Қак и в быстроубывающем случае, солитонные решения связаны с безотражательной линейной задачей, т. е. с функциями $\psi(x), \bar{\psi}(x)$, для которых коэффициент $b_{\rho}(\lambda)$ тождественно исчезает.

Условия на исходные данные в этом случае значительно упрощаются. Именно, набор чисел $\left\{\lambda_{j}, c_{j}, \tilde{c}_{j}, j=1, \ldots, n\right\}$ обладает следующими свойствами.
1. Числа $\lambda_{j}$ лежат в лакуне – $\omega<\lambda_{j}<\omega$ и среди них нет совпадающих.
2. Величины $m_{j}=c_{j} / z_{j}$, где
\[
z_{j}=\lambda_{j}+i \sqrt{\omega^{2}-\lambda_{i}^{2}},\left|z_{j}\right|=\omega,
\]

вещественны и удовлетворяют неравенству
\[
m_{j}<0, \quad j=1, \ldots, n .
\]
3. Выполняется условие ( $\theta$ )
\[
e^{i \theta}=\prod_{j=1}^{n} \frac{\bar{z}_{j}}{z_{j}} .
\]
4. Имеет место формула связи
\[
c_{j} \tilde{c}_{j}=\frac{1}{\dot{a}_{\rho}^{2}\left(z_{j}\right)}, \quad j=1, \ldots, n,
\]

где
\[
a_{\rho}(z)=e^{i \theta / 2} \prod_{j=1}^{n} \frac{z-z_{i}}{z-\bar{z}_{j}},
\]

а точка означает производную по $z$.
В терминах величин $\widetilde{m}_{j}=\tilde{c}_{j} / z_{j}$ неравенство (8.2) принимает вид $\widetilde{m}_{j}>0, j=1, \ldots, n$.

Отметим, что в безотражательном случае функция $a_{\rho}(z)$ регулярна при $z= \pm \omega$, так что эти значения являются виртуальными уровнями.

Связь набора чисел $\left\{\lambda_{j}, c_{j}, \tilde{c}_{j}\right\}$ с исходными данными задачи Римана $\left\{\lambda_{j}, \gamma_{j}\right\}$ осуществляется на основании соотношения
\[
\gamma_{j}=c_{j} \dot{a}_{\rho}\left(z_{j}\right), \quad j=1, \ldots, n .
\]

Благодаря свойствам (8.2) – (8.3) и формуле (8.5) числа $\gamma_{j}-$ чисто мнимые и
\[
\operatorname{sign} i \gamma_{j}=\operatorname{sign} \frac{z_{j} \dot{a}_{\rho}\left(z_{j}\right)}{i}=\varepsilon_{j}, \quad j=1, \ldots, n .
\]

Приступим к решению обратной задачи и рассмотрим сначала случай $n=1$. В силу условия (8.3) собственное значение $\lambda_{1}$ явно выражается через параметр $\theta$ и имеет вид
\[
\lambda_{1}=-\omega \cos \frac{\theta}{2} .
\]

Действительно, условие ( $\theta$ ) дает выражение
\[
z_{1}=-\omega e^{-i \theta / 2}, \quad 0 \leqslant \theta<2 \pi,
\]

откуда (8.8) следует из (8.1).
Уравнение Гельфанда– Левитана – Марченко для левого конца имеет вид
\[
\Gamma_{-}(x, y)+\widetilde{\Omega}(x+y)+\int_{-\infty}^{x} \Gamma_{-}(x, s) \widetilde{\Omega}(s+y) d s=0,
\]

где $y \leqslant x$, а ядро $\widetilde{\Omega}(x)$ дается формулами (7.45) – (7.47) и в нашем случае записывается в виде
\[
\widetilde{\Omega}(x)==M_{1} N_{1}^{\tau} e^{v_{1} x / 2} .
\]

Здесь
\[
v_{1}=\frac{1}{i} k_{1}=\sqrt{\omega^{2}-\lambda_{1}^{2}}>0,
\]

а столбцы $M_{1}$ и $N_{1}$ выглядят следующим образом:
\[
M_{1}=\frac{\sqrt{\tilde{m}_{1}}}{2}\left(\begin{array}{c}
\omega \\
i \bar{z}_{1}
\end{array}\right), N_{1}=\frac{\sqrt{\tilde{m}_{1}}}{2}\left(\begin{array}{c}
1 \\
\frac{z_{1}}{i \omega}
\end{array}\right),
\]

где берется арифметическое значение квадратного корня. Здесь для единообразия с последующими формулами для случая $n>1$ мы использовали переменную $z_{1}$, а не $\theta$.

Таким образом, ядро $\widetilde{\Omega}(x+y)$ интегрального уравнения (8.10) является одномерным и это уравнение решается явно.
Представляя матрицу $\Gamma_{-}(x, y)$ в виде
\[
\Gamma_{-}(x, y)=f_{1}(x) N_{1}^{\tau} e^{v_{1} y / 2},
\]

для столбца $f_{1}(x)$ получаем линейное алгебраическое уравнение
\[
f_{1}(x)+M_{1} e^{v_{1} x / 2}+A(x) f_{1}(x)=0,
\]

где функция $A(x)$ имеет вид
\[
A(x)=N_{1}^{\tau} M_{1} \int_{-\infty}^{x} e^{v_{1} s} d s=\frac{\widetilde{m}_{1} \omega}{2 v_{1}} e^{v_{1} x} .
\]

Отсюда для $f_{1}(x)$ имеем выражение
\[
f_{1}(x)=-\frac{e^{v_{1} x / 2}}{1+A(x)} M_{1} .
\]

Вычисляя функцию $\psi(x)$ по общим формулам (7.49) и (7.54), получаем
\[
\psi(x)=\rho \frac{i \gamma_{1}+e^{i \theta} e^{v_{1} x}}{i \gamma_{1}+e^{v_{1} x}},
\]

где мы использовали (8.6) и связь (8.9) между $z_{1}$ и $\theta$. Напомним также, что в силу (8.7) $i \gamma_{1}>0$, так что знаменатель в формуле (8.18) не исчезает и функция $\psi(x)$ регулярна на всей вецественной оси. Она удовлетворяет граничным условиям конечной плотности
\[
\lim _{x \rightarrow-\infty} \psi(x)=\rho, \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} \psi(x)=\rho e^{i \theta}
\]

с экспоненциальной точностью $O\left(e^{-v_{l}|x|}\right)$.
Решение $\psi(x, t)$ уравнения НШ, для которого функция $\psi(x)$ играет роль начальных данных, получается по общим формулам (6.51) заменой в (8.18) коэффициента $\gamma_{1}$ на $\gamma_{1}(t)$ :
\[
\gamma_{1}(t)=e^{\lambda_{1} v_{1} t} \gamma_{1}
\]

и может быть записано в виде
\[
\psi(x, t)=\psi_{\theta}\left(x-v t, x_{0}\right)=\rho \frac{1+e^{i \theta} \exp \left\{v_{1}\left(x-v t-x_{0}\right)\right\}}{1+\exp \left\{v_{1}\left(x-v t-x_{0}\right)\right\}},
\]

где
\[
v=\lambda_{1}=-\omega \cos \frac{\theta}{2}, \quad x_{0}=\frac{1}{v_{1}} \ln i \gamma_{1} .
\]

Формула (8.21) показывает, что решение $\psi(x, t)$ представляет собой волну, распространяющуюся со скоростью v. Из представления
\[
|\Psi(x, t)|^{2}=\rho^{2}-\frac{v_{1}^{2}}{\omega^{2} \operatorname{ch}^{2}\left\{\frac{v_{1}}{2}\left(x-v t-x_{0}\right)\right\}}
\]

следует, что эта волна локализована в окрестности $x=x_{0}+v t$.

По построению это решение имеет конечную энергию и конечные значения всех остальных интегралов движения. Согласно определению, данному в § 5, решение $\psi(x, t)$ является солитоном в широком смысле для модели НШІ в случае конечной плотности. Ниже мы убедимся, что рассеяние этих солитонов удовлетворяет условию факторизации, так что $\psi(x, t)$ определяет солитон в обычном смысле.

В отличие от солитона для быстроубывающего случая, который параметризуется четырьмя вещественными параметрами, наш солитон $\psi(x, t)$ зависит от двух параметров: скорости $v$ и координаты центра инерции $x_{0}$ в момент $t=0$. При этом скорость солитона не произвольна, а удовлетворяет ограничению $|
u|<\omega$. Піраметр $v_{1}=\sqrt{\omega^{2}-v^{2}}$, характеризующий амплитуду солитона, исчезает при $|v| \rightarrow \omega(\theta \rightarrow 0)$. С фнзической точки зрения решепие $\psi(x, t)$ представляет собой уединенную волну, распространяющуюся над конденсатом постоянной плотности; при этом возникает естественное ограничение на ее скорость.

Рассмотрим теперь общий случай, когда $n$ произвольно. Ядро $\widetilde{\Omega}(x+y)$ интегрального уравнения (8.10) по-прежнему является вырожденным и представляется в виде
\[
\widetilde{\Omega}(x+y)=\sum_{j=1}^{n} M_{j} N_{j}^{\tau} e^{v_{j}(x+b) ; 2},
\]

где
\[
v_{j}=\operatorname{Im} z_{j}=\sqrt{\omega^{2}-\lambda_{i}^{2}},
\]
a
\[
M_{j}=\frac{\sqrt{\tilde{m}_{j}}}{2}\left(\begin{array}{c}
\omega \\
i \bar{z}_{j}
\end{array}\right), \quad N_{i}=\frac{\sqrt{\bar{m}_{j}}}{2}\left(\begin{array}{c}
1 \\
\frac{z_{j}}{i \omega}
\end{array}\right)
\]

и $\sqrt{\widetilde{m}_{j}}>0, j=1, \ldots, n$.
Решение уравнения (8.10) ищем в виде
\[
\Gamma_{-}(x, y)=\sum_{j=1}^{n} f_{j}(x) N_{j}^{\tau} e^{v_{j} y^{\prime / 2}} .
\]

Для столбцов $f_{j}(x)$ получаем систему линейных алгебраических уравнений
\[
f_{j}(x)+M_{j} e^{v_{j} x^{x / 2}}+\sum_{l=1}^{n} A_{j l}(x) f_{l}(x)=0,
\]

где функции $A_{j l}(x)$ даются формулой

Последнее выражение можно упростить, используя соотношення $v_{j}=\frac{z_{j}-\bar{z}_{j}}{2 i}$ и $\left|z_{j}\right|=\omega$. В результате для $A_{j l}(x)$ получаем
\[
A_{j l}(x)=\frac{i\left(0 \sqrt{\widetilde{m}_{j} \tilde{m}_{l}}\right.}{z_{j}-\bar{z}_{l}} e^{\frac{1}{2}\left(v_{j}+v_{l}\right) x} .
\]

Подчеркнем, что система уравнений (8.28) распадается на две системы для первых и вторых компонент столбцов $f_{j}(x)$. Для вторых компонент $p_{j}(x)$ получаем систему линейных алгебраических уравнений
\[
p_{i}(x)+\frac{i \bar{z}_{j} \sqrt{\widetilde{m}_{j}}}{2} e^{\frac{v_{j} x}{2}}+\sum_{l=1}^{n} A_{i l}(x) p_{l}(x)=0, \quad j=1, \ldots, n \text {. (8.31) }
\]

Функция $\psi(x)$ выражается через $p_{j}(x)$ по формуле
\[
\psi(x)=\frac{2 \rho}{\omega} \sum_{j=1}^{n} \sqrt{\widetilde{m}_{j}} p_{j}(x) e^{v_{j} x^{2}}+\rho,
\]

которую на.основании формул Крамера можно переписать в виде
\[
\psi(x)=\rho \frac{\operatorname{det}\left(I+A_{1}(x)\right)}{\operatorname{det}(I+A(x))}+\rho .
\]

Здесь $A(x)-n \times n$ матрица с матричными элементами $A_{j l}(x)$, а матрица $A_{1}(x)$ имеет вид

где
\[
d_{i}(x)=\sqrt{\tilde{m}_{j}} e^{v_{j} x / 2}, \quad e_{j}(x)=\frac{i \omega}{z_{j}} d_{i}(x), \quad j=1, \ldots, n .
\]

Формулы (8.33) – (8.35) дают окончательное выражение для безотражательных функций $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ в случае граничных условий конечной плотности.

Отметим, что гладкость функции $\psi(x)$, т. е. невырожденность матрицы $I+A(x)$, равно как и справедливость граничных условий конечной плотности (8.19), вытекают из доказанных в іредыдущем параграфе общих утверждений I-V. Однако их можно проверить и непосредственно, отправляясь от формул (8.33) – (8.35). При этом предельные значения (8.19) принимаются не просто в смысле Шварца, а с экспоненциальной точ-

ностью $O\left(e^{-v|x|}\right)$, где $v=\min _{j=1, \ldots, n}\left\{v_{\mathrm{j}}\right\}$; это будет простым следствием приведенных ниже рассуждений.

Решение $\psi(x, t)$ уравнения НШ с начальным условием $\psi(x)$ вида (8.33) – (8.35) получается после замены в этих формулах $\widetilde{m}_{j}$ на $\widetilde{m}_{j}(t)$ :
\[
\widetilde{m}_{j}(t)=e^{-\lambda_{j} v_{j} t} \tilde{m}_{j}, \quad j=1, \ldots, n .
\]

Убедимся, что это решение описывает процесс рассеяния $n$ солитонов.

Не умаляя общности, будем считать, что параметры $\lambda_{1}, \ldots$ $\ldots, \lambda_{n}$ решения $\psi(x, t)$ упорядочены: $\lambda_{1}>\lambda_{2}>\ldots>\lambda_{n}$. В этом случае решение $\psi(x, t)$ при $t \rightarrow \pm \infty$ представляется в виде следующей суммы односолитонных решений:
\[
\begin{array}{c}
\psi(x, t)=\gamma_{1}^{(-)}(x, t)+e^{i \theta_{1}}\left(\psi_{2}^{(-)}(x, t)-\rho\right)+\ldots \\
\ldots+e^{i\left(\theta_{1}+\ldots+\theta_{n-1}\right)}\left(\psi_{n}^{(-)}(x, t)-\rho\right)+O\left(e^{-v c|t|}\right)
\end{array}
\]

при $t \rightarrow-\infty$ и
\[
\begin{array}{c}
\psi(x, t)=\psi_{n}^{(+)}(x, t)+e^{i \theta_{n}}\left(\psi_{n-1}^{(+)}(x, t)-\rho\right)+\ldots \\
\ldots+e^{\left.i_{i} \theta_{n}+\ldots+\theta_{2}\right)}\left(\psi_{1}^{(+)}(x, t)-\rho\right)+O\left(e^{-\imath c|t|}\right)
\end{array}
\]

при $t \rightarrow+\infty$, где $c=\min _{j
eq l}\left\{\left|v_{j}-v_{l}\right|\right\}$.
Здесь $\psi_{j}^{( \pm)}(x, t)$ – солитоны с параметрами $\theta_{j}, v_{j}, x_{0 j}^{( \pm)}$:
\[
\psi_{j}^{( \pm)}(x, t)=\psi_{\theta_{i}}\left(x-v_{j} t+x_{0 j}^{( \pm)}\right),
\]

где
\[
e^{i \theta_{j}}=\frac{\bar{z}_{i}}{z_{i}}, 0 \leqslant \theta_{j}<2 \pi, \quad v_{j}=\lambda_{i}=-\omega \cos \frac{\theta_{j}}{2}
\]

и
\[
\begin{array}{c}
x_{0 j}^{(-)}=x_{0 i}-\frac{1}{2 v_{j}} \sum_{l=j+1}^{n} \ln \frac{\left(v_{l}-v_{j}\right)^{2}+\left(v_{l}+v_{j}\right)^{2}}{\left(v_{l}-v_{j}\right)^{2}+\left(v_{l}-v_{j}\right)^{2}}+ \\
+\frac{1}{2 v_{j}} \sum_{l=1}^{j-1} \ln \frac{\left(v_{l}-v_{j}\right)^{2}+\left(v_{l}+v_{j}\right)^{2}}{\left(v_{l}-v_{j}\right)^{2}+\left(v_{l}-v_{j}\right)^{2}}, \\
x_{0 j}^{(+)}=x_{0 j}+\frac{1}{2 v_{j}} \sum_{l=j+1}^{n} \ln \frac{\left(v_{l}-v_{j}\right)^{2}+\left(v_{l}+v_{j}\right)^{2}}{\left(v_{l}-v_{j}\right)^{2}+\left(v_{l}-v_{j}\right)^{2}}- \\
\quad-\frac{1}{2 v_{j}} \sum_{l=1}^{j-1} \ln \frac{\left(v_{l}-v_{j}\right)^{2}+\left(v_{l}+v_{j}\right)^{2}}{\left(v_{l}-v_{j}\right)^{2}+\left(v_{l}-v_{j}\right)^{2}},
\end{array}
\]
a
\[
x_{0 j}=\frac{1}{v_{j}} \ln i \varepsilon_{j} \gamma_{j}=\frac{1}{v_{i}} \ln \left|\gamma_{i}\right|, \quad j=1, \ldots, n .
\]

Здесь $\varepsilon_{j}$ – знак вещественного параметра $i \gamma_{j}$, который однозначно определяется по формуле (8.7).

Доказательство сформулированных утверждений будет основано на явных формулах (8.33) – (8.35).

Рассмотрим, для определенности, случай $t \rightarrow-\infty$. Нам достаточно показать, что на траекториях $C_{j}$ отдельного солитона
\[
x-v_{j} t=\text { const }
\]

решение $\psi(x, t)$ при $t \rightarrow-\infty$ стремится к односолитонному решению $e^{i\left(\theta_{1}+\ldots+\theta_{j-1}\right)} \psi_{j}^{(-)}(x, t)$, а на траекториях общего вида $x-v t=$ $=$ const асимптотически принимает значения $\rho, \rho e^{i\left(\theta_{1}+\ldots+\theta_{j}\right)}$ и $\rho e^{2 \theta}$, $\theta \equiv \theta_{1}+\ldots+\theta_{n}(\bmod 2 \pi)$, если $v>v_{1}, v_{j}>v>v_{j+1}$ и $v_{n}>v$ соответственно. Эти предельные значения принимаются с экспоненциальной точностью $O\left(e^{- \text {vc }^{\mid i t} \mid}\right)$.

Приступим к доказательству этих утверждений. Запишем матричные элементы матрицы $A(x, t)$ в виде
\[
A_{j l}(x, t)=\frac{i \omega}{z_{j}-\bar{z}_{l}} e^{\zeta_{j}(x, t)+\xi_{l}(x, t)},
\]

где
\[
\zeta_{j}(x, t)=\frac{v_{j}}{2}\left(x-v_{j} t\right)+\frac{1}{2} \ln \tilde{m}_{j}, \quad j=1, \ldots, n,
\]

и преобразуем по очереди числитель и знаменатель формулы (8.33).
Начнем со знаменателя. Имеем очевидную формулу
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{det}(I+A(x, t))=1+\sum_{i=1}^{n}(i \omega)^{l} \times \\
\times \sum_{1 \leqslant j_{1}<\ldots<i_{l} \leqslant n} \Delta\left(j_{1}, \ldots, j_{l}\right) \exp 2\left(\zeta_{j_{1}}(x, t)+\ldots+\zeta_{j_{l}}(x, t)\right),
\end{array}
\]

где $\Delta\left(j_{1}, \ldots, j_{l}\right)$ – главный минор $l$-го порядка $n \times n$ матрицы
\[
D=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{1}{z_{1}-\bar{z}_{1}} & \cdots & \frac{1}{z_{1}-\bar{z}_{n}} \\
\cdots & & \cdots \\
\frac{1}{z_{n}-\bar{z}_{1}} & \cdots & \frac{1}{z_{n}-\bar{z}_{n}}
\end{array}\right),
\]

образованный ее строками и столбцами с номерами $j_{1}, \ldots, j_{l}$. Для вычисления коэффициентов $\Delta\left(j_{1}, \ldots, j_{l}\right)$ воспользуемся извест-

ной формулой
При $x-v_{j} t=$ const имеем
\[
\begin{array}{ll}
\lim _{t \rightarrow-\infty} \xi_{l}(x, t)=-\infty, & l>j, \\
\lim _{t \rightarrow-\infty} \xi_{l}(x, t)=+\infty, & l<j,
\end{array}
\]

поэтому, используя (8.47), на траектории $C_{j}$ при $t \rightarrow-\infty$ получаем асимптотику
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{det}(I+A(x))=(i \omega)^{j-1} \exp 2\left(\zeta_{1}(x, t)+\ldots \zeta_{j-1}(x, t)\right) \times \\
\times\left(i \omega \Delta(1, \ldots, j) \exp 2 \xi_{j}(x, t)+\Delta(1, \ldots, j-1)+O\left(e^{-v_{c}(t \mid}\right)\right) .
\end{array}
\]

Рассмотрим теперь чнслитель в формуле (8.33). Аналогнчно (8.47) имеем представление
\[
\begin{aligned}
\operatorname{det}\left(I+A_{1}(x, t)\right) & =\sum_{l=0}^{n+1}\left(i_{\omega}\right)^{t-1} \times \\
\times & \sum_{1 \leqslant i_{1}<\ldots<i_{l-1} \leqslant n} \Delta_{1}\left(j_{1}, \ldots, j_{l-1}\right) \exp 2\left(\xi_{i_{1}}(x, t)+\ldots+\xi_{l_{l-1}}(x, t)\right),
\end{aligned}
\]

где $\Delta_{1}\left(j_{1}, \ldots, i_{l-1}\right)$ – главный минор порядка $l$ матрицы

образованный строками и столбцами с номерами $j_{1}, \ldots, j_{l-1}$ и $n+1$.

Для вычисления коэффициентов $\Delta_{1}\left(j_{1}, \ldots, j_{l-1}\right)$ используем искусственный прием и рассмотрим матрицу

По общей формуле (8.49) имеем
\[
\operatorname{det} D_{1}(z)=\frac{\operatorname{det} D}{z} \prod_{j=1}^{n} \frac{\bar{z}_{j}}{z_{j}} \cdot \frac{z-z_{j}}{z-\bar{z}_{j}} .
\]

С другой стороны, разложив определитель матрицы $D_{1}(z)$ по последней строке и переходя к пределу при $z \rightarrow \infty$, получим
\[
\lim _{z \rightarrow \infty} z \operatorname{det} D_{1}(z)=\operatorname{det} D+\operatorname{det} D_{1} .
\]

Сравнивая эти формулы, приходим к выражению
\[
\operatorname{det} D_{\mathbf{1}}=\left(\prod_{j=1}^{n} \frac{\bar{z}_{j}}{z_{j}}-1\right) \operatorname{det} D .
\]

Главные миноры матрицы $D_{1}$ рассматриваются аналогично. В результате получаем окончательное выражение
\[
\Delta_{1}\left(j_{1}, \ldots, j_{l-1}\right)=\left(e^{i\left(\theta_{j_{1}}+\ldots+\theta_{j_{l-1}}\right)}-1\right) \Delta\left(j_{1}, \ldots, j_{l-1}\right),
\]

где
\[
e^{i \theta_{i}}=\bar{z}_{j} / z_{j}, \quad j=1, \ldots, n .
\]

Аналогично (8.53) на траектории $C_{j}$ при $t \rightarrow-\infty$ имеем асимптотику
$\operatorname{det}\left(I+A_{1}(x, t)\right)=(i \omega)^{j-1} \exp 2\left(\zeta_{1}(x, t)+\ldots+\zeta_{j-1}(x, t)\right) \times$
$\times\left(i \omega \Delta_{1}(1, \ldots, j) \exp 2 \zeta_{j}(x, t)+\Delta_{1}(1, \ldots, j-1)+O\left(e^{-v c \mid t}\right)\right)$.
Подставим полученные асимптотики (8.53) и (8.62) в выражение (8.33) для $\psi(x, t)$. Используя формулы (8.46), (8.50) и (8.61), на траектории $C_{j}$ получаем следующую асимптотику:
\[
\psi(x, t)=\rho e^{i\left(\theta_{1}+\ldots+\theta_{j-1}\right)} \frac{1+e^{i \theta_{j}} a_{j}^{(-)} e^{v_{j}\left(x-v_{j} t\right)}}{1+a_{j}^{(-)} e^{v_{j}\left(x-v_{j} t\right)}}+O\left(e^{-v c||^{t} t}\right),
\]

где
\[
a_{j}^{(-)}=i \omega \tilde{m}_{j} \frac{\Delta(1, \ldots, j)}{\Delta(1, \ldots, j-1)}=\frac{\omega \tilde{c}_{j}}{2 v_{j} z_{j}} \prod_{l=1}^{j-1}\left|\frac{z_{l}-z_{j}}{z_{l}-\bar{z}_{j}}\right|^{2} .
\]

Преобразуем последнее выражение. Используя формулы $(8.5)$ – (8.6), имеем
\[
\frac{\omega c_{j}}{2 v_{j} z_{j}}=\frac{Z_{j}}{i \gamma_{j}}
\]

где
\[
Z_{j}=\frac{i \omega}{2 v_{j} z_{j} \dot{a}_{\rho}\left(z_{j}\right)}=-\frac{\omega}{z_{j}} e^{-\frac{i \theta}{2}} \prod_{\substack{l=1, l
eq j}}^{n} \frac{z_{l}-\bar{z}_{j}}{\left\lfloor z_{l}-z_{j}\right.} .
\]

Заметим, что в силу (8.7) величина $Z_{j}$ вещественна и
\[
\operatorname{sign} Z_{j}=\varepsilon_{j} \text {. }
\]

Поэтому
\[
Z_{j}=\varepsilon_{j}\left|Z_{j}\right|=\varepsilon_{j} \prod_{\substack{l=1, l
eq j}}^{n}\left|\frac{z_{l}-\overline{z_{j}}}{z_{l}-z_{j}}\right|,
\]

так что выражение (8.64) принимает вид
\[
a_{j}^{(-)}=\frac{1}{i \varepsilon_{j} \gamma_{j}^{(-)}},
\]

где
\[
\gamma_{j}^{(-)}=\gamma_{j} \prod_{l=j+1}^{n}\left|\frac{z_{l}-z_{j}}{z_{l}-\bar{z}_{j}}\right| \cdot \prod_{l=1}^{j-1}\left|\frac{z_{l}-\bar{z}_{j}}{z_{l}-z_{j}}\right| .
\]

Поставим выражение для $a_{j}^{(-)}$в формулу (8.63) и воспользуемся равенством $z_{l}=v_{l}+i v_{l}$. Мы получим окончательно, что на траектории $C_{j}$ при $t \rightarrow-\infty$ справедлива асимптотика
\[
\psi(x, t)=e^{i\left(\theta_{1} \vdash \cdots+\theta_{j-1}\right)} \psi_{\theta_{j}}\left(x-v_{j} t+x_{, j}^{(-)}+O\left(e^{-|c| t \mid}\right) .\right.
\]

Поведение решения $\psi(x, t)$ на траекториях общего вида исследуется аналогично и описывается при $t \rightarrow-\infty$ асимптотикой
\[
\psi(x, t)=e^{i\left(\theta_{1}+\ldots+\theta_{j}\right)} \rho+O\left(e^{-i c|t|}\right)
\]

в области $v_{j}>\tilde{v}>v_{j+1}$. Доказательство формулы (8.37) на зтом заканчивается.
Случай $t \rightarrow+\infty$ исследуется аналогично.
Отметим, что приведенные рассуждения доказывают и упомянутое выше утверждение о том, что функция $\psi(x, t)$ принимает свои граничные значения при $x \rightarrow \pm \infty$ с точностью $O\left(e^{-v i x \mid}\right)$.

Итак, мы показали, что исследованное решение $\psi(x, t)$ описывает взаимодействе $n$ солитонов. При $t \rightarrow \pm \infty$ солитоны ста-

новятся свободными и далеко расходятся друг от друга. Поэтому, как и в быстроубывающем случае, решение $\psi(x, t)$ будел называть п-солитонным.

Специфика нашего случая состоит в том, что решение $\psi(x, t)$ «распадается» на солитоны $\psi_{j}^{( \pm)}(x, t)$ с разными значениями фаз $\theta_{j}$. Эти фазы связаны со скоростями $v_{j}$ асимптотических солитонов и поэтому различны. Можно сказать, что взаимодействуют солитоны только с разными значениями фаз. Поэтому динамику солитонов естественно рассматривать в расширенном фазовом пространстве $\mathscr{H}_{\boldsymbol{p}}=\bigcup_{c<\theta<0 \pi} \mathscr{N}_{\boldsymbol{\rho}, \theta}$, которое уже упоминалось в $\S$ I.1. На соотношение
\[
\theta \equiv \sum_{i=1}^{n} \theta_{i}(\bmod 2 \pi)
\]

в этом случае можно смотреть как на закон сохранения.
Қак и в быстроубывающем случае, формулы (8.37)-(8.42) допускают наглядную интерпретацию в терминах теории рассеяния. Именно, $n$-солитонное решение описывает процесс рассеяния п солитонов. При $t \rightarrow \pm \infty$ мы имеем дело со свободным движением $n$ пространственно разделенных солитонов с параметрами $\left(v_{i}, x_{0 j}^{( \pm)}\right.$). При этом при $t \rightarrow-\infty$ центры инерции солитонов $x_{0 i}^{(-)}+v_{j} t$ упорядочены слева направо в порядке убывания скоростей; при $t \rightarrow+\infty$ порядок пространственного расположения солитонов заменяется на обратный.

В процессе рассеяния меняются только параметры $x_{n j}^{( \pm)}-$ координаты центров инерции при $t=0$. Формулы (8.41)-(8.42) дают их связь
\[
x_{0 j}^{(+)}=x_{i j}^{(-)}+\Delta x_{i j}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\Delta \boldsymbol{x}_{0 i}=-\frac{1}{v_{j}} \sum_{l=1}^{i-1} \ln \frac{\left(v_{l}-v_{j}\right)^{2}+\left(v_{l}+v_{j}\right)^{2}}{\left(v_{l}-v_{j}\right)^{2}+\left(v_{l}-v_{j}\right)^{2}}+ \\
+\frac{1}{v_{i}} \sum_{l=j+1}^{n} \ln \frac{\left(v_{l}-v_{j}\right)^{2}-\left(v_{l}+v_{j}\right)^{2}}{\left(v_{l}-v_{j}\right)^{2}+\left(v_{l}-v_{j}\right)^{2}} .
\end{array}
\]

Эти формулы показывают, что приращения координат $x_{0 j}$ при рассеянии представляются в виде суммы по двухчастичным сдвигам
\[
\begin{array}{l}
\Delta x_{01}=\frac{1}{v_{1}} \ln \frac{\left(v_{1}-v_{2}\right)^{2}+\left(v_{1}+v_{2}\right)^{2}}{\left(v_{1}-v_{2}\right)^{2}+\left(v_{1}-v_{2}\right)^{2}}, \\
\Delta x_{02}=-\frac{1}{v_{2}} \ln \frac{\left(v_{1}-v_{2}\right)^{2}+\left(v_{1}+v_{2}\right)^{2}}{\left(v_{1}-v_{2}\right)^{2}+\left(v_{1}-v_{2}\right)^{2}}
\end{array}
\]

для $v_{1}>v_{2}$ с очевидной заменой $1 \leftrightarrow 2$ для $v_{1}<v_{2}$. Таким образом, как и в быстроубывающем случае, мы имеем дело с факторизованным рассеянием.
Процесс рассеяния солитонов с гамильтоновой точки зрения мы обсудим в следующей главе.