Қак и в быстроубывающем случае, солитонные решения связаны с безотражательной линейной задачей, т. е. с функциями $\psi (x),\overline{\psi }(x)$, для которых коэффициент $b_{\rho }(\lambda )$ тождественно исчезает.

Условия на исходные данные в этом случае значительно упрощаются. Именно, набор чисел $\{{\lambda }_j,c_j,{\tilde{c}}_j,j=1,\dots ,n\}$ обладает следующими свойствами.
1. Числа ${\lambda }_j$ лежат в лакуне — $\omega <{\lambda }_j<\omega$ и среди них нет совпадающих.
2. Величины $m_j=c_j/z_j$, где
$$z_j={\lambda }_j+i\sqrt{{\omega }^2-{\lambda }_i^2},\left|z_j\right|=\omega ,$$

вещественны и удовлетворяют неравенству
$$m_j<0,j=1,\dots ,n.$$
3. Выполняется условие ( $\theta$ )
$$e^{i\theta }=\prod _{j=1}^n\frac{{\overline{z}}_j}{z_j}.$$
4. Имеет место формула связи
$$c_j{\tilde{c}}_j=\frac{1}{{\dot{a}}_{\rho }^2\left(z_j\right)},j=1,\dots ,n,$$

где
$$a_{\rho }(z)=e^{i\theta /2}\prod _{j=1}^n\frac{z-z_i}{z-{\overline{z}}_j},$$

а точка означает производную по $z$.
В терминах величин ${\tilde{m}}_j={\tilde{c}}_j/z_j$ неравенство (8.2) принимает вид ${\tilde{m}}_j>0,j=1,\dots ,n$.

Отметим, что в безотражательном случае функция $a_{\rho }(z)$ регулярна при $z=\pm \omega$, так что эти значения являются виртуальными уровнями.

Связь набора чисел $\{{\lambda }_j,c_j,{\tilde{c}}_j\}$ с исходными данными задачи Римана $\{{\lambda }_j,{\gamma }_j\}$ осуществляется на основании соотношения
$${\gamma }_j=c_j{\dot{a}}_{\rho }\left(z_j\right),j=1,\dots ,n.$$

Благодаря свойствам (8.2) — (8.3) и формуле (8.5) числа ${\gamma }_j-$ чисто мнимые и
$$\mathrm{sign}i{\gamma }_j=\mathrm{sign}\frac{z_j{\dot{a}}_{\rho }\left(z_j\right)}{i}={\epsilon }_j,j=1,\dots ,n.$$

Приступим к решению обратной задачи и рассмотрим сначала случай $n=1$. В силу условия (8.3) собственное значение ${\lambda }_1$ явно выражается через параметр $\theta$ и имеет вид
$${\lambda }_1=-\omega \cos \frac{\theta }{2}.$$

Действительно, условие ( $\theta$ ) дает выражение
$$z_1=-\omega e^{-i\theta /2},0⩽\theta <2\pi ,$$

откуда (8.8) следует из (8.1).
Уравнение Гельфанда— Левитана — Марченко для левого конца имеет вид
$${\mathrm{\Gamma }}_{-}(x,y)+\tilde{\mathrm{\Omega }}(x+y)+{\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{\mathrm{\Gamma }}_{-}(x,s)\tilde{\mathrm{\Omega }}(s+y)ds=0,$$

где $y⩽x$, а ядро $\tilde{\mathrm{\Omega }}(x)$ дается формулами (7.45) — (7.47) и в нашем случае записывается в виде
$$\tilde{\mathrm{\Omega }}(x)==M_1{N}_1^{\tau }{e}^{v_{1}x/2}.$$

Здесь
$$v_1=\frac{1}{i}{k}_1=\sqrt{{\omega }^2-{\lambda }_1^2}>0,$$

а столбцы $M_1$ и $N_1$ выглядят следующим образом:
$$M_1=\frac{\sqrt{{\tilde{m}}_1}}{2}\left(\begin{array}{c}\omega \\ i{\overline{z}}_1\end{array}\right),N_1=\frac{\sqrt{{\tilde{m}}_1}}{2}\left(\begin{array}{c}1\\ \frac{z_1}{i\omega }\end{array}\right),$$

где берется арифметическое значение квадратного корня. Здесь для единообразия с последующими формулами для случая $n>1$ мы использовали переменную $z_1$, а не $\theta$.

Таким образом, ядро $\tilde{\mathrm{\Omega }}(x+y)$ интегрального уравнения (8.10) является одномерным и это уравнение решается явно.
Представляя матрицу ${\mathrm{\Gamma }}_{-}(x,y)$ в виде
$${\mathrm{\Gamma }}_{-}(x,y)=f_1(x)N_1^{\tau }{e}^{v_{1}y/2},$$

для столбца $f_1(x)$ получаем линейное алгебраическое уравнение
$$f_1(x)+M_1{e}^{v_{1}x/2}+A(x)f_1(x)=0,$$

где функция $A(x)$ имеет вид
$$A(x)=N_1^{\tau }{M}_1{\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{e}^{v_{1}s}ds=\frac{{\tilde{m}}_1\omega }{2v_1}{e}^{v_{1}x}.$$

Отсюда для $f_1(x)$ имеем выражение
$$f_1(x)=-\frac{e^{v_{1}x/2}}{1+A(x)}{M}_1.$$

Вычисляя функцию $\psi (x)$ по общим формулам (7.49) и (7.54), получаем
$$\psi (x)=\rho \frac{i{\gamma }_1+e^{i\theta }{e}^{v_{1}x}}{i{\gamma }_1+e^{v_{1}x}},$$

где мы использовали (8.6) и связь (8.9) между $z_1$ и $\theta$. Напомним также, что в силу (8.7) $i{\gamma }_1>0$, так что знаменатель в формуле (8.18) не исчезает и функция $\psi (x)$ регулярна на всей вецественной оси. Она удовлетворяет граничным условиям конечной плотности
$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\psi (x)=\rho ,\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\psi (x)=\rho e^{i\theta }$$

с экспоненциальной точностью $O\left(e^{-v_l|x|}\right)$.
Решение $\psi (x,t)$ уравнения НШ, для которого функция $\psi (x)$ играет роль начальных данных, получается по общим формулам (6.51) заменой в (8.18) коэффициента ${\gamma }_1$ на ${\gamma }_1(t)$ :
$${\gamma }_1(t)=e^{{\lambda }_1{v}_{1}t}{\gamma }_1$$

и может быть записано в виде
$$\psi (x,t)={\psi }_{\theta }(x-vt,x_0)=\rho \frac{1+e^{i\theta }\exp \left\{v_1(x-vt-x_0)\right\}}{1+\exp \left\{v_1(x-vt-x_0)\right\}},$$

где
$$v={\lambda }_1=-\omega \cos \frac{\theta }{2},x_0=\frac{1}{v_1}\ln i{\gamma }_1.$$

Формула (8.21) показывает, что решение $\psi (x,t)$ представляет собой волну, распространяющуюся со скоростью v. Из представления
$$|\mathrm{\Psi }(x,t){|}^2={\rho }^2-\frac{v_1^2}{{\omega }^2{\mathrm{ch}}^2\left\{\frac{v_1}{2}(x-vt-x_0)\right\}}$$

следует, что эта волна локализована в окрестности $x=x_0+vt$.

По построению это решение имеет конечную энергию и конечные значения всех остальных интегралов движения. Согласно определению, данному в § 5, решение $\psi (x,t)$ является солитоном в широком смысле для модели НШІ в случае конечной плотности. Ниже мы убедимся, что рассеяние этих солитонов удовлетворяет условию факторизации, так что $\psi (x,t)$ определяет солитон в обычном смысле.

В отличие от солитона для быстроубывающего случая, который параметризуется четырьмя вещественными параметрами, наш солитон $\psi (x,t)$ зависит от двух параметров: скорости $v$ и координаты центра инерции $x_0$ в момент $t=0$. При этом скорость солитона не произвольна, а удовлетворяет ограничению $|u|<\omega$. Піраметр $v_1=\sqrt{{\omega }^2-v^2}$, характеризующий амплитуду солитона, исчезает при $|v|\to \omega (\theta \to 0)$. С фнзической точки зрения решепие $\psi (x,t)$ представляет собой уединенную волну, распространяющуюся над конденсатом постоянной плотности; при этом возникает естественное ограничение на ее скорость.

Рассмотрим теперь общий случай, когда $n$ произвольно. Ядро $\tilde{\mathrm{\Omega }}(x+y)$ интегрального уравнения (8.10) по-прежнему является вырожденным и представляется в виде
$$\tilde{\mathrm{\Omega }}(x+y)=\sum _{j=1}^n{M}_j{N}_j^{\tau }{e}^{v_j(x+b);2},$$

где
$$v_j=\mathrm{Im}{z}_j=\sqrt{{\omega }^2-{\lambda }_i^2},$$
a
$$M_j=\frac{\sqrt{{\tilde{m}}_j}}{2}\left(\begin{array}{c}\omega \\ i{\overline{z}}_j\end{array}\right),N_i=\frac{\sqrt{{\overline{m}}_j}}{2}\left(\begin{array}{c}1\\ \frac{z_j}{i\omega }\end{array}\right)$$

и $\sqrt{{\tilde{m}}_j}>0,j=1,\dots ,n$.
Решение уравнения (8.10) ищем в виде
$${\mathrm{\Gamma }}_{-}(x,y)=\sum _{j=1}^n{f}_j(x)N_j^{\tau }{e}^{v_j{y}^{\prime /2}}.$$

Для столбцов $f_j(x)$ получаем систему линейных алгебраических уравнений
$$f_j(x)+M_j{e}^{v_j{x}^{x/2}}+\sum _{l=1}^n{A}_{jl}(x)f_l(x)=0,$$

где функции $A_{jl}(x)$ даются формулой

Последнее выражение можно упростить, используя соотношення $v_j=\frac{z_j-{\overline{z}}_j}{2i}$ и $\left|z_j\right|=\omega$. В результате для $A_{jl}(x)$ получаем
$$A_{jl}(x)=\frac{i(0\sqrt{{\tilde{m}}_j{\tilde{m}}_l}}{z_j-{\overline{z}}_l}{e}^{\frac{1}{2}(v_j+v_l)x}.$$

Подчеркнем, что система уравнений (8.28) распадается на две системы для первых и вторых компонент столбцов $f_j(x)$. Для вторых компонент $p_j(x)$ получаем систему линейных алгебраических уравнений
$$p_i(x)+\frac{i{\overline{z}}_j\sqrt{{\tilde{m}}_j}}{2}{e}^{\frac{v_{j}x}{2}}+\sum _{l=1}^n{A}_{il}(x)p_l(x)=0,j=1,\dots ,n\text{. (8.31) }$$

Функция $\psi (x)$ выражается через $p_j(x)$ по формуле
$$\psi (x)=\frac{2\rho }{\omega }\sum _{j=1}^n\sqrt{{\tilde{m}}_j}{p}_j(x)e^{v_j{x}^2}+\rho ,$$

которую на.основании формул Крамера можно переписать в виде
$$\psi (x)=\rho \frac{\det (I+A_1(x))}{\det (I+A(x))}+\rho .$$

Здесь $A(x)-n\times n$ матрица с матричными элементами $A_{jl}(x)$, а матрица $A_1(x)$ имеет вид

где
$$d_i(x)=\sqrt{{\tilde{m}}_j}{e}^{v_{j}x/2},e_j(x)=\frac{i\omega }{z_j}{d}_i(x),j=1,\dots ,n.$$

Формулы (8.33) — (8.35) дают окончательное выражение для безотражательных функций $\psi (x),\overline{\psi }(x)$ в случае граничных условий конечной плотности.

Отметим, что гладкость функции $\psi (x)$, т. е. невырожденность матрицы $I+A(x)$, равно как и справедливость граничных условий конечной плотности (8.19), вытекают из доказанных в іредыдущем параграфе общих утверждений I-V. Однако их можно проверить и непосредственно, отправляясь от формул (8.33) — (8.35). При этом предельные значения (8.19) принимаются не просто в смысле Шварца, а с экспоненциальной точ-

ностью $O\left(e^{-v|x|}\right)$, где $v=\underset{j=1,\dots ,n}{min}\left\{v_{\mathrm{j}}\right\}$; это будет простым следствием приведенных ниже рассуждений.

Решение $\psi (x,t)$ уравнения НШ с начальным условием $\psi (x)$ вида (8.33) — (8.35) получается после замены в этих формулах ${\tilde{m}}_j$ на ${\tilde{m}}_j(t)$ :
$${\tilde{m}}_j(t)=e^{-{\lambda }_j{v}_{j}t}{\tilde{m}}_j,j=1,\dots ,n.$$

Убедимся, что это решение описывает процесс рассеяния $n$ солитонов.

Не умаляя общности, будем считать, что параметры ${\lambda }_1,\dots$ $\dots ,{\lambda }_n$ решения $\psi (x,t)$ упорядочены: ${\lambda }_1>{\lambda }_2>\dots >{\lambda }_n$. В этом случае решение $\psi (x,t)$ при $t\to \pm \mathrm{\infty }$ представляется в виде следующей суммы односолитонных решений:
$$\begin{array}{c}\psi (x,t)={\gamma }_1^{(-)}(x,t)+e^{i{\theta }_1}({\psi }_2^{(-)}(x,t)-\rho )+\dots \\ \dots +e^{i({\theta }_1+\dots +{\theta }_{n-1})}({\psi }_n^{(-)}(x,t)-\rho )+O\left(e^{-vc|t|}\right)\end{array}$$

при $t\to -\mathrm{\infty }$ и
$$\begin{array}{c}\psi (x,t)={\psi }_n^{(+)}(x,t)+e^{i{\theta }_n}({\psi }_{n-1}^{(+)}(x,t)-\rho )+\dots \\ \dots +e^{i_i{\theta }_n+\dots +{\theta }_2)}({\psi }_1^{(+)}(x,t)-\rho )+O\left(e^{-ıc|t|}\right)\end{array}$$

при $t\to +\mathrm{\infty }$, где $c=\underset{jeql}{min}\left\{|v_j-v_l|\right\}$.
Здесь ${\psi }_j^{(\pm )}(x,t)$ — солитоны с параметрами ${\theta }_j,v_j,x_{0j}^{(\pm )}$:
$${\psi }_j^{(\pm )}(x,t)={\psi }_{{\theta }_i}(x-v_{j}t+x_{0j}^{(\pm )}),$$

где
$$e^{i{\theta }_j}=\frac{{\overline{z}}_i}{z_i},0⩽{\theta }_j<2\pi ,v_j={\lambda }_i=-\omega \cos \frac{{\theta }_j}{2}$$

и
$$\begin{array}{c}{x}_{0j}^{(-)}=x_{0i}-\frac{1}{2v_j}\sum _{l=j+1}^n\ln \frac{{(v_l-v_j)}^2+{(v_l+v_j)}^2}{{(v_l-v_j)}^2+{(v_l-v_j)}^2}+\\ +\frac{1}{2v_j}\sum _{l=1}^{j-1}\ln \frac{{(v_l-v_j)}^2+{(v_l+v_j)}^2}{{(v_l-v_j)}^2+{(v_l-v_j)}^2},\\ x_{0j}^{(+)}=x_{0j}+\frac{1}{2v_j}\sum _{l=j+1}^n\ln \frac{{(v_l-v_j)}^2+{(v_l+v_j)}^2}{{(v_l-v_j)}^2+{(v_l-v_j)}^2}-\\ -\frac{1}{2v_j}\sum _{l=1}^{j-1}\ln \frac{{(v_l-v_j)}^2+{(v_l+v_j)}^2}{{(v_l-v_j)}^2+{(v_l-v_j)}^2},\end{array}$$
a
$$x_{0j}=\frac{1}{v_j}\ln i{\epsilon }_j{\gamma }_j=\frac{1}{v_i}\ln \left|{\gamma }_i\right|,j=1,\dots ,n.$$

Здесь ${\epsilon }_j$ — знак вещественного параметра $i{\gamma }_j$, который однозначно определяется по формуле (8.7).

Доказательство сформулированных утверждений будет основано на явных формулах (8.33) — (8.35).

Рассмотрим, для определенности, случай $t\to -\mathrm{\infty }$. Нам достаточно показать, что на траекториях $C_j$ отдельного солитона
$$x-v_{j}t=\text{ const }$$

решение $\psi (x,t)$ при $t\to -\mathrm{\infty }$ стремится к односолитонному решению $e^{i({\theta }_1+\dots +{\theta }_{j-1})}{\psi }_j^{(-)}(x,t)$, а на траекториях общего вида $x-vt=$ $=$ const асимптотически принимает значения $\rho ,\rho e^{i({\theta }_1+\dots +{\theta }_j)}$ и $\rho e^{2\theta }$, $\theta \equiv {\theta }_1+\dots +{\theta }_n(mod2\pi )$, если $v>v_1,v_j>v>v_{j+1}$ и $v_n>v$ соответственно. Эти предельные значения принимаются с экспоненциальной точностью $O\left(e^{-{\text{vc }}^{\mid it}\mid }\right)$.

Приступим к доказательству этих утверждений. Запишем матричные элементы матрицы $A(x,t)$ в виде
$$A_{jl}(x,t)=\frac{i\omega }{z_j-{\overline{z}}_l}{e}^{{\zeta }_j(x,t)+{\xi }_l(x,t)},$$

где
$${\zeta }_j(x,t)=\frac{v_j}{2}(x-v_{j}t)+\frac{1}{2}\ln {\tilde{m}}_j,j=1,\dots ,n,$$

и преобразуем по очереди числитель и знаменатель формулы (8.33).
Начнем со знаменателя. Имеем очевидную формулу
$$\begin{array}{l}\det (I+A(x,t))=1+\sum _{i=1}^n(i\omega {)}^l\times \\ \times \sum _{1⩽j_1<\dots <i_l⩽n}\mathrm{\Delta }(j_1,\dots ,j_l)\exp 2({\zeta }_{j_1}(x,t)+\dots +{\zeta }_{j_l}(x,t)),\end{array}$$

где $\mathrm{\Delta }(j_1,\dots ,j_l)$ — главный минор $l$-го порядка $n\times n$ матрицы
$$D=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{z_1-{\overline{z}}_1}& \cdots & \frac{1}{z_1-{\overline{z}}_n}\\ \cdots & & \cdots \\ \frac{1}{z_n-{\overline{z}}_1}& \cdots & \frac{1}{z_n-{\overline{z}}_n}\end{array}\right),$$

образованный ее строками и столбцами с номерами $j_1,\dots ,j_l$. Для вычисления коэффициентов $\mathrm{\Delta }(j_1,\dots ,j_l)$ воспользуемся извест-

ной формулой
При $x-v_{j}t=$ const имеем
$$\begin{array}{ll}\underset{t\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\xi }_l(x,t)=-\mathrm{\infty },& l>j,\\ \underset{t\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\xi }_l(x,t)=+\mathrm{\infty },& l<j,\end{array}$$

поэтому, используя (8.47), на траектории $C_j$ при $t\to -\mathrm{\infty }$ получаем асимптотику
$$\begin{array}{l}\det (I+A(x))=(i\omega {)}^{j-1}\exp 2({\zeta }_1(x,t)+\dots {\zeta }_{j-1}(x,t))\times \\ \times (i\omega \mathrm{\Delta }(1,\dots ,j)\exp 2{\xi }_j(x,t)+\mathrm{\Delta }(1,\dots ,j-1)+O\left(e^{-v_c(t\mid }\right)).\end{array}$$

Рассмотрим теперь чнслитель в формуле (8.33). Аналогнчно (8.47) имеем представление
$$\begin{array}{rl}\det (I+A_1(x,t))& =\sum _{l=0}^{n+1}{\left(i_{\omega }\right)}^{t-1}\times \\ \times & \sum _{1⩽i_1<\dots <i_{l-1}⩽n}{\mathrm{\Delta }}_1(j_1,\dots ,j_{l-1})\exp 2({\xi }_{i_1}(x,t)+\dots +{\xi }_{l_{l-1}}(x,t)),\end{array}$$

где ${\mathrm{\Delta }}_1(j_1,\dots ,i_{l-1})$ — главный минор порядка $l$ матрицы

образованный строками и столбцами с номерами $j_1,\dots ,j_{l-1}$ и $n+1$.

Для вычисления коэффициентов ${\mathrm{\Delta }}_1(j_1,\dots ,j_{l-1})$ используем искусственный прием и рассмотрим матрицу

По общей формуле (8.49) имеем
$$\det D_1(z)=\frac{\det D}{z}\prod _{j=1}^n\frac{{\overline{z}}_j}{z_j}\cdot \frac{z-z_j}{z-{\overline{z}}_j}.$$

С другой стороны, разложив определитель матрицы $D_1(z)$ по последней строке и переходя к пределу при $z\to \mathrm{\infty }$, получим
$$\underset{z\to \mathrm{\infty }}{lim}z\det D_1(z)=\det D+\det D_1.$$

Сравнивая эти формулы, приходим к выражению
$$\det D_{\mathbf{1}}=(\prod _{j=1}^n\frac{{\overline{z}}_j}{z_j}-1)\det D.$$

Главные миноры матрицы $D_1$ рассматриваются аналогично. В результате получаем окончательное выражение
$${\mathrm{\Delta }}_1(j_1,\dots ,j_{l-1})=(e^{i({\theta }_{j_1}+\dots +{\theta }_{j_{l-1}})}-1)\mathrm{\Delta }(j_1,\dots ,j_{l-1}),$$

где
$$e^{i{\theta }_i}={\overline{z}}_j/z_j,j=1,\dots ,n.$$

Аналогично (8.53) на траектории $C_j$ при $t\to -\mathrm{\infty }$ имеем асимптотику
$\det (I+A_1(x,t))=(i\omega {)}^{j-1}\exp 2({\zeta }_1(x,t)+\dots +{\zeta }_{j-1}(x,t))\times$
$\times (i\omega {\mathrm{\Delta }}_1(1,\dots ,j)\exp 2{\zeta }_j(x,t)+{\mathrm{\Delta }}_1(1,\dots ,j-1)+O\left(e^{-vc\mid t}\right))$.
Подставим полученные асимптотики (8.53) и (8.62) в выражение (8.33) для $\psi (x,t)$. Используя формулы (8.46), (8.50) и (8.61), на траектории $C_j$ получаем следующую асимптотику:
$$\psi (x,t)=\rho e^{i({\theta }_1+\dots +{\theta }_{j-1})}\frac{1+e^{i{\theta }_j}{a}_j^{(-)}{e}^{v_j(x-v_{j}t)}}{1+a_j^{(-)}{e}^{v_j(x-v_{j}t)}}+O\left(e^{-vc|{|}^{t}t}\right),$$

где
$$a_j^{(-)}=i\omega {\tilde{m}}_j\frac{\mathrm{\Delta }(1,\dots ,j)}{\mathrm{\Delta }(1,\dots ,j-1)}=\frac{\omega {\tilde{c}}_j}{2v_j{z}_j}\prod _{l=1}^{j-1}{\left|\frac{z_l-z_j}{z_l-{\overline{z}}_j}\right|}^2.$$

Преобразуем последнее выражение. Используя формулы $(8.5)$ — (8.6), имеем
$$\frac{\omega c_j}{2v_j{z}_j}=\frac{Z_j}{i{\gamma }_j}$$

где
$$Z_j=\frac{i\omega }{2v_j{z}_j{\dot{a}}_{\rho }\left(z_j\right)}=-\frac{\omega }{z_j}{e}^{-\frac{i\theta }{2}}\prod _{\begin{array}{c}l=1,leqj\end{array}}^n\frac{z_l-{\overline{z}}_j}{\lfloor z_l-z_j}.$$

Заметим, что в силу (8.7) величина $Z_j$ вещественна и
$$\mathrm{sign}{Z}_j={\epsilon }_j\text{. }$$

Поэтому
$$Z_j={\epsilon }_j\left|Z_j\right|={\epsilon }_j\prod _{\begin{array}{c}l=1,leqj\end{array}}^n\left|\frac{z_l-\overline{z_j}}{z_l-z_j}\right|,$$

так что выражение (8.64) принимает вид
$$a_j^{(-)}=\frac{1}{i{\epsilon }_j{\gamma }_j^{(-)}},$$

где
$${\gamma }_j^{(-)}={\gamma }_j\prod _{l=j+1}^n\left|\frac{z_l-z_j}{z_l-{\overline{z}}_j}\right|\cdot \prod _{l=1}^{j-1}\left|\frac{z_l-{\overline{z}}_j}{z_l-z_j}\right|.$$

Поставим выражение для $a_j^{(-)}$в формулу (8.63) и воспользуемся равенством $z_l=v_l+i{v}_l$. Мы получим окончательно, что на траектории $C_j$ при $t\to -\mathrm{\infty }$ справедлива асимптотика
$$\psi (x,t)=e^{i({\theta }_1⊢\cdots +{\theta }_{j-1})}{\psi }_{{\theta }_j}(x-v_{j}t+x_{,j}^{(-)}+O\left(e^{-|c|t\mid }\right).$$

Поведение решения $\psi (x,t)$ на траекториях общего вида исследуется аналогично и описывается при $t\to -\mathrm{\infty }$ асимптотикой
$$\psi (x,t)=e^{i({\theta }_1+\dots +{\theta }_j)}\rho +O\left(e^{-ic|t|}\right)$$

в области $v_j>\tilde{v}>v_{j+1}$. Доказательство формулы (8.37) на зтом заканчивается.
Случай $t\to +\mathrm{\infty }$ исследуется аналогично.
Отметим, что приведенные рассуждения доказывают и упомянутое выше утверждение о том, что функция $\psi (x,t)$ принимает свои граничные значения при $x\to \pm \mathrm{\infty }$ с точностью $O\left(e^{-vix\mid }\right)$.

Итак, мы показали, что исследованное решение $\psi (x,t)$ описывает взаимодействе $n$ солитонов. При $t\to \pm \mathrm{\infty }$ солитоны ста-

новятся свободными и далеко расходятся друг от друга. Поэтому, как и в быстроубывающем случае, решение $\psi (x,t)$ будел называть п-солитонным.

Специфика нашего случая состоит в том, что решение $\psi (x,t)$ «распадается» на солитоны ${\psi }_j^{(\pm )}(x,t)$ с разными значениями фаз ${\theta }_j$. Эти фазы связаны со скоростями $v_j$ асимптотических солитонов и поэтому различны. Можно сказать, что взаимодействуют солитоны только с разными значениями фаз. Поэтому динамику солитонов естественно рассматривать в расширенном фазовом пространстве ${\mathcal{H}}_{\mathit{p}}=\bigcup _{c<\theta <0\pi }{\mathcal{N}}_{\mathit{\rho },\theta }$, которое уже упоминалось в $\mathrm{\S }$ I.1. На соотношение
$$\theta \equiv \sum _{i=1}^n{\theta }_i(mod2\pi )$$

в этом случае можно смотреть как на закон сохранения.
Қак и в быстроубывающем случае, формулы (8.37)-(8.42) допускают наглядную интерпретацию в терминах теории рассеяния. Именно, $n$-солитонное решение описывает процесс рассеяния п солитонов. При $t\to \pm \mathrm{\infty }$ мы имеем дело со свободным движением $n$ пространственно разделенных солитонов с параметрами $(v_i,x_{0j}^{(\pm )}$). При этом при $t\to -\mathrm{\infty }$ центры инерции солитонов $x_{0i}^{(-)}+v_{j}t$ упорядочены слева направо в порядке убывания скоростей; при $t\to +\mathrm{\infty }$ порядок пространственного расположения солитонов заменяется на обратный.

В процессе рассеяния меняются только параметры $x_{nj}^{(\pm )}-$ координаты центров инерции при $t=0$. Формулы (8.41)-(8.42) дают их связь
$$x_{0j}^{(+)}=x_{ij}^{(-)}+\mathrm{\Delta }{x}_{ij}$$

где
$$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }{\mathit{x}}_{0i}=-\frac{1}{v_j}\sum _{l=1}^{i-1}\ln \frac{{(v_l-v_j)}^2+{(v_l+v_j)}^2}{{(v_l-v_j)}^2+{(v_l-v_j)}^2}+\\ +\frac{1}{v_i}\sum _{l=j+1}^n\ln \frac{{(v_l-v_j)}^2-{(v_l+v_j)}^2}{{(v_l-v_j)}^2+{(v_l-v_j)}^2}.\end{array}$$

Эти формулы показывают, что приращения координат $x_{0j}$ при рассеянии представляются в виде суммы по двухчастичным сдвигам
$$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }{x}_{01}=\frac{1}{v_1}\ln \frac{{(v_1-v_2)}^2+{(v_1+v_2)}^2}{{(v_1-v_2)}^2+{(v_1-v_2)}^2},\\ \mathrm{\Delta }{x}_{02}=-\frac{1}{v_2}\ln \frac{{(v_1-v_2)}^2+{(v_1+v_2)}^2}{{(v_1-v_2)}^2+{(v_1-v_2)}^2}\end{array}$$

для $v_1>v_2$ с очевидной заменой $1\leftrightarrow 2$ для $v_1<v_2$. Таким образом, как и в быстроубывающем случае, мы имеем дело с факторизованным рассеянием.
Процесс рассеяния солитонов с гамильтоновой точки зрения мы обсудим в следующей главе.