Этот подход к решению обратной задачи также основан на формуле (5.1), которая теперь переписывается в виде равенств
\[
\frac{1}{a(\lambda)} T_{-}^{(1)}(x, \lambda)=T_{+}^{(1)}(x, \lambda)+r(\lambda) T_{+}^{(2)}(x, \lambda)
\]

и
\[
\frac{1}{a(\lambda)} T_{+}^{(2)}(x, \lambda)=\widetilde{r}(\lambda) T_{-}^{(1)}(x, \lambda)+T_{-}^{(2)}(x, \lambda),
\]

где
\[
r(\lambda)=b(\lambda) / a(\lambda), \quad \tilde{r}(\lambda)=\bar{b}(\lambda) / a(\lambda) .
\]

Вместо преобразования Фурье, использовавшегося для моделей НШ и МГ в быстроубывающем случае, мы воєпользуемся интегральными преобразованиями, порождаемыми ядром

$\exp \left\{\frac{m i}{4}\left(\lambda-\frac{1}{\lambda}\right) x\right\}$, которые уже встречались нам при исследовании случая конечной плотности для модели НШ (см. § II. 7 части I). Соответствующие соотношения полноты имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{m i}{4}\left(\lambda-\frac{1}{\lambda}\right) x} d \lambda=\frac{8 \pi}{m} \delta(x), \\
\int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{m i}{4}\left(\lambda-\frac{1}{\lambda}\right) x} \frac{d \lambda}{\lambda}=0, \quad \int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{m i}{4}\left(\lambda-\frac{1}{\lambda_{0}}\right) x} \frac{d \lambda}{\lambda^{2}}=\frac{8 \pi}{m} \delta(x) .
\end{array}
\]

Для вывода системы интегральных уравнений Гельфанда Левитана – Марченко для правого конца рассмотрим соотношение (5.66), записанное в терминах матриц $\widetilde{T}_{ \pm}(x, \lambda)$, и совершим следующие преобразования. Подставим в него представления (4.28) – (4.29), умножим обе части получившегося равенства последовательно на $\exp \left\{\frac{m i}{4}\left(\lambda-\frac{1}{\lambda}\right) y\right\}, \frac{1}{\lambda} \exp \left\{\frac{m i}{4}\left(\lambda-\frac{1}{\lambda}\right) y\right\}$ и проинтегрируем по $\lambda$ от – $\infty$ до $\infty$. Используя формулы (5.69) (5.70), свойства аналитичности решений Иоста и инволюции (4.30) – (4.31), окончательно получаем:
\[
\begin{array}{l}
\Gamma_{+}^{(1)}(x, y)+K_{+}^{(0)}(x+y)+\int_{x}^{\infty} \Gamma_{+}^{(1)}(x, z) K_{+}^{(0)}(z+y) d z+ \\
\quad+\int_{x}^{\infty} \Gamma_{+}^{(2)}(x, z) K_{+}^{(1)}(z+y) d z=0, \\
\Gamma_{+}^{(2)}(x, y)+K_{+}^{(1)}(x+y)+\int_{x}^{\infty} \Gamma_{+}^{(1)}(x, z) K_{+}^{(1)}(z+y) d z+ \\
+\int_{x}^{\infty} \Gamma_{+}^{(2)}(x, z) K_{+}^{(2)}(z+y) d z=0, y \geqslant x
\end{array}
\]

где
\[
K_{+}^{(0, \text { g) }}(x)=i k_{+}^{(0,2)}(x) \sigma_{3}, \quad K_{+}^{(1)}(x)=k_{+}^{(1)}(x) \sigma_{1},
\]
a
\[
\begin{array}{l}
k_{+}^{(l)}(x)=\frac{m}{8 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} r(\lambda) e^{\frac{m i}{4}\left(\lambda-\frac{1}{\lambda}\right) x} \frac{d \lambda}{\lambda^{l}}+ \\
+\frac{m}{4 i} \sum_{j=1}^{n} \frac{m_{j}}{\lambda_{j}^{l}} e^{\frac{m t}{4}\left(\lambda_{j}-\frac{1}{\lambda_{j}}\right) x}, \quad l=0,1,2,
\end{array}
\]

и
\[
m_{j}=\frac{\gamma_{j}}{\dot{a}\left(\lambda_{j}\right)}, \quad j=1, \ldots, n .
\]

Точка в (5.75) означает производную по $\lambda$.
Аналогичным образом из (5.67) получаем систему интегральных уравнений Гельфанда – Левитана – Марченко для левого конца:
\[
\begin{array}{l}
\Gamma_{-}^{(1)}(x, y)+K_{-}^{(0)}(x+y)+\int_{-\infty}^{x} \Gamma_{-}^{(1)}(x, z) K_{-}^{(0)}(z+y) d z+ \\
\quad+\int_{-\infty}^{x} \Gamma_{-}^{(2)}(x, z) K_{-}^{(1)}(z+y) d z=0, \\
\Gamma_{-}^{(2)}(x, y)+K_{-}^{(1)}(x+y)+\int_{-\infty}^{x} \Gamma_{-}^{(1)}(x, z) K_{-}^{(1)}(z+y) d z+ \\
+\int_{-\infty}^{x} \Gamma_{-}^{(2)}(x, z) K_{-}^{(2)}(z+y) d z=0, \quad y \leqslant x,
\end{array}
\]

где
\[
K_{-}^{(0,2)}(x)=-i k_{-}^{(0,2)}(x) \sigma_{3}, \quad K_{-}^{(1)}(x)=k_{-}^{(1)}(x) \sigma_{1},
\]
a
\[
\begin{array}{l}
k_{-}^{(l)}(x)=\frac{m}{8 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{r}(\lambda) e^{-\frac{m i}{4}\left(\lambda-\frac{1}{\lambda}\right) x} \frac{d \lambda}{\lambda^{l}}+ \\
+\frac{m}{4 i} \sum_{j=1}^{n} \frac{\tilde{m}_{j}}{\lambda_{j}^{l}} e^{-\frac{m i}{4}\left(\lambda_{j}-\frac{1}{\lambda_{j}}\right) x}, \quad l=0,1,2,
\end{array}
\]

и
\[
\tilde{m}_{j}=\frac{1}{\gamma_{j} a\left(\lambda_{j}\right)}, \quad j=1, \ldots, n .
\]

Отметим, что в силу инволюций (4.54), (4.62) функции $k_{ \pm}^{(0,2)}(x)$ и $\frac{1}{i} k_{ \pm}^{(\mathbf{1})}(x)$ вещественнозначны.
Опишем теперь процедуру решения обратной задачи.
Исходными данными являются функции $r(\lambda), \tilde{r}(\lambda)$ и набор чисел $\left\{\lambda_{j}, m_{j}, \widetilde{m}_{j}, j=1, \ldots, n\right\}$, удовлетворяющие следующим свойствам.
I. Функции $r(\lambda), \tilde{r}(\lambda)$ являются функциями типа Шварца, исчезают при $\lambda=0$ вместе со всеми производными, удовлетворяют инволюции
\[
r(-\lambda)=\bar{r}(\lambda), \quad \tilde{r}(-\lambda)=\overline{\widetilde{r}}(\lambda)
\]

и соотношению
\[
|r(\lambda)|=|\tilde{r}(\lambda)| .
\]
II. Имеет место формула связи
\[
\frac{\tilde{r}(\lambda)}{\bar{r}(\lambda)}=\frac{\bar{a}(\lambda)}{a(\lambda)},
\]
$2 \partial e$
\[
a(\lambda)=\prod_{j=1}^{n} \frac{\lambda-\lambda_{j}}{\lambda-\bar{\lambda}_{j}} \exp \left\{\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\ln \left(1+|r(\mu)|^{2}\right)}{\lambda-\mu+i 0} d \mu\right\},
\]

а попарно несовпадающие числа $\lambda_{j}$ расположены в верхней полуплоскости симметрично относительно мнимой оси: $\lambda_{j}=i \chi_{j}, x_{j}>$ $>0, j=1, \ldots, n_{1} ; \lambda_{k+n_{2}}=-\bar{\lambda}_{k}, \operatorname{Im} \lambda_{k}, \operatorname{Re} \lambda_{k}>0, k=n_{1}+1, \ldots, n_{1}+$. $+n_{2}, \quad n=n_{1}+2 n_{2}$.
III. Величины $m_{j}, \widetilde{m}_{j}$ удовлетворяют соотношению
\[
m_{j} \tilde{m}_{j}=\frac{1}{\dot{a}^{2}\left(\lambda_{j}\right)}, j=1, \ldots, n,
\]

и условиям $m_{j}=-\bar{m}_{j}, \widetilde{m}_{j}=-{\widetilde{m_{j}}}_{j}, j=1, \ldots, n_{1} ; m_{k+n_{2}}=-\bar{m}_{k}, \tilde{m}_{k+n_{2}}=$ $=-\widetilde{\tilde{m}}_{k}, k=n_{1}+1, \ldots, n_{1}+n_{2}$.

Построим по этим данным ядра $K_{ \pm}^{(l)}(x), l=0,1,2$, и рассмотрим системы интегральных уравнений (5.71)-(5.72) и: (5.76) – (5.77). Справедливы следующие утверждения.

I’. Системь (5.71)-(5.72) и (5.76) – (5.77) однозначно разрешимь в пространствах $L_{1}^{(2 \times 2)}(x, \infty)$ и $L_{1}^{(2 \times 2)}(-\infty, x)$ соответственно. Их решения – ядра $\Gamma_{ \pm}^{(1,2)}(x, y)$ – удовлетворяют инволюциям (4.30)-(4.31) и являются функциями типа Шварца при $x, y \rightarrow \pm \infty$.

II’. Построенные по $\Gamma_{ \pm}^{(1,2)}(x, y)$ с помощью формул (4.28)-(4.29) матрицы $\widetilde{T}_{ \pm}(x, \lambda)$ удовлетворяют дифференциальным. уравнениям
\[
\frac{d \widetilde{T}_{ \pm}(x, \lambda)}{d x}=\frac{1}{4 i}\left(\beta \theta_{ \pm}(x) \sigma_{3}+\frac{m \lambda}{4 i} \sigma_{2}-\frac{m}{4 i \lambda} \Omega_{ \pm}^{-2}(x) \sigma_{2} \Omega_{ \pm}^{2}(x)\right) \widetilde{T}_{ \pm}(x, \lambda) \text {, }
\]

где
\[
\frac{\beta}{4 i} \theta_{ \pm}(x) \sigma_{3}= \pm\left(\sigma_{2} \Gamma_{ \pm}^{(\mathbf{1})}(x, x) \sigma_{2}-\Gamma_{ \pm}^{\prime \mathbf{1})}(x, x)\right)
\]
$u$
\[
\Omega_{ \pm}^{-2}(x) \sigma_{2} \Omega_{ \pm}^{2}(x)=\left(\Gamma_{ \pm}^{(2)}(x, x) \sigma_{2} \pm \frac{m}{4 i} I\right) \sigma_{2}\left(\Gamma_{ \pm}^{(2)}\left(x, x, \sigma_{2} \pm \frac{m}{4 i} I\right)^{-1}\right.
\]
(сравни с формулами (4.35) – (4.36)).

III’. Функции $\theta_{ \pm}(x)$ вещественнозначны, матрицы $\Omega_{ \pm}^{2}(x)$ диагональны, унитарны и унимодулярны и
\[
\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \theta_{ \pm}(x)=0, \quad \lim _{x \rightarrow \pm \infty} \Omega_{ \pm}^{4}(x)=I,
\]

где предельные значения принимаются в смысле Шварца.
IV’ $^{\prime}$. Имеют место формулы связи
\[
\theta_{+}(x)=\theta_{-}(x)=\theta(x), \quad \Omega_{+}^{4}(x)=\Omega_{-}^{4}(x)=\Omega^{4}(x) .
\]

Нормируя матриц $\Omega(x)$ условием
\[
\lim _{x \rightarrow-\infty} \Omega(x)=I
\]

и полагая
\[
\Omega(x)=e^{\frac{i(\varphi x)}{4} \sigma_{3}}, \quad \pi(x)=\theta(x)-\frac{d \varphi(x)}{d x},
\]

для матриц-функций
\[
T_{ \pm}(x, \lambda)=\Omega(x) \widetilde{T}_{ \pm}(x, \lambda)
\]

получаем дифференциальное уравнение
\[
\frac{d T_{ \pm}(x, \lambda)}{d x}=U(x, \lambda) T_{ \pm}(x, \lambda)
\]

с матрицей $U(x, \lambda)$ вида (4.1). Функции $\pi(x)$ и $\varphi(x)$ удовлетворяют граничным условиям (4.2), где $Q \equiv n_{1}(\bmod 2)$.
$\mathrm{V}^{\prime}$. Функции а $(\lambda)$ и $b(\lambda)=a(\lambda) r(\lambda)$ являются коэффициентами перехода вспомогательной линейной задачи (5.94). Дискретный спектр этой задачи состоит из собственных значений $\lambda_{j}, \bar{\lambda}_{j}$ с коэффициентами перехода $\gamma_{j}, \bar{\gamma}_{j}$, где $\gamma_{j}=m_{j} \dot{a}\left(\lambda_{j}\right), j=1, \ldots, n$.
Прокомментируем доказательства этих утверждений.
Пункт I’, свойства (5.89) и формула связи (5.90) доказываются по схеме из § II. 7 части I. Поэтому мы ограничимся доказательством пункта II $^{\prime}$ и свойств матриц $\Omega_{ \pm}(x)$, специфических для модели SG.

Рассмотрим, для определенности, систему (5.76) – (5.77), где для сокращения записи мы не будем писать значок – у $\Gamma_{-}^{(\mathbf{1}, 2)}(x, y), K_{-}^{(l)}(x, y), \theta_{-}(x)$ и $\Omega_{-}(x)$. Покажем, что матрицы $\Gamma^{(1,2)}(x, y)$ удовлетворяют системе (4.32)-(4.33), где функция $\theta(x)$ и матрица $\Omega(x)$ даются, соответственно, формулами (5.87) и (5.88), причем участвующая в (5.88) матрица $\Gamma^{(2)}(x, x) \sigma_{2}$ – $\frac{m}{4 i} I$ невырожденна. Отсюда будет следовать справедливость дифференциального уравнения (5.86).

Для доказательства продифференцируем уравнения (5.76)(5.77) по $x$ и $y$. Используя интегрирование по частям и вытека-

ющие из (5.78) – (5.79) формулы
\[
\frac{d K^{1)}}{d x}(x)=\frac{m}{4 i} \sigma_{2}\left(K^{(0)}(x)-K^{(2)}(x)\right)
\]

и
\[
\frac{d K^{(0)}}{d x}(x)=\frac{m}{4 i} \sigma_{2}\left(K^{(-1)}(x)-K^{(1)}(x)\right),
\]

где
\[
K^{(-1)}(x)=k^{(-1)}(x) \sigma_{1},
\]

а $k^{(-1)}(x)$ дается формулой (5.79) с $l=-1$, мы получим
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \Gamma^{(\mathbf{1})}(x, y)}{\partial x}+\frac{m}{4 i} \sigma_{2} K^{(-1)}(x+y)+\Gamma^{(\mathbf{1})}(x, x) K^{(3)}(x+y)+ \\
+B(x) \sigma_{2} K^{(\mathbf{1})}(x+y)+\int_{-\infty}^{x} \frac{\partial \Gamma^{(\mathbf{1})}}{\partial x}(x, z) K^{(0)}(z+y) d z+ \\
+\int_{-\infty}^{x} \frac{\partial \Gamma^{(2)}}{\partial x}(x, z) K^{(\mathbf{1})}(z+y) d z=0,(5.98) \\
\frac{\partial \Gamma^{(2)}}{\partial x}(x, y)+\frac{m}{4 i} \sigma_{2} K^{(0)}(x+y)+\Gamma^{(\mathbf{1})}(x, x) K^{(\mathbf{1})}(x+y)+ \\
+B(x) \sigma_{2} K^{(3)}(x+y)+\int_{-\infty}^{x} \frac{\partial \Gamma^{(\mathbf{1})}}{\partial x}(x, z) K^{(1)}(z+y) d z+ \\
\quad+\int_{-\infty}^{\boldsymbol{x}} \frac{\partial \Gamma^{(2)}}{\partial x}(x, z) K^{(2)}(z+y) d z=0,(5.99)
\end{array}
\]

где
\[
B(x)=\Gamma^{(?)}(x, x) \sigma_{2}-\frac{m}{4 i} I
\]

и
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \Gamma^{(1)}}{\partial y}(x, y)+\frac{m}{4 i} \sigma_{2} K^{(-1)}(x+y)+\Gamma^{(\mathbf{1})}(x, x) K^{(0)}(x+y)+ \\
+B(x) \sigma_{2} K^{(1)}(x+y)-\int_{-\infty}^{x} \frac{\partial \Gamma^{1)}}{\partial z}(x, z) K^{(0)}(z+y) d z- \\
-\int_{-\infty}^{x} \frac{\partial \Gamma^{(2)}}{\partial z}(x, z) K^{(\mathbf{1})}(z+y) d z=0,
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \Gamma^{(2)}}{\partial y}(x, y)+\frac{m}{4 i} \sigma_{2} K^{(0)}(x+y)+\Gamma^{(1)}(x, x) K^{(1)}(x+y)+ \\
+B(x) \sigma_{2} K^{(2)}(x+y)-\int_{-\infty}^{x} \frac{\partial \Gamma^{(1)}}{\partial z}(x, z) K^{(1)}(z+y) d z- \\
-\int_{-\infty}^{x} \frac{\partial \Gamma^{(2)}}{\partial z}(x, z) K^{(2)}(z+y) d z=0 .
\end{array}
\]

Умножим уравнение (5.101) слева и справа на матрицу $\sigma_{2}$ и сложим с (5.98). Используя антикоммутативность матриц $K^{(2)}(x)$ и $\sigma_{2}$ и определение (5.87), получим
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \Gamma^{(1)}}{\partial x}(x, y)+\sigma_{2} \frac{\partial \Gamma^{(1)}}{\partial y}(x, y) \sigma_{2}-\frac{\beta}{4 i} \theta(x) \sigma_{3} \Gamma^{(1)}(x, y)+ \\
+\left(B(x) \sigma_{2}-\sigma_{2} B(x)\right) K^{(1)}(x+y)+ \\
+\int_{-\infty}^{x}\left(\frac{\partial \Gamma^{(1)}}{\partial x}(x, z)+\sigma_{2} \frac{\partial \Gamma^{(1)}}{\partial z}(x, z) \sigma_{2}-\frac{\beta}{4 i} \theta(x) \sigma_{3} \Gamma^{(1)}(x, z)\right) K^{(0)}(z+y) d z+ \\
+\int_{-\infty}^{x}\left(\frac{\partial \Gamma^{(2)}}{\partial x}(x, z)+\sigma_{2} \frac{\partial \Gamma^{(2)}}{\partial z}(x, z) \sigma_{2}-\frac{\beta}{4 i} \theta(x) \sigma_{3} \Gamma^{(3)}(x, z)\right) \times \\
\times K^{(1)}(z+y) d z=0,
\end{array}
\]

где матрицу $\frac{\beta}{4 i} \theta(x) \sigma_{3} K^{(0)}(x+y)$ мы исключили при помощи уравнения (5.76). Чтобы исключить и матрицу $\left(B(x) \sigma_{2}-\sigma_{2} B(x)\right) K^{(1)}(x+y)$, воспользуемся уравнением (5.77), которое с учетом (5.95) запишем в виде
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{\Gamma}^{(2)}(x, y)+K^{(1)}(x+y)+\int_{-\infty}^{x} \Gamma^{(1)}(x, z) K^{(1)}(z+y) d z+ \\
+\int_{-\infty}^{x} \Gamma^{(2)}(x, z)\left(K^{(0)}(z+y)-\frac{4 i \sigma_{2}}{m} \frac{\partial}{\partial z} K^{(1)}(z+y)\right) d z=0 .
\end{array}
\]

Интегрируя в нем по частям, приходим к соотношению
\[
\begin{array}{l}
\frac{4 i}{m} B(x) K^{(1)}(x+y)=\Gamma^{(2)}(x, y)+\int_{-\infty}^{x} \Gamma^{(1)}(x, z) K^{(1)}(z+y) d z+ \\
+\int_{-\infty}^{x} \Gamma^{(2)}(x, z) K^{(0)}(z+y) d z+\frac{4 i}{m} \int_{-\infty}^{x} \frac{\partial \Gamma^{(2)}}{\partial z}(x, z) \sigma_{2} K^{(1)}(z+y) d z .
\end{array}
\]

Умножим уравнение (5.105) слева на матрицу $\frac{m}{4 i}\left(\sigma_{2}-\right.$ $-B(x) \sigma_{2} B^{-1}(x)$ ) (ниже мы покажем, что матрица $B(x)$ невырожденна) и сложим его с (5.103). Мы получим, с учетом (5.88) и (5.100), следующее соотношение:
\[
\begin{array}{l}
\Phi^{(1)}(x, y)+\int_{-\infty}^{x} \Phi^{(1)}(x, z) K^{(0)}(z+y) d z+ \\
+\int_{-\infty}^{x} \Phi^{(2)}(x, z) K^{(\mathbf{1})}(z+y) d z=0, \\
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\Phi^{(1)}(x, y)=\frac{\partial \Gamma^{(1)}}{\partial x}(x, y)+\sigma_{2} \frac{\partial \Gamma^{(2)}}{\partial y}(x, y) \sigma_{2}- \\
-\frac{\beta}{4 i} \theta(x) \sigma_{3} \Gamma^{(1)}(x, y)-\frac{m}{4 i}\left(\sigma_{2}-\Omega^{-2}(x) \sigma_{2} \Omega^{2}(x)\right) \Gamma^{(2)}(x, y), \\
\Phi^{(2)}(x, y)=\frac{\partial \Gamma^{(2)}}{\partial x}(x, y)+\Omega^{-2}(x) \sigma_{2} \Omega^{2}(x) \frac{\partial \Gamma^{(2)}}{\partial y}(x, y) \sigma_{2}- \\
-\frac{\beta}{4 i} \theta(x) \sigma_{3} \Gamma^{(2)}(x, y)-\frac{m}{4 i}\left(\sigma_{2}-\Omega^{-2}(x) \sigma_{2} \Omega^{2}(x)\right) \Gamma^{(1)}(x, y) .
\end{array}
\]

Рассмотрим теперь уравнения (5.99) и (5.102). Умножим последнее слева на матрицу $B(x) \sigma_{2} B^{-1}(x)$, справа на матрицу $\sigma_{2}$ и сложим с первым. Исключая из получившегося равенства матрицу $\frac{m}{4 i}\left(\sigma_{2}-B(x) \sigma_{2} B^{-1}(x)\right) K^{(0)}(x+y) \quad$ при помощи уравнения (5.76), приходим к соотношению
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \Gamma^{(2)}}{\partial x}(x, y)+B(x) \sigma_{2} B^{-1}(x) \frac{\partial \Gamma^{(2)}}{\partial y}(x, y) \sigma_{2}- \\
-\frac{m}{4 i}\left(\sigma_{2}-B(x) \sigma_{2} B^{-1}(x)\right) \Gamma^{(1)}(x, y)+ \\
+\left(\Gamma^{(1)}(x, x)-B(x) \sigma_{2} B^{-1}(x) \Gamma^{(1)}(x, x) \sigma_{2}\right) K^{(1)}(x+y)+ \\
+\int_{-\infty}^{x}\left(\frac{\partial \Gamma^{(1)}}{\partial x}(x, z)+B(x) \sigma_{2} B^{-1}(x) \frac{\partial \Gamma^{(1)}}{\partial z}(x, z) \sigma_{2}-\right. \\
\left.\quad-\frac{m}{4 i}\left(\sigma_{2}-B(x) \sigma_{2} B^{-1}(x)\right) \Gamma^{(2)}(x, z)\right) K^{(1)}(z+y) d z+ \\
+\int_{-\infty}^{x}\left(\frac{\partial \Gamma^{(2)}}{\partial x}(x, z)+B(x) \sigma_{2} B^{-1}(x) \frac{\partial \Gamma^{(2)}}{\partial z}(x, z) \sigma_{2}\right) K^{(2)}(z+y) d z- \\
-\frac{m}{4 i}\left(\sigma_{2}-B(x) \sigma_{2} B^{-1}(x)\right) \int_{-\infty}^{x} \Gamma^{(1)}(x, z) K^{(0)}(z+y) d z=0 .
\end{array}
\]

Далее, воспользуемся снова соотношением (5.95), в силу которого имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{m}{4 i} \int_{-\infty}^{x} \Gamma^{(\mathbf{1})}(x, z) K^{(9)}(z+y) d z= \\
=\frac{m}{4 i} \int_{-\infty}^{x} \Gamma^{(1)}(x, z) K^{(2)}(z+y) d z+\Gamma^{(1)}(x, x) \sigma_{2} K^{(1)}(x+y)- \\
\quad-\int_{-\infty}^{x} \frac{\partial \Gamma^{(1)}}{\partial z}(x, z) \sigma_{2} K^{(1)}(z+y) d z
\end{array}
\]

Подставляя его в (5.109), получим
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \Gamma^{(2)}}{\partial x}(x, y)+B(x) \sigma_{2} B^{-1}(x) \frac{\partial \Gamma^{(2)}}{\partial y}(x, y) \sigma_{2}+\frac{\beta}{4 i} \theta(x) \sigma_{3} K^{(1)}(x+y)- \\
-\frac{m}{4 i}\left(\sigma_{2}-B(x) \sigma_{2} B^{-1}(x)\right) \Gamma^{(1)}(x, y)+ \\
+\int_{-\infty}^{x}\left(\frac{\partial \Gamma^{(1)}}{\partial x}(x, z)+\sigma_{2} \frac{\partial \Gamma^{(1)}}{\partial z}(x, z) \sigma_{2}-\frac{m}{4 i}\left(\sigma_{2}-B(x) \sigma_{2} B^{-1}(x)\right) \times\right. \\
\left.\times \Gamma^{(2)}(x, z)\right) K^{(1)}(z+y) d z+\int_{-\infty}^{x}\left(\frac{\partial \Gamma^{(2)}}{\partial x}(x, z)+B(x) \sigma_{2} B^{-1}(x) \frac{\partial \Gamma^{(2)}}{\partial z}(x, z) \sigma_{2}-\right. \\
\left.-\frac{m}{4 i}\left(\sigma_{2}-B(x) \sigma_{2} B^{-1}(x)\right) \Gamma^{(1)}(x, z)\right) K^{(2)}(z+y) d z=0 .
\end{array}
\]
$И$, наконец, исключая матрицу $\frac{\beta}{4 i} \theta(x) \sigma_{3} K^{(1)}(x+y)$ при помощи уравнения (5.77), приходим к соотношению
\[
\begin{aligned}
\Phi^{(2)}(x, y)+\int_{-\infty}^{x} \Phi^{(1)}(x, z) & K^{(1)}(z+y) d z+ \\
& +\int_{-\infty}^{x} \Phi^{(2)}(x, z) K^{(2)}(z+y) d z=0 .
\end{aligned}
\]

Итак, мы показали, что матрицы $\Phi^{(1)}(x, y)$ и $\Phi^{(2)}(x, y)$ удовлетворяют уравнениям (5.106) и (5.112) – однородной системе уравнений Гельфанда – Левитана – Марченко. Но эта система имеет только тривиальное решение (основное утверждение в доказательстве теоремы об однозначной разрешимости системы (5.76)-(5.77)), поэтому при всех $y \leqslant x$
\[
\Phi^{(1)}(x, y)=\Phi^{(2)}(x, y)=0 .
\]

Таким образом, уравнения (4.32)-(4.33) справедливы.

Для завершения доказательства п. II’ нам осталось убедиться в невырожденности матрицы $B(x)$. Мы покажем, что выполняются соотношения
\[
\operatorname{det} B(x)=-\frac{m^{2}}{16}
\]

и
\[
\Omega^{2}(x)=-\frac{m}{4 i} B^{-1}(x) .
\]

Для доказательства (5.114) покажем сначала, что оно следует из предположения $\operatorname{det} B
eq 0$. Действительно, если при некотором $x_{0}$ мы имеем $\operatorname{det} B\left(x_{0}\right)
eq 0$, то в окрестности $x_{0}$ выполнено уравнение (4.32) и поэтому матрица
\[
\begin{aligned}
\widetilde{T}_{-}(x, \lambda)=E(x, \lambda)+\int_{-\infty}^{x} \Gamma^{(1)}(x, y) & E(y, \lambda) d y+ \\
+ & \frac{1}{\lambda} \int_{-\infty}^{x} \Gamma^{(2)}(x, y) E(y, \lambda) d y
\end{aligned}
\]

удовлетворяет дифференциальному уравнению (5.86) и, следовательно, унимодулярна. Используя соотношение
\[
\frac{1}{\lambda} E(y, \lambda)=\lambda E(y, \lambda)–\frac{4 i}{m} \sigma_{2} \frac{d E(y, \lambda)\}}{d y}
\]

и интегрируя во втором интеграле в формуле (5.116) по частям, при $\lambda \rightarrow 0$ получаем следующую асимптотику:
\[
\widetilde{T}_{-}(x, \lambda) E^{-1}(x, \lambda)=-\frac{4 i}{m} B(x)+O(|\lambda|) .
\]

Отсюда следует, что при $x=x_{0}$ равенство (5.114) справедливо. Оно выполняется также и при $x \rightarrow-\infty$ в силу асимптотики
\[
\lim _{x \rightarrow-\infty} B(x)=-\frac{m}{4 i} I .
\]

По непрерывности отсюда следует, что оно справедливо при всех $x$. Соотношение (5.115) вытекает из (5.114) и нормировки матрицы $\Omega(x)$ при $x \rightarrow-\infty$.
Случай матриц $\Gamma_{+}^{1,2)}(x, y)$ рассматривается аналогично.
Обсуждение формализма Гельфанда – Левитана – Марченко на этом заканчивается.