Здесь мы исследуем матрицу монодромии — матрицу параллельного переноса вдоль фундаментальной области $-L⩽x⩽L$

где матрица $U(x,\lambda )$ из (2.3) — (2.5) удовлетворяет усіовию квазипериодичности
$$U(x+2L,\lambda )=Q^{-1}(\theta )U(x,\lambda )Q(\theta ).$$

Здесь мы опустили зависимость от переменной $t$, которая будет считаться фиксированной.

Наряду с матрицей монодромии будем рассматривать также и более общий объект — матрицу параллельного переноса вдоль оси $x$ из точки $y$ в точку $x$

которую мы будем называть матрицей перехода. Матрица монодромии $T_L(\lambda )$ является частным случаем матрицы перехода:
$$T_L(\lambda )=T(L,-L,\lambda ).$$

Приведем основные свойства матрицы $T(x,y,\lambda )$.
Она удовлетворяет дифференциальному уравнению
вспомогательной линейной задачи
$$\frac{\partial }{\partial x}T(x,y,\lambda )=U(x,\lambda )T(x,y,\lambda )$$

и начальному условию
$${T(x,y,\lambda )|}_{x=y}=I.$$

Это свойство может быть взято за альтернативное определение матрицы перехода. Известные теоремы из теории обыкновенных дифференциальных уравнений позволяют утверждать, что решение $T(x,y,\lambda )$ существует, единственно при любых конечных $x$ и $y$ и является целой функцией параметра $\lambda$. Последнее следует из того, что в силу (2.3) матрица $U(x,\lambda )$ как и начальное условие (3.6) очевидным образом аналитически зависят от $\lambda$.
Имеет место свойство суперпозиции
$$T(x,z,\lambda )T(z,y,\lambda )=T(x,y,\lambda ),$$

которое следует как из более общего соотношения (2.18), так и из дифференциального уравнения (3.5) и (3.6). В частности,

выполняется соотношение
$$T(x,y,\lambda )=T^{-1}(y,x,\lambda ),$$

совместное с дифференциальным уравнением для $T(x,y,\lambda )$ по $y$
$$\frac{\partial }{\partial y}T(x,y,\lambda )=-T(x,y,\lambda )U(y,\lambda )$$

которое непосредственно следует из (3.3).
Также справедливо свойство унимодулярности
$$\det T(x,y,\lambda )=1\text{, }$$

которое следует из бесследовости матрицы $U(x,\lambda )$
$$\mathrm{tr}U(x,\lambda )=0.$$

Действительно, из уравнения (3.5) получаем, что
$$\frac{\partial }{\partial x}\det T(x,y,\lambda )=\mathrm{tr}U(x,\lambda )\det T(x,y,\lambda )=0.$$

Приведенная выкладка пригодна для любого матричного решения уравнения (3.5) и показывает, что его опрєделитель не зависит от $x$.

Матрица $U(x,\lambda )$ имеет весьма специальный вид и удовлетворяет соотношению инволюции:
$$\overline{U}(x,\lambda )=\sigma U(x,\overline{\lambda })\sigma ,$$

где $\sigma ={\sigma }_1$ при $x>0$ и $\sigma ={\sigma }_2$ при $x<0;\overline{U}$ означает матрицу с матричными элементами, комплексно сопряженными с $U$.

Свойство инволюции естественно переносится на матрицу перехода, так что имеет место соотношение
$$\overline{T}(x,y,\lambda )=\sigma T(x,y,\overline{\lambda })\sigma .$$

В частности, для матрицы монодромии получаем, что она представляется в виде
$$T_L(\lambda )=\left(\begin{array}{ll}{a}_L(\lambda )& \epsilon {\overline{b}}_L(\overline{\lambda })\\ b_L(\lambda )& {\overline{a}}_L(\overline{\lambda })\end{array}\right),$$

где $\epsilon =\mathrm{sign}x$. Функции $a_L(\lambda )$ и $b_L(\lambda )$ будем называть коэффициентами перехода. Они являются целыми функциями параметра $\lambda$ и при вещественных $\lambda$ удовлетворяют соотношению нормировки
$${|a_L(\lambda )|}^2-\epsilon {|b_L(\lambda )|}^2=1,$$

которое следует из унимодулярности $T_L(\lambda )$.
Этим исчерпываются элементарные свойства матриц перехода и монодромии.

Обсудим теперь зависимость матрицы монодромии от времени. В § 2 с помощью геометрической интерпретации мы уже задали ее в виде формулы (2.30), носящей интегральный характер. Альтернативный способ состоит в получении дифференциального уравнения для $T_{\mathrm{L}}(\lambda ,t)$ по $t$, к выводу которого мы и приступаем. Здесь в обозначениях мы восстанавливаем зависимость от $t$.

Получим сначала такое уравнение для матрицы перехода. Для этого продифференцируем уравнение (3.5) по $t$
$$\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x\partial t}=U\frac{\partial T}{\partial t}+\frac{\partial U}{\partial t}T$$

и с помощью условия нулевой кривизны перепишем его в виде
$$\begin{array}{l}\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x\partial t}=(\frac{\partial V}{\partial x}+VU-UV)T+U\frac{\partial T}{\partial t}=\\ =\frac{\partial V}{\partial x}T+V\frac{\partial T}{\partial x}-UVT+U\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial x}(VT)+U(\frac{\partial T}{\partial t}-VT).\end{array}$$

Или
$$\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial T}{\partial t}-VT)=U(\frac{\partial T}{\partial t}-VT),$$

откуда зактючаем, что
$$\frac{\partial }{\partial t}T(x,y)=V(x)T(x,y)+T(x,y)C,$$

где матрица $C$ не зависит от $x$. Используя начальное условие (3.6), отсюда получаем, что $C=-V(y)$. В результате имеем соотношение
$$\frac{\partial }{\partial t}T(x,y)=V(x)T(x,y)-T(x,y)V(y)$$
— эволюционное уравнение для матрицы перехода.

Для матрицы монодромии это уравнение упрощается благодаря условиям квазипериодичности. Именно, для матрицы $T_L(\lambda ,t)Q(\theta )$ из (3.21) получаем эволюционное уравнение гейзенберговского типа
$$\frac{\partial }{\partial t}{T}_L(\lambda ,t)Q(\theta )=[V(L,t,\lambda ),T_L(\lambda ,t)Q(\theta )].$$

Формула (2.30) дает его решение в терминах упорядоченных экспонент.
Из уравнения (3.22) заключаем
$$\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{tr}{T}_L(\lambda ,t)Q(\theta )=0,$$

так что мы еще раз убеждаемся, что функционал $F_L(\lambda )$ (см. (2.32)) является производящей функцией интегралов движения уравнения (1.1).

Рассмотрим в заключение этого параграфа тонкие аналитические свойства матрицы монодромии. Будем считать, что функции $\psi (x),\overline{\psi }(x)$ бесконечно дифференцируемы, и покажем, что целые функции $a_L(\lambda )$ и $b_L(\lambda )$ имеют экспоненциальный тип $L$ и при больших вещественных $\lambda$ допускают асимптотические разложения вида
$$a_L(\lambda )=e^{-i\lambda ,L}+e^{-i\lambda L}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{{\lambda }^n}+e^{i\lambda ,L}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\tilde{a}}_n}{{\lambda }^n}+O\left(|\lambda {|}^{-\mathrm{\infty }}\right)$$
$u$
$$b_L(\lambda )=e^{-i)L}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b_n}{{\lambda }^n}+e^{i\lambda L}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\tilde{b}}_n}{{\lambda }^n}+O\left(|\lambda {|}^{-\mathrm{\infty }}\right).$$

Здесь через $O\left(|\lambda {|}^{-\mathrm{\infty }}\right)$ мы обозначили функцию, имеющую исчезающий асимптотический ряд по степеням ${\lambda }^{-1}$.

Доказательство будет основано на интегральном представлении для матрицы перехода, которое будет полезно и в дальнейшем. Поэтому мы приведем его достаточно подробный вывод.

Будем исходить из интегральных уравнений для $T(x,y,\lambda )$, которые эквивалентны дифференциальной задаче (3.5) — (3.6)
$$T(x,y,\lambda )=E(x-y,\lambda )+{\int }_y^{x}T(x,z,\lambda )U_0(z)E(z-y,\lambda )dz$$

и
$$T(x,y,\lambda )=E(x-y,\lambda )+{\int }_y^{x}E(x-z,\lambda )U_0(z)T(z,y,\lambda )dz,$$

где для определенности считаем, что $y⩽x$. Здесь матрица $U_0(x)$ дается формулой
$$U_0(x)=U(x,\lambda )+\frac{i\lambda }{2}{\sigma }_3=\sqrt{\overline{x}}(\overline{\psi }{\sigma }_{+}+\psi {\sigma }_{-}),$$
(сравни (2.3) — (2.4)), $E(x-y,\lambda )$ — решение задачи типа (3.5)(3.6) при $U_0=0$
$$E(x-y,\lambda )=\exp \{\frac{\lambda }{2i}(x-y){\sigma }_3\}.$$

Вследствие свойства
$${\sigma }_3{\sigma }_{\pm }=-{\sigma }_{\pm }{\sigma }_3$$

имеем полезное соотношение
$$E(x,\lambda )U_0(y)=U_0(y)E(-x,\lambda ).$$

Уравнения (3.26) и (3.27) представляют собой интегральные уравнения типа Вольтерра, поэтому последовательные приближения для них — итерации — абсолютно сходятся. Анализируя эти итерации, убеждаемся, что при $y⩽x$ решение $T(x,y,\lambda )$ можно представить в виде
$$T_{ı}(x,y,\lambda )=E(x-y,\lambda )+{\int }_{2y-x}^x\mathrm{\Gamma }(x,y,z)E(z-y,\lambda )dz$$

или
$$T(x,y,\lambda )=E(x-y,\lambda )+{\int }_y^{2x-y}E(x-z,\lambda )\tilde{\mathrm{\Gamma }}(x,y,z)dz.$$

Действительно, используя (3.31), мы можем собрать в каждой итерации все множители $E(\cdot ,\lambda )$ слева или справа от произведения множителей $U_0(\cdot )$. После этого следует использовать свойство суперпозиции для $E(x,\lambda )$.
Для матричных ядер $\mathrm{\Gamma }$ и $\tilde{\mathrm{\Gamma }}$ имеют место уравнения
$$\mathrm{\Gamma }(x,y,z)=\frac{1}{2}{U}_0\left(\frac{x+z}{2}\right)+{\int }_y^{(x+z)/2}\mathrm{\Gamma }(x,s,2s-z)U_0(s)ds,$$

где $y⩽(x+z)/2⩽x$, и
$$\tilde{\mathrm{\Gamma }}(x,y,z)=\frac{1}{2}{U}_0\left(\frac{y+z}{2}\right)+{\int }_{(y+z)/2}^x{U}_0(s)\tilde{\mathrm{\Gamma }}(s,y,2s-z)ds,$$

где $y⩽(y+z)/2⩽x$.
Для их вывода, например для уравнения (3.34), подставим (3.32) в (3.26), поменяем порядки интегрирования и используем (3.31). Приравнивая члены при одинаковых $E(z-y,\lambda )$, $2y-x⩽z⩽x$, получаем искомое уравнение. Аналогично выводится уравнение (3.35).

Очевидно, что приведенные рассуждения носят обратимый характер, так что интегральные уравнения (3.26) и (3.34), а также (3.27) и (3.35) равносильны. Интегральные представления (3.32), (3.33) для матрицы перехода и интегральные уравнения (3.34) и (3.35) для ядер $\mathrm{\Gamma }$ и $\tilde{\mathrm{\Gamma }}$ будут непосредственно использованы ниже в § 5-6.

Итерации для уравнений (3.34) и (3.35) абсолютно сходятся. При этом используется лишь ограниченность функций $\psi (x)$, $\overline{\psi }(x)$. Обозначим через $\Vert \cdot \Vert$ какую-нибудь матричную норму и положим
$$c=\underset{-L⩽x⩽L}{max}\Vert U_0(x)\Vert$$

Из (3.34) и (3.35) легко получаем оценки
$$\Vert \mathrm{\Gamma }(x,y,z)\Vert ⩽\frac{c}{2}(1+c(\frac{x+z}{2}-y))I_0(c\sqrt{(x-z)(x+z-2y)})$$

и
$$\Vert \tilde{\mathrm{\Gamma }}(x,y,z)\Vert ⩽\frac{c}{2}(1+c(x-\frac{y+z}{2}))I_0(c\sqrt{(z-y)(2x-y-z})),$$

где $I_0(x)$ — модифицированная функция Бесселя.
Укажем, что оценки (3.37) и (3.38) слишком грубы при больших значениях аргументов ядер $\mathrm{\Gamma }$ и $\tilde{\mathrm{\Gamma }}$. Более точные оценки будут получены в $5.
Свойство инволюции справедливо и для ядер $\mathrm{\Gamma }$ и $\tilde{\mathrm{\Gamma }}$ :
$$\overline{\mathrm{\Gamma }}(x,y,z)=\sigma \mathrm{\Gamma }(x,y,z)\sigma ,\overline{\stackrel{~}{\mathrm{\Gamma }}}(x,y,z)=\sigma \tilde{\mathrm{\Gamma }}(x,y,z)\sigma$$

и позволяет их записать в виде
$$\mathrm{\Gamma }=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \epsilon \overline{\beta }\\ \beta & \overline{\alpha }\end{array}\right),\tilde{\mathrm{\Gamma }}=\left(\begin{array}{cc}\tilde{\alpha }& \epsilon \overline{\stackrel{~}{\beta }}\\ \tilde{\beta }& \overline{\alpha }\end{array}\right),$$

где $\epsilon =\mathrm{sign}\varkappa$.
Интегральные представления (3.32) и (3.33) определяют связь скалярных ядер $\alpha$ и $\beta$ с $\tilde{\alpha }$ и $\tilde{\beta }$ соответственно. Действительно, матрица $E(x,\lambda )$ коммутирует с диагональной частью $\mathrm{\Gamma }$ и $\tilde{\mathrm{\Gamma }}$, а при переносе через антидиагональные части заменяется на обратную. Поэтому, пронося в (3.32) матрицу $E(z-y,\lambda )$ налево, получаем представление типа (3.33); сравнивая коэффициенты, приходим к соотношениям
$$\begin{array}{l}\alpha (x,y,z)=\tilde{\alpha }(x,y,x+y-z),\\ \beta (x,y,z)=\tilde{\beta }(x,y,x-y+z).\end{array}$$

Отметим теперь, что свойства гладкости ядер $\mathrm{\Gamma }(x,y,z)$ и $\mathrm{\Gamma }(x,y,z)$, как это показывают уравнения (3.34) и (3.35), те же, что и у функций $\psi (x),\underset{―}{\psi }(x)$. В частности, для бесконечно дифференцируемых $\psi (x),\psi (x)$ ядра $\mathrm{\Gamma }$ и $\tilde{\mathrm{\Gamma }}$ бесконечно дифференцируемы по всем аргументам. Поэтому в интегральных представлениях (3.32) и (3.33) можно многократно интегрировать по частям. Йспользуя дифференциальное уравнение для матрицы $E(x,\lambda )$, отсюда получаем асимптотическое разложение

для $T(x,y,\lambda )$ при больших вещественных $\lambda$ :
$$\begin{array}{rl}T(x,y,\lambda )=E(x-y,\lambda )& +\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{T_n(x,y)}{{\lambda }^n}E(x-y,\lambda )+\\ & +\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\tilde{T}}_n(x,y)}{{\lambda }^n}E(y-x,\lambda )+O\left(|\lambda {|}^{-\mathrm{\infty }}\right).\end{array}$$

Вернемся теперь к матрице монодромии $T_L(\lambda )$. Для нее имеют место представления
$$T_L(\lambda )=E(2L,\lambda )+{\int }_{-2}^{2L}\mathrm{\Gamma }(L,-L,x-L)E(x,\lambda )dx$$

и
$$T_L(\lambda )=E(2L,\lambda )+{\int }_{-2L}^{2L}E(x,\lambda )\tilde{\mathrm{\Gamma }}(L,-L,L-x)dx.$$

Для коэффициентов перехода $a_L(\lambda )$ и $b_L(\lambda )$ отсюда получаем
$$a_L(\lambda )=e^{-i\lambda .L}+{\int }_{-L}^L{\alpha }_L(x)e^{-i\lambda x}dx$$

и
$$b_L(\lambda )={\int }_{-L}^L{\beta }_L(x)e^{i\lambda x}dx$$

где
$$\begin{array}{c}{\alpha }_L(x)=2\alpha (L,-L,2x-L)=2\tilde{\alpha }(L,-L,L-2x),\\ {\beta }_L(x)=2\beta (L,-L,2x-L)=2\tilde{\beta }(L,-L,L+2x).\end{array}$$

Таким образом, целые функции $a_L(\lambda )$ и $b_L(\lambda )$ имеют экспоненциальный тип $L$ и в случае бесконечно дифференцируемых функций $\psi (x)$ и $\overline{\psi }(x)$ допускают асимптотические разложения (3.24) и (3.25).
На этом обсуждение аналитических свойств заканчивается. Производящая функция $F_L(\lambda )$ следующим образом выражается через коэффициент $a_L(\lambda )$ :
$$F_L(\lambda )=\mathrm{tr}{T}_L(\lambda )Q(\theta )=a_L(\lambda )e^{i\theta /2}+{\overline{a}}_L(\overline{\lambda })e^{-i\theta /2}.$$

Тем самым коэффициенты $a_n,{\tilde{a}}_n$ участвуют в построении интегралов движения. В следующем параграфе мы приведем явную процедуру их вычисления в терминах $\psi (x),\overline{\psi }(x)$.