В его основе лежит формула связи решений Йоста при $|z|=1$
\[
T_{-}(n, z)=T_{+}(n, z) T(z),
\]

которая в терминах $\psi_{ \pm}(n, z)$ переписывается следующим образом:
\[
\frac{1}{a(z)} \psi_{-}\left(n, \frac{1}{z}\right)=\psi_{+}\left(n, \frac{1}{z}\right)+r(z) \psi_{+}(n, z)
\]

и
\[
\frac{1}{a(z)} \psi_{+}(n, z)=\psi_{-}(n, z)+\tilde{r}(z)_{-} \psi_{-}\left(n, \frac{1}{z}\right),
\]

где
\[
r(z)=-z \frac{b(z)}{a(z)}, \quad \tilde{r}(z)=\frac{\bar{b}(z)}{z a(z)} .
\]

Рассмотрим для определенности уравнение (3.2) и совершим следующие преобразования: подставим в него представления (2.37) – (2.38), умножим на $\frac{1}{2 \pi i} z^{m-1}, m \geqslant n$, и проинтегрируем по окружности $|z|=1$. Используя формулы (2.52), (2.59) и формулу Коши, получаем соотношение
\[
\begin{aligned}
\delta_{n, m}+\Gamma(n, m)+K(n+m)+\sum_{l=n}^{\infty} \Gamma(n, l) K(l+m) & \\
= & e^{c / 2} \delta_{n, m}(1+\widetilde{\Gamma}(n, n)),
\end{aligned}
\]

где
\[
K(n)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{|z|=1} r(z) z^{n} \frac{d z}{z}+\sum_{j=1}^{N} m_{j} z_{j}^{n},
\]
a
\[
m_{j}=\frac{\gamma_{i}}{\dot{a}\left(z_{j}\right)}, \quad j=1, \ldots, N
\]

и точка обозначает производную по $z$.
В отличие от рассмотренных ранее примеров непрерывных моделей, в уравнении (3.5) появился дополнительный член в правой части, порожденный вычетом функции $\frac{1}{a(z)} \psi_{-}(n, z) z^{m-1}$ при $z=0$. Его можно следующим образом выразить через $\Gamma(n, n)$. Рассмотрим уравнение (2.40): из (2.1), (2.34) и условия (2.39) получаем, что
\[
1+\Gamma(n, n)=e^{\left(q_{n}-c\right) 2} .
\]

Из аналогичного уравнения для $\widetilde{\Gamma}(n, n)$
следует, что
\[
c_{n+1}(1+\widetilde{\Gamma}(n+1, n+1))=1+\widetilde{\Gamma}(n, n)
\]

поэтому
\[
1+\widetilde{\Gamma}(n, n)=e^{-q_{n} / 2},
\]
\[
e^{c / 2}(1+\Gamma(n, n))=(1+\Gamma(n, n))^{-1} .
\]

В результате (3.5) принимает вид
\[
\frac{\delta_{n, m}}{1+\Gamma(n, n)}=\delta_{n, m}+\Gamma(n, m)+K(n+m)+\sum_{l=n}^{\infty} \Gamma(n, l) K(l+m) .
\]

К сожалению, это уравнение для $\Gamma(n, m)$ нелинейно.

Чтобы свести (3.12) к линейному уравнению, положим
\[
X(n, m)=\frac{\Gamma(n, m)}{1+\Gamma(n, n)}, \quad m>n,
\]

и умножим (3.12) на $(1+\Gamma(n, n))^{-1}$. При $m>n$ получаем линейное уравнение
\[
X(n, m)+K(n+m)+\sum_{l=n+1}^{\infty} X(n, l) K(l+m)=0,
\]

а при $m=n$ – соотношение
\[
\frac{1}{(1+\Gamma(n, n))^{2}}=1+K(2 n)+\sum_{l=n+1}^{\infty} X(n, l) K(l+n) .
\]

Уравнение (3.14) и представляет собой искомое уравнение Гельфанда – Левитана – Марченко для правого конца, а соотношение (3.15) позволяет определить $\Gamma(n, n)$ по заданному $X(n, m)$.

Аналогичным образом из уравнения (3.3) получаем уравнение Гельфанда-Левитана-Марченко для левого конца:
\[
\widetilde{X}(n, m)+\widetilde{K}(n+m)+\sum_{l=-\infty}^{n-1} \widetilde{X}(n, l) \widetilde{K}(l+m)=0, n>m,
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\widetilde{K}(n)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{|z|=1} \tilde{r}(z) z^{-n} \frac{d z}{z}+\sum_{j=1}^{N} \widetilde{m}_{j} z_{j}^{-n-2}, \\
\widetilde{m}_{l}=\frac{1}{\gamma_{j} \dot{a}\left(z_{j}\right)}, j=1, \ldots, N,
\end{array}
\]
$a$
\[
\widetilde{X}(n, m)=\frac{\widetilde{\Gamma}(n, m)}{1+\widetilde{\Gamma}(n, n)},
\]

и соотномение
\[
\frac{1}{(1+\widetilde{\Gamma}(n, n))^{2}}=1+\widetilde{K}(2 n)+\sum_{l=-\infty}^{n-1} \widetilde{X}(n, l) \widetilde{K}(l+n) .
\]

Опишем теперь процедуру решения обратной задачи.
Исходными данными являются функции $r(z), \tilde{r}(z)$ и набор вещественных чисел $m_{j}, \widetilde{m}_{j}, z_{j}, j=1, \ldots, N ; c$, обладающие следующими свойствами.
I. Гладкие на окружности $|z|=1$ функции $r(z), \tilde{r}(z)$ удовлетворяют инволюции
\[
\bar{r}(z)=r(\bar{z}), \quad \overline{\widetilde{r}}(z)=\tilde{r}(\bar{z})
\]

и условию
\[
|r(z)|=|\tilde{r}(z)| \leqslant 1
\]

причем знак равенства может достигаться лишь в точках $z=$ $= \pm 1$, тогда
\[
r( \pm 1)=-\tilde{r}( \pm 1)=1 .
\]
II. Попарно неравные числа $z_{j}
eq 0$ лежат в интервале $-1<$ $<z_{j}<1$, а числа $m_{j}$ и $\widetilde{m}_{j}$ положительны, $j=1, \ldots, N$.
III. Справедливо условие (c)
\[
e^{-c / 2}=\prod_{j=1}^{N}\left|z_{j}\right| \exp \left\{\frac{i}{4 \pi} \int_{|\zeta|=1} \ln \left(1-|r(\zeta)|^{2}\right) \frac{d \zeta}{\zeta}\right\} .
\]
IV. Имеют место формуль связи
\[
\frac{\tilde{r}(z)}{\overline{r(z)}}=-\frac{\bar{a}(z)}{a(z)}
\]
$u$
\[
m_{j} \tilde{m}_{i}=\frac{1}{\dot{a}^{2}\left(z_{j}\right)}, \quad j=1, \ldots, N
\]

где
\[
\begin{array}{l}
(a(z)= \\
=\prod_{j=1}^{N} \operatorname{sign} z_{j} \frac{z-z_{j}}{2 z_{j}-1} \exp \left\{\frac{1}{4 \pi i} \int_{|\zeta|=1} \ln \left(1-|r(\zeta)|^{2}\right) \frac{z+\zeta}{z-\zeta} \frac{d \zeta}{\zeta}\right\} .
\end{array}
\]

Построим по этим данным ядра $K(n), \widetilde{K}(n)$ и рассмотрим уравнения (3.14), (3.16). Справедливы следующие утверждения.
$I^{\prime}$. Уравнения (3.14) и (3.16) однозначно разрешимь в пространствах $l_{1}(n+1, \infty)$ и $l_{1}(-\infty, n-1)$ соответственно. Нх решения $X(n, m)$ и $\widetilde{X}(n, m)$ быстро убывают при $n, m \rightarrow+\infty u n, m \rightarrow$ $\rightarrow-\infty$ соответственно.

II’. Правые части форлул (3.15) и (3.20) положительны и поэтому можно выбрать положительные значения для $1+\Gamma(n, n)$ $u 1+\widetilde{\Gamma}(n, n)$.
III’. Положим
\[
\Gamma(n, m)=(1+\Gamma(n, n)) X(n, m)
\]
$u$
\[
\widetilde{\Gamma}(n, m)=(1+\widetilde{\Gamma}(n, n)) \widetilde{X}(n, m) .
\]

Построенные по ним с помощью формул (2.37)-(2.38) функции $\psi_{ \pm}(n, z)$ удовлетворяют уравнениям
\[
c_{n+1}^{( \pm)} \Psi_{ \pm}(n+1, z)-p_{n}^{( \pm ‘} \psi_{ \pm}(n, z)+c_{n}^{( \pm)} \psi_{ \pm}(n-1, z)=\left(z+\frac{1}{z}\right) \psi_{ \pm}(n, z),
\]

где
\[
c_{n}^{(+)}=\frac{1+\Gamma(n, n)}{1+\Gamma(n-1, n-1)}, \quad c_{n}^{(-)}=\frac{1+\widetilde{\Gamma}(n-1, n-1)}{1+\widetilde{\Gamma}(n, n)}
\]

и положительны, $a$
\[
\begin{array}{l}
p_{n}^{(+)}=\frac{c_{n}^{(+)} \Gamma(n-1, n)-\Gamma(n, n+1)}{1+\Gamma(n, n)}, \\
p_{n}^{(-)}=\frac{c_{n}^{(-)} \widetilde{\Gamma}(n+1, n)-\widetilde{\Gamma}(n, n-1)}{1+\widetilde{\Gamma}(n, n)} .
\end{array}
\]

IV’. Имеют место соотношения
\[
\lim _{n \rightarrow \pm \infty} c_{n}^{( \pm)}=1, \quad \lim _{n \rightarrow \pm \infty} p_{n}^{( \pm)}=0,
\]

где предельные значения принимаются в смысле Шварца.
$\mathrm{V}^{\prime}$. Нмеют место формулы связи
\[
p_{n}^{(+)}=p_{n}^{(-)}=p_{n}, \quad c_{n}^{(+)}=c_{n}^{(-)}=e^{\frac{q_{n}-q_{n-1}}{2}},
\]

так что
\[
\lim _{n \rightarrow-\infty} q_{n}=0, \quad \lim _{n \rightarrow+\infty} q_{n}=c, \quad \lim _{|n| \rightarrow \infty} p_{n}=0,
\]

где предельные значения принимаются в смысле Шварца.
$\mathrm{VI}^{\prime}$. Функции $^{2}(z)^{\circ}$ и $b(z)=-\frac{a(z) r(z)}{z}$ являются коэффициентами перехода вспомогательной линейной задачи

где
\[
F_{n+1}=L_{n}(\lambda) F_{n},
\]
\[
L_{n}(\lambda)=\left(\begin{array}{cc}
p_{n}+\lambda & e^{q_{n}} \\
-e^{-q_{n}} & 0
\end{array}\right) .
\]

Ее дискретный спектр состоит из собственных значений $\lambda_{j}=z_{j}+$ $+\frac{1}{z_{j}}$ с коэффициентами перехода $\gamma_{j}=m_{j} \dot{a}\left(z_{j}\right), j=1, \ldots, N$.

Мы не будем приводить здесь доказательство этих утверждений, так как, по существу, оно является прямым переносом рассуждений из § II. 7 части I на решеточный случай. Укажем лишь в заключение, что формализм Гельфанда – Левитана – Марченко позволяет доказать, что если данные обратной задачи зависят от времени $t$ согласно формулам (2.86) – (2.87), то построенные по ним $p_{n}(t)$ и $q_{n}(t)$ удовлетворяют уравнениям движения модели Тода.