Здесь мы рассмотрим важный частный случай, в котором обратная задача решается явно. Именно, мы разберем случай, когда
$$b(\lambda )=0$$

при всех $\lambda$, так что задача Римана о факторизации тривиализуется и сводится к определению матричных множителей Бляшке — Потапова. Последняя задача имеет смысл только при $x<0$, что мы и будем предполагать.

Как уже отмечалось в $\mathrm{\S }1$, отношение коэффициентов перехода $b(\lambda )/a(\lambda )$ играет роль коэффициента отражения в теории рассеяния для вспомогательной линейной задачи. Поэтому эту задачу и все ее характеристики в случае (5.1) принято называть безотражательными.

Перейдем теперь к решению обратной задачи. Начнем со случая одной пары нулей ${\lambda }_0,{\overline{\lambda }}_0,\mathrm{Im}{\lambda }_0>0$, и чисел ${\gamma }_0,{\overline{\gamma }}_0$, где ${\gamma }_{0}eq0$. Решения задачи Римана имеют вид
$$G_{+}(x,\lambda )=B(x,\lambda ),G_{-}(x,\lambda )=B^{-1}(x,\lambda ),$$
(см. (2.18)), где $B(x,\lambda )$ — матричный множитель Бляшке Потапова
$$B(x,\lambda )=I+\frac{{\overline{\lambda }}_0-{\lambda }_0}{\lambda -{\overline{\lambda }}_0}P(x),$$
a $P(x)$-ортогональный проектор
$$P(x)=\frac{1}{1+{|{\gamma }_0(x)|}^2}\left(\begin{array}{ll}{|{\gamma }_0(x)|}^2& {\overline{\gamma }}_0(x)\\ {\gamma }_0(x)& 1\end{array}\right)$$

и ${\gamma }_0(x)={\gamma }_0{e}^{i{\lambda }_{0}x}$ (см. формулы (2.22), (2.24) и (2.27)). Матрица $U_0(x)$ вида (2.5)
$$U_0(x)=\sqrt{x}\left(\begin{array}{cc}0& \overline{\psi }(x)\\ \psi (x)& 0\end{array}\right),$$

участвующая в вспомогательной линейной задаче (2.4), дается формулой (2.105):
$$U_0(x)=\frac{1}{2}[{\sigma }_3,\pi (x)],$$

где матрица $\pi (x)$ определяется из разложения
$$B(x,\lambda )=I+\frac{i\pi (x)}{\lambda }+O\left(\frac{1}{|\lambda {|}^2}\right)$$

и имеет вид
$$\pi (x)=\frac{{\overline{\lambda }}_0-{\lambda }_0}{i}P(x)$$

(см. (2.106), (2.107)). В результате для комплексной функции $\psi (x)$ получаем следующее простое выражение:
$$\psi (x)=\frac{2\mathrm{Im}{\lambda }_0}{\sqrt{x}}\frac{{\gamma }_0(x)}{1+{|{\gamma }_0(x)|}^2}.$$

Формула (5.9) дает простейший пример безотражательных функций $\psi (x),\overline{\psi }(x)$. Они зависят от двух произвольных комплексных чисел ${\lambda }_0,{\gamma }_0$ с условиями $\mathrm{Im}{\lambda }_0>0,{\gamma }_{0}eq0$, являются бесконечно дифференцируемыми и экспоненциально убывают при $|x|\to \mathrm{\infty }$.

Рассмотрим теперь эволюцию этих начальных данных по уравнению НШ. Из формул (3.7), описывающих динамику коэффициентов перехода, следует, что условие (5.1) сохраняется со временем, а
$${\gamma }_0(x,t)=e^{-i{i}_0^{2}t}{\gamma }_0(x).$$

Отсюда получаем, что решение уравнения НШ一комплексная функция $\psi (x,t)$ — осгается безотражательной и по-прежнему дается формулой вида (5.9):
$$\psi (x,t)=\frac{2\mathrm{Im}{\lambda }_0}{\sqrt{\overline{x}}}\frac{{\gamma }_0(x,t)}{1+{|{\gamma }_0(x,t)|}^2}.$$

Вводя обозначения
$$\begin{array}{c}A=\frac{\mathrm{Im}{\lambda }_0{}^{\mathrm{\top }}}{\sqrt{|x|}},u=2\mathrm{Im}{\lambda }_0,v=2\mathrm{Re}{\lambda }_0,\\ x_0=\frac{1}{\mathrm{Im}{\lambda }_0}\ln \left|{\gamma }_0\right|,{\phi }_0=\arg {\gamma }_0,\end{array}$$

перепишем формулу (5.11) следующим образом:
$$\psi (x,t)=A\frac{\exp \left\{i({\phi }_0+\frac{vx}{2}+\frac{(u^2-v^2)}{4}t-\frac{\pi }{2})\right\}}{\mathrm{ch}\left\{\frac{u}{2}(x-vt-x_0)\right\}}.$$

Представление (5.13) показывает, что решение $\psi (x,t)$ является гладкой функцией, локализованной вдоль направления
$$x(t)=x_0+vt,$$

и его центр движется с постоянной скоростью v. Кроме того, это решение осциллирует как в пространстве, так и во времени с частотами $v/2$ и $(u^2-v^2)/4$ соответственно. Параметр $A$ играет роль амплитудьі, а $x_0и$ ч -соответственно начального центра и начальной фазы.

Итак, мы убедились, что построенное решение $\psi (x,t)$ уравнения НШ представляет собой изолированную волну, обладающую следующими свойствами:
1) при распространении она сохраняет свой профиль;
2) она имеет конечную энергию и, более того, значения всех интегралов движения на решении $\psi (x,t)$ конечны.

Следуя установившейся традиции, решения с указанными свойствами мы будем называть солитонами в широком значении этого термина. В фнзической литературе под солнтоном иногда вообще понимают частицеподобное решение — т. е. локализованное решение с конечной энергией.

Поэтому функцию $\psi (x,t)$, определенную формулой (5.13), будем называть солитонным решением уравнения НШ для быстроубывающего случая. Оно описывает свободное движение солитона.

Отметим, что существование солитонов стало возможным лишь благодаря нелинейному члену в уравнении НШ, а в линейном пределе $x\to 0$ солитоны отсутствуют. Действительно, рассмотрим решение $\psi (x,t)$ при $x\to 0$. Для конечности предела необходимо, чтобы ${\gamma }_0=\sqrt{x{\gamma }_0}$, и тогда
$${\psi }_0(x,t)=\underset{x\to 0}{lim}\psi (x,t)=c_0{e}^{i{\lambda }_{0}x-i{\lambda }_0^{2}t},$$

где $c_0=\widetilde{2{\gamma }_0}\mathrm{Im}{\lambda }_0$. Функция ${\psi }_0(x,t)$ очевидно удовлетворяет линейному уравнению Шредингера и обладает свойством 1), однако имеет бесконечные энергию и импульс. Более того, общее решение $\tilde{\psi }(x,t)$ линейного уравнения Шредингера дается интегралом Фурье
$$\tilde{\psi }(x,t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{i\lambda x-i\lambda {\lambda }^{2}t}\phi (\lambda )d\lambda ,$$

причем для конечности его энергии и импульса необходімы определенная гладкость и быстрое убывание функции $\phi (\lambda )$. Однако для таких $\phi (\lambda )$ из принципа стационарной фазы следует, что решение $\tilde{\psi }(x,t)$ убывает при $|t|\to \mathrm{\infty }$ как $1/\sqrt{|t|}$ вдоль любого направления $x-vt=$ const. Таким образом, в этом случае не выполняется свойство 1). Тем самым мы можем утверждать, что солитон представляет собой существенно нелинейное явление.

Рассмотрим теперь общий безотражательный случай, когда заданы $n$ пар нулей ${\lambda }_j,{\overline{\lambda }}_j,\mathrm{Im}{\lambda }_j>0$, и чисел ${\gamma }_j,{\overline{\gamma }}_j,j=1,\dots ,n$. Peшения соответствующей задачи Римана имеют вид
$$G_{+}(x,\lambda )=\mathrm{\Pi }(x,\lambda ),G_{-}(x,\lambda )={\mathrm{\Pi }}^{-1}(x,\lambda ),$$

где $\mathrm{\Pi }(x,\lambda )$ задается как упорядоченное произведение матричных множителей Бляшке — Потапова:
$$\begin{array}{c}\mathrm{\Pi }(x,\lambda )=\stackrel{\bigcap }{\overbrace{j=1}}{B}_j(x,\lambda ),\\ B_j(x,\lambda )=I+\frac{{\overline{\lambda }}_i-{\lambda }_i}{\lambda -{\overline{\lambda }}_j}{P}_j(x)\end{array}$$
(см. формулы (2.28)), а $P_j(x)$ — ортогональные проекторы. Они однозначно определяются по заданным числам ${\gamma }_j,{\overline{\gamma }}_j$ посредством условий (1.49) на подпространства $\mathrm{Im}\mathrm{\Pi }(x,{\lambda }_j)$ и $\mathrm{Ker}{\mathrm{\Pi }}^{-1}(x,{\overline{\lambda }}_j),j=1,\dots ,n$. Используя обобщенное свойство унитарности
$${\mathrm{\Pi }}^{\ast }(x,\lambda )=1{\mathrm{\Gamma }}^{-1}(x,\overline{\lambda }),$$

мы перепишем здесь эти условия в виде
$${\mathrm{\Pi }}^{-1}(x,{\overline{\lambda }}_j){\xi }_j={\mathrm{\Pi }}^{\ast }(x,{\lambda }_j){\xi }_j=0,$$

где
$${\xi }_i(x)=\left(\begin{array}{c}{\overline{\gamma }}_j(x)\\ 1\end{array}\right)$$
— вектор-столбец, а ${\gamma }_j(x)=e^{i{\lambda }_{j}x}{\gamma }_j,j=1,\dots ,n$.
Как было объяснено в $\mathrm{\S }2$, условия (5.21) позволяют последовательно определить проекторы $P_1(x),\dots ,P_n(x)$. Матрица $U_0(x)$ по-прежнему дается формулой (5.6), где теперь матрицљ $\pi (x)$ участвует в асимптотике
$$\mathrm{\Pi }(x,\lambda )=I+\frac{i\pi (x)}{\lambda }+O\left(\frac{1}{|\lambda {|}^2}\right)$$

и имеет вид
$$\pi (x)=\frac{1}{i}\sum _{j=1}^n({\overline{\lambda }}_i-{\lambda }_j)P_i(x).$$

Приведем теперь альтернативный способ определения матрицы $\mathrm{\Pi }(x,\lambda )$. Он состоит в разложении матрицы ${\mathrm{\Pi }}^{-1}(x,\lambda )$ на простые дроби
$${11}^{-}(x,\mu )=I+\sum _{j=1}^n\frac{A_j(x)}{\lambda -{\lambda }_j}$$

и нахождении матричных коэффициентов $A_j(x)$. Условия (5.20) и (5.21) показывают, что матрицы $A_j(x)$ представляются в виде
$$A_j(x)=z_i(x){\xi }_j^{\ast }(x),$$

где $z_i(x)=\left(\begin{array}{c}{p}_j(x)\\ q_j(x)\end{array}\right),{\xi }_j^{\ast }(x)=({\gamma }_j(x),1)$ — вектор-строка, сопряженная к вектору-столбцу ${\xi }_j(x),j=1,\dots ,n$. В частности, отсюда следует, что $A_j(x)$ — матрицы ранга 1 .

Для доказательства рассмотрим следующие разложения в окрестности точки $\lambda ={\lambda }_j$ (сравни с $\mathrm{\$}2$ ):
$${\mathrm{\Pi }}^{-1}(x,\lambda )=\frac{A_j(x)}{\lambda -{\lambda }_j}+0$$
и
так что
$$\mathrm{\Pi }(x,\lambda )=B_j(x)+O\left(|\lambda -{\lambda }_j|\right),$$
$$A_j(x)B_j(x)=B_j(x)A_j(x)=0.$$

Вместе с условием (1.49)
$$\mathrm{Im}{B}_j(x)=\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ -{\gamma }_j^{\overline{j}}(x)\end{array}\right)\right\}$$

это показывает, что матрица $A_j(x)$ имеет единичный ранг и представляется в виде (5.26).

Условия (5.21) позволяют однозначно определить неизвестные векторы $z_j(x)$, участвующие в (5.26). В самом деле, подставляя (5.26) в (5.25) и используя (5.21), получаем систему линейных алгебраических уравнений
$${\xi }_j(x)+\sum _{k=1}^n\frac{{\xi }_k^{\ast }(x){\xi }_j(x)}{{\overline{\lambda }}_j-{\lambda }_k}{z}_k(x)=0,j=1,\dots ,n.$$

Скалярные произведения ${\xi }_k^{\ast }{\xi }_j$ имеют вид
$${\xi }_k^{\ast }(x){\xi }_j(x)=1+{\gamma }_k(x){\overline{\gamma }}_j(x),$$

и система (5.31) распадается на две. отдельные системы уравнений для первых и вторых компонент векторов $z_j(x)$. В частности, для первых компонент $p_j(x)$ имеем
$$\sum _{k=1}^n{M}_{jk}(x)p_k(x)=-{\overline{\gamma }}_j(x),j=1,\dots ,n,$$

где
$$M_{jk}(x)=\frac{1+{\overline{\gamma }}_j(x){\gamma }_k(x)}{{\overline{\lambda }}_j-{\lambda }_k},j,k=1,\dots ,n.$$

Матрица $\pi (x)$ определяется через $A_j(x)$ посредством формулы
$$\pi (x)=i\sum _{j=1}^n{A}_j(x),$$

откуда на основании (5.6), (5.26) и (5.35) для функции $\mathrm{\Psi }(x)$ получаем
$$\psi (x)=\frac{i}{\sqrt{\overline{x}}}\sum _{j=1}^n{\overline{p}}_j(x).$$

Вводя $n\times n$ матрицу $M(x)$ с матричными элементами ${\bar{\mathit{I}}}_{i\hslash }(x)$ и матрицу $M_1(x)$ вида
$$M_1(x)=\left(\begin{array}{cc}M(x)& {\gamma }_1(x)\\ \dots \dots \dots & {\gamma }_n(x)\\ 1\dots .& 0\end{array}\right),$$

из формул Крамера имеем окончательное выражение ддля функцин $\psi (x)$ :
$$\psi (x)=\frac{i}{\sqrt{\overline{x}}}\frac{\det M_1(x)}{\det M(x)}.$$

Итак, мы получили явные формулы для безотражательных функций $\psi (x),\overline{\psi }(x)$ в общем случае. Они зависят от $2n$ комплексных чисел ${\lambda }_j,{\gamma }_j$ с условиями $\mathrm{Im}{\lambda }_j\ge 0,{\gamma }_{j}eq0$, и среди чисел ${\lambda }_j$ нет совпадающих; функции $\psi (x),\overline{\psi }(x)$ являются шварцевскими и, более того, экспоненциально убывают при $|x|\to \mathrm{\infty }$.

Действительно, гладкость функций $\psi (x),\overline{\psi }(x)$ (и, в частности, невырожденность матрицы $M(x)$ ) следует из несингулярности при любом $x$ проекторов $P_j(x)$, что легко проверяется последовательно. Для доказательства экспоненциального убывания заметим, что при $x\to +\mathrm{\infty }{\gamma }_j(x)=O\left(e^{-\mathrm{Im}{\lambda }_{j}x}\right)$, так что с такой точностью векторы ${\xi }_j(x)$ превращаются в постоянный вектор $\left(\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}\right)$. Отсюда получаем
$$B_j(x,\lambda )=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \frac{\lambda -{\lambda }_j}{\lambda -{\overline{\lambda }}_j}\end{array}\right)+O\left(e^{-ax}\right),$$

где $a=\underset{j=1,\dots ,n}{min}\left\{\mathrm{Im}{\lambda }_j\right\}$, так что $\psi (x)=O\left(e^{-ax}\right)$ при $x\to +\mathrm{\infty }$. Оценка $\psi (x)=O^{j=1,\dots ,n}\left(e^{ax}\right)$ при $x\to -\mathrm{\infty }$ получается из равенства, аналогичного предыдущему:
$$B_j(x,\lambda )=\left(\begin{array}{cc}\frac{\lambda -{\lambda }_j}{\lambda -{\overline{\lambda }}_j}& 0\\ 0& 1\end{array}\right)+O\left(e^{ax}\right).$$

Оно следует из того, что при $x\to -\mathrm{\infty }{\gamma }_j(x)=O\left(e^{-\mathrm{Im}{\lambda }_{j}x}\right)$, поэтому векторы $\frac{1}{{\gamma }_i(x)}{\xi }_j(x)$ с экспоненциальной точностью превращаются в постоянный вектор $\left(\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right)$.

Рассмотрим теперь безотражательную функцию $\psi (x)$ вида (5.38) в качестве начальных данных для уравнения НШ. Решение $\psi (x,t)$ получается из формулы (5.38) при замене параметров ${\gamma }_j(x)$ на ${\gamma }_j(x,t)$ согласно (3.7):
$${\gamma }_i(x,t)=e^{-i{\lambda }_j^{0}t}{\gamma }_j(x),j=1,\dots ,n,$$

и остается безотражательным. Убедимся, что это решение описывает взаимодействие $n$ солитонов. Для этого покажем, что $n$ ри $t\to \pm \mathrm{\infty }$ решение $\psi (x,t)$ в ситуации общего положения представляется в виде суммы односолитонных решений:
$$\Downarrow (x,t)=\sum _{j=1}^n{\psi }_j^{(\pm )}(x,t)+O\left(e^{-ac|t|}\right).$$

Здесь ${\psi }_j^{(\pm )}(x,t),j=1,\dots ,n$, — солитоны с параметрами $A_j,v_j$, $x_{0j}^{(\pm )}$и ${\phi }_{0j}^{(\pm )}$, определяемыми формулами (5.12) по данным ${\lambda }_j$ и ${\gamma }_i^{(\pm )}$, где
$${\gamma }_j^{(+)}={\gamma }_j\prod _{v_k<v_j}\frac{{\lambda }_j-{\overline{\lambda }}_k}{{\lambda }_j-{\lambda }_k}\prod _{v_k>v_j}\frac{{\lambda }_j-{\lambda }_k}{{\lambda }_j-{\overline{\lambda }}_k}$$

и
$${\gamma }_i^{(-)}={\gamma }_j\prod _{v_k<v_j}\frac{{\lambda }_i-{\lambda }_k}{{\lambda }_j-{\overline{\lambda }}_k}\prod _{v_k>v_j}\frac{{\lambda }_i-{\tilde{\lambda }}_k}{{\lambda }_i-{\lambda }_k},$$
${\mathrm{a}}^{-\ast }c=\underset{jeqk}{min}|v_j-v_h|$. Ситуация общего положения означает, что все скорости $v_i$ различны.

Для доказательства формул (5.42)-(5.44) достаточно показать, что на траекториях $C_j$ отдельного солитона
$$x-v_{j}t=\text{ const }$$

решение $\psi (x,t)$ при $t\to \pm \mathrm{\infty }$ стремится к односолитонному решению ${\psi }_i^{(\pm )}(x,t)$ и экспоненциально убывает во всех других направлениях.

Эти результаты можно извлечь из анализа явной формулы (5.38). Мы дадим здесь, однако, более простой и изящный способ, основанный на непосредственном изучении матрицы $\mathrm{\Pi }(x,t,\lambda )$.

Для этого заметим, что при $t\to \pm \mathrm{\infty }$ все параметры ${\gamma }_j(x,t)$ либо экспоненциально убывают, либо экспоненциально растут на всех направлениях, кроме своей траектории $C_j$. Действительно, из (5.41) следует, что
$${{\gamma }_i^{-}(x,t)|}_{x-vt=c_0}=e^{-\frac{t_j}{2}(t_0+(v-v_j)t)}{e}^{\frac{i}{4}(2v_j{c}_0+(u_j^2+2v{v}_j-v_j^2)t)}{\gamma }_i,j=1,\dots ,n.$$

Вдоль траектории $C_j$ для соответствующих векторов ${\xi }_k(x,t)$ отсюда получаем
$$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\xi }_k(x,t)=\left(\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}\right),\underset{t\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\xi }_k(x,t)}{{\gamma }_k(x,t)}=\left(\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right),$$

если $v_k<v_j$, и
$$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\xi }_k(x,t)}{{\gamma }_k(x,t)}=\left(\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right),\underset{t\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\xi }_k(x,t)=\left(\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}\right),$$

если $v_k>v_j$.
Для определения асимптотики матрицы $\mathrm{\Pi }(x,t,\lambda )$ вдоль траектории $C_j$ удобно, в отлнчие от (5.18), использовать упорядоченное произведение
$$\mathrm{\Pi }(x,t,\lambda )=\prod _{\begin{array}{c}k=1\\ keqj\end{array}}^{\sim }{\tilde{B}}_k(x,t,\lambda ){\tilde{B}}_j(x,t,\lambda ),$$

в котором множитель Бляшке — Потапова ${\tilde{B}}_j(x,t,\lambda )$, отвечающий паре нулей ${\lambda }_j,{\overline{\lambda }}_j$, расположен крайним справа. В этом стучае все множители ${\tilde{B}}_k(x,t,\lambda )$ с $keqj$ асимптотически имеют вид
$$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \frac{\lambda -{\lambda }_k}{\lambda -{\overline{\lambda }}_k}\end{array}\right)\text{ или }]\left(\begin{array}{cc}\frac{\lambda -{\lambda }_k}{\lambda -{\overline{\lambda }}_k}& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

для асимптотики вектора ${\xi }_k(x,t)$, пропорциональной векторам $\left(\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}\right)$ и $\left(\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right)$ соответственно. Действительно, при последовательном определении асимптотических множителей ${\tilde{B}}_k^{(\pm )}(\lambda ),keqj,k=$ $=1,\dots ,n$, мы получаем диагональные проекторы и, тем самым, диагональные матрицы ${\tilde{B}}_k^{(\pm )}(\lambda )$, которые оставляют инвариантными подпространства, натянутые на векторы $\left(\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}\right)$ и $\left(\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right)$.

Таким образом, получаем, что асимптотически условия (5.21) сводятся к одному равенству для матрицы ${\tilde{B}}_j^{(\pm )}(\lambda )$ асимптотики множителя ${\tilde{B}}_j(x,t,\lambda )$ вдоль направления $C_j$ при $t\to \pm \mathrm{\infty }:$
$${\tilde{B}}_j^{(\pm {)}^{\ast }}\left({\lambda }_j\right){\xi }_j^{(\pm )}=0,$$

где
$${\xi }_i^{(\pm )}=\left(\begin{array}{c}{\overline{\gamma }}_j^{(\pm )}\\ 1\end{array}\right),$$

а ${\gamma }_j^{(\pm )}$даются формулами (5.43), (5.44). Для завершения доказательства равенства (5.42) осталось заметить, что приведен-

ные рассуждения также показывают, что вдоль всех направлений, отличных от траекторий $C_j,j=1,\dots ,n$, решение $\psi (x,t)$ экспоненциально убывает при $t\to \pm \mathrm{\infty }$.

Доказанное утверждение имеет естественную интерпретацию: решение $\psi (x,t)$ в (5.42) описывает процесс взаимодействия $n$ солитонов, которые при больших отрицательных и положительных временах являются свободными и расходятся друг от друга. Поэтому решение $\psi (x,t)$ принято называть $n$-солитонным.

Полученные формулы также допускают наглядное толкование в терминах общей теории рассеяния. При этом, в отличие от линейной теории, односолитонному решению (5.13) сопоставляется частица-солитон, а не волновой пакет. Солитон характеризуется скоростью $v$, координатой центра инерции $x(t)$ и параметрами внутреннего движения $A$ и ${\phi }_0$. При $t\to \pm \mathrm{\infty }n$-солитонное решение $\psi (x,t)$ описывает свободное движение $n$ солитонов с параметрами $(v_j,x_{0j}^{(\pm )},A_j,{\phi }_{0j}^{(\pm )})$, которые определяются по формулам (5.43), (5.44) и (5.12). Удобно перенумеровать солитоны в порядке возрастания их скоростей, считая, что $\mathrm{\infty }>v_1>\dots >$ $>v_n>-\mathrm{\infty }$. Тогда при $t\to -\mathrm{\infty }$ их центры инерции разделены большими интервалами порядка $ac|t|$, где $c=\underset{jeqk}{min}|v_j-v_h|$, и самый быстрый солитон находится левее всех остальных.

Таким образом, асимптотическое состояние, описываемое $n$ солитонным решением при $t\to -\mathrm{\infty }$, изображает движение $n$ пространственно разделенных солитонов, которые с ростом времени сближаются. При конечных временах картина пространственно разделенных солитонов теряется, и $n$-солитонное решение описывает взаимодействие солитонов. Однако при $t\to +\mathrm{\infty }$ снова возникают пространственно разделенные солитоны, и при этом самый быстрый из них находится правее всех остальных. Таким образом, при конечных временах он провзаимодействовал со всеми оставшимися солитонами. Аналогичное заключение имеет место и для всех других солитонов. В частности, с ростом времени расстояние между солитонами увеличивается.

Описанная картина типична для теории рассеяния, в которой мы имеем дело с асимптотическими состояниями, характеризуемыми в терминах свободных частиц. В процессе рассеяния меняются лишь характеристики этих частиц и, в общем случае, их число.

В нашем случае мы имеем дело с процессом рассеяния очень специального вида. Именно, число частиц, их скорости и половина параметров внутреннего движения — амплитуды — при рассеянии не меняются. Процесс рассеяния состоит лишь в изменении параметров центра инерции и фаз внутреннего движения. Формулы (5.43), (5.44) и (5.12) позволяют дать связь между этими параметрами асимптотического движения:
$$x_{0i}^{(+)}=x_{0j}^{(-)}+\mathrm{\Delta }{x}_{0j},{\phi }_{vj}^{(+)}={\phi }_{vj}^{(-)}+\mathrm{\Delta }{\phi }_{0j},$$

где
$$\mathrm{\Delta }{x}_{0j}=\frac{2}{\mathrm{Im}{\lambda }_j}(\sum _{k=j+1}^n\ln \left|\frac{{\lambda }_j-{\overrightarrow{\lambda }}_k}{{\lambda }_i-{\lambda }_k}\right|-\sum _{k=1}^{j-1}\ln \left|\frac{{\lambda }_j-{\overrightarrow{\lambda }}_k}{{\lambda }_j-{\lambda }_k}\right|)$$

и
$$\mathrm{\Delta }{\phi }_{0j}=2(\sum _{k=j+1}^n\arg \frac{{\lambda }_j-{\overline{\lambda }}_k}{{\lambda }_j-{\lambda }_k}-\sum _{k=1}^{j-1}\arg \frac{{\lambda }_j-{\overline{\lambda }}_k}{{\lambda }_j-{\lambda }_k})(mod2\pi ).$$

Характерно, что приращения координат $x_{0j}$ и фаз ${\phi }_{0j}$ при рассеянии представляются аддитивным образом через двухчастичные сдвиги
$$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }{x}_{01}=\frac{2}{\mathrm{Im}{\lambda }_1}\ln \left|\frac{{\lambda }_1-{\overline{\lambda }}_2}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}\right|,\mathrm{\Delta }{x}_{02}=-\frac{2}{\mathrm{Im}{\lambda }_2}\ln \left|\frac{{\lambda }_1-{\overline{\lambda }}_2}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}\right|,\\ \mathrm{\Delta }{\phi }_{01}=2\arg \frac{{\lambda }_1-{\overline{\lambda }}_2}{{\lambda }_1-{\lambda }_2},\mathrm{\Delta }{\phi }_{02}=-2\arg \frac{{\overline{\lambda }}_1-{\lambda }_2}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}\end{array}$$

для случая $v_1>v_2$, с соответствующей заменой $1\leftrightarrow 2$ для $v_2>v_1$. При этом сумма берется по всем двухчастичным взаимодействиям данного солитона с остальными. Это специфическое свойство рассеяния, сводящее $n$-частичное рассеяние к двухчастичному, принято называть факторизацией.

Иногда факторизацию рассеяния включают в определение понятия солитона наряду со свойствами 1) — 2). В этом случае принято говөрить о солитоне в узком смысле этого термина. В данной книге мы будем иметь дело только с солитонами в узком смысле и будем называть их просто солитонами. В следующей главе мы дадим интерпретацию процесса рассеяния солитонов с гамильтоновой точки зрения.

В заключение этого параграфа подчеркнем, что ситуация общего положения, при которой все скорости $v_j$ различны, была существенной для интерпретации $n$-солитонного решения с точки зрения теории рассеяния. Однако само решение, очевидно, не теряет смысл и при совпадении двух или более скоростей. При этом солитоны с одинаковыми скоростями не расходятся, а образуют связанное состояние. В частности, двухсолитонное решение при условии $v_1=v_2=0$ представляет собой периодическое по времени решение уравнения НШ с частотой ${\left(\mathrm{Im}{\lambda }_1\right)}^2$ — ${\left(\mathrm{Im}{\lambda }_2\right)}^2$.

Сделанное замечание относится и к ограничениям на исходные параметры ${\lambda }_j,{\gamma }_j$ для $n$-солитонного решения. Мы можем в алгебраической формуле (5.38) считать некоторые из ${\lambda }_j$ совпадающими и даже выходящими на вещественную ось, а числа ${\gamma }_j$ — исчезающими. Полученная при таком вырождении функция $\psi (x,t)$ может исчезнуть или выйти из шварцевского класса (в частности, стать сингулярной), но тем не менее, в силу алгебраического характера формулы (5.38), будет удовлетворять уравнению НШ. Қак мы увидим в следующей главе, описанные частные решения не будут играть существенной роли при гамильтоновой интерпретации модели НШ.