Мы покажем, что рассмотренная только что модель магнетика на решетке РМГ после небольшой модификации может быть интерпретирована как разностное приближение к модели НШ.

Начнем с фазового пространства. Естественные переменные для модели НШ на решетке ${\psi }_n,{\overline{\psi }}_n$ имеют скобки Пуассона
$$\{{\psi }_n,{\psi }_m\}=\{{\overline{\psi }}_n,{\overline{\psi }}_m\}=0,\{{\psi }_n,{\overline{\psi }}_m\}=i{\delta }_{nm}.$$

Положим
$$\begin{array}{rl}{S}_n^{+}=S_n^1+i{S}_n^2& =\frac{2(-1{)}^n}{\bar{\overline{g}}}{\psi }_n\sqrt{1+\frac{g}{4}{\left|{\psi }_n\right|}^2},\\ S_n^{-}=S_n^1-i{S}_n^2& =\frac{2(-1{)}^n}{\sqrt{g}}{\overline{\psi }}_n\sqrt{1+\frac{g}{4}{\left|{\psi }_n\right|}^2},\\ S_n^3& =\frac{2}{|g|}(1+\frac{g}{2}{\left|{\psi }_n\right|}^2)\end{array}$$

и при $g<0$ будем считать, что переменные ${\psi }_n,{\overline{\psi }}_n$ меняются внутри круга ${\left|{\psi }_n\right|}^2⩽-4/g$. Тогда в этом случае переменные $\overrightarrow{S_n}$ пробегают сферу радиуса $s$,
$$s^2=4/g^2,$$

в ${\mathbb{R}}^3$. При $g>0$ эти переменные меняются на верхней поле двуполостного гиперболоида
$${\left(S_n^3\right)}^2-{\left(S_n^1\right)}^2-{\left(S_n^2\right)}^2=4/g^2.$$

Скобки Пуассона (2.41) приводят к соотношениям
$$\{S_n^a,S_m^b\}=-f^{abc}{\delta }_{nm}{S}_n^c$$

где $f^{abc}$ — структурные константы алгебр Ли группы $SU(2)$ $(f^{abc}={\epsilon }^{abc}$ ) или $SU(1,1)$ для случая $g<0$ или $g>0$ соотвәтственно. Ниже мы ограничимся рассмотрением компактного случая $g<0$.

Формулы (2.42) имеют элементарное геометрическое происхождение. При отображении $\mathbb{C}\cup \{\mathrm{\infty }\}$ на сферу ${\mathbb{S}}^2$
$$S_{+}=S_1+i{S}_2=\frac{2z}{1+|z{|}^2},S_{-}=S_1-i{S}_2=\frac{2\overline{z}}{1+|z{|}^2},S_3=\frac{1-|z{|}^2}{1+|z{|}^2}$$
(обратная стереографическая проекция) стандартная симплектическая форма на ${\mathbb{S}}^2$ — форма площади $\omega$ (см. $\mathrm{\$}1$ ) — переходит в форму
$${\omega }_{\ast }=\frac{2}{i}\frac{dz\wedge d\overline{z}}{{(1+|z{|}^2)}^2}.$$

Эта форма приводится к каноническому виду
$${\omega }_{\ast }=\frac{1}{i}d\psi \wedge d\overline{\psi }$$

лреобразованием растяжения
$$z=f\left(|\psi {|}^2\right)\psi ,\overline{z}=f\left(|\psi {|}^2\right)\overline{\psi }$$

где
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2-x}}.$$

Формулы (2.42) получаются в результате композиции этих преобразований (где вместо сферы ${\mathbb{S}}^2$ взята сфера радиуса $s=$ $=-2/g$ ) и операции альтернирования знака
$${\psi }_n\mapsto (-1{)}^n{\psi }_n,{\overline{\psi }}_n\mapsto (-1{)}^n{\overline{\psi }}_n,$$

которая, очевидно, сохраняет скобки Пуассона (2.41). Смысл последнего преобразования станет ясен чуть ниже.

Подставим теперь выражения (2.42) для ${\overrightarrow{S}}_n$ в уравнения движения модели РМГ; при этом вместо уравнений (2.24) удобнее использовать уравнения движения, порожденные гамильтониаHOM
$$H_{\mathrm{reg}}=-sH-4\sum _n(S_n^3-s),$$

где $H$ дается формулой (2.23). Правая часть соответствующих гамильтоновых уравнений движения отличается от (2.24) множителем $-s$ и слагаемым $4{\overrightarrow{S}}_n\wedge {\overrightarrow{S}}_0$. В переменных ${\psi }_n,{\overrightarrow{\psi }}_n$ эти уравнения эквивалентны уравнению
$$i\frac{d{\psi }_n}{dt}=4{\psi }_n+\frac{P_{n,n+1}}{Q_{n,n+1}}+\frac{P_{n,n-1}}{Q_{n,n-1}},$$

где
$$\begin{array}{l}{P}_{n,n+1}=-({\psi }_n+{\psi }_{n+1}\sqrt{1+\frac{g}{4}{\left|{\psi }_n\right|}^2}\sqrt{1+\frac{g}{4}{\left|{\psi }_{n+1}\right|}^2}+\\ +\frac{g}{2}{\psi }_n{\left|{\psi }_{n+1}\right|}^2+\frac{g}{8}({\left|{\psi }_n\right|}^2{\psi }_{n+1}+{\psi }_n^2{\overline{\psi }}_{n+1})\frac{\sqrt{1+\frac{g}{4}{\left|{\psi }_{n+1}\right|}^2}}{\sqrt{1+\frac{g}{4}{\left|{\psi }_n\right|}^2}})\\ Q_{n,n+1}=1+\frac{g}{4}({\left|{\psi }_n\right|}^2+{\left|{\psi }_{n+1}\right|}^2+({\psi }_n{\overline{\psi }}_{n+1}+{\overline{\psi }}_n{\psi }_{n+1})\times \\ \times \sqrt{1+\frac{g}{4}{\left|{\psi }_n\right|}^2}\sqrt{1+\frac{g}{4}{\left|{\psi }_{n+1}\right|}^2}+\frac{g}{2}{\left|{\psi }_n\right|}^2{\left|{\psi }_{n+1}\right|}^2)\end{array}$$

Полученное уравнение для ${\psi }_n$ имеет весьма громоздкий вид. Однако в непрерывном пределе
$$x=n\mathrm{\Delta },g=x\mathrm{\Delta },{\psi }_n=\sqrt{\mathrm{\Delta }}\psi (x),$$

где $\psi (x)$-гладкая функция, оно переходит в уравнение НШ.

Действительно, используя элементарные формулы
$$\sqrt{1+\frac{g}{4}{\left|{\psi }_n\right|}^2}=1+\frac{g}{8}{\left|{\psi }_n\right|}^2+O\left({\mathrm{\Delta }}^3\right),Q_{n,n+1}=1+g{\left|{\psi }_n\right|}^2+O\left({\mathrm{\Delta }}^3\right),$$

уравнение (2.53) легко преобразуется к виду
$$i\frac{d{\psi }_n}{dt}=-({\psi }_{n+1}+{\psi }_{n-1}-2{\psi }_n)+2g{\left|{\psi }_n\right|}^2{\psi }_n+O\left({\mathrm{\Delta }}^{3+1/2}\right)$$

и после замены $t\mapsto {\mathrm{\Delta }}^{2}t$ в пределе $\mathrm{\Delta }\to 0$ переходит в уравнение НШ.

Таким образом, модель РМГ, записанная в новых переменных, может действительно быть интерпретирована как разностная аппроксимация для модели НШ; в этом качестве будем называть ее моделью PHШ ${}_1$.

Подчеркнем, что непрерывные пределы от модели РМГ к моделям МГ и НШ существенно различны. Отметим также, что альтернирование знака в (2.42) играет существенную роль; без него в непрерывном пределе нелинейное слагаемое $2\chi |\psi {|}^2\psi$ не возникает. вой кривизны с матрицами $L_n(t,\lambda )$ и ${\tilde{V}}_n(t,\lambda )$ :
$${\tilde{V}}_n(t,\lambda )=-s{V}_n(t,\lambda )+2i{S}_0,S_0={\overrightarrow{S}}_0\cdot \overrightarrow{\sigma },$$

в которых переменные ${\overrightarrow{S}}_n$ заменены на ${\psi }_n,{\overline{\psi }}_n$ согласно формулам (2.42). Поучительно посмотреть на связь этих матриц с таковыми для модели НШ.

Рассмотрим вспомогательную линейную задачу для модели РМГ
$$F_{n+1}=L_n(\lambda )F_n,$$

подставим в матрицу $L_n(\lambda )$ выражения (2.42) для ${\overrightarrow{S}}_n$, заменим $\lambda$ на $2g/\lambda$ и положим
$$G_n(\lambda )={\sigma }_3^n{\left(\frac{\lambda }{2i}\right)}^n{F}_n\left(\frac{2g}{\lambda }\right).$$

Для вектора $G_n(\lambda )$ из (2.60) получаем уравнение
$$G_{n+1}={\mathcal{L}}_n(\lambda )G_n,$$

где
$$\begin{array}{l}{\tilde{L}}_n(\lambda )=\frac{\lambda }{2i}{\sigma }_3^{n+1}{L}_n\left(\frac{2g}{\lambda }\right){\sigma }_3^n=\\ =I+\left(\begin{array}{cc}\frac{g}{2}{\left|{\psi }_n\right|}^2& -\sqrt{g}{\overline{\psi }}_n\sqrt{1+\frac{g}{4}{\left|{\psi }_n\right|}^2}\\ -\sqrt{\overline{g}{\psi }_n}\sqrt{1+\frac{g}{4}{\left|{\psi }_n\right|}^2}& \frac{g}{2}{\left|{\psi }_n\right|}^2\end{array}\right)+\frac{\lambda {\sigma }_3}{2i}.\end{array}$$

Из последней формулы ясно, что матрица ${\tilde{L}}_n(\lambda )$ получается из ${\iota }_n(\lambda )$ посредством замены спектрального параметра и решеточного аналога калибровочного преобразования. Это преобразование, в частности, компенсирует альтернирование знака в (2.51). Вспомогательная линейная задача (2.62) после замены (2.56) и $\lambda \mapsto \mathrm{\Delta }\cdot \lambda$ очевидно переходит во вспомогательную линейную задачу для модели НШ
$$\frac{dG}{dx}=(\frac{\lambda {\sigma }_3}{2i}+\sqrt{x}\left(\begin{array}{cc}0& \overline{\psi }(x)\\ \psi (x)& 0\end{array}\right))G$$

в непрерывном пределе $\mathrm{\Delta }\to 0$.
Аналогичным образом рассматривается непрерывный предел как в уравнении по $t$ с матрицей ${\tilde{V}}_n(t,\lambda )$, так и для скобок Пуассона; в гамильтониане $H_{\text{ге }}$ следует ограничиться двумя первыми членами разложения Тейлора функции $\ln (1+x)$ при $x=0$. В результате получим, что
$$H_{\mathrm{res}}={\mathrm{\Delta }}^2\int ({\left|\frac{d\psi }{dx}\right|}^2+x|\psi {|}^1)dx+O\left({\mathrm{\Delta }}^3\right).$$

Аналогичным образом можно рассмотреть и модель РНШI, при $g>0$. Она связана с моделью магнетика для группы $SU(1,1)$, в которой аналогом сферы ${\mathbb{S}}^2$ является половина (например, верхняя пола) двуполостного гиперболоида-модель плоскости Лобачевского.

Другой пример разностной аппроксимации к модели НШ дает