Мы покажем, что рассмотренная только что модель магнетика на решетке РМГ после небольшой модификации может быть интерпретирована как разностное приближение к модели НШ.

Начнем с фазового пространства. Естественные переменные для модели НШ на решетке $\psi_{n}, \bar{\psi}_{n}$ имеют скобки Пуассона
\[
\left\{\psi_{n}, \psi_{m}\right\}=\left\{\bar{\psi}_{n}, \bar{\psi}_{m}\right\}=0, \quad\left\{\psi_{n}, \bar{\psi}_{m}\right\}=i \delta_{n m} .
\]

Положим
\[
\begin{aligned}
S_{n}^{+}=S_{n}^{1}+i S_{n}^{2} & =\frac{2(-1)^{n}}{\overline{\bar{g}}} \psi_{n} \sqrt{1+\frac{g}{4}\left|\psi_{n}\right|^{2}}, \\
S_{n}^{-}=S_{n}^{1}-i S_{n}^{2} & =\frac{2(-1)^{n}}{\sqrt{g}} \bar{\psi}_{n} \sqrt{1+\frac{g}{4}\left|\psi_{n}\right|^{2}}, \\
S_{n}^{3} & =\frac{2}{|g|}\left(1+\frac{g}{2}\left|\psi_{n}\right|^{2}\right)
\end{aligned}
\]

и при $g<0$ будем считать, что переменные $\psi_{n}, \bar{\psi}_{n}$ меняются внутри круга $\left|\psi_{n}\right|^{2} \leqslant-4 / g$. Тогда в этом случае переменные $\overrightarrow{S_{n}}$ пробегают сферу радиуса $s$,
\[
s^{2}=4 / g^{2},
\]

в $\mathbb{R}^{3}$. При $g>0$ эти переменные меняются на верхней поле двуполостного гиперболоида
\[
\left(S_{n}^{3}\right)^{2}-\left(S_{n}^{1}\right)^{2}-\left(S_{n}^{2}\right)^{2}=4 / g^{2} .
\]

Скобки Пуассона (2.41) приводят к соотношениям
\[
\left\{S_{n}^{a}, S_{m}^{b}\right\}=-f^{a b c} \delta_{n m} S_{n}^{c}
\]

где $f^{a b c}$ – структурные константы алгебр Ли группы $S U(2)$ $\left(f^{a b c}=\varepsilon^{a b c}\right.$ ) или $S U(1,1)$ для случая $g<0$ или $g>0$ соотвәтственно. Ниже мы ограничимся рассмотрением компактного случая $g<0$.

Формулы (2.42) имеют элементарное геометрическое происхождение. При отображении $\mathbb{C} \cup\{\infty\}$ на сферу $\mathbb{S}^{2}$
\[
S_{+}=S_{1}+i S_{2}=\frac{2 z}{1+|z|^{2}}, \quad S_{-}=S_{1}-i S_{2}=\frac{2 \bar{z}}{1+|z|^{2}}, S_{3}=\frac{1-|z|^{2}}{1+|z|^{2}}
\]
(обратная стереографическая проекция) стандартная симплектическая форма на $\mathbb{S}^{2}$ – форма площади $\omega$ (см. $\$ 1$ ) – переходит в форму
\[
\omega_{*}=\frac{2}{i} \frac{d z \wedge d \bar{z}}{\left(1+|z|^{2}\right)^{2}} .
\]

Эта форма приводится к каноническому виду
\[
\omega_{*}=\frac{1}{i} d \psi \wedge d \bar{\psi}
\]

лреобразованием растяжения
\[
z=f\left(|\psi|^{2}\right) \psi, \quad \bar{z}=f\left(|\psi|^{2}\right) \bar{\psi}
\]

где
\[
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2-x}} .
\]

Формулы (2.42) получаются в результате композиции этих преобразований (где вместо сферы $\mathbb{S}^{2}$ взята сфера радиуса $s=$ $=-2 / g$ ) и операции альтернирования знака
\[
\psi_{n} \mapsto(-1)^{n} \psi_{n}, \quad \bar{\psi}_{n} \mapsto(-1)^{n} \bar{\psi}_{n},
\]

которая, очевидно, сохраняет скобки Пуассона (2.41). Смысл последнего преобразования станет ясен чуть ниже.

Подставим теперь выражения (2.42) для $\vec{S}_{n}$ в уравнения движения модели РМГ; при этом вместо уравнений (2.24) удобнее использовать уравнения движения, порожденные гамильтониаHOM
\[
H_{\mathrm{reg}}=-s H-4 \sum_{n}\left(S_{n}^{3}-s\right),
\]

где $H$ дается формулой (2.23). Правая часть соответствующих гамильтоновых уравнений движения отличается от (2.24) множителем $-s$ и слагаемым $4 \vec{S}_{n} \wedge \vec{S}_{0}$. В переменных $\psi_{n}, \vec{\psi}_{n}$ эти уравнения эквивалентны уравнению
\[
i \frac{d \psi_{n}}{d t}=4 \psi_{n}+\frac{P_{n, n+1}}{Q_{n, n+1}}+\frac{P_{n, n-1}}{Q_{n, n-1}},
\]

где
\[
\begin{array}{l}
P_{n, n+1}=-\left(\psi_{n}+\psi_{n+1} \sqrt{1+\frac{g}{4}\left|\psi_{n}\right|^{2}} \sqrt{1+\frac{g}{4}\left|\psi_{n+1}\right|^{2}}+\right. \\
\left.+\frac{g}{2} \psi_{n}\left|\psi_{n+1}\right|^{2}+\frac{g}{8}\left(\left|\psi_{n}\right|^{2} \psi_{n+1}+\psi_{n}^{2} \bar{\psi}_{n+1}\right) \frac{\sqrt{1+\frac{g}{4}\left|\psi_{n+1}\right|^{2}}}{\sqrt{1+\frac{g}{4}\left|\psi_{n}\right|^{2}}}\right) \\
Q_{n, n+1}=1+\frac{g}{4}\left(\left|\psi_{n}\right|^{2}+\left|\psi_{n+1}\right|^{2}+\left(\psi_{n} \bar{\psi}_{n+1}+\bar{\psi}_{n} \psi_{n+1}\right) \times\right. \\
\left.\times \sqrt{1+\frac{g}{4}\left|\psi_{n}\right|^{2}} \sqrt{1+\frac{g}{4}\left|\psi_{n+1}\right|^{2}}+\frac{g}{2}\left|\psi_{n}\right|^{2}\left|\psi_{n+1}\right|^{2}\right)
\end{array}
\]

Полученное уравнение для $\psi_{n}$ имеет весьма громоздкий вид. Однако в непрерывном пределе
\[
x=n \Delta, \quad g=x \Delta, \quad \psi_{n}=\sqrt{\Delta} \psi(x),
\]

где $\psi(x)$-гладкая функция, оно переходит в уравнение НШ.

Действительно, используя элементарные формулы
\[
\sqrt{1+\frac{g}{4}\left|\psi_{n}\right|^{2}}=1+\frac{g}{8}\left|\psi_{n}\right|^{2}+O\left(\Delta^{3}\right), \quad Q_{n, n+1}=1+g\left|\psi_{n}\right|^{2}+O\left(\Delta^{3}\right),
\]

уравнение (2.53) легко преобразуется к виду
\[
i \frac{d \psi_{n}}{d t}=-\left(\psi_{n+1}+\psi_{n-1}-2 \psi_{n}\right)+2 g\left|\psi_{n}\right|^{2} \psi_{n}+O\left(\Delta^{3+1 / 2}\right)
\]

и после замены $t \mapsto \Delta^{2} t$ в пределе $\Delta \rightarrow 0$ переходит в уравнение НШ.

Таким образом, модель РМГ, записанная в новых переменных, может действительно быть интерпретирована как разностная аппроксимация для модели НШ; в этом качестве будем называть ее моделью PHШ $_{1}$.

Подчеркнем, что непрерывные пределы от модели РМГ к моделям МГ и НШ существенно различны. Отметим также, что альтернирование знака в (2.42) играет существенную роль; без него в непрерывном пределе нелинейное слагаемое $2 \chi|\psi|^{2} \psi$ не возникает. вой кривизны с матрицами $L_{n}(t, \lambda)$ и $\widetilde{V}_{n}(t, \lambda)$ :
\[
\tilde{V}_{n}(t, \lambda)=-s V_{n}(t, \lambda)+2 i S_{0}, \quad S_{0}=\vec{S}_{0} \cdot \vec{\sigma},
\]

в которых переменные $\vec{S}_{n}$ заменены на $\psi_{n}, \bar{\psi}_{n}$ согласно формулам (2.42). Поучительно посмотреть на связь этих матриц с таковыми для модели НШ.

Рассмотрим вспомогательную линейную задачу для модели РМГ
\[
F_{n+1}=L_{n}(\lambda) F_{n},
\]

подставим в матрицу $L_{n}(\lambda)$ выражения (2.42) для $\vec{S}_{n}$, заменим $\lambda$ на $2 g / \lambda$ и положим
\[
G_{n}(\lambda)=\sigma_{3}^{n}\left(\frac{\lambda}{2 i}\right)^{n} F_{n}\left(\frac{2 g}{\lambda}\right) .
\]

Для вектора $G_{n}(\lambda)$ из (2.60) получаем уравнение
\[
G_{n+1}=\mathscr{L}_{n}(\lambda) G_{n},
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\widetilde{L}_{n}(\lambda)=\frac{\lambda}{2 i} \sigma_{3}^{n+1} L_{n}\left(\frac{2 g}{\lambda}\right) \sigma_{3}^{n}= \\
=I+\left(\begin{array}{cc}
\frac{g}{2}\left|\psi_{n}\right|^{2} & -\sqrt{g} \bar{\psi}_{n} \sqrt{1+\frac{g}{4}\left|\psi_{n}\right|^{2}} \\
-\sqrt{\bar{g} \psi_{n}} \sqrt{1+\frac{g}{4}\left|\psi_{n}\right|^{2}} & \frac{g}{2}\left|\psi_{n}\right|^{2}
\end{array}\right)+\frac{\lambda \sigma_{3}}{2 i} .
\end{array}
\]

Из последней формулы ясно, что матрица $\widetilde{L}_{n}(\lambda)$ получается из $\iota_{n}(\lambda)$ посредством замены спектрального параметра и решеточного аналога калибровочного преобразования. Это преобразование, в частности, компенсирует альтернирование знака в (2.51). Вспомогательная линейная задача (2.62) после замены (2.56) и $\lambda \mapsto \Delta \cdot \lambda$ очевидно переходит во вспомогательную линейную задачу для модели НШ
\[
\frac{d G}{d x}=\left(\frac{\lambda \sigma_{3}}{2 i}+\sqrt{x}\left(\begin{array}{cc}
0 & \bar{\psi}(x) \\
\psi(x) & 0
\end{array}\right)\right) G
\]

в непрерывном пределе $\Delta \rightarrow 0$.
Аналогичным образом рассматривается непрерывный предел как в уравнении по $t$ с матрицей $\widetilde{V}_{n}(t, \lambda)$, так и для скобок Пуассона; в гамильтониане $H_{\text {ге }}$ следует ограничиться двумя первыми членами разложения Тейлора функции $\ln (1+x)$ при $x=0$. В результате получим, что
\[
H_{\mathrm{res}}=\Delta^{2} \int\left(\left|\frac{d \psi}{d x}\right|^{2}+x|\psi|^{1}\right) d x+O\left(\Delta^{3}\right) .
\]

Аналогичным образом можно рассмотреть и модель РНШI, при $g>0$. Она связана с моделью магнетика для группы $S U(1,1)$, в которой аналогом сферы $\mathbb{S}^{2}$ является половина (например, верхняя пола) двуполостного гиперболоида-модель плоскости Лобачевского.

Другой пример разностной аппроксимации к модели НШ дает