Здесь мы рассмотрим важный частный случай, в котором обратная задача решается явно. Именно, мы разберем случай, когда
\[
b(\lambda)=0
\]

при всех $\lambda$, так что задача Римана о факторизации тривиализуется и сводится к определению матричных множителей Бляшке – Потапова. Последняя задача имеет смысл только при $x<0$, что мы и будем предполагать.

Как уже отмечалось в $\S 1$, отношение коэффициентов перехода $b(\lambda) / a(\lambda)$ играет роль коэффициента отражения в теории рассеяния для вспомогательной линейной задачи. Поэтому эту задачу и все ее характеристики в случае (5.1) принято называть безотражательными.

Перейдем теперь к решению обратной задачи. Начнем со случая одной пары нулей $\lambda_{0}, \bar{\lambda}_{0}, \operatorname{Im} \lambda_{0}>0$, и чисел $\gamma_{0}, \bar{\gamma}_{0}$, где $\gamma_{0}
eq 0$. Решения задачи Римана имеют вид
\[
G_{+}(x, \lambda)=B(x, \lambda), \quad G_{-}(x, \lambda)=B^{-1}(x, \lambda),
\]
(см. (2.18)), где $B(x, \lambda)$ – матричный множитель Бляшке Потапова
\[
B(x, \lambda)=I+\frac{\bar{\lambda}_{0}-\lambda_{0}}{\lambda-\bar{\lambda}_{0}} P(x),
\]
a $P(x)$-ортогональный проектор
\[
P(x)=\frac{1}{1+\left|\gamma_{0}(x)\right|^{2}}\left(\begin{array}{ll}
\left|\gamma_{0}(x)\right|^{2} & \bar{\gamma}_{0}(x) \\
\gamma_{0}(x) & 1
\end{array}\right)
\]

и $\gamma_{0}(x)=\gamma_{0} e^{i \lambda_{0} x}$ (см. формулы (2.22), (2.24) и (2.27)). Матрица $U_{0}(x)$ вида (2.5)
\[
U_{0}(x)=\sqrt{x}\left(\begin{array}{cc}
0 & \bar{\psi}(x) \\
\psi(x) & 0
\end{array}\right),
\]

участвующая в вспомогательной линейной задаче (2.4), дается формулой (2.105):
\[
U_{0}(x)=\frac{1}{2}\left[\sigma_{3}, \pi(x)\right],
\]

где матрица $\pi(x)$ определяется из разложения
\[
B(x, \lambda)=I+\frac{i \pi(x)}{\lambda}+O\left(\frac{1}{|\lambda|^{2}}\right)
\]

и имеет вид
\[
\pi(x)=\frac{\bar{\lambda}_{0}-\lambda_{0}}{i} P(x)
\]

(см. (2.106), (2.107)). В результате для комплексной функции $\psi(x)$ получаем следующее простое выражение:
\[
\psi(x)=\frac{2 \operatorname{Im} \lambda_{0}}{\sqrt{x}} \frac{\gamma_{0}(x)}{1+\left|\gamma_{0}(x)\right|^{2}} .
\]

Формула (5.9) дает простейший пример безотражательных функций $\psi(x), \bar{\psi}(x)$. Они зависят от двух произвольных комплексных чисел $\lambda_{0}, \gamma_{0}$ с условиями $\operatorname{Im} \lambda_{0}>0, \gamma_{0}
eq 0$, являются бесконечно дифференцируемыми и экспоненциально убывают при $|x| \rightarrow \infty$.

Рассмотрим теперь эволюцию этих начальных данных по уравнению НШ. Из формул (3.7), описывающих динамику коэффициентов перехода, следует, что условие (5.1) сохраняется со временем, а
\[
\gamma_{0}(x, t)=e^{-i i_{0}^{2} t} \gamma_{0}(x) .
\]

Отсюда получаем, что решение уравнения НШ一комплексная функция $\psi(x, t)$ – осгается безотражательной и по-прежнему дается формулой вида (5.9):
\[
\psi(x, t)=\frac{2 \operatorname{Im} \lambda_{0}}{\sqrt{\bar{x}}} \frac{\gamma_{0}(x, t)}{1+\left|\gamma_{0}(x, t)\right|^{2}} .
\]

Вводя обозначения
\[
\begin{array}{c}
A=\frac{\operatorname{Im} \lambda_{0}{ }^{\top}}{\sqrt{|x|}}, u=2 \operatorname{Im} \lambda_{0}, v=2 \operatorname{Re} \lambda_{0}, \\
x_{0}=\frac{1}{\operatorname{Im} \lambda_{0}} \ln \left|\gamma_{0}\right|, \varphi_{0}=\arg \gamma_{0},
\end{array}
\]

перепишем формулу (5.11) следующим образом:
\[
\psi(x, t)=A \frac{\exp \left\{i\left(\varphi_{0}+\frac{v x}{2}+\frac{\left(u^{2}-v^{2}\right)}{4} t-\frac{\pi}{2}\right)\right\}}{\operatorname{ch}\left\{\frac{u}{2}\left(x-v t-x_{0}\right)\right\}} .
\]

Представление (5.13) показывает, что решение $\psi(x, t)$ является гладкой функцией, локализованной вдоль направления
\[
x(t)=x_{0}+v t,
\]

и его центр движется с постоянной скоростью v. Кроме того, это решение осциллирует как в пространстве, так и во времени с частотами $v / 2$ и $\left(u^{2}-v^{2}\right) / 4$ соответственно. Параметр $A$ играет роль амплитудьі, а $x_{0} и$ ч -соответственно начального центра и начальной фазы.

Итак, мы убедились, что построенное решение $\psi(x, t)$ уравнения НШ представляет собой изолированную волну, обладающую следующими свойствами:
1) при распространении она сохраняет свой профиль;
2) она имеет конечную энергию и, более того, значения всех интегралов движения на решении $\psi(x, t)$ конечны.

Следуя установившейся традиции, решения с указанными свойствами мы будем называть солитонами в широком значении этого термина. В фнзической литературе под солнтоном иногда вообще понимают частицеподобное решение – т. е. локализованное решение с конечной энергией.

Поэтому функцию $\psi(x, t)$, определенную формулой (5.13), будем называть солитонным решением уравнения НШ для быстроубывающего случая. Оно описывает свободное движение солитона.

Отметим, что существование солитонов стало возможным лишь благодаря нелинейному члену в уравнении НШ, а в линейном пределе $x \rightarrow 0$ солитоны отсутствуют. Действительно, рассмотрим решение $\psi(x, t)$ при $x \rightarrow 0$. Для конечности предела необходимо, чтобы $\gamma_{0}=\sqrt{x \gamma_{0}}$, и тогда
\[
\psi_{0}(x, t)=\lim _{x \rightarrow 0} \psi(x, t)=c_{0} e^{i \lambda_{0} x-i \lambda_{0}^{2} t},
\]

где $c_{0}=\tilde{2 \gamma_{0}} \operatorname{Im} \lambda_{0}$. Функция $\psi_{0}(x, t)$ очевидно удовлетворяет линейному уравнению Шредингера и обладает свойством 1), однако имеет бесконечные энергию и импульс. Более того, общее решение $\tilde{\psi}(x, t)$ линейного уравнения Шредингера дается интегралом Фурье
\[
\widetilde{\psi}(x, t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{i \lambda x-i \lambda \lambda^{2} t} \varphi(\lambda) d \lambda,
\]

причем для конечности его энергии и импульса необходімы определенная гладкость и быстрое убывание функции $\varphi(\lambda)$. Однако для таких $\varphi(\lambda)$ из принципа стационарной фазы следует, что решение $\widetilde{\psi}(x, t)$ убывает при $|t| \rightarrow \infty$ как $1 / \sqrt{|t|}$ вдоль любого направления $x-v t=$ const. Таким образом, в этом случае не выполняется свойство 1). Тем самым мы можем утверждать, что солитон представляет собой существенно нелинейное явление.

Рассмотрим теперь общий безотражательный случай, когда заданы $n$ пар нулей $\lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}, \operatorname{Im} \lambda_{j}>0$, и чисел $\gamma_{j}, \bar{\gamma}_{j}, j=1, \ldots, n$. Peшения соответствующей задачи Римана имеют вид
\[
G_{+}(x, \lambda)=\Pi(x, \lambda), \quad G_{-}(x, \lambda)=\Pi^{-1}(x, \lambda),
\]

где $\Pi(x, \lambda)$ задается как упорядоченное произведение матричных множителей Бляшке – Потапова:
\[
\begin{array}{c}
\Pi(x, \lambda)=\overbrace{j=1}^{\bigcap} B_{j}(x, \lambda), \\
B_{j}(x, \lambda)=I+\frac{\bar{\lambda}_{i}-\lambda_{i}}{\lambda-\bar{\lambda}_{j}} P_{j}(x)
\end{array}
\]
(см. формулы (2.28)), а $P_{j}(x)$ – ортогональные проекторы. Они однозначно определяются по заданным числам $\gamma_{j}, \bar{\gamma}_{j}$ посредством условий (1.49) на подпространства $\operatorname{Im} \Pi\left(x, \lambda_{j}\right)$ и $\operatorname{Ker} \Pi^{-1}\left(x, \bar{\lambda}_{j}\right), j=1, \ldots, n$. Используя обобщенное свойство унитарности
\[
\Pi^{*}(x, \lambda)=1 \Gamma^{-1}(x, \bar{\lambda}),
\]

мы перепишем здесь эти условия в виде
\[
\Pi^{-1}\left(x, \bar{\lambda}_{j}\right) \xi_{j}=\Pi^{*}\left(x, \lambda_{j}\right) \xi_{j}=0,
\]

где
\[
\xi_{i}(x)=\left(\begin{array}{c}
\bar{\gamma}_{j}(x) \\
1
\end{array}\right)
\]
— вектор-столбец, а $\gamma_{j}(x)=e^{i \lambda_{j} x} \gamma_{j}, j=1, \ldots, n$.
Как было объяснено в $\S 2$, условия (5.21) позволяют последовательно определить проекторы $P_{1}(x), \ldots, P_{n}(x)$. Матрица $U_{0}(x)$ по-прежнему дается формулой (5.6), где теперь матрицљ $\pi(x)$ участвует в асимптотике
\[
\Pi(x, \lambda)=I+\frac{i \pi(x)}{\lambda}+O\left(\frac{1}{|\lambda|^{2}}\right)
\]

и имеет вид
\[
\pi(x)=\frac{1}{i} \sum_{j=1}^{n}\left(\bar{\lambda}_{i}-\lambda_{j}\right) P_{i}(x) .
\]

Приведем теперь альтернативный способ определения матрицы $\Pi(x, \lambda)$. Он состоит в разложении матрицы $\Pi^{-1}(x, \lambda)$ на простые дроби
\[
11^{-}(x, \mu)=I+\sum_{j=1}^{n} \frac{A_{j}(x)}{\lambda-\lambda_{j}}
\]

и нахождении матричных коэффициентов $A_{j}(x)$. Условия (5.20) и (5.21) показывают, что матрицы $A_{j}(x)$ представляются в виде
\[
A_{j}(x)=z_{i}(x) \xi_{j}^{*}(x),
\]

где $z_{i}(x)=\left(\begin{array}{c}p_{j}(x) \\ q_{j}(x)\end{array}\right), \xi_{j}^{*}(x)=\left(\gamma_{j}(x), 1\right)$ – вектор-строка, сопряженная к вектору-столбцу $\xi_{j}(x), j=1, \ldots, n$. В частности, отсюда следует, что $A_{j}(x)$ – матрицы ранга 1 .

Для доказательства рассмотрим следующие разложения в окрестности точки $\lambda=\lambda_{j}$ (сравни с $\$ 2$ ):
\[
\Pi^{-1}(x, \lambda)=\frac{A_{j}(x)}{\lambda-\lambda_{j}}+0
\]
и
так что
\[
\Pi(x, \lambda)=B_{j}(x)+O\left(\left|\lambda-\lambda_{j}\right|\right),
\]
\[
A_{j}(x) B_{j}(x)=B_{j}(x) A_{j}(x)=0 .
\]

Вместе с условием (1.49)
\[
\operatorname{Im} B_{j}(x)=\left\{\left(\begin{array}{c}
1 \\
-\gamma_{j}^{\bar{j}}(x)
\end{array}\right)\right\}
\]

это показывает, что матрица $A_{j}(x)$ имеет единичный ранг и представляется в виде (5.26).

Условия (5.21) позволяют однозначно определить неизвестные векторы $z_{j}(x)$, участвующие в (5.26). В самом деле, подставляя (5.26) в (5.25) и используя (5.21), получаем систему линейных алгебраических уравнений
\[
\xi_{j}(x)+\sum_{k=1}^{n} \frac{\xi_{k}^{*}(x) \xi_{j}(x)}{\bar{\lambda}_{j}-\lambda_{k}} z_{k}(x)=0, \quad j=1, \ldots, n .
\]

Скалярные произведения $\xi_{k}^{*} \xi_{j}$ имеют вид
\[
\xi_{k}^{*}(x) \xi_{j}(x)=1+\gamma_{k}(x) \bar{\gamma}_{j}(x),
\]

и система (5.31) распадается на две. отдельные системы уравнений для первых и вторых компонент векторов $z_{j}(x)$. В частности, для первых компонент $p_{j}(x)$ имеем
\[
\sum_{k=1}^{n} M_{j k}(x) p_{k}(x)=-\bar{\gamma}_{j}(x), \quad j=1, \ldots, n,
\]

где
\[
M_{j k}(x)=\frac{1+\bar{\gamma}_{j}(x) \gamma_{k}(x)}{\bar{\lambda}_{j}-\lambda_{k}}, \quad j, k=1, \ldots, n .
\]

Матрица $\pi(x)$ определяется через $A_{j}(x)$ посредством формулы
\[
\pi(x)=i \sum_{j=1}^{n} A_{j}(x),
\]

откуда на основании (5.6), (5.26) и (5.35) для функции $\Psi(x)$ получаем
\[
\psi(x)=\frac{i}{\sqrt{\bar{x}}} \sum_{j=1}^{n} \bar{p}_{j}(x) .
\]

Вводя $n \times n$ матрицу $M(x)$ с матричными элементами $\overline{\boldsymbol{I}}_{i \hbar}(x)$ и матрицу $M_{1}(x)$ вида
\[
M_{1}(x)=\left(\begin{array}{c:cc}
M(x) & \gamma_{1}(x) \\
\hdashline \ldots \ldots \ldots & \gamma_{n}(x) \\
\hdashline 1 \ldots . & 0
\end{array}\right),
\]

из формул Крамера имеем окончательное выражение ддля функцин $\psi(x)$ :
\[
\psi(x)=\frac{i}{\sqrt{\bar{x}}} \frac{\operatorname{det} M_{1}(x)}{\operatorname{det} M(x)} .
\]

Итак, мы получили явные формулы для безотражательных функций $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ в общем случае. Они зависят от $2 n$ комплексных чисел $\lambda_{j}, \gamma_{j}$ с условиями $\operatorname{Im} \lambda_{j} \geq 0, \gamma_{j}
eq 0$, и среди чисел $\lambda_{j}$ нет совпадающих; функции $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ являются шварцевскими и, более того, экспоненциально убывают при $|x| \rightarrow \infty$.

Действительно, гладкость функций $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ (и, в частности, невырожденность матрицы $M(x)$ ) следует из несингулярности при любом $x$ проекторов $P_{j}(x)$, что легко проверяется последовательно. Для доказательства экспоненциального убывания заметим, что при $x \rightarrow+\infty \quad \gamma_{j}(x)=O\left(e^{-\mathrm{Im} \lambda_{j} x}\right)$, так что с такой точностью векторы $\xi_{j}(x)$ превращаются в постоянный вектор $\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)$. Отсюда получаем
\[
B_{j}(x, \lambda)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & \frac{\lambda-\lambda_{j}}{\lambda-\bar{\lambda}_{j}}
\end{array}\right)+O\left(e^{-a x}\right),
\]

где $a=\min _{j=1, \ldots, n}\left\{\operatorname{Im} \lambda_{j}\right\}$, так что $\psi(x)=O\left(e^{-a x}\right)$ при $x \rightarrow+\infty$. Оценка $\psi(x)=O^{j=1, \ldots, n}\left(e^{a x}\right)$ при $x \rightarrow-\infty$ получается из равенства, аналогичного предыдущему:
\[
B_{j}(x, \lambda)=\left(\begin{array}{cc}
\frac{\lambda-\lambda_{j}}{\lambda-\bar{\lambda}_{j}} & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)+O\left(e^{a x}\right) .
\]

Оно следует из того, что при $x \rightarrow-\infty \quad \gamma_{j}(x)=O\left(e^{-\operatorname{Im} \lambda_{j} x}\right)$, поэтому векторы $\frac{1}{\gamma_{i}(x)} \xi_{j}(x)$ с экспоненциальной точностью превращаются в постоянный вектор $\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)$.

Рассмотрим теперь безотражательную функцию $\psi(x)$ вида (5.38) в качестве начальных данных для уравнения НШ. Решение $\psi(x, t)$ получается из формулы (5.38) при замене параметров $\gamma_{j}(x)$ на $\gamma_{j}(x, t)$ согласно (3.7):
\[
\gamma_{i}(x, t)=e^{-i \lambda_{j}^{0} t} \gamma_{j}(x), \quad j=1, \ldots, n,
\]

и остается безотражательным. Убедимся, что это решение описывает взаимодействие $n$ солитонов. Для этого покажем, что $n$ ри $t \rightarrow \pm \infty$ решение $\psi(x, t)$ в ситуации общего положения представляется в виде суммы односолитонных решений:
\[
\Downarrow(x, t)=\sum_{j=1}^{n} \psi_{j}^{( \pm)}(x, t)+O\left(e^{-a c|t|}\right) .
\]

Здесь $\psi_{j}^{( \pm)}(x, t), j=1, \ldots, n$, – солитоны с параметрами $A_{j}, v_{j}$, $x_{0 j}^{( \pm)}$и $\varphi_{0 j}^{( \pm)}$, определяемыми формулами (5.12) по данным $\lambda_{j}$ и $\gamma_{i}^{( \pm)}$, где
\[
\gamma_{j}^{(+)}=\gamma_{j} \prod_{v_{k}<v_{j}} \frac{\lambda_{j}-\bar{\lambda}_{k}}{\lambda_{j}-\lambda_{k}} \prod_{v_{k}>v_{j}} \frac{\lambda_{j}-\lambda_{k}}{\lambda_{j}-\bar{\lambda}_{k}}
\]

и
\[
\gamma_{i}^{(-)}=\gamma_{j} \prod_{v_{k}<v_{j}} \frac{\lambda_{i}-\lambda_{k}}{\lambda_{j}-\bar{\lambda}_{k}} \prod_{v_{k}>v_{j}} \frac{\lambda_{i}-\tilde{\lambda}_{k}}{\lambda_{i}-\lambda_{k}},
\]
$\mathrm{a}^{-*} c=\min _{j
eq k}\left|v_{j}-v_{h}\right|$. Ситуация общего положения означает, что все скорости $v_{i}$ различны.

Для доказательства формул (5.42)-(5.44) достаточно показать, что на траекториях $C_{j}$ отдельного солитона
\[
x-v_{j} t=\text { const }
\]

решение $\psi(x, t)$ при $t \rightarrow \pm \infty$ стремится к односолитонному решению $\psi_{i}^{( \pm)}(x, t)$ и экспоненциально убывает во всех других направлениях.

Эти результаты можно извлечь из анализа явной формулы (5.38). Мы дадим здесь, однако, более простой и изящный способ, основанный на непосредственном изучении матрицы $\Pi(x, t, \lambda)$.

Для этого заметим, что при $t \rightarrow \pm \infty$ все параметры $\gamma_{j}(x, t)$ либо экспоненциально убывают, либо экспоненциально растут на всех направлениях, кроме своей траектории $C_{j}$. Действительно, из (5.41) следует, что
\[
\left.\gamma_{i}^{-}(x, t)\right|_{x-v t=c_{0}}=e^{-\frac{t_{j}}{2}\left(t_{0}+\left(v-v_{j}\right) t\right)} e^{\frac{i}{4}\left(2 v_{j} c_{0}+\left(u_{j}^{2}+2 v v_{j}-v_{j}^{2}\right) t\right)} \gamma_{i}, \quad j=1, \ldots, n .
\]

Вдоль траектории $C_{j}$ для соответствующих векторов $\xi_{k}(x, t)$ отсюда получаем
\[
\lim _{t \rightarrow+\infty} \xi_{k}(x, t)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right), \quad \lim _{t \rightarrow-\infty} \frac{\xi_{k}(x, t)}{\gamma_{k}(x, t)}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right),
\]

если $v_{k}<v_{j}$, и
\[
\lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{\xi_{k}(x, t)}{\gamma_{k}(x, t)}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right), \quad \lim _{t \rightarrow-\infty} \xi_{k}(x, t)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right),
\]

если $v_{k}>v_{j}$.
Для определения асимптотики матрицы $\Pi(x, t, \lambda)$ вдоль траектории $C_{j}$ удобно, в отлнчие от (5.18), использовать упорядоченное произведение
\[
\Pi(x, t, \lambda)=\prod_{\substack{k=1 \\ k
eq j}}^{\sim} \widetilde{B}_{k}(x, t, \lambda) \widetilde{B}_{j}(x, t, \lambda),
\]

в котором множитель Бляшке – Потапова $\widetilde{B}_{j}(x, t, \lambda)$, отвечающий паре нулей $\lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}$, расположен крайним справа. В этом стучае все множители $\widetilde{B}_{k}(x, t, \lambda)$ с $k
eq j$ асимптотически имеют вид
\[
\left.\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & \frac{\lambda-\lambda_{k}}{\lambda-\bar{\lambda}_{k}}
\end{array}\right) \text { или }\right]\left(\begin{array}{cc}
\frac{\lambda-\lambda_{k}}{\lambda-\bar{\lambda}_{k}} & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)
\]

для асимптотики вектора $\xi_{k}(x, t)$, пропорциональной векторам $\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)$ и $\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)$ соответственно. Действительно, при последовательном определении асимптотических множителей $\widetilde{B}_{k}^{( \pm)}(\lambda), k
eq j, k=$ $=1, \ldots, n$, мы получаем диагональные проекторы и, тем самым, диагональные матрицы $\widetilde{B}_{k}^{( \pm)}(\lambda)$, которые оставляют инвариантными подпространства, натянутые на векторы $\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)$ и $\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)$.

Таким образом, получаем, что асимптотически условия (5.21) сводятся к одному равенству для матрицы $\widetilde{B}_{j}^{( \pm)}(\lambda)$ асимптотики множителя $\widetilde{B}_{j}(x, t, \lambda)$ вдоль направления $C_{j}$ при $t \rightarrow \pm \infty:$
\[
\widetilde{B}_{j}^{( \pm)^{*}}\left(\lambda_{j}\right) \xi_{j}^{( \pm)}=0,
\]

где
\[
\xi_{i}^{( \pm)}=\left(\begin{array}{c}
\bar{\gamma}_{j}^{( \pm)} \\
1
\end{array}\right),
\]

а $\gamma_{j}^{( \pm)}$даются формулами (5.43), (5.44). Для завершения доказательства равенства (5.42) осталось заметить, что приведен-

ные рассуждения также показывают, что вдоль всех направлений, отличных от траекторий $C_{j}, j=1, \ldots, n$, решение $\psi(x, t)$ экспоненциально убывает при $t \rightarrow \pm \infty$.

Доказанное утверждение имеет естественную интерпретацию: решение $\psi(x, t)$ в (5.42) описывает процесс взаимодействия $n$ солитонов, которые при больших отрицательных и положительных временах являются свободными и расходятся друг от друга. Поэтому решение $\psi(x, t)$ принято называть $n$-солитонным.

Полученные формулы также допускают наглядное толкование в терминах общей теории рассеяния. При этом, в отличие от линейной теории, односолитонному решению (5.13) сопоставляется частица-солитон, а не волновой пакет. Солитон характеризуется скоростью $v$, координатой центра инерции $x(t)$ и параметрами внутреннего движения $A$ и $\varphi_{0}$. При $t \rightarrow \pm \infty n$-солитонное решение $\psi(x, t)$ описывает свободное движение $n$ солитонов с параметрами $\left(v_{j}, x_{0 j}^{( \pm)}, A_{j}, \varphi_{0 j}^{( \pm)}\right)$, которые определяются по формулам (5.43), (5.44) и (5.12). Удобно перенумеровать солитоны в порядке возрастания их скоростей, считая, что $\infty>v_{1}>\ldots>$ $>v_{n}>-\infty$. Тогда при $t \rightarrow-\infty$ их центры инерции разделены большими интервалами порядка $a c|t|$, где $c=\min _{j
eq k}\left|v_{j}-v_{h}\right|$, и самый быстрый солитон находится левее всех остальных.

Таким образом, асимптотическое состояние, описываемое $n$ солитонным решением при $t \rightarrow-\infty$, изображает движение $n$ пространственно разделенных солитонов, которые с ростом времени сближаются. При конечных временах картина пространственно разделенных солитонов теряется, и $n$-солитонное решение описывает взаимодействие солитонов. Однако при $t \rightarrow+\infty$ снова возникают пространственно разделенные солитоны, и при этом самый быстрый из них находится правее всех остальных. Таким образом, при конечных временах он провзаимодействовал со всеми оставшимися солитонами. Аналогичное заключение имеет место и для всех других солитонов. В частности, с ростом времени расстояние между солитонами увеличивается.

Описанная картина типична для теории рассеяния, в которой мы имеем дело с асимптотическими состояниями, характеризуемыми в терминах свободных частиц. В процессе рассеяния меняются лишь характеристики этих частиц и, в общем случае, их число.

В нашем случае мы имеем дело с процессом рассеяния очень специального вида. Именно, число частиц, их скорости и половина параметров внутреннего движения – амплитуды – при рассеянии не меняются. Процесс рассеяния состоит лишь в изменении параметров центра инерции и фаз внутреннего движения. Формулы (5.43), (5.44) и (5.12) позволяют дать связь между этими параметрами асимптотического движения:
\[
x_{0 i}^{(+)}=x_{0 j}^{(-)}+\Delta x_{0 j}, \quad \varphi_{v j}^{(+)}=\varphi_{v j}^{(-)}+\Delta \varphi_{0 j},
\]

где
\[
\Delta x_{0 j}=\frac{2}{\operatorname{Im} \lambda_{j}}\left(\sum_{k=j+1}^{n} \ln \left|\frac{\lambda_{j}-\vec{\lambda}_{k}}{\lambda_{i}-\lambda_{k}}\right|-\sum_{k=1}^{j-1} \ln \left|\frac{\lambda_{j}-\vec{\lambda}_{k}}{\lambda_{j}-\lambda_{k}}\right|\right)
\]

и
\[
\Delta \varphi_{0 j}=2\left(\sum_{k=j+1}^{n} \arg \frac{\lambda_{j}-\bar{\lambda}_{k}}{\lambda_{j}-\lambda_{k}}-\sum_{k=1}^{j-1} \arg \frac{\lambda_{j}-\bar{\lambda}_{k}}{\lambda_{j}-\lambda_{k}}\right)(\bmod 2 \pi) .
\]

Характерно, что приращения координат $x_{0 j}$ и фаз $\varphi_{0 j}$ при рассеянии представляются аддитивным образом через двухчастичные сдвиги
\[
\begin{array}{c}
\Delta x_{01}=\frac{2}{\operatorname{Im} \lambda_{1}} \ln \left|\frac{\lambda_{1}-\bar{\lambda}_{2}}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\right|, \Delta x_{02}=-\frac{2}{\operatorname{Im} \lambda_{2}} \ln \left|\frac{\lambda_{1}-\bar{\lambda}_{2}}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\right|, \\
\Delta \varphi_{01}=2 \arg \frac{\lambda_{1}-\bar{\lambda}_{2}}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}, \Delta \varphi_{02}=-2 \arg \frac{\bar{\lambda}_{1}-\lambda_{2}}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}
\end{array}
\]

для случая $v_{1}>v_{2}$, с соответствующей заменой $1 \leftrightarrow 2$ для $v_{2}>v_{1}$. При этом сумма берется по всем двухчастичным взаимодействиям данного солитона с остальными. Это специфическое свойство рассеяния, сводящее $n$-частичное рассеяние к двухчастичному, принято называть факторизацией.

Иногда факторизацию рассеяния включают в определение понятия солитона наряду со свойствами 1) – 2). В этом случае принято говөрить о солитоне в узком смысле этого термина. В данной книге мы будем иметь дело только с солитонами в узком смысле и будем называть их просто солитонами. В следующей главе мы дадим интерпретацию процесса рассеяния солитонов с гамильтоновой точки зрения.

В заключение этого параграфа подчеркнем, что ситуация общего положения, при которой все скорости $v_{j}$ различны, была существенной для интерпретации $n$-солитонного решения с точки зрения теории рассеяния. Однако само решение, очевидно, не теряет смысл и при совпадении двух или более скоростей. При этом солитоны с одинаковыми скоростями не расходятся, а образуют связанное состояние. В частности, двухсолитонное решение при условии $v_{1}=v_{2}=0$ представляет собой периодическое по времени решение уравнения НШ с частотой $\left(\operatorname{Im} \lambda_{1}\right)^{2}$ – $\left(\operatorname{Im} \lambda_{2}\right)^{2}$.

Сделанное замечание относится и к ограничениям на исходные параметры $\lambda_{j}, \gamma_{j}$ для $n$-солитонного решения. Мы можем в алгебраической формуле (5.38) считать некоторые из $\lambda_{j}$ совпадающими и даже выходящими на вещественную ось, а числа $\gamma_{j}$ – исчезающими. Полученная при таком вырождении функция $\psi(x, t)$ может исчезнуть или выйти из шварцевского класса (в частности, стать сингулярной), но тем не менее, в силу алгебраического характера формулы (5.38), будет удовлетворять уравнению НШ. Қак мы увидим в следующей главе, описанные частные решения не будут играть существенной роли при гамильтоновой интерпретации модели НШ.