Граничные условия конечной плотности имеют интересные приложения лишь в случае $x>0$, и поэтому мы ограничимся только этим случаем. Будем сразу считать, что функции $\psi(x)$, $\bar{\psi}(x)$ принимают граничные условия
\[
\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \psi(x)=\rho e^{i \varphi_{ \pm}}, \quad \varphi_{+}-\varphi_{-}=\theta
\]

в смысле Шварца. Без ограничения общности положим $\varphi_{-}=0$, так что $\varphi_{+}=\theta$.

В терминах матрицы $U(x, \lambda)$ эти граничные условия переписываются в виде
\[
\lim _{x \rightarrow+\infty} U(x, \lambda)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}
-i \lambda & \omega e^{-i \theta} \\
\omega e^{i \theta} & i \lambda
\end{array}\right)=U_{+}(\lambda) \text {. }
\]

и
\[
\lim _{x \rightarrow-\infty} U(x, \lambda)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}
-i \lambda & \omega \\
\omega & i \lambda
\end{array}\right)=U_{-}(\lambda)
\]

где
\[
\omega=2 \sqrt{\alpha \rho} .
\]

Матрицы $U_{ \pm}(\lambda)$ связаны соотношением
\[
U_{+}(\lambda)=Q^{-1}(\theta) U_{-}(\lambda) Q(\theta) .
\]

В этом параграфе мы введем подходящие решения линейной задачи
\[
\frac{d F}{d x}=U(x, \lambda) F
\]

с граничными условиями (8.2)-(8.3) и исследуем их свойства. При этом мы будем следовать схеме, развитой для быстроубывающего случая, опуская несущественные детали.

Роль матрицы $E(x, \lambda)$ будет теперь играть матричное решение $E_{\rho}(x, \lambda)$ уравнения
\[
\frac{d E_{\rho}}{d x}(x, \lambda)=U_{-}(\lambda) E_{\rho}(x, \lambda),
\]

которое получается из (8.6) при $x \rightarrow-\infty$. Непрерывный спектр задачи (8.7) состоит из вещественных $\lambda$, удовлетворяющих

условию
\[
\lambda^{2} \geqslant \omega^{2} .
\]

Множество таких $\lambda$ обозначим через $\mathbb{R}_{\omega}$. При $\lambda$ из $\mathbb{R}_{\text {м }}$ мы выберем матрицу $E_{p}(x, \lambda)$ в виде
\[
E_{\rho}(x, \lambda)=\left(\begin{array}{cc}
1 & \frac{i(k-\lambda)}{\omega} \\
\frac{i(\lambda-k)}{\omega} & 1
\end{array}\right) e^{-\frac{i k x}{2} \sigma_{3}},
\]

где
\[
k(\lambda)=\sqrt{\lambda^{2}-\omega^{2}}
\]

и ветвь квадратного корня фиксируется условием
\[
\operatorname{sign} k(\lambda)=\operatorname{sign} \lambda .
\]

Такой выбор $E_{\rho}(\lambda, \lambda)$ однозначно определяется условиями об аналитической продолжимости $E_{p}(x, \lambda)$ в плоскость $k$, при которых первый столбец убывает при $x \rightarrow-\infty$ и $\operatorname{Im} k>0$, а второй при $x \rightarrow+\infty$ и $\operatorname{Im} k>0$.

Соответствующее решение уравнения, получающегося из (8.6) при $x \rightarrow+\infty$, имеет вид $Q^{-1}(\theta) E_{\rho}(x, \lambda)$.

Рассмотрим теперь более подробно аналитические свойства матрицы $E_{\rho}(x, \lambda)$. Заметим, что, в отличие от $E(x, \lambda)$, матрица $E_{\rho}(x, \lambda)$ не унимодулярна:
\[
\operatorname{det} E_{\rho}(x, \lambda)=\frac{2 k(\lambda-k)}{\omega^{2}}
\]

и, таким образом, вырождается при $\lambda= \pm \omega$. При $\rho \rightarrow 0$ матрица $E_{\rho}(x, \lambda)$ не унимодулярна:

Основное отличие вспомогательной линейной задачи (8.6) от аналогичной задачи для быстроубывающего случая состоит в том, что непрерывный спектр имеет лакуну $-\omega<\lambda<\omega$. Точки вырождения матрицы $E_{\rho}(x, \lambda)$ являются краями непрерывного спектра. Аналитические свойства $E_{\rho}(x, \lambda)$ естественно формулировать на римановой поверхности $\boldsymbol{\Gamma}$ функции $k(\lambda)$. Поверхность $\boldsymbol{\Gamma}$ состоит из двух экземпляров $\boldsymbol{\Gamma}_{+}$и $\boldsymbol{\Gamma}_{-}$комплексной плоскости $\mathbb{C}^{1}$ с разрезами по вещественной оси от $-\infty$ до — $-\omega$ от $\omega$ до $\infty$ (см. рис. 2) с отождествленными надлежащим образом берегами разрезов.

Точку на $\Gamma$, отличную от точек ветвления $\pm \omega$, будем задавать парой $(\lambda, \varepsilon)$, где $\lambda$ — комплексное число, а $\varepsilon= \pm 1$, причем $\varepsilon=1$ на листе $\boldsymbol{\Gamma}_{+}$и $\varepsilon=-1$ на листе $\boldsymbol{\Gamma}_{-}$. Функция $k(\bar{\lambda})$ вводится на $\boldsymbol{\Gamma}$ формулой $(8.10)$, где $\pm \operatorname{Im} k(\lambda) \geqslant 0$ на листах $\Gamma_{ \pm}$. Альтернативным образом лист $\Gamma_{+}$характеризуется условием $k(\lambda+i 0)>0$ при $\operatorname{Im} \lambda=0$ и $\lambda>\omega$; при этом $k(\lambda+i 0)<0$ при $\operatorname{Im} \lambda=0, \lambda<-\omega$. Таким образом, соглашение (8.11) выполняется для предельных

значений $k$ на верхних берегах разрезов на листе $\Gamma_{+}$и на нижних берегах разрезов листа $\boldsymbol{\Gamma}_{-}$.

В дальнейшем мы часто будем опускать зависимость функции $k(\lambda)$ от $\lambda$. Таким образом, в формулах, где участвуют $k$ и $\lambda$, всегда подразумевается, что $k$ является введенной функцией $\lambda$.
Рис. 2
При $\lambda$ вне разрезов матрица $E_{\rho}(x, \lambda)$ не является ограниченной функцией $x$. При этом ее первый столбец на $\boldsymbol{\Gamma}_{+}$и второй столбец на $\boldsymbol{\Gamma}_{-}$экспоненциально убывают при $x \rightarrow-\infty$, а второй столбец на $\boldsymbol{\Gamma}_{+}$и первый столбец на $\boldsymbol{\Gamma}_{-}$экспоненциально убывают при $x \rightarrow+\infty$. В стороны, противоположные указанным, эти столбцы экспоненциально растут.

Матричные решения Иоста уравнения (8.6) при $\lambda$ из $\mathbb{R}_{\text {。 вве- }}$ вве дем при помощи интегральных представлений
\[
T_{+}(x, \lambda)=Q^{-1}(\theta) E_{\rho}(x, \lambda)+\int_{x}^{\infty} \Gamma_{+}(x, y) Q^{-1}(\theta) E_{\rho}(y, \lambda) d y
\]

и
\[
T_{-}(x, \lambda)=E_{\rho}(x, \lambda)+\int_{-\infty}^{x} \Gamma_{-}(x, y) E_{\rho}(y, \lambda) d y .
\]

Для их вывода используем альтернативный к § 3 метод. Именно, подставим представления (8.13) и (8.14) в уравнение (8.6) п соберем члены при одинаковых матрицах $E_{\rho}(x, \lambda)$. В результате получаем, что ядра $\Gamma_{ \pm}(x, y)$ удовлетворяют дифференциальным уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial x} \Gamma_{ \pm}(x, y)+\sigma_{3} \frac{\partial}{\partial y} \Gamma_{ \pm}(x, y) \sigma_{3}-U_{0}(x) \Gamma_{ \pm}(x, y)+ \\
+\sigma_{3} \Gamma_{ \pm}(x, y) \sigma_{3} U_{ \pm}=0,
\end{array}
\]

где
\[
U_{ \pm}=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} U_{0}(x)=U_{ \pm}(\lambda)+\frac{i \lambda}{2} \sigma_{3},
\]

и граничным условиям
\[
\begin{array}{c}
\Gamma_{ \pm}(x, x)-\sigma_{3} \Gamma_{ \pm}(x, x) \sigma_{3}=\mp\left(U_{0}(x)-U_{ \pm}\right), \\
\lim _{y \rightarrow \pm \infty} \Gamma_{ \pm}(x, y)=0 .
\end{array}
\]
Эти дифференциальные задачи — задачи Гурса — могуг быть сведены к системам интегральных уравнений. Например, для ядра $\Gamma_{-}(x, y)$ имеем систему уравнений
\[
\begin{array}{l}
\Gamma_{-}^{(\mathrm{d})}(x, y)=\int_{-\infty}^{x}\left(U_{0}(\mathrm{~s}) \Gamma_{-}^{(\mathrm{nd})}(s, s+y-x)+\right. \\
\left.\quad+\Gamma_{-}^{(\mathrm{nd})}(s, s+y-x) U_{-}\right) d s, \\
\Gamma_{-}^{(\mathrm{nd})}(x, y)=\frac{1}{2}\left(U_{0}\left(\frac{x+y}{2}\right)-U_{-}\right)+ \\
+\int_{(x+y) / 2}^{x}\left(U_{0}(s) \Gamma_{-}^{(\mathrm{d})}(s, x+y-s)-\Gamma_{-}^{(\mathrm{d})}(s, x+y-s) U_{-}\right) d s,
\end{array}
\]

где $x \geqslant y$ и через $\Gamma_{-}^{(\mathrm{d})}$ и $\Gamma_{-}^{\text {(nd) }}$ мы обозначили диагональную и антидиагональную части матрицы Г- соответственно.

Эти уравнения вольтерровы, и итерации для них абсолютно сходятся. При наших условиях на $\psi(x), \bar{\psi}(x)$. решение $\Gamma_{-}(x, y)$ является бесконечно дифференцируемой функцией $x$ и $y$, шварцевского типа по $y$ при $y \rightarrow-\infty$. Аналогичным образом исследуется ядро $\Gamma_{+}(x, y)$, которое является функцией типа Шварца по $y$ при $y \rightarrow+\infty$.

Так доказываются представления (8.13) и (8.14), определяющие решения Иоста. Рассмотрим теперь их свойства.
1) Из представлений (8.13) и (8.14) следует, что решения Иоста имеют асимптотики при $|x| \rightarrow \infty$.
\[
T_{+}(x, \lambda)=Q^{-1}(\theta) E_{p}(x, \lambda)+o(1) \quad \text { при } \quad x \rightarrow+\infty
\]

и
\[
T_{-}(x, \lambda)=E_{\rho}(x, \lambda)+o(1) \text { при } x \rightarrow-\infty .
\]
2) При $\lambda$ из $\mathbb{R}_{\text {ө матриц }} T_{ \pm}(x, \lambda)$ получаются из матрицы перехода $T(x, y, \lambda)$ в пределе при $y \rightarrow \pm \infty$ :
\[
T_{+}(x, \lambda)=\lim _{y \rightarrow+\infty} T(x, y, \lambda) Q^{-1}(\theta) E_{\rho}(y, \lambda)
\]

и
\[
T_{-}(x, \lambda)=\lim _{y \rightarrow-\infty} T(x, y, \lambda) E_{\rho}(y, \lambda) .
\]

Для доказательства достаточно записать $T(x, y, \lambda)$ в виде
\[
T(x, y, \lambda)=T_{ \pm}(x, \lambda) T_{ \pm}^{-1}(y, \lambda)
\]

и воспользоваться асимптотиками (8.20) и (8.21).
3) Определители решений Иоста совпадают с определителем $E_{\rho}(x, \lambda):$
\[
\operatorname{det} T_{ \pm}(x, \lambda)=\operatorname{det} E_{\rho}(x, \lambda)=\frac{2 k(\lambda-k)}{\omega^{2}},
\]

так что матрицы $T_{ \pm}(x, \lambda)$ вырожденны при $\lambda= \pm \omega$.

4) При $\lambda$ из $\mathbb{R}_{\text {ю име }}$ имет место свойство инволюции
\[
\vec{T}_{ \pm}(x, \lambda)=\sigma_{1} T_{ \pm}(x, \lambda) \sigma_{1}
\]

и аналогичное соотношение для $E_{\rho}(x, \lambda)$, которые совпадают с (5.19) при $x>0$. Ядра $\Gamma_{ \pm}(x, y)$ также обладают этим свойством и поэтому могут быть записаны в виде
\[
\Gamma_{ \pm}=\left(\begin{array}{ll}
\alpha_{ \pm} & \bar{\beta}_{ \pm} \\
\beta_{ \pm} & \bar{\alpha}_{ \pm}
\end{array}\right) .
\]
5) Из интегральных представлений (8.13) и (8.14) и свойств аналитичности $E_{\rho}(x, \lambda)$ следуют аналитические свойства решений Носта: первый столбец $T_{-}^{(1)}(x, \lambda)$ матрицы $T_{-}(x, \lambda)$ и второй столбец $T_{+}^{(2)}(x, \lambda)$ матрицы $T_{+}(x, \lambda)$ аналитически продолжаются на лист $\boldsymbol{\Gamma}_{+}$римановой поверхности $\boldsymbol{\Gamma}$, а столбцы $T_{+}^{(1)}(x, \lambda)$ и $T_{-}^{(2)}(x, \lambda)$ аналитически продолжаются на лист $\boldsymbol{\Gamma}_{-}$. При фнксированном $x$ имеют место асимптотики при $|\lambda| \rightarrow \infty$
\[
\left.\begin{array}{c}
e^{\frac{i k x}{2}} T_{-}^{(1)}(x, \lambda)=\left(\frac{i(\lambda-k)}{\omega}\right)+O\left(\frac{|1+\lambda-k|}{|\lambda|}\right), \\
e^{-\frac{i k x}{2}} T_{+}^{(2)}(x, \lambda)=\left(\frac{i(k-\lambda)}{\omega} e^{-\frac{i \theta}{2}}\right)+O\left(\frac{|1+\lambda-k|}{|\lambda|}\right), \\
e^{\frac{i \theta}{2}}
\end{array}\right),
\]

где $\lambda$ на листе $\boldsymbol{\Gamma}_{+}$, и
\[
\begin{array}{c}
e^{\frac{i k x}{2}} T_{+}^{(1)}(x, \lambda)=\left(\begin{array}{c}
e^{-\frac{i \theta}{2}} \\
\frac{i(\lambda-k)}{\omega} e^{\frac{i \theta}{2}}
\end{array}\right)+O\left(\frac{|1+\lambda-k|}{|\lambda|}\right), \\
e^{-\frac{i k x}{2}} T_{-}^{(2)}(x, \lambda)=\left(\frac{i(k-\lambda)}{\omega}\right)+O\left(\frac{|1+\lambda-k|}{|\lambda|}\right),
\end{array}
\]

где $\lambda$ на листе $\mathbf{\Gamma}_{-}$.
Отметим, что для $\lambda$ из $\boldsymbol{\Gamma}_{+}$
\[
k=\lambda+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right)
\]

при $|\lambda| \rightarrow \infty, \operatorname{Im} \lambda>0$ и
\[
k=-\lambda+O\left(\frac{1}{|\lambda|}\right)
\]

при $|\lambda| \rightarrow \infty, \operatorname{Im} \lambda<0$. Поэтому для оценки остатков в формулах (8.28)-(8.31) следует иметь в виду, что в первом случае $1+$

$+\lambda-k=O(1)$, а во втором случае $1+\lambda-k=O(|\lambda|)$. На листе Г_ эти случаи меняются местами.
6) Свойство инволюции (8.26) переносится и на аналитически продолженные столбцы матриц $T_{ \pm}(x, \lambda)$. Для этого введем инволюцию $P$ на $\boldsymbol{\Gamma}$, при которой $\lambda \mapsto \bar{\lambda}, k \mapsto \bar{k}$. Более формально ее можно определить как
\[
P(\lambda, \varepsilon)=(\vec{\lambda},-\varepsilon),
\]

так что она переставляет листы $\boldsymbol{\Gamma}_{+}$и $\boldsymbol{\Gamma}_{-}$. Имеем
\[
\bar{E}_{\rho}(x, \lambda)=\sigma_{1} E_{\rho}(x, P(\lambda)) \sigma_{1},
\]

откуда получаем, что
\[
\sigma_{1} \bar{T}_{ \pm}^{(1)}(x, \lambda)=T_{ \pm}^{(2)}(x, P(\lambda)),
\]

где для знака $+\lambda$ лежит на $\boldsymbol{\Gamma}_{-}$, а для знака — соответственно на $\boldsymbol{\Gamma}_{+}$.

На поверхности $\boldsymbol{\Gamma}$ можно ввести и вторую инволюцию $\lambda \mapsto \bar{\lambda}$, $k \mapsto-\bar{k}$. Более формально эту инволюцию можно задать следующим образом:
\[
J(\lambda, \varepsilon)=(\bar{\lambda}, \varepsilon),
\]

так что она оставляет на месте листы $\boldsymbol{\Gamma}_{ \pm}$. При всех $\lambda$ из $\boldsymbol{\Gamma}$ имеет место формула
\[
\bar{E}_{\rho}(x, \lambda)=-\frac{i(\bar{\lambda}-\bar{k})}{\omega} \sigma_{1} E_{\rho}(x, J(\lambda)) \sigma_{3},
\]

которая переносится и на соответствующие столбцы решений Иоста. Имеем
\[
\bar{T}_{ \pm}^{(1)}(x, J(\lambda))=\frac{\lambda+k}{i \omega} \sigma_{1} T_{ \pm}^{(1)}(x, \lambda)
\]

и
\[
\bar{T}_{ \pm}^{(z)}(x, J(\lambda))=-\frac{\lambda+k}{i \omega} \sigma_{1} T_{ \pm}^{(2)}(x, \lambda),
\]

где $\lambda$ лежит на соответствующих листах $\Gamma_{ \pm}$. В частности, отсюда получаем связь значений столбцов матриц $T_{ \pm}(x, \lambda)$ на верхних п нижних берегах разрезов соответствующих листов аналитичности:
\[
\bar{T}_{ \pm}^{(1)}(x, \lambda-i 0)=\frac{\lambda+k}{i \omega} \sigma_{1} T_{ \pm}^{(1)}(x, \lambda+i 0)
\]

и
\[
\bar{T}_{ \pm}^{(2)}(x, \lambda-i 0)=-\frac{\lambda+k}{i \omega} \sigma_{1} T_{ \pm}^{(2)}(x, \lambda+i 0),
\]

где $\lambda$ вещественно, $|\lambda| \geqslant \omega$.

На этом мы заканчиваем перечисление свойств матриц. $T_{ \pm}(x, \lambda)$.

Қак и в быстроубывающем случае, существует приведенная матрица монодромии $T_{\rho}(\lambda)$, осуществляющая связь решений $T_{.}(x, \lambda)$ и $T_{-}(x, \lambda):$
\[
T_{-}(x, \lambda)=T_{+}(x, \lambda) T_{\rho}(\lambda) .
\]

Матрица $T_{\rho}(\lambda)$ определена и унимодулярна при $\lambda$ из $\mathbb{R}_{\omega}, \lambda
eq$ $
eq \pm \omega$. При таких $\lambda$ она может быть также получена как предел
\[
T_{\rho}(\lambda)=\lim _{L \rightarrow \infty} E_{\rho}^{-1}(L, \lambda) Q(\theta) T(L,-L, \lambda) E_{\rho}(-L, \lambda) .
\]

Из свойства инволюции при $\lambda$ из $\mathbb{R}_{\omega}$ следует, что опять имеется соотношение
\[
\bar{T}_{\rho}(\lambda)=\sigma_{1} T_{\rho}(\lambda) \sigma_{1},
\]

позволяющее представить матрицу $T_{\rho}(\lambda)$ в уже привычном виде
\[
T_{\rho}(\lambda)=\left(\begin{array}{cc}
a_{\rho}(\lambda) & \bar{b}_{\rho}(\lambda) \\
b_{\rho}(\lambda) & \bar{a}_{\rho}(\lambda)
\end{array}\right) .
\]

Коэффициенты $a_{\rho}(\lambda)$ и $b_{\rho}(\lambda)$ будем по-прежнему называть коэффициентами перехода. Унимодулярность $T_{\rho}(\lambda)$ приводит к соотношению нормировки
\[
\left|a_{\rho}(\lambda)\right|^{2}-\left|b_{\rho}(\lambda)\right|^{2}=1 .
\]

Дальнейшие свойства $a_{\rho}(\lambda)$ и $b_{\rho}(\lambda)$ будут приведены в следующем параграфе.