Здесь мы исследуем матрицу монодромии – матрицу параллельного переноса вдоль фундаментальной области $-L \leqslant x \leqslant L$

где матрица $U(x, \lambda)$ из (2.3) – (2.5) удовлетворяет усіовию квазипериодичности
\[
U(x+2 L, \lambda)=Q^{-1}(\theta) U(x, \lambda) Q(\theta) .
\]

Здесь мы опустили зависимость от переменной $t$, которая будет считаться фиксированной.

Наряду с матрицей монодромии будем рассматривать также и более общий объект – матрицу параллельного переноса вдоль оси $x$ из точки $y$ в точку $x$

которую мы будем называть матрицей перехода. Матрица монодромии $T_{L}(\lambda)$ является частным случаем матрицы перехода:
\[
T_{L}(\lambda)=T(L,-L, \lambda) .
\]

Приведем основные свойства матрицы $T(x, y, \lambda)$.
Она удовлетворяет дифференциальному уравнению
вспомогательной линейной задачи
\[
\frac{\partial}{\partial x} T(x, y, \lambda)=U(x, \lambda) T(x, y, \lambda)
\]

и начальному условию
\[
\left.T(x, y, \lambda)\right|_{x=y}=I .
\]

Это свойство может быть взято за альтернативное определение матрицы перехода. Известные теоремы из теории обыкновенных дифференциальных уравнений позволяют утверждать, что решение $T(x, y, \lambda)$ существует, единственно при любых конечных $x$ и $y$ и является целой функцией параметра $\lambda$. Последнее следует из того, что в силу (2.3) матрица $U(x, \lambda)$ как и начальное условие (3.6) очевидным образом аналитически зависят от $\lambda$.
Имеет место свойство суперпозиции
\[
T(x, z, \lambda) T(z, y, \lambda)=T(x, y, \lambda),
\]

которое следует как из более общего соотношения (2.18), так и из дифференциального уравнения (3.5) и (3.6). В частности,

выполняется соотношение
\[
T(x, y, \lambda)=T^{-1}(y, x, \lambda),
\]

совместное с дифференциальным уравнением для $T(x, y, \lambda)$ по $y$
\[
\frac{\partial}{\partial y} T(x, y, \lambda)=-T(x, y, \lambda) U(y, \lambda)
\]

которое непосредственно следует из (3.3).
Также справедливо свойство унимодулярности
\[
\operatorname{det} T(x, y, \lambda)=1 \text {, }
\]

которое следует из бесследовости матрицы $U(x, \lambda)$
\[
\operatorname{tr} U(x, \lambda)=0 .
\]

Действительно, из уравнения (3.5) получаем, что
\[
\frac{\partial}{\partial x} \operatorname{det} T(x, y, \lambda)=\operatorname{tr} U(x, \lambda) \operatorname{det} T(x, y, \lambda)=0 .
\]

Приведенная выкладка пригодна для любого матричного решения уравнения (3.5) и показывает, что его опрєделитель не зависит от $x$.

Матрица $U(x, \lambda)$ имеет весьма специальный вид и удовлетворяет соотношению инволюции:
\[
\bar{U}(x, \lambda)=\sigma U(x, \bar{\lambda}) \sigma,
\]

где $\sigma=\sigma_{1}$ при $x>0$ и $\sigma=\sigma_{2}$ при $x<0 ; \quad \bar{U}$ означает матрицу с матричными элементами, комплексно сопряженными с $U$.

Свойство инволюции естественно переносится на матрицу перехода, так что имеет место соотношение
\[
\bar{T}(x, y, \lambda)=\sigma T(x, y, \bar{\lambda}) \sigma .
\]

В частности, для матрицы монодромии получаем, что она представляется в виде
\[
T_{L}(\lambda)=\left(\begin{array}{ll}
a_{L}(\lambda) & \varepsilon \bar{b}_{L}(\bar{\lambda}) \\
b_{L}(\lambda) & \bar{a}_{L}(\bar{\lambda})
\end{array}\right),
\]

где $\varepsilon=\operatorname{sign} x$. Функции $a_{L}(\lambda)$ и $b_{L}(\lambda)$ будем называть коэффициентами перехода. Они являются целыми функциями параметра $\lambda$ и при вещественных $\lambda$ удовлетворяют соотношению нормировки
\[
\left|a_{L}(\lambda)\right|^{2}-\varepsilon\left|b_{L}(\lambda)\right|^{2}=1,
\]

которое следует из унимодулярности $T_{L}(\lambda)$.
Этим исчерпываются элементарные свойства матриц перехода и монодромии.

Обсудим теперь зависимость матрицы монодромии от времени. В § 2 с помощью геометрической интерпретации мы уже задали ее в виде формулы (2.30), носящей интегральный характер. Альтернативный способ состоит в получении дифференциального уравнения для $T_{\mathrm{L}}(\lambda, t)$ по $t$, к выводу которого мы и приступаем. Здесь в обозначениях мы восстанавливаем зависимость от $t$.

Получим сначала такое уравнение для матрицы перехода. Для этого продифференцируем уравнение (3.5) по $t$
\[
\frac{\partial^{2} T}{\partial x \partial t}=U \frac{\partial T}{\partial t}+\frac{\partial U}{\partial t} T
\]

и с помощью условия нулевой кривизны перепишем его в виде
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial^{2} T}{\partial x \partial t}=\left(\frac{\partial V}{\partial x}+V U-U V\right) T+U \frac{\partial T}{\partial t}= \\
\quad=\frac{\partial V}{\partial x} T+V \frac{\partial T}{\partial x}-U V T+U \frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}(V T)+U\left(\frac{\partial T}{\partial t}-V T\right) .
\end{array}
\]

Или
\[
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial T}{\partial t}-V T\right)=U\left(\frac{\partial T}{\partial t}-V T\right),
\]

откуда зактючаем, что
\[
\frac{\partial}{\partial t} T(x, y)=V(x) T(x, y)+T(x, y) C,
\]

где матрица $C$ не зависит от $x$. Используя начальное условие (3.6), отсюда получаем, что $C=-V(y)$. В результате имеем соотношение
\[
\frac{\partial}{\partial t} T(x, y)=V(x) T(x, y)-T(x, y) V(y)
\]
– эволюционное уравнение для матрицы перехода.

Для матрицы монодромии это уравнение упрощается благодаря условиям квазипериодичности. Именно, для матрицы $T_{L}(\lambda, t) Q(\theta)$ из (3.21) получаем эволюционное уравнение гейзенберговского типа
\[
\frac{\partial}{\partial t} T_{L}(\lambda, t) Q(\theta)=\left[V(L, t, \lambda), T_{L}(\lambda, t) Q(\theta)\right] .
\]

Формула (2.30) дает его решение в терминах упорядоченных экспонент.
Из уравнения (3.22) заключаем
\[
\frac{\partial}{\partial t} \operatorname{tr} T_{L}(\lambda, t) Q(\theta)=0,
\]

так что мы еще раз убеждаемся, что функционал $F_{L}(\lambda)$ (см. (2.32)) является производящей функцией интегралов движения уравнения (1.1).

Рассмотрим в заключение этого параграфа тонкие аналитические свойства матрицы монодромии. Будем считать, что функции $\psi(x), \bar{\psi}(x)$ бесконечно дифференцируемы, и покажем, что целые функции $a_{L}(\lambda)$ и $b_{L}(\lambda)$ имеют экспоненциальный тип $L$ и при больших вещественных $\lambda$ допускают асимптотические разложения вида
\[
a_{L}(\lambda)=e^{-i \lambda, L}+e^{-i \lambda L} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{\lambda^{n}}+e^{i \lambda, L} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\tilde{a}_{n}}{\lambda^{n}}+O\left(|\lambda|^{-\infty}\right)
\]
$u$
\[
b_{L}(\lambda)=e^{-i) L} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{n}}{\lambda^{n}}+e^{i \lambda L} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\widetilde{b}_{n}}{\lambda^{n}}+O\left(|\lambda|^{-\infty}\right) .
\]

Здесь через $O\left(|\lambda|^{-\infty}\right)$ мы обозначили функцию, имеющую исчезающий асимптотический ряд по степеням $\lambda^{-1}$.

Доказательство будет основано на интегральном представлении для матрицы перехода, которое будет полезно и в дальнейшем. Поэтому мы приведем его достаточно подробный вывод.

Будем исходить из интегральных уравнений для $T(x, y, \lambda)$, которые эквивалентны дифференциальной задаче (3.5) – (3.6)
\[
T(x, y, \lambda)=E(x-y, \lambda)+\int_{y}^{x} T(x, z, \lambda) U_{0}(z) E(z-y, \lambda) d z
\]

и
\[
T(x, y, \lambda)=E(x-y, \lambda)+\int_{y}^{x} E(x-z, \lambda) U_{0}(z) T(z, y, \lambda) d z,
\]

где для определенности считаем, что $y \leqslant x$. Здесь матрица $U_{0}(x)$ дается формулой
\[
U_{0}(x)=U(x, \lambda)+\frac{i \lambda}{2} \sigma_{3}=\sqrt{\bar{x}}\left(\bar{\psi} \sigma_{+}+\psi \sigma_{-}\right),
\]
(сравни (2.3) – (2.4)), $E(x-y, \lambda)$ – решение задачи типа (3.5)(3.6) при $U_{0}=0$
\[
E(x-y, \lambda)=\exp \left\{\frac{\lambda}{2 i}(x-y) \sigma_{3}\right\} .
\]

Вследствие свойства
\[
\sigma_{3} \sigma_{ \pm}=-\sigma_{ \pm} \sigma_{3}
\]

имеем полезное соотношение
\[
E(x, \lambda) U_{0}(y)=U_{0}(y) E(-x, \lambda) .
\]

Уравнения (3.26) и (3.27) представляют собой интегральные уравнения типа Вольтерра, поэтому последовательные приближения для них – итерации – абсолютно сходятся. Анализируя эти итерации, убеждаемся, что при $y \leqslant x$ решение $T(x, y, \lambda)$ можно представить в виде
\[
T_{\imath}(x, y, \lambda)=E(x-y, \lambda)+\int_{2 y-x}^{x} \Gamma(x, y, z) E(z-y, \lambda) d z
\]

или
\[
T(x, y, \lambda)=E(x-y, \lambda)+\int_{y}^{2 x-y} E(x-z, \lambda) \widetilde{\Gamma}(x, y, z) d z .
\]

Действительно, используя (3.31), мы можем собрать в каждой итерации все множители $E(\cdot, \lambda)$ слева или справа от произведения множителей $U_{0}(\cdot)$. После этого следует использовать свойство суперпозиции для $E(x, \lambda)$.
Для матричных ядер $\Gamma$ и $\widetilde{\Gamma}$ имеют место уравнения
\[
\Gamma(x, y, z)=\frac{1}{2} U_{0}\left(\frac{x+z}{2}\right)+\int_{y}^{(x+z) / 2} \Gamma(x, s, 2 s-z) U_{0}(s) d s,
\]

где $y \leqslant(x+z) / 2 \leqslant x$, и
\[
\widetilde{\Gamma}(x, y, z)=\frac{1}{2} U_{0}\left(\frac{y+z}{2}\right)+\int_{(y+z) / 2}^{x} U_{0}(s) \tilde{\Gamma}(s, y, 2 s-z) d s,
\]

где $y \leqslant(y+z) / 2 \leqslant x$.
Для их вывода, например для уравнения (3.34), подставим (3.32) в (3.26), поменяем порядки интегрирования и используем (3.31). Приравнивая члены при одинаковых $E(z-y, \lambda)$, $2 y-x \leqslant z \leqslant x$, получаем искомое уравнение. Аналогично выводится уравнение (3.35).

Очевидно, что приведенные рассуждения носят обратимый характер, так что интегральные уравнения (3.26) и (3.34), а также (3.27) и (3.35) равносильны. Интегральные представления (3.32), (3.33) для матрицы перехода и интегральные уравнения (3.34) и (3.35) для ядер $\Gamma$ и $\widetilde{\Gamma}$ будут непосредственно использованы ниже в § 5-6.

Итерации для уравнений (3.34) и (3.35) абсолютно сходятся. При этом используется лишь ограниченность функций $\psi(x)$, $\bar{\psi}(x)$. Обозначим через $\|\cdot\|$ какую-нибудь матричную норму и положим
\[
c=\max _{-L \leqslant x \leqslant L}\left\|U_{0}(x)\right\|
\]

Из (3.34) и (3.35) легко получаем оценки
\[
\|\Gamma(x, y, z)\| \leqslant \frac{c}{2}\left(1+c\left(\frac{x+z}{2}-y\right)\right) I_{0}(c \sqrt{(x-z)(x+z-2 y)})
\]

и
\[
\left.\|\tilde{\Gamma}(x, y, z)\| \leqslant \frac{c}{2}\left(1+c\left(x-\frac{y+z}{2}\right)\right) I_{0}(c \sqrt{(z-y)(2 x-y-z})\right),
\]

где $I_{0}(x)$ – модифицированная функция Бесселя.
Укажем, что оценки (3.37) и (3.38) слишком грубы при больших значениях аргументов ядер $\Gamma$ и $\widetilde{\Gamma}$. Более точные оценки будут получены в \$5.
Свойство инволюции справедливо и для ядер $\Gamma$ и $\widetilde{\Gamma}$ :
\[
\bar{\Gamma}(x, y, z)=\sigma \Gamma(x, y, z) \sigma, \quad \overline{\widetilde{\Gamma}}(x, y, z)=\sigma \widetilde{\Gamma}(x, y, z) \sigma
\]

и позволяет их записать в виде
\[
\Gamma=\left(\begin{array}{cc}
\alpha & \varepsilon \bar{\beta} \\
\beta & \bar{\alpha}
\end{array}\right), \quad \widetilde{\Gamma}=\left(\begin{array}{cc}
\tilde{\alpha} & \varepsilon \overline{\widetilde{\beta}} \\
\widetilde{\beta} & \bar{\alpha}
\end{array}\right),
\]

где $\varepsilon=\operatorname{sign} \varkappa$.
Интегральные представления (3.32) и (3.33) определяют связь скалярных ядер $\alpha$ и $\beta$ с $\tilde{\alpha}$ и $\widetilde{\beta}$ соответственно. Действительно, матрица $E(x, \lambda)$ коммутирует с диагональной частью $\Gamma$ и $\widetilde{\Gamma}$, а при переносе через антидиагональные части заменяется на обратную. Поэтому, пронося в (3.32) матрицу $E(z-y, \lambda)$ налево, получаем представление типа (3.33); сравнивая коэффициенты, приходим к соотношениям
\[
\begin{array}{l}
\alpha(x, y, z)=\tilde{\alpha}(x, y, x+y-z), \\
\beta(x, y, z)=\tilde{\beta}(x, y, x-y+z) .
\end{array}
\]

Отметим теперь, что свойства гладкости ядер $\Gamma(x, y, z)$ и $\Gamma(x, y, z)$, как это показывают уравнения (3.34) и (3.35), те же, что и у функций $\psi(x), \underline{\psi}(x)$. В частности, для бесконечно дифференцируемых $\psi(x), \psi(x)$ ядра $\Gamma$ и $\widetilde{\Gamma}$ бесконечно дифференцируемы по всем аргументам. Поэтому в интегральных представлениях (3.32) и (3.33) можно многократно интегрировать по частям. Йспользуя дифференциальное уравнение для матрицы $E(x, \lambda)$, отсюда получаем асимптотическое разложение

для $T(x, y, \lambda)$ при больших вещественных $\lambda$ :
\[
\begin{aligned}
T(x, y, \lambda)=E(x-y, \lambda) & +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{T_{n}(x, y)}{\lambda^{n}} E(x-y, \lambda)+ \\
& +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\widetilde{T}_{n}(x, y)}{\lambda^{n}} E(y-x, \lambda)+O\left(|\lambda|^{-\infty}\right) .
\end{aligned}
\]

Вернемся теперь к матрице монодромии $T_{L}(\lambda)$. Для нее имеют место представления
\[
T_{L}(\lambda)=E(2 L, \lambda)+\int_{-2}^{2 L} \Gamma(L,-L, x-L) E(x, \lambda) d x
\]

и
\[
T_{L}(\lambda)=E(2 L, \lambda)+\int_{-2 L}^{2 L} E(x, \lambda) \widetilde{\Gamma}(L,-L, L-x) d x .
\]

Для коэффициентов перехода $a_{L}(\lambda)$ и $b_{L}(\lambda)$ отсюда получаем
\[
a_{L}(\lambda)=e^{-i \lambda . L}+\int_{-L}^{L} \alpha_{L}(x) e^{-i \lambda x} d x
\]

и
\[
b_{L}(\lambda)=\int_{-L}^{L} \beta_{L}(x) e^{i \lambda x} d x
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\alpha_{L}(x)=2 \alpha(L,-L, 2 x-L)=2 \tilde{\alpha}(L,-L, L-2 x), \\
\beta_{L}(x)=2 \beta(L,-L, 2 x-L)=2 \tilde{\beta}(L,-L, L+2 x) .
\end{array}
\]

Таким образом, целые функции $a_{L}(\lambda)$ и $b_{L}(\lambda)$ имеют экспоненциальный тип $L$ и в случае бесконечно дифференцируемых функций $\psi(x)$ и $\bar{\psi}(x)$ допускают асимптотические разложения (3.24) и (3.25).
На этом обсуждение аналитических свойств заканчивается. Производящая функция $F_{L}(\lambda)$ следующим образом выражается через коэффициент $a_{L}(\lambda)$ :
\[
F_{L}(\lambda)=\operatorname{tr} T_{L}(\lambda) Q(\theta)=a_{L}(\lambda) e^{i \theta / 2}+\bar{a}_{L}(\bar{\lambda}) e^{-i \theta / 2} .
\]

Тем самым коэффициенты $a_{n}, \tilde{a}_{n}$ участвуют в построении интегралов движения. В следующем параграфе мы приведем явную процедуру их вычисления в терминах $\psi(x), \bar{\psi}(x)$.