Фазовое пространство $\mathscr{M}_{\text {с }}$ модели Тода параметризуется координатами $p_{n}, q_{n}$, удовлетворяющими быстроубывающим граничным условиям
\[
\lim _{n \rightarrow-\infty} q_{n}=0, \quad \lim _{n \rightarrow+\infty} q_{n}=c, \quad \lim _{|n| \rightarrow \infty} p_{n}=0 .
\]

Пуассонова структура на $\mathscr{M}_{\text {c }}$ задается формальными скобками Пуассона
\[
\left\{p_{n}, p_{m}\right\}=\left\{q_{n}, q_{m}\right\}=0, \quad\left\{p_{n}, q_{m}\right\}=\delta_{n m} .
\]

Алгебра наблюдаемых образозана допустимыми функционалами $F\left(p_{n}, q_{n}\right)$. Допустимыми являются функционалы $F\left(p_{n}, q_{n}\right)$, которые порождают гамильтоновы потоки, не выводящие из $\mathscr{M}_{c}$. В частности, они должны удовлетворять условиям
\[
\lim _{|n| \rightarrow \infty} \frac{\partial F}{\partial p_{n}}=\lim _{|n| \rightarrow \infty} \frac{\partial F}{\partial q_{n}}=0 .
\]

Простейшим примером недопустимого функционала является величина
\[
P=\sum_{n=-\infty}^{\infty} p_{n},
\]

возникающая как первый коэффициент при разложении $\ln a(z)$ в ряд Тейлора при $z=0$ (см. п. $4 \$ 2$ ). Его роль сводится к одновременному сдвигу всех координат $q_{n}$, что нарушает граничные условия (4.1).

Мы имеем следующую аналогию с моделью НШ в случае конечной плотности: величина $c$, как и фаза $\theta$, играет роль номера фазового пространства $\mathscr{M}_{c}$ и связана с коэффициентами перехода и дискретным спектром условием (c). Функционал $P$ аналогичен функционалу $N_{\rho}$ для модели НШ в случае конечной плотности. Пример этой модели учит нас, что следует соблюдать аккуратность при исследовании формальных скобок Пуассона коэфффициентов перехода на краях непрерывного спектра. Ниже мы будем обращать особое внимание на выделение допустимых наблюдаемых из семейства локальных интегралов движения $I_{n}$, порождаемого тождествами следов.