Omega(x)\left(\begin{array}{l}
i \\
1
\end{array}\right)+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right)
\end{aligned}
\]

при $\operatorname{Im} \lambda \geqslant 0$ и
\[
\begin{aligned}
e^{-\frac{\lambda m x}{4 i} T_{+}^{(1)}(x, \lambda)} & =\frac{1}{\sqrt{2}} \Omega(x)\left(\begin{array}{l}
1 \\
i
\end{array}\right)+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right), \\
e^{\frac{\lambda m x}{4 i}} T_{-}^{(2)}(x, \lambda) & =\frac{1}{\sqrt{2}} \Omega(x)\left(\begin{array}{l}
i \\
1
\end{array}\right)+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right)
\end{aligned}
\]

при $\operatorname{Im} \lambda \leqslant 0$.
Аналогично исследуется окрестность точки $\lambda=0$. Как видно из (4.22), для этого следовало бы совершить калибровочное преобразование с матрицей $\Omega(x)$. Однако вместо этого можно воспользоваться соотношением (4.9). В результате при $\lambda \rightarrow 0$ имеем следующие асимптотики:
\[
\begin{aligned}
e^{\frac{m x}{4 i \lambda}} T_{-}^{(1)}(x, \lambda) & =\frac{1}{\sqrt{2}} \Omega^{-1}(x)\left(\begin{array}{l}
1 \\
i
\end{array}\right)+O(|\lambda|), \\
e^{-\frac{m x}{4 i \lambda}} T_{+}^{(2)}(x, \lambda) & =\frac{(-1)^{Q}}{\sqrt{2}} \Omega^{-1}(x)\left(\begin{array}{l}
i \\
1
\end{array}\right)+O(|\lambda|)
\end{aligned}
\]

при $\operatorname{Im} \lambda \geqslant 0$ и
\[
\begin{array}{l}
e^{\frac{m x}{4 i \lambda}} T_{+}^{(1)}(x, \lambda)=\frac{(-1)^{Q}}{\sqrt{2}} \Omega^{-1}(x)\left(\begin{array}{l}
1 \\
i
\end{array}\right)+O(|\lambda|), \\
e^{-\frac{m x}{4 i \lambda}} T_{-}^{(2)}(x, \lambda)=\frac{1}{\sqrt{2}} \Omega^{-1}(x)\left(\begin{array}{l}
i \\
1
\end{array}\right)+O(|\lambda|)
\end{array}
\]

при $\operatorname{Im} \lambda \leqslant 0$.
Формулы (4.37) – (4.44) согласованы с асимптотиками (4.21) и граничными условиями (4.2). Инволюции (4.19) – (4.20) для комплексных значений $\lambda$ принимают вид
\[
\begin{aligned}
\bar{T}_{ \pm}^{(1)}(x, \lambda) & =i \sigma_{2} T_{ \pm}^{(2)}(x, \bar{\lambda}) \\
\bar{T}_{ \pm}^{(2)}(x, \lambda) & =-i \sigma_{2} T_{ \pm}^{(1)}(x, \bar{\lambda}) \\
\bar{T}_{ \pm}^{(1,2)}(x,-\bar{\lambda}) & =-i \sigma_{1} T_{ \pm}^{(\mathbf{1}, 2)}(x, \lambda)
\end{aligned}
\]

где $\lambda$ лежит в соответствующих областях аналитичности.